重庆市第二外国语学校2024年中考数学模拟试卷六含解析

PAGEPAGE322024年中考数学模拟试卷一、选择题1．2024的倒数是（）A．﹣2024 B．2024 C． D．2．在以下奢侈品牌的标记中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．下列运算正确的是（）A．a3﹣a2＝a B．a6÷a2＝a3 C．a2•a3＝a6 D．（a2）3＝a64．下列调查中不适合抽样调查的是（）A．调查“华为P10”手机的待机时间 B．了解初三（10）班同学对“EXO”的宠爱程度 C．调查重庆市面上“奶牛梦工场”皇室尊品酸奶的质量 D．了解重庆市初三学生中考后毕业旅行安排5．估算+÷的运算结果应在（）A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间6．若代数式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1且x≠2 B．x≥1 C．x≠2 D．x≥1且x≠27．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是直径，且∠CAD＝56°，则∠B的度数为（）A．44° B．34° C．46° D．56°8．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝1：9，若BC＝1，则EF的长为（）A．1 B．2 C．3 D．99．如图，小桥用黑白棋子组成的一组图案，第1个图案由1个黑子组成，第2个图案由1个黑子和6个白子组成，第3个图案由13个黑子和6个白子组成，依据这样的规律排列下去，则第9个图案中共有（）和黑子．A．37 B．42 C．73 D．12110．“星光隧道”是贯穿新牌坊商圈和照母山以北的高端居住区的重要纽带，预料2024年底竣工通车，图中线段AB表示该工程的部分隧道，无人勘测飞机从隧道一侧的点A动身，沿着坡度为1：2的路途AE飞行，飞行至分界点C的正上方点D时，测得隧道另一侧点B的俯角为12°，接着飞行到点E，测得点B的俯角为45°，此时点E离地面高度EF＝700米，则隧道BC段的长度约为（）米．（参考数据：tan12°≈0.2，cos12°≈0.98）A．2100 B．1600 C．1500 D．154011．若整数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣＝﹣3有正整数解，则满意条件的a的值之积为（）A．28 B．﹣4 C．4 D．﹣212．如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）13．截止5月17日，检察反腐力作《人民的名义》在爱奇艺上的点播量约为6820000000次，请将6820000000用科学记数法表示为．14．计算：﹣（﹣）﹣2+（π﹣2024）0＝．15．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝2，则阴影部分的面积为．16．如图，直线AB交双曲线y＝于A、B两点，交x轴于点C，且B恰为线段AC的中点，连结OA．若S△OAC＝，则k的值为．17．5月13日，周杰伦2024“地表最强”世界巡回演唱会在奥体中心盛大实行，1号巡逻员从舞台走往看台，2号巡逻号从看台走往舞台，两人同时动身，分别以各自的速度在舞台与看台间匀速走动，动身1分钟后，1号巡逻员发觉对讲机遗忘在动身地，便马上返回动身地，拿到对讲机后（取对讲机时间不计）马上再从舞台走往看台，结果1号巡逻员先到达看台，2号巡逻员接着走到舞台，设2号巡逻员的行驶时间为x（min），两人之间的距离为y（m），y与x的函数图象如图所示，则当1号巡逻员到达看台时，2号巡逻员离舞台的距离是米．18．国庆期间某外地旅行团来重庆的网红景点打卡，巡游结束后旅行社对该旅行团做了一次“我最宠爱的巴渝景点”问卷调查（每名游客都填了调査表，且只选了一个景点），統计后发觉洪崖洞、长江索道、李子坝轻轨站、磁器口榜上出名．其中选李子坝轻轨站的人数比选磁器口的少8人；选洪崖洞的人数不仅比选磁器口的多，且为整数倍；选磁器口与洪崖洞的人数之和是选李子坝轻轨站与长江索道的人数之和的5倍；选长江索道与洪崖洞的人数之和比选李子坝轻轨站与磁器口的人数之和多24人．则该旅行团共有人．三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必需给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在对应的位置上．19．计算：（1）解分式方程：＝；（2）化简：（m+）÷（m﹣2+）．20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F．（1）求证：∠C＝∠BAD；（2）求证：AC＝EF．21．丁老师为了解所任教的两个班的学生数学学习状况，对数学进行了一次测试，获得了两个班的成果（百分制），并对数据（成果）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．①A、B两班学生（两个班的人数相同）数学成果不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：②A、B两班学生测试成果在80≤x＜90这一组的数据如下：A班：80808283858586878787888989B班：80808181828283848485858686868787878787888889③A、B两班学生测试成果的平均数、中位数、方差如下：平均数中位数方差A班80.6m96.9B班80.8n153.3依据以上信息，回答下列问题：（1）补全数学成果频数分布直方图；（2）写出表中m、n的值；（3）请你对比分析A、B两班学生的数学学习状况（至少从两个不同的角度分析）．22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝6cm，E是线段AB上一动点，D是BC的中点，过点C作射线CG，使CG∥AB，连接ED，并延长ED交CG于点F，连接AF．设A，E两点间的距离为xcm，A，F两点间的距离为y1cm，E，F两点间的距离为y2cm．小丽依据学习函数的阅历，分别对函数y1，y2随自变量x的改变而改变的规律进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）依据表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm0123456y1/cm9.498.547.626.715.835.004.24y2/cm9.497.625.833.163.164.24（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△AEF为等腰三角形时，AE的长度约为cm．23．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的其次个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会安排选购 一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，恳求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会安排在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨m%，购买数量和原安排一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了m元，购买数量在原安排基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原安排的预算总额增加了m%，求出m的值．24．阅读下列材料，解答下列问题材料一：一个三位以上的自然数，假如该自然数的末三位表示的数与末三位之前的数字表示的数之差是11的倍数，我们称满意此特征的数叫“网红数”，如：65362，362﹣65＝297＝11×27，称65362是“网红数”．材料二：对任的自然数p均可分解为P＝100x+10y+z（x≥0，0≤y≤9，0≤z≤9且x、y，z均为整数）如：5278＝52×100+10×7+8，规定：G（P）＝．（1）求证：任两个“网红数”之和肯定能被11整除；（2）已知：S＝300+10b+a，t＝1000b+100a+1142（1≤a≤7，0≤b≤5，其a、b均为整数），当s+t为“网红数”时，求G（t）的最大值．25．如图已知：直线y＝﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线y＝﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相像，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？假如存在，恳求出点E的坐标；假如不存在，请说明理由．四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时，每小题必需给出必要的验算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括协助线）．26．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发觉：（2）在（1）的条件下，请推断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM、MN的数量关系是；结论2：DM、MN的位置关系是；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

参考答案一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填在题后括号内．1．2024的倒数是（）A．﹣2024 B．2024 C． D．【分析】依据倒数之积等于1可得答案．解：2024的倒数是，故选：C．2．在以下奢侈品牌的标记中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】依据轴对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，不合题意．故选：C．3．下列运算正确的是（）A．a3﹣a2＝a B．a6÷a2＝a3 C．a2•a3＝a6 D．（a2）3＝a6【分析】分别依据合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，幂的乘方运算法则逐一推断即可．解：A．a3与﹣a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B．a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；C．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；D．（a2）3＝a6，正确．故选：D．4．下列调查中不适合抽样调查的是（）A．调查“华为P10”手机的待机时间 B．了解初三（10）班同学对“EXO”的宠爱程度 C．调查重庆市面上“奶牛梦工场”皇室尊品酸奶的质量 D．了解重庆市初三学生中考后毕业旅行安排【分析】由普查得到的调查结果比较精确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．解：A、调查“华为P10”手机的待机时间调查范围广适合抽样调查，故A不符合题意；B、了解初三（10）班同学对“EXO”的宠爱程度适合普查，故B符合题意；C、调查重庆市面上“奶牛梦工场”皇室尊品酸奶的质量调查具有破坏性适合抽样调查，故C不符合题意；D、了解重庆市初三学生中考后毕业旅行安排调查范围广适合抽样调查，故D不符合题意；故选：B．5．估算+÷的运算结果应在（）A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间【分析】干脆利用二次根式的运算法则计算，进而估计出取值范围．解：+÷＝3+，∵2＜＜3，∴3+在5到6之间．故选：D．6．若代数式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1且x≠2 B．x≥1 C．x≠2 D．x≥1且x≠2【分析】依据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解．解：由分式及二次根式有意义的条件可得：x﹣1≥0，x﹣2≠0，解得：x≥1，x≠2，故选：D．7．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是直径，且∠CAD＝56°，则∠B的度数为（）A．44° B．34° C．46° D．56°【分析】连接CD，依据圆周角定理求出∠ACD＝90°，求出∠D，即可得出答案．解：连接DC，∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，∵∠CAD＝56°，∴∠D＝90°﹣56°＝34°，∴∠B＝∠D＝34°，故选：B．8．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝1：9，若BC＝1，则EF的长为（）A．1 B．2 C．3 D．9【分析】干脆利用相像三角形的性质得出相像比，进而得出EF的长．解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝1：9，∴＝，∵BC＝1，∴EF的长为：3．故选：C．9．如图，小桥用黑白棋子组成的一组图案，第1个图案由1个黑子组成，第2个图案由1个黑子和6个白子组成，第3个图案由13个黑子和6个白子组成，依据这样的规律排列下去，则第9个图案中共有（）和黑子．A．37 B．42 C．73 D．121【分析】视察图象得到第1、2图案中黑子有1个，第3、4图案中黑子有1+2×6＝13个，第5、6图案中黑子有1+2×6+4×6＝37个，…，据此规律可得．解：第1、2图案中黑子有1个，第3、4图案中黑子有1+2×6＝13个，第5、6图案中黑子有1+2×6+4×6＝37个，第7、8图案中黑子有1+2×6+4×6+6×6＝73个，第9、10图案中黑子有1+2×6+4×6+6×6+8×6＝121个，故选：D．10．“星光隧道”是贯穿新牌坊商圈和照母山以北的高端居住区的重要纽带，预料2024年底竣工通车，图中线段AB表示该工程的部分隧道，无人勘测飞机从隧道一侧的点A动身，沿着坡度为1：2的路途AE飞行，飞行至分界点C的正上方点D时，测得隧道另一侧点B的俯角为12°，接着飞行到点E，测得点B的俯角为45°，此时点E离地面高度EF＝700米，则隧道BC段的长度约为（）米．（参考数据：tan12°≈0.2，cos12°≈0.98）A．2100 B．1600 C．1500 D．1540【分析】依据坡度的概念和俯角的概念解答即可；解：由题意得，∠EBF＝45°，EF＝700米，∴BF＝EF＝700米，∵AE的坡度为1：2，∴AF＝2EF＝1400米，∴AB＝1400+700＝2100米，设CD＝x米，∵AE的坡度为1：2，∴AC＝2CD＝2x米，∵∠DBC＝12°，tan12°≈0.2＝，∴BC＝5CD＝5x米，则7x＝2100，解得，x＝300米，∴AC＝600米，BC＝1500米；故选：C．11．若整数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣＝﹣3有正整数解，则满意条件的a的值之积为（）A．28 B．﹣4 C．4 D．﹣2【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组无解确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，由分式方程有正整数解确定出a的值，即可求出所求．解：不等式组整理得：，由不等式组无解，得到3a﹣2≤a+2，解得：a≤2，分式方程去分母得：ax+5＝﹣3x+15，即（a+3）x＝10，由分式方程有正整数解，得到x＝，即a+3＝1，2，10，解得：a＝﹣2，2，7，综上，满意条件a的为﹣2，2，之积为﹣4，故选：B．12．如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】连接OB、OC，如图，利用等边三角形的性质得∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，再证明∠BOD＝∠COE，于是可推断△BOD≌△COE，所以BD＝CE，OD＝OE，则可对①进行推断；利用S△BOD＝S△COE得到四边形ODBE的面积＝S△ABC＝，则可对③进行推断；作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，计算出S△ODE＝OE2，利用S△ODE随OE的改变而改变和四边形ODBE的面积为定值可对②进行推断；由于△BDE的周长＝BC+DE＝4+DE＝4+OE，依据垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行推断．解：连接OB、OC，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵点O是△ABC的中心，∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，∴∠BOD＝∠COE，在△BOD和△COE中，∴△BOD≌△COE，∴BD＝CE，OD＝OE，所以①正确；∴S△BOD＝S△COE，∴四边形ODBE的面积＝S△OBC＝S△ABC＝××42＝，所以③正确；作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，∵∠DOE＝120°，∴∠ODE＝∠OEH＝30°，∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，∴DE＝OE，∴S△ODE＝•OE•OE＝OE2，即S△ODE随OE的改变而改变，而四边形ODBE的面积为定值，∴S△ODE≠S△BDE；所以②错误；∵BD＝CE，∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝4+DE＝4+OE，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝，∴△BDE周长的最小值＝4+2＝6，所以④正确．故选：C．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）13．截止5月17日，检察反腐力作《人民的名义》在爱奇艺上的点播量约为6820000000次，请将6820000000用科学记数法表示为6.82×109．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的肯定值与小数点移动的位数相同．当原数肯定值＞1时，n是正数；当原数的肯定值＜1时，n是负数．解：将6820000000用科学记数法表示为6.82×109．故答案为：6.82×109．14．计算：﹣（﹣）﹣2+（π﹣2024）0＝﹣5．【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．解：﹣（﹣）﹣2+（π﹣2024）0＝﹣2﹣4+1＝﹣5故答案为：﹣5．15．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝2，则阴影部分的面积为+．【分析】连接OE、AE，依据点C为OC的中点可得∠CEO＝30°，继而可得△AEO为等边三角形，求出扇形AOE的面积，最终用扇形AOB的面积减去扇形COD的面积，再减去S空白AEC即可求出阴影部分的面积．解：连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE＝＝π，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）＝﹣﹣（π﹣×1×）＝π﹣π+＝+．故答案为：+．16．如图，直线AB交双曲线y＝于A、B两点，交x轴于点C，且B恰为线段AC的中点，连结OA．若S△OAC＝，则k的值为．【分析】设A点坐标为（a，），C点坐标为（b，0），依据线段中点坐标公式得到B点坐标为（，），利用反比例函数图象上点的坐标特征得到•＝k，得到b＝3a，然后依据三角形面积公式得到•3a•＝，于是可计算出k＝．解：设A点坐标为（a，），C点坐标为（b，0），∵B恰为线段AC的中点，∴B点坐标为（，），∵B点在反比例函数图象上，∴•＝k，∴b＝3a，∵S△OAC＝，∴b•＝，∴•3a•＝，∴k＝．故答案为．17．5月13日，周杰伦2024“地表最强”世界巡回演唱会在奥体中心盛大实行，1号巡逻员从舞台走往看台，2号巡逻号从看台走往舞台，两人同时动身，分别以各自的速度在舞台与看台间匀速走动，动身1分钟后，1号巡逻员发觉对讲机遗忘在动身地，便马上返回动身地，拿到对讲机后（取对讲机时间不计）马上再从舞台走往看台，结果1号巡逻员先到达看台，2号巡逻员接着走到舞台，设2号巡逻员的行驶时间为x（min），两人之间的距离为y（m），y与x的函数图象如图所示，则当1号巡逻员到达看台时，2号巡逻员离舞台的距离是米．【分析】依据图象可得慢车的速度为1000÷12.5＝80m/min，得出1号巡逻员快车的速度为200﹣80＝120m/min，进而解答即可．解：由图象可得2号巡逻员的速度为1000÷12.5＝80m/min，1号巡逻员的速度为（1000﹣800）÷1﹣80＝200﹣80＝120m/min，设两车相遇时的时间为xmin，可得方程：80x+120（x﹣2）＝800+200，解得：x＝6.2，∴a＝6.2，∴2号巡逻员的路程为6，.2×80＝496m，1号巡逻员到达看台时，还须要＝min，∴2号巡逻员离舞台的距离是1000﹣80×（6.2+）＝m，故答案为：m．18．国庆期间某外地旅行团来重庆的网红景点打卡，巡游结束后旅行社对该旅行团做了一次“我最宠爱的巴渝景点”问卷调查（每名游客都填了调査表，且只选了一个景点），統计后发觉洪崖洞、长江索道、李子坝轻轨站、磁器口榜上出名．其中选李子坝轻轨站的人数比选磁器口的少8人；选洪崖洞的人数不仅比选磁器口的多，且为整数倍；选磁器口与洪崖洞的人数之和是选李子坝轻轨站与长江索道的人数之和的5倍；选长江索道与洪崖洞的人数之和比选李子坝轻轨站与磁器口的人数之和多24人．则该旅行团共有48人．【分析】设选李子坝轻轨站的有x人，选长江索道的有y人，选洪崖洞的有a（x+8）人，依据：选磁器口与洪崖洞的人数之和是选李子坝轻轨站与长江索道的人数之和的5倍，选长江索道与洪崖洞的人数之和比选李子坝轻轨站与磁器口的人数之和多24人，列出方程组，组中两个方程相减得到二元一次方程，由于人数为正整数，得到x、y全部可能值，代入方程组中，只有满意a为整数倍的才合题意．然后计算出该团人数．解：设选李子坝轻轨站的有x人，选长江索道的有y人，则选磁器口的有（x+8）人，选洪崖洞的有a（x+8）人，依据题意得：，②可变形为：（a﹣1）（x+8）＝24+x﹣y③，①+③，得2a（x+8）＝24+6x+4y，即a＝；①﹣③，得x+3y＝20．∵x、y都是正整数，∴或或或或或当、、、、时，a＝都不是整数，不合题意．当时，a＝＝＝3．∴选李子坝轻轨站的有2人，选长江索道的有6人，选磁器口的有10人，选洪崖洞的有30人，由于每名游客都填了调査表，且只选了一个景点，所以该旅行团共有2+6+10+30＝48（人）．故答案为：48三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必需给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在对应的位置上．19．计算：（1）解分式方程：＝；（2）化简：（m+）÷（m﹣2+）．【分析】（1）依据分式方程的解法即可求出答案．（2）依据分式的运算法则即可求出答案．解：（1）∵＝，∴x﹣3＝2x，∴x＝﹣3，经检验，x＝﹣3不是分式方程的解，∴原分式方程无解．（2）原式＝÷＝•＝．20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F．（1）求证：∠C＝∠BAD；（2）求证：AC＝EF．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由余角的性质可得∠C＝∠BAD；（2）由“ASA”可证△ABC≌△EAF，可得AC＝EF．【解答】证明：（1）∵AB＝AE，D为线段BE的中点，∴AD⊥BC∴∠C+∠DAC＝90°，∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠DAC＝90°∴∠C＝∠BAD（2）∵AF∥BC∴∠FAE＝∠AEB∵AB＝AE∴∠B＝∠AEB∴∠B＝∠FAE，且∠AEF＝∠BAC＝90°，AB＝AE∴△ABC≌△EAF（ASA）∴AC＝EF21．丁老师为了解所任教的两个班的学生数学学习状况，对数学进行了一次测试，获得了两个班的成果（百分制），并对数据（成果）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．①A、B两班学生（两个班的人数相同）数学成果不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：②A、B两班学生测试成果在80≤x＜90这一组的数据如下：A班：80808283858586878787888989B班：80808181828283848485858686868787878787888889③A、B两班学生测试成果的平均数、中位数、方差如下：平均数中位数方差A班80.6m96.9B班80.8n153.3依据以上信息，回答下列问题：（1）补全数学成果频数分布直方图；（2）写出表中m、n的值；（3）请你对比分析A、B两班学生的数学学习状况（至少从两个不同的角度分析）．【分析】（1）频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率；（2）将一组数据依据从小到大（或从大到小）的依次排列，假如数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．假如这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；（3）从中位数与方差两个方面分析．解：（1）A、B两班学生数学成果频数分布直方图如下：（2）A班共40名同学，中位数落在80≤x＜90，中位数m＝，B班共40名同学，中位数落在80≤x＜90，中位数n＝＝85，故m、n的值分别为81，85；（3）从平均分来看，A、B两班差不多，从中位数来看，B班85分以上学生数比A班多，从方差看，A班方差小，学生成果差距较小，B班方差大，说明B班学生发展不均衡．22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝6cm，E是线段AB上一动点，D是BC的中点，过点C作射线CG，使CG∥AB，连接ED，并延长ED交CG于点F，连接AF．设A，E两点间的距离为xcm，A，F两点间的距离为y1cm，E，F两点间的距离为y2cm．小丽依据学习函数的阅历，分别对函数y1，y2随自变量x的改变而改变的规律进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）依据表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm0123456y1/cm9.498.547.626.715.835.004.24y2/cm9.497.625.833.163.164.24（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△AEF为等腰三角形时，AE的长度约为3.50或5或6cm．【分析】（1）当x＝3时，点E是AB的中点，易证△ECF是等腰直角三角形，EF＝EC＝3≈4.24．（2）利用描点法画出函数图象即可解决问题．（3）由直线y＝x与两个函数图象的交点A，B，以及函数y1与函数y2的交点C的横坐标可知，当△AEF为等腰三角形时AE的长度．解：（1）当x＝3时，点E是AB的中点，易证△ECF是等腰直角三角形，EF＝EC＝3≈4.24．（2）函数图象如图所示：（3）由直线y＝x与两个函数图象的交点A，B，以及函数y1与函数y2的交点C的横坐标可知，当△AEF为等腰三角形时，AE的长度约为3.50或5或6．故答案为：3.50或5或6．23．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的其次个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会安排选购 一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，恳求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会安排在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨m%，购买数量和原安排一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了m元，购买数量在原安排基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原安排的预算总额增加了m%，求出m的值．【分析】（1）设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；（2）先假设学生会安排在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120×0.8a（1﹣25%）（1+m%），在“美团”网上的购买实际消费总额：a[120×0.8（1﹣25%）﹣m]（1+15m%）；依据“在两个网站的实际消费总额比原安排的预算总额增加了m%”列方程解出即可．解：（1）设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，x≤120；答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；（2）假设学生会安排在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：120×0.8a（1﹣25%）（1+m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣m]（1+15m%）＝120×0.8a（1﹣25%）×2（1+m%），m2﹣20m＝0，m1＝0（舍），m2＝20，答：m的值是20．24．阅读下列材料，解答下列问题材料一：一个三位以上的自然数，假如该自然数的末三位表示的数与末三位之前的数字表示的数之差是11的倍数，我们称满意此特征的数叫“网红数”，如：65362，362﹣65＝297＝11×27，称65362是“网红数”．材料二：对任的自然数p均可分解为P＝100x+10y+z（x≥0，0≤y≤9，0≤z≤9且x、y，z均为整数）如：5278＝52×100+10×7+8，规定：G（P）＝．（1）求证：任两个“网红数”之和肯定能被11整除；（2）已知：S＝300+10b+a，t＝1000b+100a+1142（1≤a≤7，0≤b≤5，其a、b均为整数），当s+t为“网红数”时，求G（t）的最大值．【分析】（1）设两个“网红数”为，，（n、b表示末三位表示的数，m、a表示末三位之前的数字），则n﹣m＝11k，b﹣a＝11h，所以+＝1001m+1001a+11（k+h）＝11（91m+91n+h+k），即可证明；（2）s＝3×100+10b+a，t＝1000（b+1）+100（a+1）+4×10+2，所以s+t＝1000（b+1）+100（a+4）+10（b+4）+a+2；①当1≤a≤5时，s+t＝，则﹣（b+1）能被11整除，即101a+9b+441＝11×9a+2a+11b﹣2b+40×11+1能被11整除，由已知可得﹣7≤2a﹣2b+1≤11，求出a＝5，b＝0；②当6≤a≤7时，s+t＝，则﹣（b+2）能被11整除，所以101a+9b﹣560＝11×9a+2a+11b﹣2b﹣51×11+1能被11整除，可得3≤2a﹣2b+1≤15，求出a＝6，b＝1或a＝7，b＝2，分别求出相应的G（t）值即可．解：（1）设两个“网红数”为，，（n、b表示末三位表示的数，m、a表示末三位之前的数字），∴n﹣m＝11k，b﹣a＝11h，∵+＝1001m+1001a+11（k+h）＝11（91m+91n+h+k），∴m、a、k、h都是整数，∴91m+91n+h+k为整数，∴任两个“网红数”之和肯定能被11整除；（2）s＝3×100+10b+a，t＝1000（b+1）+100（a+1）+4×10+2，∴s+t＝1000（b+1）+100（a+4）+10（b+4）+a+2，①当1≤a≤5时，s+t＝，则﹣（b+1）能被11整除，∴101a+9b+441＝11×9a+2a+11b﹣2b+40×11+1能被11整除，∴2a﹣2b+1能被11整除，∵1≤a≤5，0≤b≤5，∴﹣7≤2a﹣2b+1≤11，∴2a﹣2b+1＝0或11，∴a＝5，b＝0，∴t＝1642，G（1642）＝17.25；②当6≤a≤7时，s+t＝，则﹣（b+2）能被11整除，∴101a+9b﹣560＝11×9a+2a+11b﹣2b﹣51×11+1能被11整除，∴2a﹣2b+1能被11整除，∵6≤a≤7，0≤b≤5，∴3≤2a﹣2b+1≤15，∴2a﹣2b+1＝11，∴a＝6，b＝1或a＝7，b＝2，∴t＝2742或3842，∴G（2742）＝28或G（3842）＝39，∴G（t）的最大值39．25．如图已知：直线y＝﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线y＝﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相像，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？假如存在，恳求出点E的坐标；假如不存在，请说明理由．【分析】（1）首先确定A、B、C三点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）△ABO为等腰直角三角形，若△ADP与之相像，则有两种情形，如答图1所示．利用相像三角形的性质分别求解，避开遗漏；（3）如答图2所示，分别计算△ADE的面积与四边形APCE的面积，得到面积的表达式．利用面积的相等关系得到一元二次方程，将点E是否存在的问题转化为一元二次方程是否有实数根的问题，从而解决问题．须要留意依据（2）中P点的不同位置分别进行计算，在这两种状况下，一元二次方程的判别式均小于0，即所求的E点均不存在．解：（1）由题意得，A（3，0），B（0，3）∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y＝ax2+bx+c，得方程组解得：∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3