上海市2024年高一数学上学期期末考试试题

2024学年度第一学期高一数学学科期末考试卷

(考试时间：90分钟满分：100分)

一、填空题(本大题共12小题，满分36分)考生应在答题纸相应编号的空格内干脆填写结

果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.

1.已知募函数y=/(x)的图像过点一,、-,则log2/(2)=________o

、22J

2.设4、3是非空集合，定义=A一民且A6},4==J2%—11,

B=<yy=x*>,贝!jA*B=。

2。一x

3.关于x的不等式，>0(。/1)的解集为o

X—CL—1

4.函数y=3、j(-l<x<0)的反函数是。

5.已知集合A={x|尤>2,xeR},B={x|x>-l,xe7?},那么命题p"若实数x>2,则

x>-l"可以用集合语言表述为“AcB”。则命题p的逆否命题可以用关于的集合

语言表述为O

6.已知关于x的方程(4]='有一个正根，则实数a的取值范围是____________

⑵1-a

7.定义在(—1,1)上的奇函数了(尤)也是减函数，且/(I—/)+/«+1)<0,则实数/的取值范

围为O

8.若偶函数/(x)在(-oo,0]单调递减，则满意/(2x-l)</(1)的x取值范围是=

9.作为对数运算法则：lg(a+Z?)=Iga+lgZ?(a>0力>0)是不正确的。但对一些特

别值是成立的，例如：lg(2+2)=1g2+1g2o那么，对于全部使lg(a+Z?)=lga+lgb

(a>0,b>0)成立的a、b应满意函数a=/S)的表达式为。

10.已知函数y的图像与函数y=a*(a>l)及其反函数的图像分别交于A、B两点，若

X

|A3|=述，则实数。为____________o

112

11.若函数/(x)=2kT—iog〃x+i无零点，则a的取值范围为。

12.求“方程(|>+(]厂=1的解”有如下解题思路：设函数/(X)=(|r+(|r，则函数/(%)

在R上单调递减，且/(2)=1,所以原方程有唯一解％=2。类比上述解题思路，方程

M+/=(2%+3)3+2x+3的解集为o

二、选择题(本大题共有4小题，满分12分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸

的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.

13.设尸和。是两个集合，定义集合尸—0={小€尸且xeQ},假如P={Mlog；<1},

Q={#-2|<1},那么P-Q=

()

(A)(0,1)(B)(0,1](0[1,2)(D)[2,3)

14.已知关于尤的不等无式+士]或<2的解集为尸，若1三P,则实数a的取值范围为()

x+a

(A)(—8,-l]U[0,+8)(B)(-1,0](C)[-1,0](D)(—8,—l)U(0,+8)

15.已知函数y=/(x)的定义域为[a,“，{(%,y)|y=/(x),a<{(x,y)|x=。}只有

一个子集，则

()

(A)ab>0(B)ab>0(C)ab<0(D)ab<0

16.已知/(x)是单调减函数，若将方程/(幻=工与/(x)=f~\x)的解分别称为函数/(无)的不

动点与稳定点。则”X是f(x)的不动点"是"X是/(X)的稳定点”的

()

(A)充要条件(B)充分不必要条件

(0必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件

三、解答题(本大题共5题，满分52分)解答下列各题必需在答题纸相应编号的规定区域内

写出必要的步骤.

17.(本题满分8分)已知函数/(九)=*—2a+1,龙«2,5]有反函数，且函数八%)的最

大值为8,求实数f的值。

解:

18.(本题满分8分，每小题满分各4分)已知集合人=卜,2+(〃—1)]—

5={x|(x+a)(x+Z?)>()},其中awb,全集U=R。

(1)若a>b>—l,求Ap|B；

(2)若。2+：€必4,求实数。的取值范围。

解：

19.(本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)(3)小题各满分3分)

,/、x2+2|x|/----/、/、

已知/(%)=/_l[g(x)=，v+2,//(x)=/(x)-g(x)o

s/x+2

(1)写出H(x)的解析式与定义域；

(2)画出函数,="(尤—1)+2的图像；

(3)试探讨方程H(x—1)+2="的根的个数。

解：

20.(本题满分12分，每小题满分各6分)

某医药探讨所开发一种新药，在试验药效时发觉：假如成人按规定剂量服用，那么服药后

ax

(0<%<1)

x2+l

每毫升血液中的含药量y(微克)与时间了(小时)之间满意y=<

a-2^

gl)

4T+1

其对应曲线(如图所示)过点(2,日)。

(1)试求药量峰值(y的最大值)与达峰时间(y取最大值时对应的x值);

(2)假如每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药

,2达峰时间

一一药量峰值

一次后能维持多长的有效时间？（精确到0.01小时）

解:

21.(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)(3)小题各满分5分)

2X-ci

已知/(x)=K(aeR)的图像关于坐标原点对称。

4

(1)求。的值，并求出函数歹(x)=/(%)+2,—--——1的零点；

2+1

b

(2)若函数/z(x)=/(x)+2'——/在［0,1］内存在零点，求实数匕的取值范围；

2*+1

⑶设gQAlog,S,若不等式广(x)<g(x)在xe4,2］上恒成立，求满意条件的最

1-x23

小整数左的值。

解：

2024学年度第一学期高一数学学科期末考试卷参考答案

一、填空题(本大题共12小题，满分36分)

万、1

L已知幕函数y=/(x)的图像过点,则log2〃2)=—。

、)2L

2.设A、5是非空集合，定义=氏且xeA母，A=^cy=y/2x-x2j,

，j_、

B<yy=x,则A*5={0}_(2,+oo)。

3.关于九的不等式2"；'>o(QW1)的解集为(2〃,4+1)。

4.函数y=3'T(-1<%<0)的反函数是y=-Jlogsx+1xeQ,1。

5.已知集合A={x[x>2,xe7?},B=,那么命题p"若实数x>2,则

%>-lw可以用集合语言表述为“AcB”。则命题p的逆否命题可以用关于A,8的集合

语言表述为翻口RAo

6.已知关于x的方程[g]=:有一个正根，则实数a的取值范围是(-8,0)。

7.定义在(—1,1)上的奇函数/(x)也是减函数，且/(I—/)+/«+i)<o,则实数/的取值范

围为(—1,0)。

8.若偶函数/(%)在(e,0]单调递减，则满意/(2x-l)</(1)的x取值范围是g<x<|»

9.作为对数运算法则：lg(a+£?)=lga+lg£>(a>0,b>0)是不正确的。但对一些特

别值是成立的，例如：Ig(2+2)=lg2+lg2o那么，对于全部使lg(a+》)=lga+lgb

h

(6Z>0,Z?>0)成立的Q、Z?应满意函数Q=/S)的表达式为。=——3〉1)。

b-1

10.已知函数的图像与函数y=a*(a>l)及其反函数的图像分别交于A、B两点，若

\AB\=^,则实数°为生

11.若函数/(X)=2吐31—log,X+1无零点，则。的取值范围为(省,M)。

12.求“方程(|)*扑1的解”有如下解题思路:设函数小)=(|)，+6,则函数/⑴

在R上单调递减，且/(2)=1,所以原方程有唯一解了=2。类比上述解题思路，方程

f+炉=(2x+3)3+2x+3的解集为{-1,3}o

二、选择题(本大题共有4小题，满分12分)

13.设尸和。是两个集合，定义集合尸—0={小€尸且丑解，假如尸=同抽；<1},

。={小_2|<1},那么P-Q=

(B)

(A)(0,1)(B)(0,1](0[1,2)(D)[2,3)

V+1

14.已知关于x的不等式——<2的解集为P,若1乏尸，则实数。的取值范围为(C)

x+a

(A)(—8,—l]U[0,+8)(B)(-1,0](C)[-1,0](D)(—8,—l)U(0,+8)

15.已知函数丁=/(x)的定义域为[。㈤，{(x,y)|y=/(x),a<x<Z?}n{(^v,y)|x=0}只有

一个子集，则

(A)

(A)ab>0(B)ab>0(C)ab<0(D)ab<0

16.已知/(x)是单调减函数，若将方程/。)=%与/(x)=p\x)的解分别称为函数/(龙)的不

动点与稳定点。则"X是/(X)的不动点"是"X是/(龙)的稳定点”的

(B)

(A)充要条件(B)充分不必要条件

(0必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件

三、解答题(本大题共5题，满分52分)

17.(本题满分8分)已知函数/(%)=%2-2a+1,xe[2,5]有反函数，且函数的最

大值为8,求实数f的值。

解:函数/(x)=%2—2比+1的对称轴为1=/,所以Y2或的5。

若/W2,在[2,5]上单调递增，/(x)1rax="5)=25—10/+1=8,得公|，符合；

若在[2,5]上单调递减，f(x)imx=/(2)=4-4z+l=8,得/=一：，舍。

综上，?=­O

5

18.(本题满分8分，每小题满分各4分)已知集合人=,炉+(〃—1)%—〃>。},

B=[Y|(X+4Z)(X+Z?)>0),其中全集U=R。

(i)若〃>/?>—1,求Ap|jB；

(2)若〃+工£丹4,求实数〃的取值范围。

解：(1)因为所以一a<—Z?vl,故A={x|xV—Q或¥>1},

B-艮工<-a^c>-b\,因此AP|B={,%<-a^)c>1}。

iQ1

(2)={x(x—l)(x+a)WO},由才得(才——)(a2+—+a)0»

解得a=—,或—---Va<——-，所以Q的取值范围是<a-VaV——>。

22222

19.(本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)(3)小题各满分3分)

,/、x2+2|x|/----/、/、

已知/(%)=/_L[g(x)=Jx+2,H(x)=f(x)-g{x}=

A/X+2

(1)写出H(x)的解析式与定义域;

(2)画出函数y=8(x—1)+2的图像;

(3)试探讨方程H(x—1)+2="的根的个数。

,,,\x2+2xgo)

解：⑴H(x)的定义域为{小＞—2},H(x)=x+2x=<

11X2-2X(-2<x<0)

x2+l(x>1)

(2)y=H(x-l)+2=(x-l)2+2|x-l|+2=^图像略。

x~—4x+5(—1<x<1)

⑶机e{2}U[10，+oo)时，方程有一解;

me(2,10)时，方程有两解；机e(—oo,2)时，方程无解。

20.(本题满分12分，每小题满分各6分)

某医药探讨所开发一种新药，在试验药效时发觉：假如成人按规定剂量服用，那么服药后

ax

(0<%<1)

Y2+1

每毫升血液中的含药量y(微克)与时间x(小时)之间满意丁=

(x>l)

4T+1

其对应曲线(如图所示)过点(2,g)。

(1)试求药量峰值(y的最大值)与达峰时间(y取最大值时对应的x值);

(2)假如每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药

,•*x4—>2,0<f(x)<4。

X

2A24-2x_4-2t_4

二当4YUu「口1,十_|_wonAJRdj*9J\A,)-

V-1-X-2X

-4+14「2I一121

—+1——+1-x2+——

4442X

•：2A>2,：.^x2x+^>l,：.0</(x)<4,

...当x=l时，有最大值为％ax=/⑴=4。

(2)•••/(x)在(0,1)上单调增，在［1,+8)上单调减，最大值为4,

/(x)=1在(0,1)和［1,+8)各有一解。

当xe(0,l)时，/(x)=-^=l-解得x=4—巫；

x~+l

r\X+2

当xe［l,+oo)时，/(%)=——=1,解得x=log2(8+2j1?)。

4+1

...当xe［4-JE,log2(8+2V15)］时，为有效时间区间。

有效的持续时间为Iog2(8+2ji5)—(4—厉)。3.85小时。

21.(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)(3)小题各满分5分)

已知/(x)=^~-(aeR)的图像关于坐标原点对称。

2"+1

4

(1)求a的值，并求出函数歹(x)=_y(x)+2,——-——1的零点；

2+1

b

(2)若函数/z(x)=/(x)+2£-Qt在［0,1］内存在零点，求实数匕的取值范围；

(3)设g(x)=log4;^，若不等式/T(x)<g(x)在xe'g］上恒成立，求满意条件的最

小整数左的值。

解：(1)由题意知/(x)是R上的奇函数，所以/'(0)=