2024年高考数学二轮复习：概率小题基础全国(解析版)

专题10-3概率小题基础

热点题型归纳

【题型一】古典概型

【典例分析】

已知数据1,2,3,4,x(0<x<5)的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个，则这2个数字之积大

于5的概率为

A-—5B—2C--5D-—10

【答案】B

【详解】分析：由题意首先求得实数x的值，然后列出所有可能的结果，从中挑选满足题意的结果结合古典

概型计算公式即可求得最终结果.

详解：由数据1,2,3,4,x(0<x<5)的平均数1+2+；+4+X=2+/(2,3),

(1,2),10,3),(1,4),

可得2+右R，所以广。从这5个数中任取2个，结果有：12,目,(2,3),(2,4),共10种，这2个数字

B'3Hi4)(3,4)

之积大于5的结果有：(2,3),(2,4),悖3)1,(3,4),共5种，所以所求概率为。=1=g.本题选择B选

项.

【提分秘籍】

基本规律

事件A包含的可能结果数m

I)试验的所有可能结果数

【变式演练】

1.已知函数“同=$3_5_1)尤2+/无，其中被｛1,2,3,4｝力e｛l,2,3｝，则函数/(尤)在R上是增函数的概率

为

ALBLD—

【答案】D

【详解】试题分析：原命题等价于/'(x)=f-2(a-l)x+/20在R恒成立

=、=二a--不：<口=，&-】『£:二,符合上述不等式的有

(Ll),a2),QD(2n(Z2),(Z3),(32),(3,3),(43)n所求概率？'=白=二，故选D.

2..投掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之积为6的概率等于

A.—B.-C.-D.—

189636

【答案】B

【详解】试题分析：基本事件36种，符合题意的为。,6）,（6,1）,（2,3）,（3,2）共四种，故概率为，

3.笼子中有2只鸡和2只兔，从中依次随机取出一只动物，直到4只动物全部取出.如果将两只兔子中的某

一只起名为“长耳朵”，贝11“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物的概率为（）

AJB-I

【答案】D

【分析】

依据古典概型即可求得“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物的概率；

【详解】把2只鸡记为生,出，2只兔子分别记为“长耳朵，归和短耳朵,

则从笼中依次随机取出一只动物，直到4只动物全部取出，共有如下24种不同的取法：

，（“I，4，"，”），,（〃1，九”，〃2）,（%,力,。2再）

（“Ml，%，。），（“吗，九。2）,（“，。2，。1，力），（”,。2，0，。1）,（“也。1，。2）,

（0,%,%,"）,（/z,1,",%）,（/I,%，％,"），（h,a?,H,aj,（h,H,（h,Hg,%）

其中“长耳朵”"恰好是第2只被取出的动物，则共有6种不同的取法.

则“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物的概率尸W.故选：D

【题型二】几何概型1：长度角度

【典例分析】

147）

在矩形ABC。中在8边上随机取一点尸若AB是八钻尸最大边的概率为了,51（］—=（）

4AD

A.lB.@C.姮D.叵

3288

【答案】D

【分析】在矩形4次力中，取边8的中点为G，则在边8上存在关于点G对称的两点E，尸，使

BE^AF=AB.iS：AB=a,根据概率求出=?，得出边长关系即可得解.

【详解】如图，取边C。的中点为G,则在边8上存在关于点G对称的两点E,F，使==.设

钻=。,因为A3是最大边的概率为!,所以跖咚过点E作硝,则DE=^,EC=言,

44oo

贝丽=/一||/=»,^XAD=EH=^-a,故此叵

64648AB8

故选：D

【提分秘籍】

基本规律

构成事件的区域长度

一试验的全部结果所构成的区域长度

【变式演练】

1.如图所示，两半径相等的圆A，圆8相交，8为它们的公切线段，且两块阴影部分的面积相等，在线段

上任取一点/,则〃在线段EF上的概率为（）

【答案】c

【分析】

根据题意先求出矩形A8CD的面积，从而求出ARE/即可

【详解】设圆的半径为厂,由题意可得5"8=2'9义万/=:万户

4Z

所以A8=；万/+厂，EF=^r-11C1

~—7irx2=2r——兀丫

4)2

EF2-一；仃4

所以P=1__T.故选:C.

AB17i

—7ir

2

2.在区间［0,句上随机地取一个数尤，则事件"-1<tanx<6”发生的概率为

7「2C1D1

A.——B.-

123'3'4

【答案】A

1—lVtanxW道得，OVxV。或予WxW乃

【详解】由题意得，OW万二在

71„371

则事件"-1<tanx<V3”发生的概率为兀一7,故选A.

7i-012

3.任取人卜上,石］,直线＞=可*+2）与圆/+/=4相交于4,8两点，贝［||AB|22/的概率为

A、B-Tc-lD4

【答案】C

【详解】解析：因弦长AB=277丁，故2日京22G，即，而圆心。（。，0）到直线近7+2左=0的

府W+2H十2打阂‘所以（I2蚓L丫,即子也0#也则八半八2瓦所以由几何概型

的计算公式可得其概率为P=\=g,应选答案C.

【题型三】几何概型2：面积

【典例分析】

【提分秘籍】

基本规律

构成事件他区域面积

一试验的全部结果所构成的区域面积

【变式演练】

L古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，

具体方法如下：取线段AB=2,过点B作A8的垂线，并用圆规在垂线上截取BC=：A8=1,连接AC;以

C为圆心，3c为半径画弧，交AC于点D；以A为圆心，以AD为半径画弧，交A3于点EE，则点E即

为线段A3的黄金分割点.如图所示，在RfAABC中，扇形区域ADE记为I,扇形区域C3O记为H,其余

部分记为III在整个图形中随机取一点此点取自I,11口的概率分别记为A,P2R（参考数据：V5«2.236）

则

E

A.片＞鸟B.［＜£

C.4=8+GD.P2=P1+P3

【答案】B

【分析】

由题意结合几何图形的性质考查所给的式子是否成立即可.

【详解】由题意可知：S扇形BCD＞S&BCD=^^/\ABC＞S扇形加6,

故,且鸟”+鸟,

故选项B正确，选项ACD错误；故选B.

2.公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方.如图，以。为圆

心的大圆直径为1,以AB为直径的半圆面积等于AO与BO所夹四分之一大圆的面积，由此可知，月牙形

（图中阴影部分）区域的面积可以与一个正方形的面积相等.现在在两个圆所围成的区域内随机取一点，

则该点来自于阴影所示月牙形区域的概率是（）

A.—B.—1―C.D.且

3万2%+1%+1Ji

【答案】B

【分析】

先求出阴影部分面积，再用几何概型概率公式可得.

【详解】解：阴影部分面积等于g-（*-1仓4,

16162228

1

所以根据几何概型得阴影所示月牙形区域的概率P==占.故选B.

，+21+2。

84

3.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极

致的数学美和丰富的传统文化信息.现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于

正方形的两邻边.若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为

A（3-2在兀B2C◎-20）兀D£

-2-648

【答案】A

【分析】

通过对称性将圆阴影部分面积转化为一个小圆的面积，然后利用小圆半径表示出正方形对角线长，从而求

解出正方形面积和圆的面积，作比得至II概率.

【详解】由图像对称可知，原题中阴影部分面积与下图中阴影部分面积一致，则阴影部分面积为一个小圆

的面积.

设：OB=r,9\OC=AB=r,0A=-j2r

；.AC=(®+l)r=>AD=(2V2+2)r

♦,.正方形面积S=gx(2后+2)乂2应+2)r=(6+4匈产

阴影部分面积S♦万。长=疗2

S'乃户3-2J2反

二所求概率p=w本题正确选项：A

（6+45历）产2

【题型四】几何概型3：体积

【典例分析】

如图来自某中学数学研究性学习小组所研究的几何图形，大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心

且与大球球面有且只有1个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，小球相交部分

（图中阴影部分）记为I,大球内、小球外的部分（图中黑色部分）记为II,若在大球中随机取一点，此点取I,

II的概率分别记为亿，P2,则（）

11

A.A>-B.p2<-C.Pi<P2D.Pi>P2

【答案】c

【分析】

根据题意推知小球半径是大球的一半，建立大球体积小球体积和阴影部分的体积的关系，可推知选项.

43?

【详解】设小球的半径为广，则大球的半径为2r，体积为"丁（2r）3=玄房，

4个小球的体积之和为4x*=+，,小球相交部分的体积匕<$/,

大球内、小球外的部分的体积匕精-匕（g储+匕，

163163

E、3163匕耳"1V耳"1

所以%>可仃，从而P1=£<房一=3,2=工2>房一=3，Pi<Pz'

3V四/2V%一2

33

所以选项4B、。错误，选项C正确.故选：C.

【提分秘籍】

基本规律

构成事件痂勺空间体积

=试验的全部结果所构成的空间体积

【变式演练】

VV

1.在正四面体p-ABC体积为V，现内部取一点s,则g〈KYBC<5的概率为（）

、37「8-91-13

A.B.—C.D.—

2162721627

【答案】A

【详解】作出尸在底面AABC的射影为。，若匕_.=：心极厕高05=（。尸，分别取呐加%上的点

E,D,F,并使PE=E4,PF=FC,PD=DB,如图：

并连结EF,FD,DE厕平面EFD//平面ABC.

当点S在正四面体P-EED内部运动时，即此时S在三棱锥Vp_ABc的中垂面。砂上,

满足匕TBC<^Vp-ABC的点S位于在三棱锥％.ABC的中垂面DEF以下的棱台内，

同理Vs-ABC>^VP-ABC的点S在距离ABC为gop的平面以上的棱锥内，

所以满足।<匕一.<।的棱台体积为1千

VV37y

由几何概型可得：满足可<匕-BC的概率为216_37。故选A

321厂一发

2.某四面体的三视图如下图所示，已知其正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，记命题P：从该

四面体的四个面所在的平面中任取两个，取到的两个平面互相垂直的概率为g；命题平设该四面体的四个

顶点恰好是一个正方体的顶点，从这个正方体中任取一点，取自四面体内的概率为:.则下列命题为真命题

的是（）

正视图侧视图

俯视图

A.。人4B.pv—q)C.JpNqD.(―ip)八(-14)

【答案】C

【分析】

先分别利用古典概型和几何概型的概率判断命题P,q,再利用复合命题判断.

【详解】由题意知，该四面体是正方体的一部分，如图所示.

从四个面中任取两个共有6种取法，其中互相垂直的平面有三对，

31

则从该四面体的四个面所在的平面中任取两个，取到的两个平面互相垂直的概率为"=彳，。是假命题；

62

设正方体的棱长为4，则正方体的体积为/,四面体的体积为=,

326

[3

所以从这个正方体中任取一点，取自四面体内的概率为,q是真命题.

a36

得(Y)Vq是真命题，p/\q,pV(rq),(Y)A(F)都是假命题.

故选：C.

3.如图，三棱锥尸-ABC的四个面都为直角三角形，尸4,平面ABC,PA=应,AC=BC=1,三棱锥尸-ABC

的四个顶点都在球0的球面上，现在球0内任取一点，则该点取自三棱锥P-ABC内的概率为()

A巫B.昱C.正D."

24万16»127r8»

【答案】D

【分析】

求得三棱锥尸-ABC的外接球。的半径，以几何概型即可解决.

【详解】三棱锥尸-ABC中，PAJ_平面ABC,则R4LAB,PALBC

直角三角形A3c中，AC=BC,则AC,3c

又B4_L3c,PAAC=A,贝［j3C_L平面PAC,贝［jBC_LPC

则线段PB中点为三棱锥P-ABC的外接球的球心，

又由PA=及,AC=BC=1,可得PB=2,则三棱锥P-ABC的外接球的半径为1

故在球。内任取一点，该点取自三棱锥P-ABC内的概率为

—X—xlxlx^2

%—ABC=32_________噌故选:D

%o4

【题型五】几何概型4：坐标系型

【典例分析】

甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠4小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求这两艘船中至少有

一艘在停靠泊位时必须等待的概率（）

A25-11〃9「7

A.-B.—C.—D.—

36361616

【答案】B

【分析】

：设出甲乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件同时列出至少有一艘在停靠泊位时必须等待的约束

条件，利用线性规划作出平面区域，利用几何概型概率公式求解.

【详解】设甲到达的时间为X,乙到达的时间为y,贝”,ye[0,24],至少有一艘在停靠泊位时必须等待，

则x-y|<4.如图红线区域内的面积为S―正方形的面积为S所以两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须

【提分秘籍】

基本规律

两个事件之间相互独立的，可以设两个变量，构造坐标系

【变式演练】

1.甲乙两人各自在300米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是多

少

、1„11-15、1

A.—B.—C.—D.—

336366

【答案】B

f0<x<300,,

【详解】设甲乙两人各自跑X和y米，则…八八，若满足题意即x-y450,如图

[0«yK300

则4(0,50),爪250,300),050,0),0(300,250),所以「二上巴方”!°=11，故选B.

-300x300-36

2.国庆节前夕，甲、乙两同学相约10月1日上午8:00到8:30之间在7路公交赤峰二中站点乘车去红山公园

游玩，先到者若等了10分钟还没有等到后到者，则需发短信联系.假设两人的出发时间是独立的，在8:00

到8:30之间到达7路公交赤峰二中站点是等可能的，则两人不需要发短信联系就能见面的概率是

1355

A.-B.-C.-D.-

2496

【答案】C

0<%<一

【详解】试题分析：设两人分别于X时和y时到达约见地点，则｛要使两人不需发短信即可见面，

0<y<—

2

则必需-3尤7<)又两人到达地铁站的所有时刻(％y)的各种可能结果可用图中的正方形内(包括边界)

中的点来表示，两人不需发短信即可见面的所有时刻(x,y)的各种可能结果用图中的阴影部分(包括边界)

y

来表示，所以，所求概率生孕

「故选c-

s正方形—

4

3.近期，新冠疫苗第三针加强针开始接种，接种后需要在留观室留观满半小时后才能离开.甲、乙两人定于某

日上午前往同一医院接种，该医院上午上班时间为7：30,开始接种时间为8:00,截止接种时间为11：30.

假设甲、乙在上午时段内的任何时间到达医院是等可能的，因接种人数较少，接种时间忽略不计.则甲、乙两

人在留观室相遇的概率是（）

,13r36〃1c6

A.—B.—C.—D.一

494977

【答案】A

【分析】

[8<%<11.5,,

由题意，设甲、乙两人的接种时间分别为x,九则”一।,且满足题意即%-y<0.5,

[8<^<11.511

然后画出图形，根据图形可求得结果

【详解】由题意，设甲、乙两人的接种时间分别为X,y

f8<x<11.5।।

叫H15，若满足题意即,一，1<05，

如图,则p_]；x3x3x2J3.故选:A

3.5x3.549

【题型六】几何概型5：线性规划

【典例分析】

x+y-2>0,

在不等式组X->-2wo,所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均大于I

,”2,

的概率是（）

n_"兀—r"一.万

A.—B.4——C.1——D.1——

8284

【答案】C

【分析】画出可行域，如图所示，阴影部分即为所求，利用几何概型公式计算得到答案.

【详解】如图所示：画出可行域，阴影部分即为所求区域.

【提分秘籍】

基本规律

多限制条件，构造线性规划求解

【变式演练】

1.定义：min"［：'：；；在区域内任取一点尸(x,y)，则点尸(x,y)满足

min{2x-y+l,x+y-l}=x+y-l的概率为

4•三B1©JD.\

【答案】A

【分析】

利用几何概型计算公式，求出试验包含的全部事件对应的集合。以及满足条件的事件A对应的面积，即可

求得.

【详解】试验包含的全部事件对应的集合是。叫.|0<x<2，满足条件的事件

0<x<20<x<2

A=<(x,y)\<0<y<3=<(x,y)卜0<y<3>，如图所示，

[2x-y+l>x+y-1x—2y+220

S(Q)=2x3=6,S(心1+2)33,所以「瑞=|何，故选A.

x+y-4>0

2

2.若x,y满足不等式组＜x-2y+4>0，则口成立的概率为

x+1

x<4

11

A.—BC.-D.-

56.1688

【答案】A

【分析】

首先根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，之后再作出直线上7=5,所以满足条件的区域为可

行域内落在直线上的下方的区域，之后分别求出其图形对应的面积，利用概率公式求得结果.

X+15

所以七V：成立的点p（x,y）只能在图中会的内部（含边界）,

所以由几何概型得：成立的概率为沁

X+15，AABC

x+y-l=Ox-2y+l=0x+y—4=048

由』,得44，。）,由』，得544）,由，-2y+4=。,得Ct'?，

2/八2,八

y=-(x+l)1810y=—(x+1)

由’，解得。/得由5、,解得E(4,2),

x+y-l=0x=4

^rlU5MBc=14-1x4=y,5，ADE=1x4-yx2=y,

10

所以*v|成立的概率为率下式，故选A.

3

x-y>0

3.在区域。:x+”6内任取一点P（x,y）,则满足x+y>4的概率为（）

7>0

A.lB.jC1D-

9933

【答案】B

【分析】

根据题意，作出可行域的约束的平面区域，再结合几何概型求解即可.

【详解】解：画出区域。（图中OAB及内部），

区域内满足x+V>4的区域为图中四边形ABDC的内部及边界（不包括CD）,

且OC=4,04=6,CD//AB,

所以△OCD^OAB,所以孑业=

故所求概率尸=S，，C=|.

故选B

【题型七】几何概型6：近似估值应用

【典例分析】

关于圆周率力,数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我

们也可以通过设计下面的实验来估计万的值：先请全校加名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对

（%y）;再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对G，y）的个数J最后再根据统计数。估计乃的值，那

么可以估计%的值约为（）

4aa+2_a+2m4a+2m

A.-B.——C.---------D.----------

mmmm

【答案】D

f0<x<1

【解析】由试验结果知加对。~1之间的均匀随机数尤，y，满足n1,面积为1,再计算构成钝角三角

形三边的数对（x，N）,满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积

比正方形的面积，即可估计万的值.

0<%<1

【详解】解：根据题意知，加名同学取用对都小于1的正实数对(％y),即

0<><1'

对应区域为边长为1的正方形，其面积为1,

x2+y2<1

x+y〉1

若两个正实数Q能与1构成钝角三角形三边，则有

0<x<l

0<y<1

，l....7i1a7i1.„4a+2m,,

其面积s=15;则有；m,解信故选:D.

【变式演练】

L南北朝时期的数学家祖冲之，利用“割圆术得出圆周率%的值在3.1415926与3.1415927之间，成为世界上

第一把圆周率的值精确到7位小数的人，他的这项伟大成就比外国数学家得出这样精确数值的时间，至少要

早一千年，创造了当时世界上的最高水平.我们用概率模型方法估算圆周率，向正方形及其内切圆随机投掷

豆子，在正方形中的80颗豆子中，落在圆内的有64颗，则估算圆周率的值为

A.3.1B,3.14C.3.15D,3.2

【答案】D

4644乃4

【详解】根据题意，由几何概型得。=—=嬴=£，其中正方形面积5="一，所以丁二£，解得万=3.2,

5805445

故选D.

2.为了近似估计兀的值，用计算机分别产生90个在［-1,1］的均匀随机数均中2,…，弱0和%，%，…，为。，在9。组

v<tan-x

数对--中，经统计有25组数对满足｛4，则以此估计的兀值为

(x+I)2+(y-I)2<4

【详解】试题分析：设篇虬・其逾,则直线AB过原点，目阴影面积等于直线AB与圆弧所围成的弓形

貌甘■>«

面积；由图知，的=；■%..-&-犷-,又1，所以二.

*曲:啕9

考点：几何概型.

3.关于圆周率，数学发展史上出现过多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验，受其启发，我们也可以通过设

计下面的试验来估计万的值，试验步骤如下：①先请高二年级八名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对

(无,y)(0<x<l,0<y<l);②若卡片上的x,V能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片

数，记为用;④根据统计数〃，机估计"的值.那么可以估计乃的值约为

,m—n-m-4（〃一机）-4m

A.-B.--------C.-------LD.——

nnnn

【答案】C

由题，先求得实数对（x，y）区域的面积，再求得X，，能与I构成锐角三角形的面积，根据几何概型求得概率,

代入m,n即可求得万的估计值.

【详解】由题意,实数对（用必。<%<1，。<，<1）,即面积为1

ccfO<X<l兀

且卡片上的X,y能与1构成锐角三角形，即满足Y+y2〉i，且所以面积为1-：

[0<y<14

TT

所以％,y能与1构成锐角三角形的概率为：

由题，n张卡片上交m张，即‘=1-彳="=丝二变故选C

n4n

【题型八】几何概型7：导数函数等综合

【典例分析】

设函数〃彳）=次+上7a>1），若。是从0,1,2三个数中任取一个，人是从1,2,3,4,5五个数中任取一个，那么

x-1

/（力>6恒成立的概率是（）

A-B—C—D—

-5-15-52

【答案】A

【解析】【分析】

先把〃x）的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，本题是一个古典概型，试验发生

包含的所有事件是15个，满足条件的事件是9个，即可得出答案.

x-1+l11

【详解】当时，f(x)=ax+^-=ax+-------QXH---------F1

x-1x-1x-1

=a(x-1)H-------+1+a2+1+a=(+1)

当且仅当了=(+I＞间,W"=”，；."XL=(G+I『，

于是f（x）>b恒成立就转化为（&+『>6成立；

当。=0时，/（%）=1+-1->1,设事件A:恒成立”,

X-L

则基本事件总数为15个，即

(0,1),(0,2)(0,3),(0,4),(0,5),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),

(2,3),(2,4),(2,5);

事件A包含事件：(0,1),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5)共9个

o3

所以汽4)=百=『故选：A.

【变式演练】

1.已知⑺都是定义在R上的函数‘8"。,小丑）</”"所方5）,卷+着三,

在有穷数列g,2,・・，10）中，任意取前/项相加，则前左项和不小于fl的概率是

7

A1B."

-55

【答案】C

【详解】令〃3=携=优，则

g（x）

QT

+〃=*=>〃=2或工，〃（x）=于（%1（%）JJ（x）g（二）<0=废]11a<0=〃

22二⑴

5（1-R16310-51

2

■■-Sk=->=1'因此概率为选c.

]，乙O今1u乙

~2

2.已知实数〃2w[0,4],则函数,/■。）=m111》-2/+,在定义域内单调递减的概率为

X

A-IB”C-1D-I

【答案】c

【详解】分析：求出函数〃x）单调递减时机的范围，由几何概型概率公式可得.

H71I

详解：由题意,在x>0时，f\x）=一一4元一二<0恒成立,即7“<4/+_,

XXX

又4f+'=4尤2+；+；23/4尤2-1・；=3,当且仅当4炉=；,即x=1时等号成立，即4Y+，的最小

x2x2x\2x2x2x

值为3,

m<3,从而。金”<3,...所求概率为P=?.故选.

【题型九】几何概型8：微积分型（理）

【典例分析】

如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y=工（x>0）图象下方的区域（阴

X

影部分），从D内随机取一个点M,则点M取自E内的概率为

In2cl-ln2

i.--B.---

22

l+ln22-ln2

：.——D.——

22

【答案】c

:11

【解析]【详解】因为S阴=2xl_J(2__)tZx=2-(2x-lnx)l1=2-[2-(l-ln-)]=l+ln2

£X2，

2

“S阴l+ln2

所以点M取自E内的概率为尸=尚=—.

＞矩2

【提分秘籍】

基本规律

利用定积分求面积算概率，此专题可做了解

【变式演练】

1.如图，在直角坐标系◎中，过坐标原点。作曲线y=短的切线，切点为尸，过点尸分别作工了轴的垂线，

垂足分别为A,8,向矩形OAPB中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为

【答案】A

【分析】

先设出切点尸（如e'。），利用切线过原点求出切点P的坐标，再用积分求出阴影部分的面积，最后用几何概

型求得结果.

xx

【详解】设切点P（%,e'。）,y=e'所以切线方程y—e°=e°（x—x0）,又因为过原点

所以0-e'。="。（0-毛）解得％=1所以点Pd,e）因为y=e'与x轴在围成的面积是J；exdx-e-\

则阴影部分的面积为=而矩形0Aps的面积为e

£,1

故向矩形。W3中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为2_e-2故选A

e2e

2.某数学爱好者设计了一个商标，如果在该商标所在平面内建立如图所示的平面直角坐标系初丫，则商标的

JT7F

边缘轮廓AOC恰是函数y=tan[x的图像的一部分,边缘轮廓线AEC恰是一段所对圆心角为|■的圆弧.若

在图中正方形ABCD内随机选取一点P,则点P落在商标区域内的概率为

万-2D•1