高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）合情推理与演绎推理

第五节合情推理与演绎推理

■他知溟工打牢

1强双基I固本源I得基础分I掌握程度

［知识能否忆起］

—、合情推理

归纳推理类比推理

由某类事物的部分对象具有某些特征,推

由两类对象具有类似特征和其中一类对

出该类事物的全部对象都具有这些特征

定义象的某些已知特征推出另一类对象也具

的推理,或者由个别事实概括出一般结论

有这些特征的推理

的推理

特点由部分到整体、由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理

（1）通过观察个别情况发现某些相同性（1）找出两类事物之间的相似性或一致

一般

质；（2）从已知的相同性质中推出一个明性；（2）用一类事物的性质去推测另一类

步骤

确的一般性命题（猜想）事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）

二、演绎推理

1.定义：从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理

2,特点：演绎推理是由一般到特殊的推理.

3.模式：三段论.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

,①大前提一已知的一般原理；

“三段论”的结构②小前提一所研究的特殊情况；③结论一根据一般原理，

对特殊情况做出的判断

①大前提一〃是8

“三段论”的表示②小前提一s是〃；

③结论一S是P

［小题能否全取］

1.（教材习题改编）命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数

是假命题，推理错误的原因是（）

A.使用了归纳推理

B.使用了类比推理

C.使用了“三段论”，但推理形式错误

D.使用了“三段论”，但小前提错误

解析：选C由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的.

2.数列2,5,11,20,工47,…中的x等于（）

A.28B.32

C.33D.27

解析:选B由5-2=3,11—5=6,20—11=9.

则x-20=12,因此x=32.

3.（教材习题改编）给出下列三个类比结论.

①（36）〃二d7"与（3+6）〃类比，贝IJ有（3+6）〃=石〃十少；

②loga（xy）二logax+logy与sin（。+£）类比，则有sin（。+£）=sinasin£；

③（己+6）2=3+2a6+Z?2与（a+6）2类比,则有（a-^-H）2=a+2a•b+b2.

其中结论正确的个数是（）

A.0B,1

C.2D.3

解析：选B只有③正确.

4.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2,则它们的面积比为1：4.类似地，在空间中，若

两个正四面体的棱长的比为1：2,则它们的体积比为.

1

-sA

电

匕3111

解

析-----X---

友

七1428

-S为

3

答案：1：8

5.（-陕西高考）观察下列不等式

115

1+牙+呼〈予

1117

1+牙+手+产1

照此规律，第五个不等式为..

解析：观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数,

11111272-1*、、

即1+梦+于+不+^+…-,〃22）,

所以第五个不等式为1+（+提+/+（+&〈卷.

―1111111

答案：1+再+『+不+『+『<百

1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用.合

情推理的结论可能为真，也可能为假，结论的正确性有待于进一步的证明.

2.应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提、小前提与推理

形式是正确的，结论必定是正确的.如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的.

...惠频有点要通关抓考点|学技法|得拔高分|掌握程度

归纳推理

典题导入

［例1］（•河南调研）已知函数广（入）=；，5（x>0）.如下定义一列函数：f（X）=f（力,血（X）二

f（fi⑹,%（£）二广（一（+）），…,£（幻=77EN*,那么由归纳推理可得函数£5）的解析

式是£（x）=•

Y

「自主解答］依题意得，f（x）=E，

X

x+2x______x______

£（x）=3X+4=2?-l—x+22'

OA1-4：xXX

/（x）=F—:=E=:-1X+23,…，由此归纳可得£3=2=1x+2〃（x>°）

3^+4+2

x

［答案］2"一1r+2"（x>°）

由题悟法

1.归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围.

2.归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的.

［注意］归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用.

以题试法

1.(-枣庄模拟)将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为()

1

357

911131517

19212325272931

A.809B.852

C.786D.893

解析：选A前20行共有正奇数1+3+5+…+39=20。=400个，则第21行从左向右的第5个数是

第405个正奇数，所以这个数是2X405-1=809.

3类比推理

典题导入

［例2］在平面几何里，有“若玄的三边长分别为a,4c内切圆半径为右则三角形面积为丛胸

=*a+6+c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体相切的四个面的面积分别为S,瓯国,£,

内切球的半径为七则四面体的体积为”.

［自主解答］三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆

半径类比为内切球的半径.二维图形中类比为三维图形中的;，得『四面体."=：(S+$+$+&)「.

［答案］，四面体+S+&+&)r

由题悟法

1.类比推理是由特殊到特殊的推理，命题有其特点和求解规律，可以从以下几个方面考虑类比：类

比定义、类比性质、类比方法、类比结构.

2.类比推理的一般步骤：

(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；

(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).

以题试法

2.若｛aj是等差数列，么n、。是互不相等的正整数，则有：(ZZ7-n)aP+(n-p)a„+(p-ni)a„=O,类

比上述性质，相应地，对等比数歹MAJ,有一

解析：设㈤的首项为氏,公比为q,则¥•6厂•山"

=也/一)…•5；"，也仃')­

=式•q=1.

答案：•机『=\

演绎推理

皿

典题导入

77+2

［例3］数列®｝的前〃项和记为S,已知a=1,ae=TS(〃GN*).证明：

(1)数列是等比数列；

(2)S+i=4a.

Z7+2

［自主解答］(1),「劣+1=S+i-S,劣+1=—

5+2)S=/(S+i-S),即4S+i=2(/?+))S.

^777=2,(小前提)

故是以2为公比，1为首项的等比数列.(结论)

(大前提是等比数列的定义，这里省略了)

_Sn+1Sn-1

(2)由(1)可知1y=4------7(〃,2),

77+1n-i

Sn-177-1+2

••・S+i=4(〃+1)•-----7=4・-----------・S-i=4a(〃22).(小前提)

Xa2=3S=3,=si+a2=1+3=4=4ai,(/卜前提)

对于任意正整数n,都有S+i=4a〃.(结论)

由题悟法

演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么

是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略.

以题试法

3.如图所示，D,E、尸分别是况；CA,46上的点，LBFD="A且DE//BA.求

证：碘=/6（要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把E推理过程用简

略的形式表示出来）./\/\

BDC

证明：（1）同位角相等，两条直线平行，（大前提）

乙"。与乙"是同位角，且乙〃。=44（小前提）

所以加‘〃氏!.（结论）

（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（大前提）

施〃力且勿吆应1,（小前提）

所以四边形/侬为平行四边形.（结论）

（3）平行四边形的对边相等，（大前提）

硕和/尸为平行四边形的对边，（小前提）

所以旗=":（结论）

上面的证明可简略地写成：

乙BFD=AA=^DF//EA\

:今四边形加怩是平行四边形台碘=/£

DE//BAJ

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A级全员必做题

1.推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是（）

A.①B.②

C.③D.①和②

解析：选B由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论.故选B.

2.（•合肥模拟）正弦函数是奇函数，f（x）=sin（f+l）是正弦函数，因此f（x）=$m（戈+1）是奇函

数，以上推理（）

A.结论正确B.大前提不正确

C.小前提不正确D,全不正确

解析：选C因为f（x）=sin（f+l）不是正弦函数，所以小前提不正确.

3.（-泰兴模拟）在平面几何中有如下结论：正三角形46。的内切圆面积为S,外接圆面积为跖则擀

02

1匕

=不推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体9的内切球体积为匕，外接球体积为K,则%=

匕1

解析：选D正四面体的内切球与外接球的半径之比为L：3,故行二万.

V2乙（

4.（•德州模拟）给出下面类比推理（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：

①“若a,6ER,贝1J女一/?=6”类比推出“乃，cEC,贝lj乃一0今a=c”；

②“若a,b,c,dCR,则复数a+6i=c+di0a=c,6=d”类比推出"a,b,c,<7EQ,贝l]a+八「

=c+o\^2=>a=c,b-dn；

③“a,6ER,则a-6>00a>6”类比推出“若a,b£C,贝lja-6>0今a>6”；

④“若xER,贝<1=>-1<X<1”类比推出“若zEC,则|z|<1=.

其中类比结论正确的个数为（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：选B类比结论正确的有①②.

5.观察如图所示的正方形图案，每条边（包括两个端点）有〃GN*）个圆点，第〃个图案中圆

点的总数是S.按此规律推断出S与〃的关系式为（）

A.Sn=2nB.Sn=4n

C.S=2"D.S=4〃-4

解析：选D由〃=2,〃=3,刀=4的图案，推断第〃个图案是这样构成的：各个圆点排成正方形的四

条边，每条边上有〃个圆点，则圆点的个数为S=4〃-4.

6.（-武汉市适应性训练）下列推理中属于归纳推理且结论正确的是（）

22

A.设数列｛a｝的前〃项和为S.由4=2〃-1,求出S=l[S2=2,&=3,•••,推断：S二〃2

B.由_f（x）=xcosx满足f｛-x）--_f（x）对VxER都成立，推断：f（x）=xcosx为奇函数

C.由圆/+/二步的面积S=兀步,推断：椭圆=+1（女>A>0）的面积S二五ab

au

D.由（1+1）2>2：（2+1）2>22,（3+l）2>23,推断：对一切〃GN*,（??+1）2>2"

解析：选A选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列｛a,｝是等差数列，其前n项和等

n1+2/7—1

于S=-------------=〃，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确.因此选A.

11

-+-+135

7.(-杭州模拟)设n为正整数，f®23+-,计算得f(2)=,r(4)>2,A8)>-,『(16)>3,

观察上述结果，可推测一般的结论为.

77+2

解析：由前四个式子可得，第〃个不等式的左边应当为H2"),右边应当为丁，即可得一般的结论

77+2

为f(2")

z?+2

答案：F(2")》一^

8.(-陕西高考)观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

照此规律，第〃个等式为

解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第〃行最左侧的数为n；每行数的个数分别为1、3、5、…,

则第〃行的个数为2〃-1.所以第〃行数依次是久〃+1、〃+2、…、3A-2.其和为〃+5+1)+5+2)+…

+(3/7-2)=(2〃-1)

答案：n+5+1)+5+2)+•••+(3/7-2)=(2/7-I)2

9.(•杭州模拟)在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形,

按图所标边长，由勾股定理有：/=—+•.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方

体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥。-£网如果用S,S,£表示三个侧面面积，&表示截面面积，那

么类比得到的结论是.

解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得«+$+&=

答案：

10.平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和

大于第三边；（2）三角形的面积S=^X底义高；（3）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的B；……

请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论.

解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：

（1）四面体的任意三个面的面积之和大于第.四个面的面积；

⑵四面体的体积广（义底面积乂高；

（3）四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的|

11.定义”等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数

列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列{aj是等和数列，且4=2,公和为5.

⑴求a8的值；

（2）求该数列的前〃项和S.

解：⑴由等和数列的定义数列是等和数列，且d=2,公和为5,易知初7=2,瓯=35=1,2…）,

故318=3.

（2）当〃为偶数时，

S„=ai+ai+•••+an=（ai+as++a„-i）+（a2+&+,,,+a〃）

5

=2+2+—++3+3+…+驿3=-n；

当〃为奇数时，

5.51

Sn=S„-i+a„=-^{n-1）+2=-7?--

-5

.〃为偶数，

综上所述：s

5〃n为奇数.

12.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这

些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相

同），设第n个图形包含个小正方形.

⑴求出H5）的值；

（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（〃+l）与『5）之间的关系式，并根据你得到的关系式

求出f(n)的表达式；

⑶求『1+yi—―+Fl——+…+*二―M的值•

解:⑴f⑸=41.

(2)因为A2)-AD=4=4X1,

r(3)-f(2)=8=4X2,

f(4)-A3)=12=4X3,

f(5)-f(4)=16=4X4,

由上式规律，所以得出『5+1)-f®=4〃.

因为f(.n+1)-f{n)=477,

所以f(n+1)=f(〃)+4/7,

/(77)=f(n-1)+4(〃-1)

=f(n-2)+4(77-1)+4(77-2)

=f(n-3)+4(/?-1)+4(/?-2)+4(77-3)

⑴+4(/7-1)+4(77-2)+4(〃-3)+-+4

=2n-2/7+1.

⑶当〃22时，

i1=1-3

fn-127777-12v/7-1n'

1111

,---------+---------------+--------------+・・・+---------------

''f1f2-1/3-1fn-1

11111

++

-2-2--3-3--4-

31

2~2n,

B级重点选做题

1.(•江西高考)观察下列各式：石+6=1,才+9=3,a+I)=4,a+I)=7,a+b5=ll,•­­,则

A.28B.76

C.123D.199

解析：选C记a"+6"=f5),则f(3)=AD+A2)=1+3=4；f(4)=f(2)+A3)=3+4=7；f(5)

=A3)+f(4)=11.通过观察不难发现F5)=f(n-1)+/(〃-2)SEN*,〃》3),则f(6)=f(4)+f(5)=18；

f(7)=f(5)+r(6)=29；f(8)=f(6)+f(7)=47；『⑼=f(7)+f(8)=76；f(10)=f(8)+f(9)=123.所

以a、+庐=123.

2.对于命题：若。是线段四上一点，则有|OB|•OA+|OA|•。5=0.

将它类比到平面的情形是：

若。是△/6C内一点，则有SAOBC*OA+St^OCA,OB+S\OBA,OC=0,将它类比到空间情形应该是：

若。是四面体ABCD内一点，则有.

解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积,

因此依题意可知若。为四面体/及/内一点，则有Vo-BCD•OA+Vo-ACD,OB+Vo-ABD,OC+Vo-ABC•OD—

0.

答案：%-BCD*OA+Vo-ACD*OB+Vo-ABD*OC+Vo-ABC*OD—0

3.(-福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

(1)sin213°+COS217°-sin13°cos17°；

(2)sin215°+COS215°-sin15°cos15°；

(3)sin218°+COS212°-sin18°cos12°；

(4)sin2(-18°)+COS248°-sin(-18°)cos48°；

(5)sin2(-25°)+cos2550-sin(-25°)cos55°..

(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

解：(1)选择⑵式，计算如下：

sin215°+COS2150-sin15°cos15°=1一;sin30°

13

-4--4-

3

⑵三角恒等式为sir?a+cos?(30°-a)-sina•cos(30°-

证明如下：

法一：sin2a+cos2(30°-a)-sinacos(30°一。)

二sin2a+(cos30°cosQ+sin30°sin-sina(cos30°•cosQ+sin30°sina)

32^3.1.2^3.1.2

=sina+-cosa+-^-sinacosa+-sina--^-sinacosa--sina

33

=7sin2Q+-cos2a

44

_3

=?

法二：sin2a+cos2(