2024年中考数学复习考前专项训练：二次函数综合（相似三角形问题）

2024年中考数学复习考前专项训练一一

二次函数综合（相似三角形问题）

1.如图，以。为顶点的抛物线＞=-；/+法+。交X轴于A、B两点,交y轴于点C,直线

BC的表达式为y=-x+6.

⑴求抛物线的表达式；

⑵在直线8C上存在一点P,使PO+PA的值最小，求此最小值；

（3）在x轴上是否存在一点0,使得以A、C、。为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请

求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

3一

2.如图，已知抛物线y=1x2+bx+c与坐标轴父于A、B、C三点，A点的坐标为（一1,

3

0）,过点C的直线y=^x—3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点，过P作PH_LOB

于点H.若PB=5t,且

（1）填空：点C的坐标是b=_,c=_；

（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与ACOQ相似？若

存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由.

3.如图，一次函数＞=-无+3的图象与x轴和y轴分别交于点8和点C,二次函数

y=-/+6x+c的图象经过8,C两点，并与x轴交于点A.点是线段上一个动

点(不与点。、2重合)，过点M作无轴的垂线，分别与二次函数图象和直线BC相交于点。

备用图

(1)求这个二次函数的解析式.

(2)①求。E、CE的值(用含小的代数式表示).

②当以C,D,E为顶点的三角形与AABC相似时，求相的值.

(3)点尸是平面内一点，是否存在以C,D,E,尸为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接

写出点M的坐标;若不存在，请说明理由.

点8的横坐标为2.

(1)求A、C两点的坐标和抛物线的函数关系式;

(2)点。是直线AC上方抛物线上任意一点，P为线段AC上一点，且SAPC£)=2SAB4。，求

点P的坐标;

试卷第2页，共8页

(3)如图2,另有一条直线y=一尤与直线AC交于点M,N为线段。4上一点，/AMN=

NAOM.点。为x轴负半轴上一点，且点。到直线和直线M。的距离相等，求点。的

坐标.

5.已知抛物线yn-V+^+c与直线/交于A,8两点，坐标分别为A。,2),B(5,-2).

7

6

5

4

X

3

2

1

(2)若将直线/沿着y轴向上平移〃?(机＞0)个单位，平移后的直线与抛物线有且只有一个交点,

求m的值；

(3)如图，若点C是位于直线48上方抛物线上一点，过点C作直线/'直线，求直线/'与直

线/之间距离的最大值.

6.如图，二次函数y=办2+6x+c的图象与x轴交于两个不同的点A(-2,0)、B(4,0),

与y轴交于点C(0,3),连接BC、AC,该二次函数图象的对称轴与X轴相交于点D.

(1)求这个二次函数的解析式、

(2)点D的坐标及直线BC的函数解析式；

(3)点Q在线段BC上，使得以点Q、D、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出点Q的

坐标；

(4)在(3)的条件下，若存在点Q,请任选一个Q点求出ABDQ外接圆圆心的坐标.

7.如图，二次函数)=加+法+4(0工0)的图象与直线40：，=6+6交于人(<0)、

(1)请直接写出关于x的不等式℃?+6尤+4>区+6的解集：;

⑵求二次函数表达式；

⑶点E是线段(包含A,8)上的动点，过点E作x轴的垂线，交二次函数图象于点P,

交直线AM于点N、若以点尸，N,A为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点尸

的坐标；若不存在，请说明理由.

8.如图已知点A(-2,4)和点B(1,0)都在抛物线y=mx2+2mx+n上.

(1)求m、n；

(2)向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A，，点B的对应点为B，，若四边形A

A，B，B为菱形，求平移后抛物线的表达式；

(3)记平移后抛物线的对称轴与直线AB，的交点为点C,试在x轴上找点D,使得以点B\

C、D为顶点的三角形与△ABC相似.

9.已知矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为4(6,0),

C(0,3),直线y=+：与边8C相交于点D

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⑴求点D的坐标；

(2)若抛物线丫=依2+泳(。70)经过4、。两点，试确定此抛物线的解析式；

(3)在(2)中的抛物线的对称轴与直线AD交于点点尸在对称轴上，且与△A3。

相似，求点尸的坐标.

10.如图，抛物线y=-2奴-3。(a为常数，a<0)与x轴分别交于A,B两点(点A在

点8的左侧)，与y轴交于点C,且OB=OC.

⑴求a的值；

(2)点。是该抛物线的顶点，点、P(m,“)是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接8。、

BC、CD、BP,当时，求机的值；

(3)点K为坐标平面内一点，DK=2,点M为线段8K的中点，连接AM,当AM最大时，求

点K的坐标.

11.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a%2+6x+c(awO)的图像经过点B(4,0)、

0(5,3),设它与x轴的另一个交点为A(点A在点B的左侧)，且△的)的面积是3.

(1)求该抛物线的表达式和顶点坐标；

(2)求mAB的度数；

(3)若抛物线与y轴相交于点C,直线8交X轴于点E,点尸在线段AD上，当YAPE与

相似时，求”的长.

y个

•D

—1--1・-------->

0_Bx

12.如图，抛物线广加+法+3("0)经过x轴上A(-LO)、2两点，抛物线的对称轴是直

(1)求抛物线的函数表达式；

⑵抛物线与直线产-xT交于A、E两点，与y轴交于点C.点P在x轴上且位于点8的左

侧，若以尸，B,C为顶点的三角形与，ABE相似，求点尸的坐标；

⑶尸是直线BC上一点，。为抛物线上一点，是否存在点尸，使得A,E,D,尸四点组成的

四边形是矩形？若存在，请直接写出点尸的坐标，若不存在，请画图说明理由.

13.如图，抛物线〉="犬+人龙-3交x轴于A(—3,0),3(1,0)两点，与,轴交于点C.连接AC,

BC.

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图1图2

(1)求抛物线的解析式；

⑵如图1,点尸为抛物线在第三象限的一个动点，尸河，x轴于点M,交AC于点G,

/>£_14。于点后，当PGE的面积为1时，求点P的坐标；

(3)如图2,若。为抛物线上一点，直线0Q与线段AC交于点N,是否存在这样的点Q,使

得以A,O,N为顶点的三角形与ABC相似.若存在，请求出此时点。的坐标；若不存在，

请说明理由.

14.在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数的图像经过原点及点A(1,2)

与x轴相交于另一点B(3,0),将点B向右平移3个单位得点C.

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、点M在线段0C上，平面内有一点Q,使得四边形ABMQ为菱形，求点M坐标；

(3)、点P在线段0C上，从0点出发向C点运动，过P点作x轴的垂线，交直线A0于D

点，以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF(当P点运动时，点D、点E、点F也随之运

动)；

①当点E在二次函数的图像上时，求0P的长；

②若点P从。点出发向C点做匀速运动，速度为每秒1个单位长度，若P点运动t秒时，

直线AC与以DE为直径的。M相切，直接写出此刻t的值.

15.抛物线y=o？+2x+3(a0)交x轴于A、B两点，交y轴于点C