2024年高中数学学业水平考试分类汇编：三角函数

专题05三角函数

考点一：任意角和弧度制

1.（2022春•天津）360°化为弧度是

TI3"-

A.-B.乃C.—D.27r

22

【答案】D

【详解】因为;r=180°,所以2万=360°,故选D.

2.（2021,贵州）若sina>0,且cosa<0,则角a是

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】B

【详解】试题分析：直接由三角函数的象限符号取交集得答案.

解：由sina>0,可得a为第一、第二及y轴正半轴上的角；

由cosa<0,可得a为第二、第三及x轴负半轴上的角.

•••取交集可得，a是第二象限角.

故选B.

考点二：三角函数的概念

1.（2023•北京）在平面直角坐标系中，角a以。为顶点，以。x为始边，终边经过点（T/），则角a

可以是（）

nn八3兀

A.—B.—C.—D.兀

424

【答案】C

12

【详解】由题意tana=、■=-1,并且点（-1,1）在第二象限，=］7r；

故选：C.

2.（2023•江苏）已知角夕的终边经过点尸（2,-1）,贝ijsina=

A.—B.--C.—D.-

555

【答案】B

【详解】解：角a的终边经过点尸（2,-1）,

-1V5

故选B.

1

3.（2023春•浙江）已知点（26,-2）在角。的终边上，则角。的最大负值为（）

57i2兀—兀c5兀

AA.一~-B.-------C.D.—

6363

【答案】C

—2jr

【详解】由题意可知点在第四象限，且tana=—=-土，所以a=」+2foi#eZ,

2V336

故当4=0,a=-3此时为最大的负值，

故选：C

4.（2023春•湖南）设角a的终边与单位圆的交点坐标为，贝（jsina=

【答案】C

【详解】由题意得sinc=-^y

V4+4

故选：C

5.（2023・广东）已知角a的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过E（1,G）,贝Utane的

值为（）

A.—B.—C.YD.V3

232

【答案】D

【详解】由题意tana=^=百.

故选：D.

6.（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，角a以。x为始边，它的终边经过点（4,3）,贝ijcosa=（）

4433

A.——B.-C.——D.-

5544

【答案】B

【详解】解：,••角a以Ox为始边，终边经过点（4,3）,

故选：B.

7.（2022秋•福建）在平面直角坐标系中，角。的顶点与坐标原点重合，始边与工轴的非负半轴重合，终

34

边交单位圆于。点

555

⑴求sin(»-a)的值;

⑵求tan?+a的值.

4

【答案】⑴M

⑵-7

4

454二.sin(九一a)=sina=g

【详解】(1)由题意，sina=一,tancc——

5J3

5

n14

tan——Ftana1+—

(2)tanl+45

—-JC--=-4=4-7

I-tan—tana1----

43

、471

综上，sin(7i-6Z=—,tan—Fa=—7

754

考点三：同角三角函数基本关系

4

1.(2022春・辽宁)已知sin6=g,且。为第二象限角，贝I」cos6=().

31-13

A.一一B.—C.—D.-

5555

【答案】A

【详解】解：因为sin9=[,且。为第二象限角，

_______o

所以cos0<0,cos0=-Vl-sin20=--

故选：A

一3

2.(2022秋•福建)已知sina='，且。为第一象限角，贝！Jcosa=()

44—3

A.—B.—C.—D.一

554

【答案】A

3I-----------4

【详解】因为。为第一象限角，sina=7所以cosa=Jl-sin?。=不

故选：A.

4

3.(2022秋•广东)已知。是第一象限角，且sina=《，贝(jcosa=()

3

4

D.

3

【答案】B

【详解】因为。是第一象限角，则cosa=「sin2a..

故选：B.

4.（2022春•广西）已知cosa=——,tana=l,则sina=（）

2

5

A.-B.—C.-D.

3279

【答案】B

【详解】sina=cosaxtana=-x1=.

22

故选：B

（春•贵州）若角是锐角，且，则

5.2022esintz='cosa=)

2

V3

A.yB.-；C.--D.

222

【答案】D

1q

【详解】因为sina=—,可得cos2a=1-sin?a=—,

24

又因为角a是锐角，可得cosa>0,所以cosa=3.

2

故选：D.

4

6.（2021秋•吉林）已知sina=1,且。为第二象限角，贝（Jcosa的值为（）

443

A.-B.—C.D.一

555

【答案】D

【详解】a为第二象限角,则cosa=-Jl-sin2a3

故选：D

7.（2021秋•福建）已知cosa=1，戊£（0,»）,贝!Jsina=()

3334

A.—B.一一C.D.

4545

【答案】D

4

【详解】因为cosa=-,1£（0㈤,sin2a+cos2a=1,sin«>0,

所以sina=Jl-cos2a=3

故选：D

3

8.(2021・湖北)已知sin8=-丁且。为第四象限角，则tan"()

4433

A.-B.一一C.-D.一—

3344

【答案】D

344

【详解】解：因为sin8=-『sin2^+cos2^^b所以cos6=±『因为。为第四象限角，所以小。=丁

故选：D

9.（2021秋•广西）已知sina="

2

【答案】B

【详解】由题意可得：tana=空Qin巴(y=1

coscr

故选：B.

4

10.(2021春・贵州)已知角。是锐角，且sina二丁贝"osa=()

33-44

A.-B.一一C.—D.—

5555

【答案】A

【详解】解：因为sina=§且角。是锐角，所以cosa>0,所以cose=Jl-sin%=

故选：A

4

11.(2021秋•贵州)若a是第一象限角，且cosa=《，贝ljsini=()

A.-B.1C.YD.—

522

【答案】A

4

【详解】因为。是第一象限角，且cosa=g,

5

所以sina=J1—cos2a=163

255

故选：A

7

12.（2021秋•贵州）若。第三象限角，且sina+cosa=-1,贝I]sina-cosa=）

【答案】D

【详解】因为。第三象限角，所以sini<0,cosiv0,

7

因为sina+cosa=-1,且sin?a+cos2a=1,

f.3r.4

sma=——sina=——

;或《5

解得《

3

cosa=——cosa=——

1515

贝!]sina-cosa=±-.

故选：D.

13.（2023•河北）若3cos2a+10cosa=1,贝！Jcos2a+cosa=（）

4

A.B.-1D.1

9

【答案】A

【详解】由题意可知3（2cos2a-l）+10cosa=l,令/=cose,，e,贝！J3〃+5,-2=0

1234

解得，=§/=一2（舍），故cos2i+cosi=2co$a-l+cosi=2?+/-]=§+§—1=-§

故选：A

/〜什、「心-eisina+2cosa/、

14.（2023•江苏）已知tana=—3,则一---------二（）

sina—cosa

7

D.

2

【答案】B

【详解】由题意tana=-3,可知cosawO,

.sina+2cosatana+2—3+21

则n一---------

sma-cos6Ztana—\-3-14'

故选：B

15.（2023•云南）已知sina=3cosa,贝ijtana=（）

6

A.—B.一3CD.3

3-I

【答案】D

cin(y

【详解】因为sina=3cosa,所以tana=-------=3.

cosa

故选：D

3

16.(2022春•天津)已知cosa=-一,

4

(1)求sina,tana的值;

(2)求sin2a的值.

【答案】⑴sina=——，tana=------

43

(2)sin2a=-

【详解】（1）因为兀,所以sina>0,

3________

又因为cosa=---,所以sini=Jl-cos2a==V7

44

V7

sma

所以tana=------4-

cosa33

4

3

(2)因为cosa=sina=----

44

所以sin2a=2sinacoscr=2x——x

4

考点四：诱导公式

1.(2023•北京)已知sina=；,则sin(-a)=()

A.--B.1C.--D.—

2222

【答案】A

【详解】由诱导公式得sin(-a)=-sine,

因为sina='，所以sin(-a)=-sin6z=,

2v72

故选：A.

2.(2023•河北)若sina=；,ae^,Ti\,则cos(—a)=()

7

口・李

【答案】c

【详解】因为sina=；,且所以cosa=-Ji-sin2a=--------,

4

又因为cos(—a)=cosa,所以cos(—a)=—号-,

故选：C.

3.(2023春•新疆)sin210°=()

A.--E

2

c.--r

2

【答案】A

【详解】由诱导公式可知，sin2100=sin(180°+30°)=-sin300=-1.

故选：A

4.(2022U匕京)sin(-45°)=()

1

A.—B.--Jc-2D.——

222

【答案】B

V2

【详解】㈠。)=-。=-

sin5sin45V

故选：B

5.(2022秋•浙江)已知贝|JCOS(7T-Q)=()

A.sin。B--sin。C.cosaD.-cosa

【答案】D

［详解】因为cos(»—a)=—cosa,

故选：D.

..4

6.(2022•湖南)已知sina二1,则sin(1一a)=()

334

A.一一B.—c.--D.-

5555

【答案】D

44

【详解】解：因为sina二大,则sinQ—a)=sina=).

8

故选：D.

7.(2022春•广西)若tana=；,则tan(-a)=

A.--B.—c.D.

231~4~5

【答案】C

【详解】tan(—a)=—tana=—.

故选：C

8.(2021春・福建)sin(I-a)等于()

A.-sinaB.sinac.,-cosaD.cosa

【答案】B

【详解】sin(^-a)=sintz.

故选：B

9.（2021秋•广东）已知cos（T—a［二；

，则:sina=()

_V|

A.；B.-yc.D.

22,2一~T

【答案】A

1

【详解】解：因为cos（5-a）

F

所以sina=—

2

故选：A

10.(2021秋•广西)已知COS(-6Z)=,贝Icosa=()

ASBS「V7D,“

L•----

3456

【答案】B

=且

【详解】因为cos(—a)=贝1Jcos(—a)=cosa

一丁

故选：B.

11.(2021秋•青海)cosl---1=()

A.--B.--C.D

22T-f

【答案】A

9

■、辛々刀、（197（.7l\（7l\兀3

[6）6I6）\6）62

故选：A

考点五：三角函数的图象和性质（周期）

1.（2023春•福建）已知/（x）=cosx+l,xeR,则/⑴的周期为（）

兀„3K-

A.—B.兀C.—D.2兀

22

【答案】D

【详解】〃x）=cosx+l的最小正周期为：7=271.

故选：D.

2.（2023春•湖南）下列函数中，最小正周期为1的偶函数是（）

A.v=sin%B.y=sin2xC.V=cosxD.y=cos2x

【答案】D

【详解】由正弦函数与余弦函数的性质可知V=sinx,y=sin2x为奇函数，

y=cosx,y=cos2x为偶函数，故A,B错误，

、=cosx的最小正周期为2%，y=cos2x的最小正周期为左，故C错误，D正确，

故选：D

3.（2023•云南）若函数"x）=sinox的最小正周期为兀，则正数。的值是

A.1B.1C.2D.4

【答案】C

【详解】因为函数〃x）=sins的最小正周期为兀

所以。=2=2=2

T71

故选：C

4.（2022秋•福建）函数〉=sin2x的最小正周期是（）

兀

A.—B.〃C.2兀D.4»

2

【答案】B

【详解】解：由函数＞=sin2x,

则最小正周期T=言=〃.

故选：B.

5.（2022春・贵州）函数/（x）=3sinx,xeA的最小正周期是（）

10

【答案】C

【详解】由题意，函数/'(x)=3sinx,xeR

根据正弦型函数的周期的计算公式，可得函数/(X)的最小正周期为7=千=2%.

故选：C.

6.(2021春•福建)函数＞=tanx的最小正周期是()

A.—B.乃C.~r~D.2兀

22

【答案】B

【详解】解：函数V=tanx的最小正周期是万；

故选：B

7.(2021秋•河南)函数y=sin(2x+1^是()

A.周期为2万的奇函数B.周期为2万的偶函数

C.周期为万的奇函数D.周期为万的偶函数

【答案】D

【详解】y=sin=cos2x,T==n.

设/(x)=cos2x,定义域为R,

f(-x)；=cos(-2x)=cos2x=f{x),所以y=cos2x为偶函数.

故选：D

8.(2023•北京)已知函数/(x)=l+sin2无.

⑴求〃力的最小正周期；

(2)求/(尤)的最大值，并写出相应的一个x的值.

【答案】⑴兀;

(2)最大值为2,相应的一个x的值为二.

【详解】(1)因为/(无)=l+sin2x,

所以〃x)的最小正周期7=方=兀；

(2)因为〃x)=l+sin2x,

TTTT

当2x=—F2ATI,keZ,即％=——Fku,左£Z时，sin2x有最大值1,

24

所以/(x)=l+sin2x的最大值为2,止匕时％=：+左兀，左£Z,

11

jr

故相应的一个X的值可取丁.

4

h1

9.(2023春,新疆)已知函数/(x)=5-sin2x+,cos2x+l.

⑴求/(x)的最小正周期T；

⑵求〃x)的最小值以及取得最小值时x的集合.

【答案】⑴兀

⑵〃X)mm=0；1x|x=-：+MeZ,

【详解】(1)由f(x)=^-sin2x+—cos2x+1得/(x)=sin(2x+5+l+

226

所以T=g=兀；

(2)由(1)知/(x)min=—1+1=°，此时2%+工=一二+2E,即X=—4+fal,左EZ,

623

故X的集合为卜|尤=一1+左兀，左€zj.

10.(2022•北京)已知函数/(x)=sin[x-1^.

(1)写出/(X)的最小正周期；

7T

⑵求/(X)在区间0,-上的最大值.

【答案】(1)2万

*

27r

l)/(x)的最小正周期为：T=1=2兀.

(2)因为04x4g,所以一当=即x=g时，〃x)取得最大值;.

23363622

11.(2022秋•浙江)已知函数/(%)=3sin(2x+£),xw&.

⑴求/'(0)的值；

(2)求〃x)的最小正周期.

【答案】(呜3

⑵兀

JT

【详解】(1)/(X)=3sin(2x+—),XER,

12

JT3

・・・/(0)=3sin—=_

62

■rr

(2)*.*/(x)=3sin(2x+—),XGR,co=2,

6

.••/(工)的最小正周期7='=兀

CD

12.(2021•北京)已知函数/(%)=sin2x.

⑴求/(%)的最小正周期；

(2)求/'(x)在区间[0,?]上的最大值及相应x的值.

【答案】(1)7=下

⑵1，

777

【详解】(1)解：因为/(无)=sin2x,所以函数的最小正周期7=彳="；

(2)解：因为尤e0,?,所以2xe0,1,所以sin2xe[0,l],当且仅当2x=],即尤=?时函数取得最

大值/(人口；

13.(2021秋•吉林)已知函数〃x)=sin2x+cos2x.

⑴求函数〃x)的最小正周期；

(2)求函数/(x)的最大值及取得最大值时自变量x的集合.

【答案】(1)兀

(2)/(X)的最大值是收，此时自变量x的集合为卜|X=ATI+$后ez1.

【详解】(1)/(^)=sinlx+cos2x=41sin^2x+^,

所以的最小正周期？=竽=兀.

(2)由(1)得/(x)=0sin[2x+《],

所以当2x+；=24兀+^^=左兀+三0€Z)时，/(x)取得最大值C,

42o

此时自变量工的集合为卜|%=E+1,左cz1.

14.(2021春•浙江)已知函数/(%)=百cos2x+sin2x,xeR.

(I)求/(0)的值；

13

(II)求/(X)的最小正周期；

(III)求使〃尤)取得最大值的X的集合.

【答案】⑴V3;(II)兀；(III)^x\x=kn+^,keZ

【详解】(I)因为/(x)=Gcos2x+sin2x=2sin^2x+

所以/(O)=2sinm=JL

(II)因为/(x)=2sin(2x+g),

所以,7年27r兀，

所以，的最小正周期为九

(III)因为/(x)=2sin(2x+3,

所以/(尤)的最大值为2.

当且仅当2》+1=2版+]时，即x=®+2(左eZ)时，“X)取得最大值，

所以使/⑺取得最大值的x的集合为卜|x=E+壬丘Z，.

15.(2021秋,浙江)已知函数/(x)=*sin[x+?]+gcos]xq),xeR.

(1)求/[g]的值；

(2)求函数/(x)的最小正周期；

27r

(3)当xe0,y时，求函数〃x)的值域.

【答案】(1)(2)2%；(3)[0,1].

2

〃x)=3sm.+0+Los(x+丸sin(x+空文sm(x+勺

(2)

2I6J2II66jI3)

故/(x)的最小正周期7=2%.

27rTC7i

(3)因为0,-^-,所以％+]£—,7T

14

当％+(=即1=$时，/(x)min=sin^-=0；

当x+g=9,即x=£时，/«ax=l,

326

24

故/(X)在0,—上的值域为［0』］.

考点六：图象变换

JT

,⑵23・河北)将函数『g+cm的图象向右平移彳个单位长度，所得图象的函数解析式可以是()

A.y=V2cos2xB.y=V2sin［2x--

I4

C.y=V2cos^2x-^-D.y=V2sinJ2x+—

I4

【答案】B

【详解】由y=sin2无+cos2x可得〉=A/2sinf2x+：

将其图象向右平移:个单位长度可得V=V^sin2卜-=6sin(2%-J.

故选：B

2.(2023•江苏)要得到函数y=2sin[x+1^的图象.只需将函数》=2sinx的图象()

A.向左平移?个单位B.向右平移。个单位

C.向左平移5个单位D.向右平移9个单位

66

【答案】A

【详解】根据相位变换的左加右减有：y=2sinx向左移动(个单位得到y=2sin(x+g),

故选A.

JT

3.(2023春•福建)已知〉=sinx,则〉=sinx上的所有点全部向右移动7个单位的函数解析式是()

6

.z兀、•/兀、

A.=sm(x+—)B.y=sin(x——)

66

C.y=sin(x+y)D.y=sin(x-j)

【答案】B

【详解】把"sinx上的所有点全部向右移动自IT个单位的函数解析式是＞=sin(x-今IT.

66

15

故选：B

4.(2023•广东)要获得/(x)=sin(x+1；只需要将正弦图像()

A.向左移动9个单位B.向右移动9个单位

66

C.向左移动£Jr个单位D.向右移动B7T个单位

OO

【答案】A

【详解】把〉=$山》的图象向左平移二个单位，所得图象的函数解析式为y=sin(x+J).

66

故选：A.

5.(2022春・天津)为了得到函数y=cos(x-］］,xeR的图像，只需将余弦曲线上所有的点()

A.向左平行移动:个单位长度B.向右平行移动三个单位长度

33

C.向左平行移动;个单位长度D.向右平行移动(个单位长度

【答案】B

【详解】将＞=cosx图像所有的点向右平移三个单位长度，得到y=cos］x-Wj图像，

即为了得到函数了=。。$］》-；)xeR的图像，只需将余弦曲线上所有的点向右平行移动方个单位长度.

故选：B

6.(2022•山西)将函数外)=划上4］的图象向左平移。个单位，得到函数了=g@)的图象，那么下列

说法正确的是()

A.函数g(x)的最小正周期为2万B.函数g(x)的图象关于点对称

C.函数g(x)为奇函数D.函数g(x)的图象关于直线x=］对称

【答案】C

【详解】由题意得：g(x)=/(x+?j=cos(2r+'=cos(2r+?=-sin2x；

对于A,g(x)的最小正周期7=母=万，A错误；

对于B,当》==时，2尤=9，/jo］不是g(x)的对称中心，B错误；

126V12)

对于C,vg(-x)=-sin(-2x)=sin2x=-g(r),，g(x)为奇函数，C正确；

16

对于D,当x=9时，2x=%,.•.x=3不是g（x）的对称轴，D错误.

故选：c.

7.（2022秋•浙江）为了得到函数y=cos（x-£|的图象，可以将函数y=cosx的图象（）

A.向左平移g个单位长度B.向右平移£个单位长度

33

C.向左平移g个单位长度D.向右平移;个单位长度

【答案】D

【详解】函数y=cosx中的X替换为X-；,可得到函数y=cos[x-£|,

因此对应的图象向右平移移;个单位长度，可以将函数y=co&x的图象变为函数了=。。$□-:的图象,

故选：D

8.（2022秋•福建）为了得到函数y=sin[+qj+l的图象，只需把函数y=sinx的图象（）

A.向右平移（个单位长度，再向上平移1个单位长度

B.向右平移1TF个单位长度，再向下平移1个单位长度

C.向左平移事个单位长度，再向上平移1个单位长度

D.向左平移g7T个单位长度，再向下平移1个单位长度

【答案】C

【详解】要得到函数y=sin[+g）+l,

需把函数^=51批的向左平移TT:个单位长度，再向上平移1个单位长度，

故选：C

9.（2022・湖南）将〉=$皿》+鸟的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，则得到的新的解析式为（）

6

..1纵._7T.1.,兀、

A.y=sin(Z—x+—)B.y-sinz(3x+—)C.y=—sin(x+—)

36

D.y=3sin(x+

【答案】D

17

【详解】解：y=sin(x+2)的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变,

6

得到的新的解析式为：jV=Sin(x+TJT),整理得y=3sin(x+7£T).

366

故选：D.

TT

10.(2022秋•广东)为了得到函数y=cos(x+§)的图象，只需把余弦曲线y=cosx的所有的点

A.向左平移g个单位长度B.向右平移£个单位长度

33

C.向左平移;个单位长度D.向右平移;个单位长度

【答案】A

【详解】把余弦曲线y=cosx上的所有的点向左平移。个单位长度，可得函数〉=。0$卜+?)的图象，

故选：A.

11.(2022春•贵州)给出下列几种变换：

①横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.②向左平移0个单位长度.

③横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变.④向左平移2个单位长度.

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则由函数〉=$皿》的图象得到y=si{2x+(1的图象，可以实施的变换方案是()

A.①―B.①—C.③—D.③—>@

【答案】D

【详解】y=sinx的图象得到ksin,X+：的图象，有如下两个方法，

第一种：y=sinx向左平移。个单位得到y