安徽省合肥市某中学2024届高三最后一卷数学试题含答案

合肥一中2024届高三最后一卷

数学试题

（考试时间：150分钟满分:120分）

注意事项：

1.卷题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位。

2.答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作

图题可先用铅笔在等挈卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必

须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交。

第I卷（选择题）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知向量£=(2,3),1=(-1,3),则a-2b=()

A.2B.3C.4D.5

2.已知复数z满足)Q+i)=2贝”=()

13.-13.c13.13.

A.—1—IB.-----1C.------1D.---F—Z

22222222

3.已知焦点在工轴上的椭圆的离心率为巫，焦距为2夜，则该椭圆的方程为（）

a

,Y2C,日+且=1D.=+^=1

A.---FV2=1B.---1-V2=1

39973628

4.已知等比数列｛%｝的前“项和为S”，且$3=14,“3=2,则。4=()

22

A.1B.—或-1C.--D.——或1

333

—5/5

5.已知a为三角形的内角，且cosa=L----,贝心出巴=()

42

A-I+A/5R\+y[5「3—6D3--

4484

合肥一中2024届高三最后一卷,数学第1页（共4页）

6.甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数

为()

A.36种B.48种C.54种D.64种

7.已知四棱锥尸一/BC。的各顶点在同一球面上，若AD=2AB=2BC=2CD=4,APZB为正三

角形，且面•面4BCQ,则该球的表面积为()

1352

A.—71B.16%C.-7tD.20%

33

jr

8.过河(0,夕)且倾斜•角为。(&6(弓/))的直线/与曲线C：f=2勿交于48两点，分别过43

作曲线C的两条切线4,，2,若交于N,直线的倾斜角为夕，则tan(a-A)的最小值为

()

回

A.-B.72C.2亚D.40

2

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下表是某人上班的年收入(单位：万元)与上班年份的一组数据：

年份X1234567

收入y2.93.33.64.44.85.25.9

则下列命题正确的有()

A.年收入的均值为4.3

B.年收入的方差为L2

C.年收入的上四分位数为5

D.若V与％可用回归直线方程3=0.5%+:来模拟，则展=2.3

10.已知函数/(x)=J^sindzxcosox-sin?。%(刃＞0),则下列命题正确的有()

A.当。=2时，％=三乃是歹=/(%)的一条对称轴

,24

B.若|/(石)—/(%2)1=2,且I须—％2lmin="，则。=一

2

C.存在GW(0,l),使得/(x)的图象向左平移2个单位得到的函数为偶函数

6

7

D.若/(%)在［。,句上恰有5个零点，则G的范围为［2,,

11.已知函数/a)=e。g(x)=-lnx,则下列命题正确的有()

A.若g(%)Nax恒成立，则。＜一,

e

B.若y=/(%)与丁="-1相切，则a=2e

C.存在实数a使得y=/(x)一亦和y=g(x)+ox有相同的最小值

D.存在实数a使得方程/(x)-x=a与％+g(x)=a有相同的根且所有的根可以构成等差数列

合肥一中2024届高三最后一卷•数学第2页(共4页)

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知集合4={xeN|x2—x—240},集合9={x|,一（2。+1）%+。2+。=。},若台口力，则

a=.

13.过尸（1,2）的直线/被曲线/一以+产二。所截得的线段长度为2月，则直线/的方程为

14.在A45C中，设48,。所对的边分别为。,仇£?,且6工。/2!14=5山3+5111。,则以下结论正确

的有.

（1）tye（0q_2p）;（2）aG（--2p痴）；（3）aG（V^c,—b+-c^）;

一+--+-

bcbc

⑷。w（警⑸

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题13分）

正方体48co-44GD的棱长为2，P是线段46上的动点.

（1）求证：平面区"由_L平面4§G；

（2）尸耳与平面4BG所成的角的正弦值为半，求尸3的长.

16.（本小题15分）

甲和乙进行中国象棋比赛，每局甲赢的概率为0.8,甲输的概率为0.2,且每局比赛相互独立.

（1）若比赛采取三局两胜制,且乙已经赢得比赛,则比赛需要的局数X的数学期望E（X）为多少?

（保留小数点后一位）

（2）由于甲、乙实力悬殊，乙提出“甲赢5局之前乙赢2局则乙胜”，求乙胜的概率.

合肥一中2024届高三最后一卷•数学第3页（共4页）

17.(本小题小分)

已知f(x)=ex-a(aeR).

(1)若/(x)的图象在点4(%,/(%))处的切线经过原点，求与；

(2)对任意的xe[0,+oo),有/(x)isinx,求a的取但范囤.

18.(本小题17分)

V2V2f—

已知双曲线j=l(a>0,6>0)的上焦点为(0,灰)，下顶点为力，渐近线方程是

ab

22

y=±V2x,过3(0,—)点的直线交双曲线上支于P,0两点,AP,AQ分别交直线歹=可于M,N两

33

点，。为坐标原点.

(1)求。的方程；

(2)求证:峪N,0,4四点共圆；

(3)求(2)中的圆的半径〃的取值范围.

19.(本小题17分)

给定自然数〃且％N2,设再Z均为正数，名玉=T(T为常数)，£-^一=7^二•如

,=1T(T-xiT-xn

果函数/(x)在区间/上可导且恒有/〃(%)>0,则称函数/(X)为凸函数.凸函数/(%)具有性质:

1n1n

«Z1«i=l

(1)判断/(%)=」一,％6(0,1)是否为凸函数，并证明；

1-x

X111

(2)设％=W(i=l,2,…证明：一一-一<1——

T

yni

(3)求」一的最小值.

Tf

合肥一中2024届高三最后一卷•数学第4页(共4页)

合肥一中2024届高三最后一卷

数学参考答案

——>—>

贝|]a-2b

A.2B.3C.4D.5

【答案解析】Z—2石=(2,3)—(―2,6)=(4,-3),a-26==5,选D

2.已知复数z满足)(l+i)=2—i,则z=()

13.13.13.13.

A.——F—zB.-----zC.------1D.---1--z

22222222

,依生々刀一2—z13.13.

【答案解析】z——z—+z,..选A

l+z2222

3.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为?，焦距为2J5,则该椭圆的方程为()

222222

A.—+y2=1B.—+v2=1C.—+--=1D-

3"9,9,73628

22

【答案解析]—==3,a2=9,b2=9-2="7,—+—=1,选C

a3a97

4.已知等比数列｛%｝的前〃项和为，且S3=14,%=：2,则。4=()

222一

A.1B.一或-1C.——D.-一二■或1

333

2、

【答案解析】由S3=14,%=2,Q或q=-(4=—§或1,.,•选D

5.已知。为三角形的内角，且cosa=匕且，贝人也区二

二()

42

A-1+y/5R1+Vsr3—y/5D.3-6

4484

【答案解析】si咤=卜广=^^=竽，

选B

合肥一中2024届高三最后一卷-数学参考答案第1页（共12页）

6.甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方

式的个数为（）

A.36种B.48种C.54种D.64种

【答案解析】先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的

排列方式数，所以总数为用团-©4；制=36种，选A

7.已知四棱锥尸―NBC。的各顶点在同一球面上，若4D=2AB=2BC=2CD=4,

AP45为正三角形，且面尸48，面45CD,则该球的表面积为（）

P

1352人

A.—7iB.167rC.—兀D.207r

33

【答案解析】如图，OE=FG=2,AE=2,/!\

R2=OE2+AE2=(y-)2+22

S~47lR2=--71,故选C.

3

8.过河（0,2）且倾斜角为改“（于万））的直线/与曲线C：》2=2眇交于48两点，分

别过48作曲线。的两条切线A/，若4,4交于N,若直线的倾斜角为则

tan（a-/7）的最小值为（）

A."B.V2c.2V2D.472

2

【答案解析】如图设N（Xo，%）,贝M/B为x°x=My+%）且过”（0,）），

二为=一夕且后=tana=E,\J/,/

P\\//

7，〃2p7V//

又设左=tan^=----，:.k・k'=—2,//

1+tanatan/?

当且仅当左=—行时”=”成立，故选C

合肥一中2024届高三最后一卷-数学参考答案第2页（共12页）

9.下表是某人上班的年收入(单位：万元)与上班年份的一组数据:

年份X1234567

收入

y2.93.33.64.44.85.25.9

则下列命题正确的有()

A.年收入的均值为4.3

B.年收入的方差为1.2

C.年收入的上四分位数为5

D.若歹与x可用回归直线方程j=o,5x+:来模拟，则-=2.3

-301

【答案解析】>=工7=4.3,A正确；

21.96+1+0.49+0.01+0.25+0.81+2.567.08,。―

s1=--------------------------------------=——W1.2,B错误；

77

7x0.75=5.25,所以上四分位数为5.2,C错误；

亍一0.51=4.3—0.5x4=23,D正确；

故选AD

10.已知函数/(x)=Gsin°xcostyx-sin2ox(ty〉0),则下列命题正确的有()

A.当&=2时，x=—7i是y=/(x)的一条对称轴

24

B.若|/(司)—/(12)|=2,且％lmin=»，则

7T

C.存在啰£(0,1),使得的图像向左平移7个单位得到的函数为偶函数

6

7

D.若/(%)在［0,刈上恰有5个零点，则Q的范围为［2?)

771

【答案解析】/(x)=sin(2^x+-)—

62

对于A,当刃=2时，f(x)=sin(4x+/(—^)=,

62242

：.X=—7l不是歹=/(X)的一条对称轴，

24

对于B,由题意知，T=2n,：.a>=—

2

合肥一中2024届高三最后一卷•数学参考答案第3页(共12页)

,.....71.71、1..8兀71.1

对于C,g(x)=sin(20(xH—)H—)—=sin(2®xH----1—)—，

662362

mTTTTTT

若g(x)为偶函数，则——+—=—+左乃，...0=1+3左，矛盾

对于D,令/=2,G)XH—e[—,2(D7iH—],由题意知，2<zwH—e[---,----)

666666

故选BD

11.已知函数/(x)=/,g(x)=-lnx,则下列命题正确的有()

A.若g(x)2ax恒成立，则。4一,

e

B.若y=/(x)与y=ax-l相切，则a=2e

C.存在实数a使得y=/(x)-ax和y=g(x)+ax有相同的最小值

D.存在实数a使得方程/(x)-x=a与x+g(x)=a有相同的根且所有的根构成等差

数列

【答案解析】

对于A,由g(x)»ax得。＜一电二，令/z(x)=-四二，则/z'(x)=ln\]

xxx

歹=〃(x)在(0,e)单调递减，(e,+oo)单调递增，.a〈〃min(x)=〃(e)=—!

e

x

对于B,设切点为尸(为,/。)，则切线方程为y—e"。=e»(x-x0),即

Ax

y=e°x+e°(l-x0),

ex°=a

又y=ax-l,，a(l—lna)=—1(*)

1(1-%)=-1

:a=2e不满足(*)式，，B错，

对于C,易知当a=1时y=/(x)-ax和y=g(x)+ax有相同的最小值1,

合肥一中2024届高三最后一卷•数学参考答案第4页(共12页)

对于D,^/z(x)=f(x)-x=ex-x,^^(x)=g(x)+x=x-lnx,则/?(x)，9(x)的图

象大致如下：

设交点为河(见右(加))，易知0(加＜1,

由图象知，当直线V=a与曲线y=〃(x)和曲线歹=9(x)共有三个不同的交点时，直线

y=a必经过点M(m,h(m)),即a=h(m).

因为〃(机)=9(加)，所以e"-机=机—ln机，即e"'-2机+ln机=0.

令h(x)=g)(x)=a=h(m),ex-x=x-Inx=em-m＞解得x=加或x=e"'-

由0＜加＜1得加＜l＜e".

所以当直线＞=a与曲线y=〃(x)和y=°(x)共有三个不同的交点时，

从左到右的三个交点的横坐标依次为In掰，m,em-

因为e"-2m+ln/w=O，即e"'+ln优=2根，所以In加，m,e"'成等差数列，

故选ACD

12.已知集合4={xeN]一x-2W0},o'B={x\x2-(2a+l)x++a=0},若

BjA,贝!]a=.

【答案解析】^={0,1,2},B={a,a+1},由8口4得a=0或a=l

合肥一中2024届高三最后一卷•数学参考答案第5页(共12页)

13.过P(l,2)的直线/被曲线x2-4x+/=o所截得的线段长度为2方，则直线/的方程

为.

【答案解析】当斜率不存在时x=l满足题意；

3

当斜率存在时，设直线/：y-2=k(x-l),由题意知圆心到直线的距离为1得4=—-

4

x=1或3x+4y-11=0

14.在AA5C中，设4瓦。所对的边分别为ac,且bwc,tanN=sin3+sinC,则以下

结论正确的有—(5).

22I—

(1)⑵〃£(口，"°)；⑶叱诉”与

bcbc人

【答案解析】

aja722c7

----=b+c,-------b+c+2bc,

cosAcosA

“2

2

----=(J}2+c?)cosA+2bccosA—(Z?+cosA+廿+c2—/,

cosA

22

(b2+c2---)(1+cosA)=0,b2+c2--—=0,

cosAcosA

a2=(b1+c2)cosy4>2bccosA=b2+c2-a2,

is.正方体/BC。—44G。的棱长为2,p是线段48上的动点.

(1)求证：平面8DD1AJ_平面Z/G；

(2)尸4与平面48G所成的角的正弦值为逅，求尸8的长.

3

【答案解析】

(1)证明：由题，四边形481GA为正方形，

所以4cl~1~及。,4cl上DC\，而BQ】cDD[=u面BDD[B],ORu面

合肥一中2024届高三最后一卷-数学参考答案第6页(共12页)

BDDR,所以4G，面BDDXBX,而4Gu面46C],所以平面BDD£1平面

AXBCX.6分

(2)设片在面46cl上的射影点为E,连接EP,EBX,

S.,„c=—x2V2x2V2=273，

的"54

—81-433=—B-AiBg，BP—x2A/3义EB、=—x-x2x2x2,得EB]=，

3323

设与平面46G所成的角的大小为e，则

26

.Z)46EB[3,

3PB]PB、

所以尸在ABPB]中,由余弦定理得，

PB：=BB,2+PB2-IBB,xPBxcos-,

1114

^2=4+PB2-2y[2PB解得PB=血..................................13分

16.甲和乙进行中国象棋比赛，每局甲赢或输的概率分别为0.8,0.2,且每局比赛相互独

立.

(1)若比赛采取三局两胜制，且乙已经赢得比赛，则比赛需要的局数X的数学期望

E(X)为多少？(保留小数点后一位)

(2)由于甲、乙实力悬殊，乙提出“甲赢5局之前乙赢2局则乙胜”，求乙胜的概率.

【答案解析】

(1)P(A)=0.2x0.2+0.2x0.8x0.2+0.8x0.2x0.2=0.104,

,0.2x0,2(02x0.2x0.8)x2八

所以E(X)=2x--------+3x-------------—«2.615»2.6..............7分

0.1040.104

合肥一中2024届高三最后一卷•数学参考答案第7页(共12页)

(2)设20=02,则

2234

产⑷=770+[C\p0(1-p0)]A+[C}p0(1-p0)]p0+[C\p0(1-p0)]p0+[C\p0(1-p0)]p0

=淄1+2(1—p°)+3(l—p0)2+4(l-p°)3+5(l-p°)4]

=0.04x8.616=0.34464.

.........................................................................................................................15分

17./0)=j“("夫).

(1)若/(x)的图象在点4。0，/(%))处的切线经过原点，求飞；

(2)对任意的xe[0,+oo),有/(x)2sinx,求。的取值范围.

【答案解析】

xa

(1)f'(x)=e-,所以/'(XO)=/L='"二°,所以％=1；....................5分

5-0

(2)即F-"-sinx20(Vx20),令g(x)=《一"—sinx,

xaxa

若Q«0,则0,e~>l,g(x)=e~-sinx>1-sinx>0,合题；.......7分

若Q〉0,g'(x)=♦"一cosx,

令h(x)=g'(x),则h\x)=ex~a+sinx,

71

当OWxK万时，〃'(x)〉0,g'(x)递增，而8，(0)="“—1<0遭'(9=>一">0,

7T

所以，存在唯一的％e(O,5)0O,亦使得g'(Xo)=e'L—cos/=0,

所以,当0<x<x°时，g'(x)<0,g(x)递减,当一<x<%时,g'(x)>0,g(x)递增，

故g(x)极小=gOo)=e'L"-sinx0=cos%-sin%20,所以0<x0<7，

/_冗In2

此时，x0-tz=Incos/,故Q=-Incosx0<^-ln，即0<。V；

.........................................................................................................................11分

7iIn2

当时，g(x)=ex~a-sinx>ex~a-l>e42-1>e1-1>0,

合肥一中2024届高三最后一卷-数学参考答案第8页（共12页）

1。

因而—I----合题；

42

1。

综上所述，a的取值范围是求（—°o,—I---].............................15分

42

18.已知双曲线C：与—1=1（。>0/>0）的上焦点为（0,V6），下顶点为A,渐近线方程

ab

是y=±V2x,直线y=§与V轴交于3点，过3点的直线交双曲线上支于P,Q两点，

2

4P,N。分别交直线y=3于M,N两点，。坐标原点.

（1）求。的方程；

（2）求证：M,N,CU四点共圆;

（3）求（2）中的圆的半径厂的取值范围.

【答案解析】

⑴由题，c=46,-=^2,a2+b2=c2,解得/=4,〃=2，

b

22

所以C的方程为2—土=1..........................................4分

42

,22

（2）（方法一）设尸（石,％）,。（%,%），00号=丘+二，代入乙—土=1，化简整理得

342

V-2^0

（左2一2）》2+3日—%=0,有|八=342—4（/—2）［—%］〉0,解得竺<左2<2,

399I9J9

x{x2>0

K+2_28x8x

:片二r”一2,令尸§得、"=泵荷‘同理、"运藐?’

.,,8x8X64xx

BnMHBnANrl=-----x---？2―二-----------2-----

3%+63%+69（必+2）（%+2）

_64xxx2_64Mx?_16

5+2）（为+2）公中2+|左U+/）+］=5

|反川氏4|=gX§+2）=£」5。M川=|NJ5NI，所以MN,o,/四点共圆.

12分

合肥一中2024届高三最后一卷•数学参考答案第9页（共12页）

（2）（方法二）设（W,ZN的倾斜角分别为巴〃.

由对称性，

不妨设PQ的斜率左〉0,此时a,§均为锐角，所以

M,N,。,N四点共圆^ZAOM+ZANM=n

,7C、-

=(5+a)+/?=%

TV7T

oa+^=—,a,/?e(0,­)

=tanatan0=\

2v2x2

设尸（石,州）,0（》2，%），尸。"=丘+］，代入5=1，化简整理得

V-2^0

(k2-2)x2+g笈—蓑=0,有,A=g左2—纵左2—2),〉0,解得蔡〈父<2,

x{x2>0

324k

xx2=----；----，x+x2=-----T----，

9(〃—2)123(『—2)

"尸：片令尸?得最'同理"未

4演x2

887287/、64

XXXx

V,+2v2+2(京1+§)(丘2+p12+-^(1+2)+~

0MAN

4X1x24XXX24XJX2'

所以M,N,0,Z四点共圆................................................12分

合肥一中2024届高三最后一卷•数学参考答案第10页（共12页）

（3）设圆心为T,则

%二T、

XMXN_4再西々

Xji-一।

23%+63%+63,8,8

kX[H—kx^H—

1323J

8

42e%+二(西+工2)

------------~-----------—=k

3,28,,、64

k+1左(演+%2)~1——

.•.T(D，

r=VF+le(j,V3)17分

n

19.给定自然数〃且“22,设国,马，…,天均为正数，\＞，=T（7为常数），

Z=1

£^^=:」.如果函数/0）满足：在区间/上恒有/"（x）〉0,则称函数/（X）

,■=1T-\T-xn

为凸函数.凸函数/（X）具有性质：-

〃2ni=x

x

(1)判断了（%）=；­/£（0,1）是否为凸函数，并证明;

1-X

X11,1

(2)设乂=e«=1,2,…/)，证明：----一<1——

1一州n-1，

Ty