河南省安阳市林州市2024年中考冲刺卷数学试题含解析

河南省安阳市林州市达标名校2024年中考冲刺卷数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

14

1.解分式方程-----3=--时，去分母可得（）

x-22-x

A.1-3（x-2）=4B.1-3（x-2）=-4

C.-1-3(2-x)=-4D.1-3(2-x)=4

2.若（）-5=-3,则括号内的数是（）

A.-2B.-8C.2D.8

3.下列图形都是」由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共

有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（）

O

OO

<x<x<>

<><>O合Oo_

OOOOOO<>oo

图①图②图③图④

A.73B.81C.91D.109

4.如图是由长方体和圆柱组成的几何体，它的俯视图是（）

5.如图，在正三角形ABC中，D,E,F分别是BC,AC,AB上的点，DEJ_AC,EF_LAB,FD，BC,则小DEF的面积与4ABC

的面积之比等于（）

BD

A.1：3B.2：3C.73：2D.6：3

6,尺规作图要求：I、过直线外一点作这条直线的垂线；II、作线段的垂直平分线;

皿、过直线上一点作这条直线的垂线；IV、作角的平分线.

如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：

则正确的配对是（）

A.①-IV,②-II,③-I,@-111B.①-w,②-in,③-n,i

c.①-n,②-w,③-田，ID.①-w,②-i,③-ii,@-in

x2+2x—3

7.分式一；一的值为。，则x的取值为（)

同-1

A.x=-3B.x=3C.x=-3或x=lD.x=3或x=-l

8.一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋,比上个月多卖10%,设上个月卖出x双，列出方程（)

A.10%x=330B.(1-10%)x=330

C.(1-10%)2x=330D.(1+10%)x=330

9.已知方程组2［xx++y2y==78'那么的值（）

A.-1C.0D.5

10.如图，在R/AABC中，ZABC=90°.BA=BC.点。是AB的中点，连结CD,过点6作BG,CD,分别交

CD、CA于点E、F,与过点A且垂直于A3的直线相交于点G,连结OR.给出以下四个结论：①罢=g;②

ABFB

点产是GE的中点；③=④5AA皿=652分，其中正确的个数是（）

3

G

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.将直尺和直角三角尺按如图方式摆放.若Nl=45°,N2=35°,则/3=

12.如果关于x的方程«一2%+加=0（机为常数）有两个相等实数根，那么机=.

,x5x

13.如果那么一=______.

x-y3y

14.一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m,然后，原地逆时针方向旋转角a（0o<a<18（）。）.被称为一次操作.若五

次操作后，发现赛车回到出发点，则角a为

15.如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是。。的内接多边形，则NBOM=.

16.如图，直线a〃b,Zl=60°,/2=40。，则N3=

17.不等式-2x+3>0的解集是

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）在口ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE,求证：AC=DE。

—,D

19.（5分）已知二次函数y=-£+6x+c的图象如图6所示，它与x轴的一个交点坐标为（-1,0）,与V轴的交点坐

标为（0,3）.求出此二次函数的解析式；根据图象，写出函数值V为正数时，自变量x的取值范围.

图6.

20.（8分）如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，NADB=90。，E、F分别为边AB、CD的中点.

（1）求证：四边形DEBF是菱形；

（2）若BE=4,ZDEB=120°,点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，则PF+PM的最小值为,并在

图上标出此时点P的位置.

21.（10分）如图，在6x5的矩形方格纸中，每个小正方形的边长均为1，线段A3的两个端点均在小正方形的顶点

上.

在图中画出以线段A3为底边的等腰AC4B,其面积为5,点C在小正方形的顶点上;

在图中面出以线段A5为一边的ABDE,其面积为16,点。和点E均在小正方形的顶点上；连接CE,并直接写出

线段CE的长.

22.（10分）一个不透明的袋子中，装有标号分别为1、-1、2的三个小球，他们除标号不同外，其余都完全相同；搅

匀后，从中任意取一个球，标号为正数的概率是；搅匀后，从中任取一个球，标号记为k,然后放回搅

匀再取一个球，标号记为b,求直线厂履+方经过一、二、三象限的概率.

23.（12分）如果一条抛物线丁=依2+法+4。/0）与％轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的

三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.

（1）“抛物线三角形”一定是三角形；

（2）若抛物线7=-/+灰。＞0）的，，抛物线三角形，，是等腰直角三角形，求。的值；

（3）如图，AQ4B是抛物线的“抛物线三角形，，，是否存在以原点。为对称中心的矩形ABC。？若

存在，求出过0、a。三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由.

24.（14分）已知关于x的一元二次方程（根-1口2+（加一4）*-3=0（根为实数且"2/1）.求证：此方程总有两个实数

根；如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数机的值.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】

方程两边同时乘以（x-2）,转化为整式方程，由此即可作出判断.

【详解】

方程两边同时乘以（x-2）,得

1-3（x-2）=-4,

故选B.

【点睛】

本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.

2、C

【解析】

根据有理数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数，可得答案.

【详解】

解：2-5=-3,

故选：C.

【点睛】

本题考查了有理数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数.

3、C

【解析】

试题解析：第①个图形中一共有3个菱形，3=#+2；

第②个图形中共有7个菱形，7=22+3；

第③个图形中共有13个菱形，13=32+4；

•••f

第n个图形中菱形的个数为：n2+n+l；

第⑨个图形中菱形的个数92+9+1=1.

故选C.

考点：图形的变化规律.

4、A

【解析】

分析：根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案.

详解：从上边看外面是正方形，里面是没有圆心的圆，

故选A.

点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图.

5、A

【解析】

VDE±AC,EFLAB,FD1BC,

：.ZC+ZEDC=9Q°,ZFDE+ZEDC=9Q°,

：.ZC=ZFDE,

同理可得：NB=NDFE,ZA^DEF,

:.△DEFs/\CAB,

.♦.△OE歹与△ABC的面积之比=［竺］,

UcJ

又•••△A5C为正三角形，

：.ZB=ZC=ZA=6Q°

...△E尸。是等边三角形，

：.EF=DE=DF,

X'：DEYAC,EFLAB,FD±BC,

：.AAEF义ACDE/ABFD,

：.BF=AE=CD,AF=BD=EC,

在RtZkOEC中，

DE=DCxsinNC=@DC,EC=cosZCxDC=-DC,

.DE《DC4

,•----

AClDC3

DE

ADEF与4ABC的面积之比等于:=1:3

AC

故选A.

点晴：本题主要通过证出两个三角形是相似三角形，再利用相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于对应边之

比的平方，进而将求面积比的问题转化为求边之比的问题，并通过含30度角的直角三角形三边间的关系（锐角三角形

DF

函数）即可得出对应边二之比，进而得到面积比.

【解析】

［分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、

角平分线的作法分别得出符合题意的答案.

【详解】I、过直线外一点作这条直线的垂线，观察可知图②符合；

II、作线段的垂直平分线，观察可知图③符合；

in、过直线上一点作这条直线的垂线，观察可知图④符合;

IV、作角的平分线，观察可知图①符合，

所以正确的配对是：①-w,②-I,③-II,@-m,

故选D.

【点睛】本题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键.

7、A

【解析】

分式的值为2的条件是：(2)分子等于2；(2)分母不为2.两个条件需同时具备，缺一不可.据此可以解答本题.

【详解】

•••原式的值为2,

%2+2%-3=0

/，｛|x|-1^0'

/.(x-2)(x+3)=2,即x=2或x=・3；

又・.・|x卜2#2,即x#2.

:.x=-3.

故选：A.

【点睛】

此题考查的是对分式的值为2的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为2这个条件.

8、D

【解析】

解：设上个月卖出x双，根据题意得：(1+10%)x=L故选D.

9、D

【解析】

J2x+y=7①

解：I，

[x+2y=8②

①+②得：3(x+y)=15,

则x+y=5,

故选D

10、C

【解析】

用特殊值法，设出等腰直角三角形直角边的长，证明AC。5s△5OE,求出相关线段的长；易证AGABg△OBC,求

出相关线段的长；再证AG〃BC,求出相关线段的长，最后求出△ABC和A3。歹的面积，即可作出选择.

【详解】

解：由题意知，△ABC是等腰直角三角形,

^AB=BC=2,贝!|AC=2C，

•••点。是A5的中点，

：.AD=BD=1,

在RtAOBC中，DC=非,（勾股定理）

'：BG±CD,

：.ZDEB=ZABC=90°,

又,：NCDB=NBDE,

:ACDBs△BDE,

,,BDCD0，即」_=好=2

：.ZDBE=ZDCB,——=——

DEBDBEDE1BE

：.DE=^~,BE=^~,

55

ZDBE=ZDCB

在AGAB和△O3C中，{AD=BC

ZGAB=ZDBC

：./\GAB^/\DBC{ASA)

：.AG=DB^1,BG=CD=后,

'：ZGAB+ZABC=180°,

：.AG//BC,

:.△AGFs/\CBF,

AGAFGF1丁.

...------....=—,且有AB=BC故①正确,

CBCFBF2f

,:GB=非,AC=2y[2,

:.AF=々2=^AB,故③正确,

33

GF=—,FE=BG-GF-BE=,故②错误，

315

SAABC=~AB»AC=2,SABDF=LBF・DE=LX^!LX^=L,故④正确.

222353

故选瓦

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的相关性质，中等难度，注意合理

的运用特殊值法是解题关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、80°.

【解析】

由于直尺外形是矩形，根据矩形的性质可知对边平行，所以N4=N3,再根据外角的性质即可求出结果.

【详解】

解：如图所示，依题意得：Z4=Z3,

VZ4=Z2+Z1=8O°

:.Z3=80°.

故答案为80°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键.

12、1

【解析】

析：本题需先根据已知条件列出关于m的等式，即可求出m的值.

解答：解：二”的方程xZ2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根

A=b2-4ac=（-2）2-4xl?m=0

4-4m=0

m=l

故答案为1

【解析】

先对等式进行转换，再求解.

【详解】

..x_5

*x-y3

.\3x=5x—

/.2x=5j

.x_5

••,1了

【点睛】

本题考查的是分式，熟练掌握分式是解题的关键.

14、72°或144°

【解析】

；五次操作后，发现赛车回到出发点，.•.正好走了一个正五边形，因为原地逆时针方向旋转角a(00<a<180°),那么朝

左和朝右就是两个不同的结论所以

.•.角a=(5-2)・180°+5=108°,贝!J180°-108°=72°或者角a=(5-2)•180°-5=108°,180o-72°-r2=144°

15、48°

【解析】

连接OA,分别求出正五边形ABCDE和正三角形AMN的中心角，结合图形计算即可.

【详解】

连接OA,

•五边形ABCDE是正五边形,

360°

/.ZAOB=-------=72°,

5

VAAMN是正三角形，

,360°

:.ZAOM=-------=120°,

3

:.NBOM=NAOM-NAOB=48°,

故答案为48°.

点睛：本题考查的是正多边形与圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键.

16、80°

【解析】

根据平行线的性质求出N4,根据三角形内角和定理计算即可.

【详解】

；a〃b,

.•.Z4=Z1=6O°,

.*.Z3=180°-Z4-Z2=80°,

故答案为：80°.

【点睛】

本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键.

3

17、x<-

2

【解析】

根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为1可得.

【详解】

移项，得：-2x>-3,

3

系数化为1,得：X<:

2

3

故答案为xV7.

2

【点睛】

本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以

或除以同一个负数不等号方向要改变.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、见解析

【解析】

在AABC和AEAD中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出NB=NDAE证得

AABC^AEAD,继而证得AC=DE.

【详解】

四边形ABCD为平行四边形，

，AD〃BC,AD=BC,

...NDAE=NAEB.

VAB=AE,

；.NAEB=/B.

/.ZB=ZDAE.

•.•在△ABC^DAAED中，

AB=AE

<ZB=NDAE,

AD=BC

：.AABC^AEAD(SAS),

/.AC=DE.

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的基本性质和全等三角形的判定及性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、

ASA、AAS、HL.

19、(1)y=-x2+2x+3；(2)-l<x<3.

【解析】

(1)将(-1,0)和(0,3)两点代入二次函数y=-x2+bx+c,求得b和c；从而得出抛物线的解析式；

(2)令y=0,解得xi,X2,得出此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标，进而求出当函数值y>0时，自变量x

的取值范围.

【详解】

解：⑴由二次函数y=—x?+bx+c的图象经过(―1,0)和(0,3)两点，

-l-b+c=0

得c,

c=3

解这个方程组，得

4=2

c=3

抛物线的解析式为y=-X?+2x+3,

(2)令y=0,得-X2+2X+3=0.

解这个方程，得X]=3,X2=-L

...此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为(3,0).

当一l<x<3时，y>0.

【点睛】

本题考查的知识点是二次函数的三种形式及待定系数法求二次函数解析式及抛物线与坐标轴的交点，解题的关键是熟

练的掌握二次函数的三种形式及待定系数法求二次函数解析式及抛物线与坐标轴的交点.

20、(1)详见解析；(2)2G.

【解析】

(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及平行四边形的对边相等证明四边形OE8尸的四边相等即可

证得；

(2)连接EM,EM与3。的交点就是P,尸尸+PM的最小值就是EM的长，证明△5EF是等边三角形，利用三角函

数求解.

【详解】

(1),平行四边形A5C。中，AD//BC,AZDBC=ZADB=9Q°.

•.•△A5O中，ZADB=90°,E时AB的中点，：.DE=-AB=AE=BE.

2

同理，BF=DF.

•平行四边形中，AB=CD,：.DE=BE=BF=DF,四边形厂是菱形；

(2)连接3尸.

:菱形OE5尸中，ZDEB=120°,：.ZEFB=60°,.♦.△REF是等边三角形.

是B尸的中点，：.EM±BF.

贝!|EM=BE*sin60°=4xB=2下.

2

即PF+PM的最小值是2G.

故答案为：273.

D

AEB

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质以及图形的对称，根据菱形的对称性，理解尸F+PM的最小值就是EM的长是关键.

21、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，CE=5

【解析】

（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的答案；（2）直接利用网格结合平行四边形的性质以及勾股定理得出符

合题意的答案；（3）连接CE,根据勾股定理求出CE的长写出即可.

【详解】

解：（1）如图所示；

（2）如图所示；（3）如图所示；CE=6.

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质、平行四边形的性质、勾股定理，正确应用勾股定理是解题的关键.

24

22^（1）—；（2）—

39

【解析】

【分析】（1）直接运用概率的定义求解；（2）根据题意确定k>0,b>0,再通过列表计算概率.

【详解】解：（1）因为1、-1、2三个数中由两个正数，

2

所以从中任意取一个球，标号为正数的概率是1.

⑵因为直线经过一、二、三象限，

所以k>0,b>0,

又因为取情况：

kb1-12

11,11,-11,2

-1-1,1-1.2

22,12,-12,2

共9种情况，符合条件的有4种，

4

所以直