2024年中考数学压轴题冲刺提升-图形规律探索题（含解析）

专题04图形规律探究题

典型一：周期姓问题

图形规律

探索

题型二：加律粒出建

典例剖析

[例1](2024•河师大附中模考)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形附4的直角边困在

y轴的正半轴上，且如尸44=1,以。(2为直角边作其次个等腰直角三角形十以物3为直角边作第三个等

腰直角三角形以34,…，依此规律，得到等腰直角三角形以2必4。24,则点4皿的坐标为

【解析】解：由题意知：4(0,1),4(1,1),〃2=44=&,6M3=2,

.♦.4(2,0),

同理，4(2,—2),4(0,—4),4(—4,—4),4(—8,0),4(—8,8),4(0,16).......

每隔8个点恰好处于同一坐标系或象限内，2024+8=252........1,

即点为124在y轴正半轴上，横坐标为0,

各点纵坐标的肯定值为：2°,2°,21,21,22,22,23,23,……

20244-2=1008...1,

可得点击网的纵坐标为：21008,

故答案为(0,21008).

【变式1T】(2024•济源一模)如图，在一个单位为1的方格纸上，△444,△444,△444,…，

是斜边在x轴上、斜边长分别为2,4,6,…的等腰直角三角形.若△444的顶点坐标分别为4(2,0),

4(1,-1),4(0,0),则依图中所示规律，4曲的横坐标为()

【解析】解：

视察图形可知，奇数点在x轴上，偶数点在象限内，

所以力2024在x轴上，

Ai,As,As,Ais...144-3在x正半轴，4A—3=2024,22=505.5,所以及如不在x正半轴上;

4(0,0),4(-2,0),An(—4,0),A15(-8,0)……,

3=4X0+3,7=4Xl+3,11=4X2+3,15=4X3+3,...,2024=4X504+3,

A-2X504=-1008,

即4024的坐标为(—1008,0),

故答案为：A.

【变式1-2](2024•洛阳三模)如图，在平面直角坐标系中，将正方形勿回绕点。逆时针旋转45°后

得到正方形》1团Q,称为一次旋转，依此方式，……,绕点0连续旋转2019次得到正方形02019比

019。019,假如点力的坐标为(1,0),那么点发019的坐标为

【答案】(-A/2,0).

【解析】由旋转及正方形性质可得：

5(1,a),5(—1,1),笈(一应，0),8(—1,-1),序(0,-V2),以(1,-1),片(&,

0),4(1,1),……

/.3604-45=8,

2024+8=252....3,

...点&24落在X轴负半轴上，

即J8>024(—A/2,0),

故答案为：(一血,0).

【例2】如图，在平面直角坐标系中，将绕点/顺指针旋转到△/反。的位置，点反。分别落在

点区、G处，点为在x轴上，再将绕点用顺时针旋转到△461G的位置，点C在x轴上，将台G

绕点G顺时针旋转到△44G的位置，点4在x轴上，依次进行下去…，若点A(3,0),B(0,4),则点

3

【答案】D.

【解析】解：由图象可知点与期在第一象限,

,：OA=~,小4,ZAOB=90°,

3

在七△ai4中，由勾股定理得：AB^—,

3

可得：灰(10,4),以(20,4),&(30,4),-

点员)24横坐标为10080.

故答案为：D.

【变式2-1](2024•开封二模)我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如

1,3,6,10-)和“正方形数”(如1,4,9,16-),在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m,

最大的“正方形数”为n,则加〃的值为()

.

•••

•••・・•

•••.........................

••♦•

・••••••

・••••••••

・••••••••

A.33B.301C,386D.571

【答案】C.

【解析】解：由图形知：

第〃个三角形数为1+2+3+.“+片小+1),

2

第〃个正方形数为〃2,

,n(n+l)

当t〃=19时，△——=190<200,

2

当〃=20时，△——=210>200,

2

所以最大的三角形数：勿=190；

当刀=14时，/?2=196<200,

当刀=15时，方=225>200,

所以最大的正方形数：77=196,

贝！J研刀=386,

所以答案为：C.

压轴精练

1.如图，边长为1的菱形/四中，庐60。.连接对角线/C,以4C为边作其次个菱形力笫〃，使

/04年60°；连接/G,再以阳为边作第三个菱形阳GZ,使/加6=60°；…，按此规律所作的第〃个

菱形的边长为.

【答案】（6）7.

【解析】解：：四边形力以力是菱形，/的庐60°,：.AB=BO1,ZACB^ZCAB=3Q°,

:.A0乖，止有），

同理可得：AG=^3AC=(⑺)1AG=4?>AG=3yl3=(6)。...

第〃个菱形的边长为：（出广，

故答案为：（.）.

2.如图，在平面直角坐标系中，//阱30°,点/的坐标为（2,0）,过点/作阳」如，垂足为点4,

过4作轴，垂足为点4；再过点4作A^kOB,垂足为点A；再过点屈作轴，垂足为点4…;

这样始终作下去，则4翊的横坐标为（

3•(@)2024D-.(走)2024

2222

【答案】B.

【解析】解：：/〃庐30°,点力坐标为（2,0）,

.•.以=2,

0An=(立)-0A=2.-.^024=2X)2期=3.(巫)由

22222

故答案为：B.

3.(2024•安阳一模)如图，函数丁=(一武"一"的图象记为Cl,它与x轴交于点。和

-2x+8(2<x<4)

点加，将Cl绕点和选择180°得泛，交x轴于点22……,如此进行下去，若点户(103,㈤在图象上，则

〃的值是()

【解析】解：由图可知：横坐标每间隔8个单位，函数值相同，即函数图象重复周期为8,1034-8=12……

5,当x=5时，7=—2,即77F—2,

故答案为：A.

4.(2024•郑州二模)如图，弹性小球从点P(0,1)动身，沿所示方向运动，每当小球遇到正方形的8c

的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次遇到正方形的边时的点为PA-2,0),第2次遇到

正方形的边时的点为P”……，第n次遇到正方形的边时的点为Pn,则点/^oi9的坐标是()

A.(0,1)B.(-4,1)C.(-2,0)D.(0,3)

【答案】D.

【解析】解：依据图象可得：4(-2,0),L(-4,1),一((),3),秋】2,4),据(-4,0),R(0,1),月(—2,0)

20244-6=336....3,

即K024(0,3),

故答案为：D.

5.(2024•偃师一模)如图，在坐标系中放置一菱形OABC,已知信60°,点方在y轴上，OA=\,

先将菱形"6c沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°,连续翻转2024次，点B的落点依次为

B，,员,…,贝IJ5。19的坐标为()

C.(1345,—)D.(1346,0)

2

【解析】解：连接4G如图所示.

,：ZAB(=6Q°,；.△/况■是等边三角形.

：.A(=AB.：.AC=OA.

：.A(=1.

由图可知：每翻转6次，图形向右平移4.

：2024=336X6+3,

点名向右平移1344(即336X4)到点8mA.

:用的坐标为(2,0),

期的坐标为(1346,0),

故答案为：D.

6.(2024•新乡一模)如图，在直角坐标系中，已知点J(-3,0),B(0,4),对△如6连续作旋转

变换，依次得到△1，A2,A3,A4,…，则△2024的直角顶点的坐标为()

C.(8076,—)D.(8064,—)

55

【答案】A.

【解析】解：：点/(-3,0)、6(0,4),

由勾股定理得：AB=5,

由图可知，三个三角形为一个循环，经验一次循环前进的水平距离为：12,

2024+3=673,直角顶点在x轴上，

673X12=8076,

...△2024的直角顶点的坐标为(8076,0).

故答案为：A.

7.(2024•西华县一模)如图，在平面直角坐标系中，函数尸2x和尸-x的图象分别为直线Z,12,

过点(1,0)作x轴的垂线交Z于点4,过点4作y轴的垂线交心于点4,过点4作x轴的垂线交，于点

4,过点4作y轴的垂线交心于点4,…依次进行下去，则点“诩的坐标为.

【解析】解：由图可知：4(1,2),Ai(-2,2),4(-2,-4),4(4,-4),4(4,8),…,

,.,2024=504X4+1,

...点力2024在第~■象限,

,.*2024=1008X2+1,

：.A2^((-2)〃，2(-2)")(〃为自然数).

...4泌的坐标为((-2)1008,2(-2)1008)=(21008,21009).

故答案为:(21008,21009).

8.(2024•郑州联考)如图，在平面直角坐标系中，将正方形的6c绕点。逆时针旋转45°后得到正方

形勿出G,依此方式，绕点。连续旋转2024次得到正方形。2。2赤。24G期，假如点/的坐标为(1,0),那么

点5-024的坐标为()

A.(1,1)B.(0,&)C.(-应，0)D.(-1,1)

【答案】D.

【解析】解：•••四边形/8c是正方形，力=1,

：.B(1,1),

连接留在欧△勿笈中，由勾股定理得：必=&,

由旋转性质得：OB=OBi=OBi=OBi=--=,

：.Bi(0,及)，笈(-1,1),序(-&,0),…，

360+45=8,每8次一循环，2024+8=252....2,

点为24的坐标为(-1,1).

故答案为：D.

9.(2024•安阳二模)将直角三角形纸板。16按如图所示方式放置在平面直角坐标系中，5在x轴上,

OB=4,的=26将三角形纸板绕原点。逆时针旋转，每秒旋转60°,则第2024秒时，点力的对应点2

的坐标为()

4(-3,-G)B.(3,-y/3)C.(-3,73)D.(0,2>/3)

【答案】A.

【解析】解：3604-60=6,

即每6秒一循环，

20244-6=336....3,

即2024秒时，点A与其对应点A'关于原点。对称，

=4,//必=30°，

可得：可3,后),

.•.第2024秒时，点/的对应点/的坐标为(一3,-73),

故答案为：A.

10.正方形26切的位置在坐标中如图所示，点4，的坐标反别为(1,0)、(0,2),延长力交x轴于

点4,作正方形/出GC,延长G片交x轴于点4,作正方形45GG,…按这样的规律进行下去，第2024个

正方形的面积为

34032

【答案】5

【解析】解：:四边形口是正方形,

：.AD=AB,NDAB=/AB俏N=ZDOA,

ZAD(KZDAO=90°，N为决N掰4=90°，

：.ZADO-ZBAAlf

•；NDOA=/ABAi,

：.£\DOA^/\ABAi,

.OABA1

••------------——,

ODAB2

由勾股定理得：AB=AD=布,

3/s

...第2个正方形的边长相反?=」，面积=

2

同理，第3个正方形的面积为：-x

第4个正方形的面积为

.,.第2024个正方形的面积为：52

3

即答案为：5

11.（2024•郑州模拟）如图所示，一动点从半径为2的。。上的题点动身，沿着射线幽。方向运动

到。。上的点出处，再向左沿着与射线/I。夹角为60°的方向运动到。。上的点42处接着又从42点动身，

沿着射线A2O方向运动到0。上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到0。上的点幽

处；……按此规律运动到点A2017处，则点力2017与点题间的距离是

44

【答案】4.

【解析】解：由图分析可知，4点与4点重合,

20244-6=336........1,

即点42017与4重合,

:。。的半径为2,

...点A2017与点A0间的距离是4.

12.（2024•洛宁县模拟）如图，由一些点组成形如正多边形的图案，依据这样的规律摆下去，则第〃

（〃>0）个图案须要点的个数是.

【答案】n+2n.

【解析】解：由图知，第1个图形点数为3+0X3,第2个图形点数为4+1X4；第3个图形点数为5+2

X5；第4个图形点数为6+3X6……

第〃个图形点数为：（加2）+（72—1）（72+2）=n+2,n,

即答案为：n+2n.

13.（2024•泌阳三模）如图所示的坐标系中放置一菱形小8C,已知信60°,点8在y轴上，OA=1,

先将菱形如比1沿x轴的正方形无滑动翻转，每次翻转60°,连续翻转2024次，点6的落点分别是印，加，

Bi,……，则加024的坐标为

【答案】（1345.5,A/3）.

【解析】解：由题意知：OB=y/3OA=y/3,即6（0,出）,

'-B\.的纵坐标为：,横坐标为：A/3X=—,

222

即夕i（3,立），

22

2024=336X6+1,

求得：52024(336X4+-,后)，即位024(1345.5,百),

2

故答案为：(1345.5,