高中一年级上学期数学《基本不等式（第2课时）》教学课件

2.2.2

基本不等式(第2课时)目录复习公式总结方法1公式应用题型分析2总结提升牛刀小试3巩固强化综合应用4一、复习公式

总结方法复习公式总结方法

称

为基本不等式，当且仅当

时，等号成立.

其中

叫做正数

的算数平均数，

叫做正数

的几何平均数.

基本不等式复习公式总结方法正定等

为正实数

积或和为定值

等号成立时

相等“一正、二定、三相等”用基本不等式求最值的条件二、公式应用

题型分析

例1(1)已知

且

，求

的最小值．题型一利用基本不等式求代数式的最值

例1(2)若正数

满足

，则

的最小值是()

A. B.

C．5

D．6

例1(1)已知

且

，求

的最小值．题型一利用基本不等式求代数式的最值

解：

当且仅当

即

时取等号．故

的最小值为

题型一利用基本不等式求代数式的最值

例1(2)若正数

满足

，则

的最小值是()A. B.C．5

D．6解：

当且仅当

即

时等号成立．

故

的最小值为5.

【答案】C

小结提升(1)要创造条件应用均值定理，和定积最大，积定和最小；(2)注意“1”的代换技巧；

(3)多次应用时，必须保证每次取等号的条件相同，等号才可以传递到最后的最大(小)值.本题(1)易错解为：

其错因是两次用基本不等式时等号不能同时成立．题型二利用基本不等式证明不等式证明:(方法一综合法)

当且仅当a＝b＝c时取等号，

例2(1)已知a，b，c均为正实数，求证：

.

题型二利用基本不等式证明不等式证明:(方法二比较法)

当且仅当a＝b＝c时取等号，

例2(1)已知a，b，c均为正实数，求证：

.

题型二利用基本不等式证明不等式

例2(1)已知a，b，c均为正实数，求证：

.

证明:(方法三分析法)要证只需证由

可得上述不等式成立，当且仅当a＝b＝c时取等号，题型二利用基本不等式证明不等式

例2(2)已知a，b，c均为正实数，且

，求证：

.

证明:

均为正实数，

同理

以上三个不等式两边分别相乘得

，当且仅当a＝b＝c时取等号．

小结提升：在解题过程中，把数、式合理地拆分，或者恒等地配凑适当的数或式，这是代数变形常用的方法，也是一种解题的技巧，在本节中应用较多．三、总结提升

牛刀小试例3（1）若

，求

的最大值；（2）若

，求

的最小值；（3）当

时，求

的最小值；（4）求函数

的最小值．巩固强化综合提升当且仅当

，即

时，等号成立，因此所求的最大值为.例3（1）若

，求

的最大值；（2）若

，求

的最小值；解：（1）因为

，所以,巩固强化综合提升当且仅当

，即

时，等号成立，因此所求的最小值为.解：（2）因为

，所以,例3（1）若

，求

的最大值；（2）若

，求

的最小值；巩固强化综合提升当且仅当

，即

时，等号成立，因此所求的最小值为.解：（3）因为

，所以,例3（3）当

时，求

的最小值；（4）求函数

的最小值．巩固强化综合提升解：（4）令

，则,且

由

，当且仅当

，等号成立，

即当

时，函数的最小值为

.

例3（3）当

时，求

的最小值；（4）求函数

的最小值．利用基本不等式求分式结构函数的最值时，一般是先分离常数，构造适当的形式，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．巩固强化综合提升

例4(1)已知

求证：

.

证明:

当且仅当a＝b＝1时取等号，

本题还可采用比较法、分析法证明．

例4(2)已知

，且

求证：

.

证明:(2)因为，且所以当且仅当时取等号．

四、巩固强化

综合提升巩固强化综合提升例5如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．

(1)现有可围

长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

(2)若使每间虎笼面积为

，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？巩固强化综合提升例5(1)设每间虎笼长为

，宽为

，则由条件得

，即

.设每间虎笼面积为S，则S＝

.方法一：由于

，

得

即

当且仅当2x＝3y时，等号成立．由

解得故每间虎笼长为4.5

m，宽为3

m时，可使面积最大．巩固强化综合提升例5(1)方法二：由

，得

.

当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.

故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使面积最大．巩固强化综合提升例5(2)由条件知

设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.方法一：当且仅当2x＝3y时，等号成立．由

解得故每间虎笼长为6m，宽为4m时，可使钢筋网总长最小．

巩固强化综合提升例5(2)方法二：由

得当且仅当

即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长为6m，宽为4m时，可使钢筋网总长最小．利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等