2021届高考数学文化习题集(解析版)

2021年数学文化专项习题集 2 8三、数学文化与数列 一、数学文化与阅读例1.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图1所示的三角茨三角形中相邻两行满足的关系式是例2.在数学中，泰勒级数用无限项连加式级数来表示一个函数，包括正弦，余弦，正切三角函数等等，其中泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒 (SirBrookTaylor)的名字来命名的.1715年，泰勒提出了一个常用的方法来构建这一系列级数并适用于所有函数，这就是后来被人们所熟知的泰勒级数，并建立了如下指数函数公A.1.601B.1.642C.1.648D.1.647【解析】由题意，只需要精确到0.001即可，令x=0.5,n=4,代入可得，1上公布的一个猜想：任给一个正整数n,如果n是偶数，就将它减半；如果n是奇数，就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数n经过7次运算后首次得到1,则n的所有不同取值的集合为经过7次运算后首次得到1,即可设第7次的运算结果为a₇=1,若第6次为奇数，则3a₆+1=1,解得a₆=0,不符合；若第4次为偶数，贝不符合；若第3次为偶数，贝++++若第1次为奇数，则若第1次为偶数，则■·,解得■·①3n+1=10,解得n=3;②3n+1=64,解得n=21;,解得n=20;n,如果它是偶数，则除以2;如果它是奇数，则将它乘以3加1,这样反复运算，最后结果必然是1.这个题目在东方被称为“角谷猜想”,世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明.例如取n=13,则要想算出结果1,共需要经过的运算步数是()A.9B.10C.11D.12【解析】由题意：任取一个正整数n,如果它是偶数，则除以2;如果它是奇数，则将它乘以3加1.第一步：n=13为奇数，则n=13×3+1=40:第二步：n=40为偶数，则第三步：n=20为偶数，则第四步：n=10为偶数，则第五步：n=5为奇数，则n=5×3+1=16;第六步：n=16为偶数，则第七步：n=8为偶数，则第八步：n=4为偶数，则所以共需要经过的运算步数是9.例5.中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示),表示一要纵横相间，其中个位、百位、方位....用纵式表示，十位、千位、十万位...用横式表示，则56846可用算筹表示为()纵式横式中国古代的算筹数码:56846用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6,从题目中所给出的信息找出对应算筹表B.意即“设x为某某”如图2所示的天元式表示方程,其中一==πⅢan-1或试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是()A.x²+286x+1743=0B.x⁴+27x²+84x+163=0C.1743x²+286x+1=0D.163x⁴+84x³+27x+1=0【解析】由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1,286,1743,由“元”向上每层例7.分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中边的中点为顶点的三角形),然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”按上述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所示),按上述操作7次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为()A.35B.3C.37D.38【解析】如图，根据题意第1次操作后，图形中有3个小正三角。页7第2次操作后，图形中有3×3=32个小正三角.第3次操作后，图形中有9×3=3³个小正三角.所以第7次操作后，图形中有37个小正三角.34乙酉、丙戌.癸巳，..,共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的【解析】根据规则，2019年是己亥年，2020年是庚子年，2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年，2026年是丙午年，故选：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0艮王1坎比2巽3,其表示的十进制数是()A.33B.34C.36D.35【解析】选B由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010,转化为十进制数为0×20+1×2¹+0×2²+0×2³+0×2⁴+1×2⁵=34.故选B.例10.中国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”如图，一位古人在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录捕鱼条数，由图可知，这位古人共捕鱼()A.89条B.113条C.324【解析】该图的五进制数为324,根据进位制的定义将五进制转换成十进制计算可得：3245=4×5+2×5¹+3×5²=89,故选A二、数学文化与函数例11.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.定义：图象能够将④函数y=f(x)是“太极函数”的充要条件为函数y形.其中正确的命题为()A.①③B.①③④C.②③D.①④【解析】选A过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆O,2-4-3-2-1oi235xy2-3-2-10巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学m-m₂=2.5(1gE₂-1gE₁).较小时，10≈1+2.3x+2.7x²)A,1.24B.1.25C.1.26D.1.27,解得 页10中因为中故答案为：8由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上.九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第n个圆环解下最少需要移动的次数f(n)=f(n-1)+2f(n-2)+1,则解下第5个圆环最少需要移动的次数为()A.7B.16C.19D.21f(4)=f(3)+2f(2)+1=4+2+1=7,f(5)=f(4)+2f(3)+1=7+8+1=16,例15.秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法.秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法.其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法.用秦九韶A,3,5.6426B,4,5.6426C.3,5.6416D.4,5.6416v₁=2.6,v₂=4.56,v₃=2.736,v₄=5.6416,所以函数的值为5.6416,故选C三、数学文化与数列长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，莞草第1天长高1尺.以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍。问第几天蒲草和莞草的高度相同?”根据上述的已知条件，可求得第0.4771,Ig2≈0.3010).和为An;莞草的长度组成首项为b₁=1,公比为2的等比数列{bn],设其前n项和为Bn.则An EQ\*jc3\*hps48\o\al(\s\up56(—),1) 令3 EQ\*jc3\*hps48\o\al(\s\up56(—),1)即第3天时蒲草和莞草长度相等.a,(n∈N*),等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数1☆57☆283445☆页126aso=50×54=2700.例18.我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二.问物几何?”这里的几何指多少的意思.翻译成数学语言就是：求正整数N,使N除以3余2,除以5余2.根据这一数学思想，今有由小到大排列的所有正整数数列{a.}、{b.},{a}满足被3除余2,a₁=2,{b.}满足被5除余2,A.C₂=a₁+bB.c₆=a₂b₃C.Cw=aD.a₁+2b₂=C₄cn=2+15(n-1)=15n-13,例19.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了()A.96里B【解析】由题意可知此人每天走的路程构成公比为的等比数列，设此人第一天走的路程例20.《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸【解析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{a},S是其前n项和，则所以a₄=10.5,所以公差d=a₃-a₄=-1,正三角形的数，如1,3,6,10,15,...我国宋元时期数学家朱世杰在(四元玉鉴》中所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，.).若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛总共球的个数为()三角锥垛A.55B.220C.285D.385规格为：①A0规格的纸张的幅宽(以x表示)和长度(以y表示)的比例关系为,解得d=-1,尺.故答案为：15.5尺.堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何?A.84B.159C.234D.243理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高C.m+504D.2m+504又两式相加可得则人所得与下三人等。问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、页16乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中，甲所得为【解析】【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为则a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,解得a=-6d,又a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5.卷下第二十六题，叫做“物不知数”,原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数 之剩三，七七数之剩二.问物几何?现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为()A.56383B.57171C.59189D.61242【解析】被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23,公差为5×7=35的等差数列，,解得=故该数列各项之和为故选：C.例28.《张邱建算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著.书中有如下问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里。问日行几何?”其意思是：“现有一匹马，行走的速度逐渐变慢，每天走的里程是前一天的一半，连续行走7天，共走700里路，问每天走的里数为多少?”则该马第4天走的里数为()又解得从而故选C.例29.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样.马吃了微信公众号：数学研讨首发整理牛的一半，羊吃了马的一半.”请问各畜赔多少?它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食(1斗=10升),三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同.马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半.问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食?()“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈.问半月积几何?”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按30天计)共织布9匹3丈.问：前半个月(按15天计)共织多少布?”已知1匹=4丈，1丈=10尺，可估算出前半个月一共织的布约有()A.195尺B.133尺C.130尺故选：B (注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”,则第30天织布()A.7尺B.1例32.朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下一段话：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”该段话中的1864人全部派遣到位需要的天数为()A.9B.16C.18D.20公差d=7的等差数列.设1864人全部派遣到位需要n天，则7n²+121n-3728=0,解得n=16或舍去).故选B例33.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(gui)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始.若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸),则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是()33030立夏大暑处暑冬至27大雪A.五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸【解析】选B设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{an},公差为d,a₁=15,a₁3=135,则15+12d=135,解得d=10.所以a₂=15+10=25,所以小暑的晷长是25寸.故选B.人们称之为神奇数.具体数列为1,1,2,3,5,8,即从该数列的第三项数字开始，每页19例35.“斐波那契”数列是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的.数列中的一系列数字常被人们称为神奇数.具体数列为：1,1,2,3,5,8,13,.,即从该数列的第三项开始，每个数字A.2mC.m+1D.m—1【解析】;因为an+2=an+an+1=an+an-1+an=an+an-1+an-2+an-1=an+an-1+an-2+an-3+an-2=..=an+an-1+an-2+an-3+...+a₂+ai+a₂=Sn+1,所以S₂019=a2021-1=m-1.故选D.文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是,则此数列的第20项为()A.220B.200C.180D.162此数列的第20项为2×10²=200.故选B.例37.《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗.苗主责之粟五斗.羊主曰：“我羊食半马”.马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何.其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半。”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟?在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿()A斗粟B斗粟C斗粟口斗粟【解析】选C法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为a₁,a₁,a₃,则这3个数依次成等比数列，公比q=2,所以a₁+2a₁+4a₁=5,解得故11页20故选C.法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是1:2:4,故牛主人应赔偿斗),羊主人应赔偿故牛主人比羊主人多赔偿天减半，问几天两只老鼠能相遇，相遇时各自打了多少尺的墙.如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sa=_尺.【解析】由题意可知大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前n天打例39.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，若共得到4095个正方形，设初始正方形的边长头于则最小正所以最小正方形的边长例40.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)有以下四个命题：①f(x))=1;A.4B.3C.2D.1=kAx的值域是+2)※2017=(2n)※2017+3.则2018※2017=A,—3022B.3022C.—3025D.3035lan+1l+lanI=3,所以有一a₃—a₂=-as-a4=..=-a2019-a₂018=3,即a₃+a₂=as+a₄=例44.设集合A={-1,0,1},集合B={0,1,2,3},定义A*B={(x,y)lx∈ANB,y∈AUB},则A.7B.10C.2⁵D.52【解析】因为A={-1,0,1},B={0,1,2,3},所以ANB={0,1},AUB={-1,0,1,2,3}.由A∩B,可知x可取0,1;由y∈AUB,可知y可取-1,0,1,2,3.所以A*B中的元素共有2×5=105,12,13;7,24,25;9,40,41,以此类推，可猜测第5组股数的三个数依次是3²=4+5,5²=12+13,7²=24+25,9²=40+41,11²=60+61…由以上特点我们可知第⑤组勾{-1,0,1},Q={-2,2},则集合PaQ中元素的个数是()A.2B.3C.4故该集合中共有3个元素，所以选B.A.βB.2C.2√3所以θ=则,所以θ=则,A—DCC₁,A—DD₁C,共6个.同理，以B,C,D,A,Bj,C,D₁为其中一个顶点的三但所有列举的(法号：一行)为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法一二次插值算法(又称一行4中4中A.B处的函数值分别为4奴奴记为n,则定积由函数y=f(x)与y=g(x)的图象可知两个函数的图象有4个交点，所以m=1,n=4.例52.已知x为实数，[x]表示不超过实数x的最大整数，则函数f(x)=x-[x]在R上为()A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数2;.所以可作出函数f(x)的图象如图所示.由图象可知，f(x)在R上为周期函数.故选D.22-3-2为x+2y-z-2=0.五、数学文化与三角函数即有故积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从陽,开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是【解析】sinC=2sinAcosB’二又.b²+c²=2,a²=2-c²····故答案为：OB的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面(扇环)部分的概率是故选：C例57.《九章算术》是我国古代著名数学经典其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何?”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺问这块圆柱形木料的直径是多少?长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为()(注：1丈=10尺=100寸，A.600立方寸B.610立方寸C.620立方寸D.633立方寸【解析】所以∠AOD=22.5°,即∠AOB=4平方寸.故选D.又所=λAB+μAC页29所例59.干支纪年历法(农历),是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存.黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法.干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.受此周期律的启发，可以求得函数的最小正周期为A.15πB.12πC.6πD.3π【解析】由天干为10个，地支为12个，其周期为其公倍数：60故可得：y=cos3x的周期T、T₂的最小公倍数为6π,故f(x)的最小正周期为6π.例60.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式：设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则△ABC的面积S=△ABC的面积为()A.√3B.2C.3D.√6故选A.例61.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了页30A.1B.2C.4【解析】由题设n=4-m²=4-4sin²18°=故选B.时所用的经验公式，即弧田面积弦×矢十矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公现有圆心角为半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是平方米.(结果保留根号)可得AB=2AD平方米).处将其顶角截去，截去20个顶角后剩下的如图2所示的结构就是足球的表面结构.已知正二十面体是由20个边长为3的正三角形围成的封闭几何体，则如图2【解析】由题原来正二十面体的每一条棱都会保留，正二十面体每个面3条棱，此外每个面会产生3条新棱，共产生3×20=60条新棱，∴共有90条棱.由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面，其棱长为.【解析】中间层是一个正八棱柱，有8个侧面，上层是有8+1,个面，下层也有8+1个面，该半正多面体共有8+8+8+2=26个面，设其棱长为x,则解得x=√2-1.例66.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体【解析】该模型为长方体ABCD-AB₁CD,挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3,那么,近似公L²h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()【解析】设圆锥底面圆的半径为r,高为h,则L=2πr,;.故例68.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何?”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛.问该粮仓的高是多少?已知1斛粟的体积为2.7立方尺，1丈为10尺，则该粮仓的外接球的表面积是()平方丈平方丈平方丈平方丈【解析】由题意画出图形，长方体ABCD-ABCD中，AD=3,AB=4.5,V=10000×2.7×10-³=27,粮仓的高(丈).长方体的外接球的直径长方体外接球的表面积为(平方丈),故选：C.例69.如图是古希腊数学家阿基米德用平衡法求球的体积所用的图形.此图由正方形ABCD、半径为r的圆及等腰直角三角形构成，其中圆内切于正方形，等腰三角形的直角顶点与AD的中点N重合，斜边在直线BC上.已知S为BC的中点，现将该图形绕直线NS旋转一周，则阴影部分旋转后形成的几何体积为()A.B.πr³C.2πr³页34【解析】依题意，如图，ES=2r,BS=OF=r设球的体积为V球，设由RT△NFO旋转得到的圆锥体积为V,由RT△NSE旋转得到的圆锥体积为V₂,由直角梯形OSEF旋转得到的圆台的体积为V.则由阴影区域旋转得到的体积例70.古希腊数学家阿基米德构造了一个“圆柱容器”的几何体：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上，下底面相切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的体积之比为()A.²B3【解析】在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上，下底面相切，则：该圆柱的底面直径为2r,高为2r,所以圆柱的体积为：V=sh=xr²2r=2πr³,球的体积为：,故故选：D.,,个美除如图所示，面ABCD、面ABFE、面CDEF均为等腰梯形，AB//CD//EF,AB=6,CD=8,EF=10,EF到面ABCD的距离为3,CD与AB间的距离为10,则这个羡除的体A.110B.116C.118D.120【解析】过A作AP⊥CD,AM⊥EF,过B作BQ⊥CD,BNLEF,垂足分别为P,M,将一侧的几何体放到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积棱柱的高为8,∴V=15×8=120.故选D.例72.刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积.刘徽通过计算，“牟合方盖”的为球的半径，也即正方形的棱长均为2r,从而计算出.记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正，棱长为2r的正方形的方盖差为VD.√3所有棱长都为r的正四棱锥的体积为:=2.例73.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，如图为一个“堑堵”,即三棱柱ABCA₁B₁C₁,其中AC⊥BC,已知该“堑堵”的高为6,体积为48,则该“堑堵”的外接球体积的最小值为所以xy=16.A.2√5B.5C.√29D.4√2例75.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖膈，在鳖膈A-BCD中，AB⊥平面BCD,且有BD⊥CD,AB=BD=2,CD=1三角形PBD的面积的最小值为所以PQ//AB,QM//CD,PM⊥BD,所中中所以三角形PBD的面积的最小值为例76.《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”,把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”现有如图所示的“斬堵”3则“堑堵”即三棱柱ABC-A,BC的外接球的表面积为【解析】Bc-∴BC=1.此时“蚯堵”即三棱柱C的外接球的ABC=90°,AB=AA₁=2,BC=22则CAA.30°B.45°C.60°D.90°∴CA₁与平面ABB,A所成角的大小为45°故选：B.例78.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称.从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为.(容器壁的厚度忽略不计)页39【解析】由题意，该球形容器的半径的最小值为∴该球形容器的表面积的最小值为例79.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm,细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的²(细管长度忽略不计).(1)如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm³的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒(精确到1秒)?(2)细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度(精确到0.1cm).【解析】(1)开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为底面半径为,V÷0.02=1986,V÷0.02=1986所以沙全部漏入下部约需1986秒.4(2)细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的4,锥形沙堆的高度约为2.4cm.页40例80.(2015全国I,理6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛,所以立方尺).剩余部分沿虚线折叠并拼成一个体积为点向底面作垂线，垂足是底面中心.将该四棱锥如图2放置，若其正视图为正三角形，则正 方形纸片的边长为 即四棱锥的高为设正方形纸片的边长为a,又四棱锥的斜高为x,由已知折叠过程可得于于中中为：6.曰：“倍上袤，下袤从之.亦倍下袤，上袤从之.各以其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,则该“刍童”的体积的最大值为()C.39D【解析】选B设下底面的长为由题可知上底面,则下底面的宽为矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,所以其体积故当,体积取得最大值，最大值故选B.例83.《九章算术》中，将如图所示的几何体称为刍薨，底面ABCD为矩形，且EF//底面ABCD,EF到平面ABCD的距离为h,BC=a,AB=b,EF=c,贝十A.1B.所以AB⊥平面BCD,且BD⊥CD,AB=BD=CD,点P在棱AC上运动，设CP的长度为x,若△PBD的面积为f(x),则函数y=f(x)的图象大致是()ABCD【解析】选A如图，作PQ⊥BC于Q,作QR⊥BD于R,连接PR,则PQ//AB,QR//CD.因为PQ⊥BD,又PQNQR=Q,所以BD⊥平面PQR,所以BD⊥PR,即PR为△PBD中BD边上的高.设AB=BD=CD=1即:中,所以中的表面积是()A.25πB.50πC.100πD.200π七、数学文化与概率统计A.134石B.169石C.338石D.1365石形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计),则油恰好落入孔中的概率是()以逆读.数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、、99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是_【解析】三位数的回文数为ABA,A共有1到9共9种可能，即1B1、2B2、3B3、B共有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、..共有9×10=90个，其中的偶数即为A是偶数，共4种可能，即2B2,4B4,6B6,8B8,共有4×10=40个，例89.2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎(coVID-19)疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大.武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”,这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳页44CD√33【解析】设事件A:检测5个人确定为“感染高危户”,事件B:检测6个人确定为“感染高危即3.1415926<π<3.1415927,为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”,让同学们从小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6随机选取两位数字，整数部分3不变，那么得到的数字大于3.14的概率为()A.【解析】选择数字的方法有：5×6+1=31种，其中得到的数字不大于3.14的数字为：3.11,3.12.3.14,据此可得：得到的数字大于3.14的概率为.本题选择A选项.例91.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.现拟从这5部专著中选择2部作为页45专著的概率为()A.其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为()o6A.况有：C.方法称为“金钱起卦法”,其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻.若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻.若每一枚钱币正面向上的概率为中则一卦中恰有两个变爻的概率为()页47【解析】由已知可得三枚钱币全部正面或反面向上的概率,求一卦中恰有两个变爻的概率实际为求六次独立重复试验中发生两次的概率，例94.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，是著名的斐波那契数列，它的递推公式是若从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为()A.B.C.【解析】数列第1个，第2个为奇数，故第3个为偶数，第4个，第5个为奇数，第6个个，故为偶数.根据规律：共有偶个，故例95.2019年庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全彰显强军成就.装备方阵堪称“强军利刃““强国之盾”,见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注，还得到了无数外国人的关注.某单位有6位外国人，其中关注此次大阅兵的有5位，若从这6位外国人中任意选取2位做一次采访，则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为()【解析】这6位外国人分别记为a,A,B,C,D,E,其中a未关注此次大阅兵，则基本事件有(a,A),(a,B),(a,C).(a,D),(a,E),(A,B).(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D).(B,E),(C,D),例96.齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹.田忌的王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现在从双方的马匹中随机各选一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为()【解析】设齐王上等、中等、下等马分别为A,B,C,田忌上等、中等、下等马分别为的马获胜的概率为故选C.的两种物质不相生的概率为()的两种物质不相生的概率故选：D若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为A.√2fB.√2²fC.52⁵fD.27f故选D.例100.随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地.在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形.如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为三部分，第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3,宽为1;第二部分为圆环部分，大圆半径为3,小圆半径为2;第三部分为圆环内部的白色区域.在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，则此点取自图标第三部分的概率为()【解析】选B图标第一部分的面积为8×3×1=24;图标第二部分和第三部分的面积为π×32=9π;图标第三部分的面积为π×2²=4π.则此点取自图标第三部分的概率为选B.例101.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中把三角形的田称为“圭田”,把直角梯形的田称为“邪田”,称底是“广”,称高是“正从”,“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步；正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内的概率为()4A.2D【解析】选B由题意可得邪田的面积圭田的面积页5020,则所求的概率例102.太极图是以