数列求和-2025年高考数学一轮复习（解析版）

第4课时数列求和

［考试要求］1.熟练掌握等差、等比数列的前〃项和公式2掌握数列求和的常

用方法.

［链接教材•夯基固本］落实主干•激活技能

龄梳理•必备知识

1.公式法

⑴等差数列的前〃项和公式：

cn(ai+an),21(21=1),

⑵等比数列的前〃项和公式：

nar,q=1,

♦1(1-q")_鱼q。］

{1-Q・

2.几种数列求和的常用方法

(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组

成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.

(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互

抵消(注意消项规律)，从而求得前〃项和.

常见的拆项类型

①分式型：1]

n(n+/c)k\nn+k)，(2n—l)(2n+l)2\2n—12n+l/n(n+l)(n+2)

111]

2Ln(n+1)(n+l)(n+2).

n

②指数型:_______2_____________1__________1__________n_+_2__________1___________1卒

(2n+1-l)(2n-l)-2n-l—2n+1-l'r(1+l)・2rl-2九一1一(4+1)・2,寸；

③根式型:厂JeW(Vn+T-6)等；

④对数型:=log„,tz„1-loga„,m>0且机WL

an+m

(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应

项之积构成的，那么求这个数列的前〃项和可用错位相减法求解.

(4)倒序相加法：如果一个数列满足与首末两端等“距离”的两项的和相等或等

于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法求解.

(5)并项求和法：一个数列的前〃项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和•形

如诙=(—的数列求和，可采用两项合并求解.

例如，1002-992+982-9724---F2-I2

=(100+99)+(98+97)H---F(2+l)=5050.

提醒：无论用哪一种方法求和，最后可以用S,电进行验证.

［常用结论］

(i)y:=1+2+3+…+

⑵W(2k1；=1+3+5+…+(2〃一1)=肥;

R

⑶、1=13+23+-+«3=[|n(njLl)]2；

r^i

n

(4)>H=l2+22+32+-+/z2=i^+lj£2«+y.

©激活•基本技能

一'易错易混辨析(正确的打，错误的打“X”)

(1)已知各项均不为零的等差数列｛an｝的公差为d—0),则有‘一=

anan+l

()

d\anan+1J

(2)当“22时，高=；(2一左).()

(3)求S；=a+2a2+3a3~］---时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错

位相减法求解.()

(4)利用倒序相加法可求得sin21°+sin22°+sin23°H---Fsin288°+sin289°=44.5.

()

［答案］(1)V(2)V(3)X(4)V

二、教材经典衍生

1.(人教A版选择性必修第二册P51练习T2改编)数列｛斯｝的前n项和为S”若

即=7%，则S5等于()

n(n+l)

A.1B.|

1=

B[,•"an=7,n~—77，.*.S5=ai+。2HI-a5=l-1+1-^

n(n+l)nn+l223566

2.(人教A版选择性必修第二册P51练习「改编)数列｛③｝的通项公式为的=(—

1)汽2〃一1),则该数列的前100项和为()

A.-200B.-100

C.200D.100

D[5ioo=(-l+3)+(-5+7)H---F(-197+199)=2X50=100.]

3.(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3T3(I)改编)若数列｛斯｝的通项公式为

斯=2"+2〃一1,则数列｛斯｝的前〃项和为()

A.2"+/—1B.2n+1+w2—1

C.2"+】+〃2—2D.2"+〃一2

C[S"=m+02+03+…+。口

=(21+2X1—l)+(22+2X2—1)+(23+2X3—1)+…+(2"+2〃一l)=(2+22

---1-2")+2(1+2+3H---卜〃)—〃=2(；；)+2乂"：1)一〃

=2(2"—1)+〃2+〃—〃=2"+1+/—2.]

4.(人教A版选择性必修第二册P4o习题4.3T3⑵改编)l+2a+3a2+…+〃相」=

1—annany、

------(zaW1)9

:;1二;)1-a[记&=1+2。+3〃2+・・・+〃陵-1,

｛-2-(G-1)

当a=1时，S及=1+2+3+…+〃=，(〃+1);

当aWl时，aSn=a+2a2+3ai-\---\~(n~l)anA+nan,

=23nAn

(1—a)Sn1+a+a^-a+•••+a—na.

du,、？cl-annan/-、

所以5〃=中一H伍z/1)，

l-annan1

(用1-。'a」

｛型，a=l.

[典例精研•核心考点]重难解惑•直击高考

考点一分组求和与并项求和

考向1分组求和

=

［典例1］在数列｛a〃｝中，ai=-1,an2an-i~h3n—6(〃三2,〃GN*).

(1)求证：数歹！J｛斯+3〃｝为等比数列，并求数列｛斯｝的通项公式;

(2)设bn=an+ri,求数列｛儿｝的前〃项和Tn.

［解］(1)证明：•.,。"=2念_1+3〃一6(〃三2,〃GN*),

a+3n_2a-i+3n—6+3n_2(a-i+3n—3)

当〃三2时nnn=2,

CLfi—14~3(ri—1)an—i+3zi—3QN—J+STT.—3

J数列｛斯+3〃｝是首项为QI+3=2,公比为2的等比数列,

n

/.an-\-3n=2,Q〃=2〃一3”.

==n

(2)bnan~\~n2—3〃+〃=2〃一2n,

数列｛儿｝的前〃项和。=从+a+…+为=(21—2)+(22—4)+(23—6)+~+(2〃一

2n)

=2'+22H----F2“一(2+4+6+…+2〃)=^|fp—等X〃=2"+i—2—〃(〃+1).

考向2并项求和

［典例2］已知等差数列｛。“｝的前〃项和为S“，怒=9,S5=25.

(1)求数列｛an｝的通项公式及Sn-,

(2)设儿=(—1)〃S”求数列｛bn｝的前〃项和Tn.

［解］(1)设数列｛。〃｝的公差为d,由§5=5。3=25,得。3=<71+24=5,

又a5=9=m+4d,所以d=2,ai=l,

所以a”=2〃-1,Sn="I+；T)==2.

(2)结合(1)知儿=(一1)"〃2,

当〃为偶数时,

A=(A1+bi)+(Z>3+力4)+(、5+方6)Hb(bn-\+bn)

=(-12+22)+(-32+42)+(-52+62)+-+［-(«-1)2+«2］

=(2—1)(2+1)+(4—3)(4+3)+(6—5)(6+5)+…+［〃一(〃-+

=1+2+3+…

当n为奇数时，〃一1为偶数，

T"=Tn_l+(—iy•〃2="H—〃2=一当由

综上可知，yD

名师点评分组求和与并项求和的常见类型

(1)若可=从±盘,且｛儿｝，｛扇｝为等差或等比数列，则可采用分组求和法求｛斯｝的

前n项和.

(2)通项公式为念=［以’”为的数列，其中数列｛儿｝,｛为｝是等比数列或等

lc„,律为偶数

差数列，可采用分组求和法求和.

(3)如果〃=(—1)"•呢，求｛c〃｝的前〃项和时，可采用并项求和法求解.对〃分

奇数、偶数讨论，建议先求〃是偶数时S”，当〃为奇数时，Sn=Sn^+cn.

［跟进训练］

1.(2024•四川乐山模拟)已知等差数列｛a〃｝的前三项和为15,等比数列｛儿｝的前

三项积为64,且ai=bi=2.

(1)求｛斯｝和｛儿｝的通项公式；

(2)设c产•［汇”?片求数列出｝的前20项和.

kjbn,正为偶数，

［解］(1)设等差数列｛斯｝的公差为",等比数列｛瓦｝的公比为4,由条件可知,ai

+。2+。3=3。2=15,得'02=5,d=C12-0=3,

所以。”=2+(〃-1)X3=3«—1,

等比数列｛儿｝中，6励3=房=64,则勿=4,］=誓=2,所以儿=2•2对=2".

bi

3n—1,71为奇数，

(2)C,1=n

［22,71为偶数，

对数列｛3〃-1｝,〃为奇数时，3(〃+2)—1—(3〃-1)=6,

所以数列｛为｝的奇数项是首项为2,公差为6的等差数列，对数列｛2司，n为偶数,

所以数列｛为｝的偶数项是首项为2,公比为2的等比数列，所以数列｛Q｝的前20

项和为

+02+03+•••+。20=(。1+。3+•••+019)+(02+04+•••+。20)

=10(2+56)2(1-21。)「2=2336.

21-2

【教师备选资源】

已知数列｛而满足费+缓+…+堂=*

(1)求数列｛斯｝的通项公式;

:笠常，求数列也｝的前〃项”

(2)对于任意的〃GN*,令bn=

［解］⑴当〃=1时，得£=；,解得41=1；

当〃>2时，可得当+砥+…+学=①

。九一1一九一1

n—

2屋一121，

由rJ①7一J②7，^J―2n=—2n—2n~^2n

即a„=2—n,

当〃=1时，0=2—1=1也符合,

所以数列｛斯｝的通项公式为an=2—n.

2-n,ri为奇数,

(2)由(1)及题意知儿=

22-n,71为偶数.

当n为偶数时,

S”=[l+(T)+(_3)+…+2_(〃_1)]+(2°+2々+…+22”)

_-3(3+1)2+12(3+1)+16_1

—123x2n-1

——3n2+6n+254

—123x2n-1*

综上所述,

-3n2+6n+254

为奇数,

123x2n-1n

-3n2+12n+161

律为偶数.

(12-3x2九-2

□考点二裂项相消法求和

3(2022•新高考I卷)记S”为数列｛劣｝的前n项和，已知©1,闰是

vanJ

公差为g的等差数列.

(1)求{斯}的通项公式；

(2)证明：—+—+,••H--—<2.

0.2

［解］(1)ci{=l,.*•S\=a\—1,=1,

又：刖是公差为3的等差数列，

.号=l+g〃—1)=等，：.Sn=^^,

当〃22时，SI=S+I}T,

・_Qq(n+2)an(n+l)an-i

整理得(“-1)呢=(〃+

即工=用〃三2),

an-in—1

：.a„=aix也X…XQx上

ala2an-2an-l

345

---

123

显然对于n=l也成立,

...｛a〃｝的通项公式为斯=竺罗

（2）证明：由（1）知以=竺罗

n(n+l)n+1/?

an\n

.」+-=2卜-|)+（卜引=2（1_/

a)+…+<2.

。2nL\2/\23,

名师点评裂项相消法求和的基本步骤

印已观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形）

跳尸式，分解时要等价：

0二二二二二二二

股卜:寤薮为教场后M否项痛加：

语申而时以清芸的顼箱互痛酒隔新条的看和

消项卜：项相加，得到数列的前“项和，一般剩下的正负1

1*1

——1项个数相同；

［跟进训练］

2.（2024•湖南衡阳模拟）在数列｛而中，B+?+号+…+含=/+机

（1）求｛念｝的通项公式;

1

<-

Q)证明：嬴十有十…十言嬴8

［解］⑴因为3+等+詈+…+弋=/+〃，①

234n+1

则当”=1时，y=2,即<21=4,

当〃三2时，巴+&+0+…+吐1=〃2—〃，②

234n

①一②得含^=2”,所以斯=2〃(〃+1),

。1=4也满足念=2〃(〃+1),故对任意的〃£N*,即=2"(〃+1).

(2)证明■(n+2)。九2n(n+l)(n+2)2(n+1)n(n+2)4(n+l)•&—+)=4［n(n+l)

11所以工+工+…+i=工［_2____L+J____L+…__

(n+l)(n+2)J'3al4a?(n+2')an4Llx22x32x33x4n(n+l)

-------］=-［----------］<-.

(n+l)(n+2)J4|_2(n+l)(n+2,)\8

【教师备选资源】

已知数列｛劣｝满足«i=LS“=”压(S“为数列｛«„｝的前n项和).

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)若儿=(—1严也也,数列｛bn｝的前n项和为Tn,求72023.

anan+l

［解］(1)由5,=妇冲，得S〃_i="尸(〃>2),

两式相减得的="%-上尸(〃巳2),

化简得(〃-1)斯=nan-i,

所以&=久9=~=?=1,所以斯=机

nn—i1

⑵由⑴知儿=(—1)"+1;1署=(-1)"+1(；+a)，所以712023=(1+|)-(|+|)+

G+D岛+盛)+(盛+六)=1+七=翳

口考点三错位相减法求和

［典例4］(2023•全国甲卷)已知数列｛念｝中，42=1,设S"为数列｛诙｝的前〃项

和，2Sn~ndn.

(1)求｛为｝的通项公式；

⑵求数列ai｝的前〃项和T”.

［解］(1)当〃=1时，2sl=m,解得m=0,

=

当时，2Sn-i(n~l)6z«-i,

2an=nan—(n—l)an-i,

.**(n—l)an-i=(n-2)an,

当〃》3时，可得上=三，

cin—in—L

234n-1

：.a,,=^x^x^X-X^-Xa2=n-l,

123n-2

当〃=2或〃=1时，41=0,42=1适合上式,

｛斯｝的通项公式为an=n—l.

(2)由⑴可得黑=白

123

+九

-+-+-

2-

2232n

1123

A+

--+-+-+

2

22324

•IT=1_L±_L_____九_£1一尹)_q=i-1__3-T=2—空

**27^2十22十23丁'2n2n+1i-l2n+12n2n+19**n2n.

2

名师点评错位相减法求和的具体步骤

步骤1f写由Sa=a+c?+…+C"

__碌式两边同乘学比数列的公比i

步骤

“；即</S„=qc,+qc2H----H</c„

步—3H防袤猫检相藏居花葭掌百薮歹除和;

__丽或向僚以1二q最q二i；泵由S1

步骤1―；

；同时注意对q是否为1进行讨论

［跟进训练］

3.(2021•全国乙卷)设｛斯｝是首项为1的等比数列，数列｛儿｝满足儿=詈.已知

Qi,3a2,9a3成等差数列.

(1)求｛斯｝和｛为｝的通项公式;

(2)记S„和Tn分别为｛念｝和｛儿｝的前〃项和.证明：Tn今

［解］(1)设｛斯｝的公比为9,则念=产.

因为Qi,3a2,9a3成等差数列，所以l+9q2=2X3q,解得

故呢=击，bn=^.

(2)证明：由⑴知£=了=|(1—劫，

13

4=抖1+1+…+9①

，号+»*+…+*+提'②

①-②得箱…+*-和

即与产京城__^_=41_工)__匚

整理得—鬻，

则2TLs〃=2(：瑞)_|(1—V0,故T"今

【教师备选资源】

1.(2020•全国I卷)设｛斯｝是公比不为1的等比数列，⑶为°2,。3的等差中项.

(1)求｛念｝的公比；

(2)若。=1,求数歹!］｛〃诙｝的前九项和.

［解］(1)设｛。“｝的公比为q,由题设得2al=02+03,即2al=aiq+aiq2.

所以q2+q—2=0,解得q=1(舍去)或q=-2.

故｛念｝的公比为一2.

(2)记S“为｛〃斯｝的前〃项和.由(1)及题设可得斯=(一2严.

所以a=1+2X(—2)+…+〃X(—2严，

—2S”=-2+2X(—2>+…+(〃一1)X(—2严+〃X(—2)。两式相减可得3sl=1

+(—2)+(—2)2+…+(_2)"-i_〃X(_2)”=^^_〃X(_2)”，

能〜(3n+l)(-2)n

所以------------

【教师备选资源】

2.(2023•福建莆田二模)已知正项数列｛许｝满足而+成+...+<2n=y--|.

(1)求｛念｝的通项公式；

(2)设儿=三,记数列｛0｝的前〃项和为&,证明：S„<4.

an

［解］⑴因为谓+涕+…+成--p①

当n=1时，底=1,

因为an>0,所以m=l,

当“22时，谱+滋+...+ct^-i=----②

①一②得，碎=?一1—(?—；)=4"」=(2"")2,

因为an>0,所以斯=2"/,〃22,

经检验，上式对于n=l也适合，

所以｛斯｝的通项公式为an=2〃\

(2)证明：由(1)得儿=：=〃•(；),

所以S“=lXl+2xg+3xC)2H-----\-n*(3”一\

|s„=lxi+2xg)2+-+(«-l).(I)"，〃・图"，

两式相减得，|&=1+|+Q)+-+Q)-n,Q)=\zr~n*©=2—(〃

2

+2)(|)\所以S"=4一(2"+4)G)",

由于〃@N*,显然(2〃+4)G)”>0,

所以&<4.

课时分层作业(三十九)数列求和

[A组在基础中考查学科功底]

1.(2024•山东济南期中)数列｛念｝中，ai=l,即+i=^4z”(〃eN*).求：

(1)数列｛斯｝的通项公式；

(2)｛斯｝的前〃项和

[解](1)数列｛念｝中，ai=l,斯+1=生炉斯(〃©^),故第=胃乎，

所以上=3_,…，&=咨，故&=〃・2-I

。九-]71—11

所以□=〃•2"i.

1

又ai=1也符合an=n,2"[,故an=n'2"'.

(2)由(1)得：S,=1+2X2〕+…+〃•2»1,①

所以2S"=2+2X22+…+〃•2。②

①一②得：一S“=l+2+22H-----\-2n-l~n•2",

整理得£=(〃-1)•2«+1.

2.(2020•新高考I卷)已知公比大于1的等比数列｛段｝满足42+。4=20,03=8.

(1)求｛念｝的通项公式；

(2)记瓦为｛a〃｝在区间(0,刈(机GN*)中的项的个数,求数列｛如｝的前100项和5100.

[解](1)设等比数列｛斯｝的首项为由，公比为q(q>l).由题设得aiq+a4=20,

aiq~8.

1

解得q=2,q=](舍去).由题设得m=2.

所以｛斯｝的通项公式为an=2".

(2)由题设及(1)知从=0,且当2"Wm<2"1时，bm=n.

所以5100=^1+(Z>2+bi)+(Z?4+Z>5+&6+^7)+…+(632+633+…+^63)+(&64+/>65

+-+/)IOO)=O+1X2+2X22+3X23+4X24+5X25+6X(100-63)=480.

［B组在综合中考查关键能力］

3.(2023•湖南岳阳三模)已知等比数列｛端的前〃项和为出，其公比户T,中

1_

,且64=43+93.

(1)求｛斯｝的通项公式；

logian,71为奇数,

3求数列｛bn｝的前〃项和Tn.

a,71为偶数,

(n

［解］(1)因为｛念｝是等比数列，公比qW—1,则。4=。4，Ct5=aiq4，a7=aiq6,as

=aiq7,

所以笃甩=%吗===：解得q=3,

。7+期Qiq+aiqq27

由S4=S+93,可得弊尹=9内+93,解得内=3,

1—3

所以数列｛a”｝的通项公式为a„=3".

-n,ri为奇数,

(2)由(1)得儿=

3n,n为偶数，

当〃为偶数时，4=为+岳1-----F6"=(b]+b3H----卜儿_1)+(岳+64T------Fbn)=—(1

».ri+(n-ni91-92

+3+…+〃—1)+(32+34+…+3")=-+告*