福建联盟校2024届高三2月大联考数学试题 含答案

保密★启用前

试卷类型：A

准考证号姓名

（在此卷上答题无效）

名校联盟全国优质校2024届高三大联考

数学试题

2024.2

本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在

本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合/={xRx?-5x+2<o},8={x,〉1},则/Pl8=（）

1-i

2.已知i为虚数单位，-----=（）

l-2i

C.@D.叵

2

3.已知用B是两个单位向量，若卜-q=百，则之与B的夹角为（)

71兀2兀5兀

A.B.一C.——D.

6336

4.设直线x—3歹+冽=0（加力0）与双曲线§—方=1（。〉6〉0）分别交于43两点，若线段48的中

4

点横坐标是一加，则该双曲线的离心率是（）

5

yJ~5y/lr-

A.--B.---C.2D.-\j2

22

（x-//）2

5.一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为/（x）=/°鼠石h，其中/0为输出信号功率最大值

（单位：mW）,x为频率（单位：Hz）,〃为输出信号功率的数学期望，为输出信号的方差，3dB带

宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对应函数

（%-2）2

图像的宽度。现已知输出信号功率为/（x）=/°e2（如图所示），则其3dB带宽为（）

A.Vln2B.4Vln2C.3Vln2D.2丁21n2

6.已知外,a3M4,生成等比数列，且2和8为其中的两项，则处的最小值为（）

»,11

A.—32B.-16C.—D.—

3216

7.如图，在三棱锥尸—48。中，AB=BC=42,BA±BC,PA=PB=PC=2,点M是棱6c上一动

点，则9+M4的取值范围是（）

A.&+2近,4B.[2+72,4]

C,「巫巫/D,「巫巫,2+目

2J[2

((2014兀2丫|

8.方程2cos2xcos2x-cos------=cos4x—l所有正根的和为()

A.810兀B.100871C.108071D.1800兀

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列命题正确的是（）

A.若43两组成对数据的样本相关系数分别为弓=0.97,7=-0.99,则/组数据比8组数据的相关性

较强

B.若样本数据看,》2,…,4的方差为2，贝!I数据2占—1,2%—1,…,24—1的方差为8

C.已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据的22%分位数不等于原

样本数据的22%分位数

D.某人解答5个问题，答对题数为X,若丫~8（5,0.6）,则E（X）=3

10.对于函数/（x）=—些,下列说法正确的是（）

A./（x）在x=e处取得极大值:

B.7（x）有两个不同的零点

C-/（4）＜/（^）＜/（3）

D./＜¥

2

11.已知Mn是圆。“：/+y~-2nx-2ny+n=Q^neN*）上任意一点，过点Pn向圆。,引斜率

为勺代＞0）的切线小切点为点4（3〃,〃），则下列说法正确的是（）

,,r~〃+1

A.〃=1时，kx—v3B.yn-----------1-n

n+\

C仔五＜0sinp^]D.+“闱的最小值是£+1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设，是数列｛4｝的前〃项和，一一^=1,%=5,则g024=____.

77+1n

13.设函数/（x）=sin（s+。卜。＞0）在区间（0,万）上恰有两个零点，则①的取值范围是..

14.如图，在aSBE中，SE=BE=1,在直角梯形8EDC中，BE±DE,CD//BE,CD=2,DE=73

OELSE,记二面角S-OE-B的大小为。，若,则直线SC与平面SQE所成角的正弦值

33

的最大值为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

若数列｛%｝的前n项和Sn满足Sn=2an+n-4.

（1）证明：数列｛%-1｝是等比数列；

（2）设勿=log2（%+「l）,求数列也（%,-1）｝的前〃项和

16.（15分）

在三棱柱48。一4片。］中，24=13,在底面△4BC中，^ABLBC,且48=8,80=6,点。为等

12

腰三角形8/C的底边/C的中点，在△A8Q中，有cosNBB、D=—.

（1）求证：BC1B.D；

（2）求直线481与平面片8。所成角的正弦值.

17.（15分）

甲、乙两俱乐部进行羽毛球团体赛，比赛依次按照男子双打、女子双打、混合双打、男子单打、女子单打

共五个项目进行，规定每个项目均采取三局两胜制，且在上述五项中率先赢下三项的俱乐部获胜(后续项

目不再进行比赛).已知在男双项目、女双项目、男单项目这三项的每局中，甲俱乐部获胜的概率均为0.7；

在混双项目、女单项目这两项的每局中，乙俱乐部获胜的概率均为0.8,假设每局比赛之间互不影响.(注:

比赛没有平局，且所有结果均保留「位小数.)

(1)求甲俱乐部在男子双打项目中获胜的概率；

(2)记比赛结束时所完成的比赛项目数量为随机变量X,求X的分布列和数学期望.

18.(17分)

V221

已知椭圆E的方程为J+二V=1(。〉b〉0),Z为E的左顶点，8为E的上顶点，E的离心率为一,AABO

ab2

的面积为

(1)求E的方程；

(2)过点尸的直线交E于M、N两点，点M且垂直于x轴的直线交直线/N于点笈，证明：线

段的中点在定直线上.

19.(17分)

已知函数/(x)=lnx--.

(1)当a=-l时，求/(x)的极值；

(2)若存在实数0</<<,满足=求/(/)的取值范围.

保密★启用前试卷类型：A

名校联盟全国优质校2024届高三大联考

数学试题答案及评分参考

一、单项选择题

题号12345678

答案DBCADBAC

二、多项选择题

题号91011

答案BCDACBCD

三、填空题

12.404713.(|,1]14.V3-1

四、解答题

15.(13分)

(1)证明：由0=24+〃—4,当〃=1时，可得q=3：.......1分

当〃之2时，(〃-5)，所以见=22_]一1(〃之2)，.......3分

二〃N2时，％-1=2(41一1),.......4分

数列｛4,—1｝是以4-1=2为首项，q=2为公比的等比数列：........5分

aK—1=2",/.=I+2"........6分

1

(2)证明：由(I)知，an^=1+2"",Abn=log,(d„tl-1)=/»+1,.......7分

...“(4一1)=(〃+1>2",.......8分

A7；=2x21+3x22+-+(M+l)x2n,

27；=2x22+3x23+---+(/7+l)x2n+1.......Il分

-7；=2x2,+(22+23-+2n)-(/j+l)2n+1.......12分

所以........13分

16.（15分）

（I）因为点。为等腰三角形B、AC的底边4。的中点,所以BtD±AC.1分

12\32+B,D2-5212

又因以右乙叫。=石.由余弦定理，cosNBBQ=3分

2x13x3］。13

解得8Q=12.4分

因为BD?+BQ?=BB；,由勾股定理知，BD1BtD.5分

又因为8on/c=。，所以J.平面为8c.6分

因为8Cu平面力BC,所以BC1BQ.7分

（2）过点。作0x_LZC,以。为坐标原点建立空间直角坐标系，如图,8分

9分

10分

设平面B.BC的一个法向所为m=（x,必:）,

2418

----x+—y=0A

m-BC=055

则《一，即《11分

而印=0247

—x+—y-12r=0

令x=9,解得平面用8c的一个法向髭为何=（9,12,5）.13分

设力耳与面8/C的夹角为8,

则sing=|cos（函,m）卜号=心叵

14分

13,81+144+2565

所以AB.与面B.BC的夹角的正弦值坦叵

15分

1165

17.(15分)

(1)记事件48,C为男双比赛第一，二，三局甲俱乐部获胜，........I分

则所求概率为P=P(AB+ABC+ABC),因为AB,ABC,ABC互斥........2分

&P=P(JB)+P(ABC)+P(ABC),又因为4民。独立........3分

所求为p=P(4B)+P(ABC)+P(A就)=0.7x0.7+0.3x0.7x0.7+0.7x0.3x0.7=0.784*0.8

........6分

(2)由(1)知，甲俱乐部男双，女双，男单获胜的概率均为08

乙俱乐部混双获胜的椽率尸=0.8x0.8+0.2x0.8x0.8+0.8x0.2x0.8=0.896x0.9

........8分

故甲俱乐部混双，女单的概率均为0.1,故

P(X=3)=0.8X0.8X0.1+0.2x0.2x0.9=0.1........10分

P(X=4)=(0.2x0.8x0.1+0.8x0.2x0.1+0.8x0.8x0.9)x0.8+[3分

(0.8x0.2x0.9+0.2x0.8x0.9+0.2x0.2x0.1)x0.2«0.5

=5)=1-(0.1+0.5)=0.4

X的分布列如下表

X345

P(X)0.10.50.4

........14分

所以E(X)=3x0.1+4x0.5+5x0.4=4.3.........15分

18.(17分)

1c1

(1)因为椭圆离心率为一，得一=一，........1分

2a2

从而a=2c,b=Wc,........2分

S^BO=6=三处=瓜:，,........3分

得c=l,a=2,b=道,........5分

22

即椭圆的方程土-+匕=1........6分

43

(2)由题意，过点尸(-2,1)的直线斜率存在，设为去-歹一(攵+2)=0.........7分

设”(XQWW，%)

kx-y+2k+\=0

联立《V2,得(4%2+3)必+8"(2々+1口+8(2公+2左一1)=0,........9分

—+—=1

43

8A(2A+1)

为+*=TT；~

4%-+3

可得《10分

8(2/+2A-l)

xx,=--------；---------

-4A-+3

6(22+1)-24A

“+%=诉晨-乂=E(*)

直线4N：y=S_(x+2)和x=X1联立,

4+2

得HQ,必(司；2)),丁(；卬+皿苧])........11分

Xi+22x»+2

令x=&e[-2,2],y=；[K+为(M+2)EN+由必+2(y+%)

1

X2+22(±+2)

此时2y_3%+*2必+2(弘+必)

x+2(三+2乂*+2)

化简得至=-%+三必+2(乂+%)

.............14分

x+2xxx2+2(Xj+X2)+4

将。代入上式得名=8(2如+”；：：蓝窘3(%+3)

化简得鸟=3,即『所在的定直线为弘-2产6=。••…・…17分

19.(17分)

(1)因为。=-1,所以/(x)=Inx+L/0)='-1=芝?........2分

XxXX'

令/'(x)=0,解得x=l..............3分

当xe(0,1),/。)<0,/(x)单调递减，

当》€(1,+8),/。：)>0,/(*)单调递增，........5分

所以/(x)只有极小值/。)=-1,没有极大值.........6分

X：

⑵令项="0，X,=,0.

■l-x0

当0<X]<:时，0<工2<玉<：

则原命题等价于存在实数芭＞三＞0,满足/(%)=/(X,).8分

易知，a<0,因为/（为）=/（、2）得In*