数学（北师大版选修23）练习1.1.2第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用活页作业2

活页作业(二)分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用一、选择题1．有四位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法共有()A．8种 B．9种C．10种 D．11种解析：由分步乘法计数原理得3×3＝9种．答案：B2．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为“L”型(每次旋转90°仍为“L”型图案)，那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的“L”型图案的个数是()A．16 B．32C．48 D．64解析：每四个小方格(“2×2”型)中有“L”型图案4个，题中方格纸共有“2×2”型小方格12个，所以共有“L”型图案4×12＝48个．答案：C3．如图，连接正八边形的三个顶点的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个．()A．40 B．30C．20 D．10解析：由题意知满足条件的三角形分为两类．第一类：与正八边形有两条公共边的三角形有m1＝8个；第二类：与正八边形有一条公共边的三角形有m2＝8×4＝32个．由分类加法计数原理知满足条件的三角形共有m1＋m2＝40个．答案：A4．用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，则这样的四位数有()A．36个 B．18个C．9个 D．6个解析：分3步完成，1,2,3这三个数中必有某一个数字被重复使用两次．第一步：确定哪一个数字被重复使用两次，有3种方法；第二步：把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上，有3种方法；第三步：将余下的2个数字排在余下的两个位置上，有2种方法．故有3×3×2＝18个不同的四位数．答案：B二、填空题5．为了对某农作物新品种选择最佳生产条件，在分别有3种不同土质，2种不同施肥量，4种不同的种植密度，3种不同的种植时间的因素下进行种植试验，则不同的实验方案共有________种．解析：根据分步乘法计数原理，不同的方案有N＝3×2×4×3＝72(种)．答案：726．“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1458)，若从1234开始，把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为________．解析：“渐升数”由小到大排列，形如12××的“渐升数”共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个；形如134×的“渐升数”共有5个；形如135×的“渐升数”共有4个．此时已有21＋5＋4＝30个，因此，按从小到大的顺序排列的“渐升数”的第30个必为1359，所以应填1359．答案：1359三、解答题7．某舞蹈小组有8人，每人至少会拉丁和爵士中的一种，其中5人会拉丁，4人会爵士，从中选出会拉丁和会爵士的各1人，有多少种不同的选法？解：由题意可知，在舞蹈小组的8人中，有且仅有1人既会拉丁又会爵士(把该人称为“多面手”)，只会拉丁的有4人，只会爵士的有3人，把选出会拉丁和会爵士的各1人的方法分为两类．第一类：多面手入选，另1人只需从其他7人中任选1人，这类选法有7种；第二类：多面手不入选，则会拉丁者只能从只会拉丁的4人中选出，会爵士者只能从只会爵士的3人中选出，故这类选法共有4×3＝12种．因此有N＝7＋12＝19种不同的选法．8．从1到200的自然数中，各个数位上都不含有数字8的自然数有多少个？解：分三类解决这个问题．第一类：一位数中除8以外符合要求的数有8个；第二类：两位数中，十位数字除0,8以外有8种选法，个位数字除8以外有9种选法，所以两位数中有8×9＝72个数符合要求；第三类：三位数中，百位数字为1，十位数字和个位数字除8以外均有9种情形符合要求，百位数为2，仅有200这一个数符合条件，所以三位数中共有9×9＋1＝82个数符合要求．根据分类加法计数原理，从1到200的自然数中各个数位上都不含有数字8的自然数共有8＋72＋82＝162个．一、选择题1．用4种不同的颜色给矩形A，B，C，D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有()A．12种 B．24种C．48种 D．72种解析：先涂C，有4种涂法，涂D有3种涂法，涂A有3种涂法，涂B有2种涂法．由分步乘法计数原理，共有4×3×3×2＝72种涂法．答案：D2．如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”．例如，2014年的各位数字之和为7，所以2014年恰为“七巧年”．那么从2000年到2999年中“七巧年”共有()A．24个 B．21个C．19个 D．18个解析：因为首位已经为2，所以剩下三位数字的和为5即可．(1)两个位置是0，有3种情况；(2)只有一个位置为0，有3×4＝12种情况；(3)三个位置都不为0，有6种情况．共有3＋12＋6＝21种情况，故“七巧年”共有21个．答案：B二、填空题3．用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，则这样的六位数的个数是________(用数字作答)．解析：①②③④⑤⑥若1在①或⑥号位，2在②或⑤号位，方法数各4种；若1在②③④⑤号位，2的选择有2种，方法数各8种．故共有方法数4＋4＋8＋8＋8＋8＝40种．答案：404．同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式有________种．解析：方法一记四人为甲、乙、丙、丁，则甲送出的卡片可以且只可以由其他的三人之一收到，故有3种分配方式．以乙收到为例，其他人收到卡片的情况可分为两类．第一类：甲收到乙送出的卡片，这时，丙、丁只有互送卡片一种分配方式．第二类：甲收到的不是乙送出的卡片，这时，甲收到卡片的方式有2种(分别为丙和丁送出的)，对于每一种情形，丁收到卡片的方式只有一种．因此，根据分类加法计数原理与分步乘法计数原理，不同的分配方式数为3×(1＋2)＝9．方法二由于4个数目不大，化为填数问题之后，可用枚举法进行具体的填写：再也没有合乎要求的填数法，故共有9种填法．本题也可用画“树形图”的方法列出各种分配方式．答案：9三、解答题5．5张1元币、4张1角币、1张5分币、2张2分币，可组成多少种不同的币值(一张不取，即0元0角0分不计在内)?解：先分为三种币值的不同组合．元币：0元，1元，2元，3元，4元，5元；角币：0角，1角，2角，3角，4角；分币：0分，2分，4分，5分，7分，9分．然后分三步进行．第一步：从元币中选取，有6种取法；第二步：从角币中选取，有5种取法；第三步：从分币中选取，有6种取法．根据分步乘法计数原理，共有6×5×6＝180种情况．除去0元0角0分这种情况，可组成180－1＝179种不同币值．6．如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块．现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种1种花，且相邻的2块种不同的花．问共有多少种不同的种植方法？解：方法一分为两类．第一类：当花坛A，C中种的花相同时有4×3×1×3＝36种；第二类：当花坛A，C中种