2023年高考数学模拟卷8(新高考专用)(解析版)

备战2023年高考数学模拟卷(新高考专用)

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一个选项是符合题目要求的.

1.已知集合人={(*,)0]孙=1},8={(x,y)|xeZ,yeZ},则AcB有()个真子集.

A.3B.16C.15D.4

【答案】A

【分析】计算AB={(1,1),(-1-1)}，得到真子集个数.

【详解】A={(x,y)|xy=l),8={(无，刈xeZ,yeZ},则AB=,

真子集个数为2?-1=3.

故选：A

2.若复数z满足|z-2|=2,z-2=3,则z2的实部为()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】设复数z=x+yi,(x,yeR),则1=x-yi,故根据Iz—源=2,zN=3可求得

无2=2,y2=],

结合复数的乘方运算，可求得答案.

【详解】设复数z=x+yi,(x,yeR),则三=x-yi,

则由|z-7|=2,z•彳=3可得|2何|=2且/+,2=3,

解得x2=2,y2=1,

故z?=(x+yi>=炉-丫2+2孙力其实部为/一/=2_i=i

故选：C.

3.在平行四边形ABCD中，对角线AC与3。交于点O,E为CD中点，AE与BD交于点、F,

若AC=a,BD=b，则尸E=()

射

A.-a+-bB.3/c.UD.L+

1244441244

【答案】C

【分析】根据给定条件，结合平行四边形性质，用表示出即可求解作答.

【详解】平行四边形ABCD的对角线AC与8〃交于点0,如图，

而点E为8的中点,

^DE=-DC=-(OC-OD)=-a--b,由DE〃AB得：lf21=l2Il=L

2244\BF\\AB\2

贝ij有

33

所以收=即+。2=幼+!”==1。+与.

344412

故选：C

4.公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖晅的开立圆术.祖晅在求球体积时，

使用一个原理：“塞势既同，则积不容异”.“事”是截面积，“势”是立体的高.意思是两个同

高的几何体，如在等高处的截面面积相等，则体积相等.更详细点说就是，界于两个平行平

面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这

两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖晅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原

22

理.已知将双曲线c：土-匕=1与直线y=±2围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体E,

82

【答案】D

【分析】求出y=±2,y=±；x绕y轴旋转得到的旋转体（两个圆锥）的体积，用垂直于y

轴的平面去截旋转体E,所得圆环的面积为品，结合祖眶原理可求得旋转体的体积.

【详解】y=〃（-2</?<2）与双曲线的交点为P（，8+4/?,q、0//8+4/，4

则用垂直于>轴的平面截旋转体E的截面为圆面，截面圆的半径为底前，截面面积为

（8+4/j2）7i,

y=h（-2<h<2）与双曲线的渐近线>=±：尤的交点为（拉〃㈤，

所以4层兀是用垂直于y轴的平面截两条渐近线绕y轴旋转得到的旋转体的截面面积，

1164兀

y=±2,y=±]X绕y轴旋转得到的旋转体（两个圆锥）的体积为2、3义2、16兀=亍，

用垂直于丁轴的平面去截旋转体E,所得圆环的面积为无（8+4/72）-兀（2切2=8无，

因为底面半径为2金，高为4的圆柱的截面面积为8兀，体积为4x871=32兀，

所以根据祖唯原理得旋转体E的体积为丫=4义8兀+—=等兀，

故选：D.

5.甲、乙两袋中各有大小相同的10个球，甲袋有5个红球，5个白球；乙袋有7个红球，3

个白球，随机选择一袋，然后从中随机摸出两个球，尸（A）表示恰好摸到一个红球与一个白

球的事件的概率，则尸（A）等于（）

【答案】c

【分析】事件目为“取到甲袋”，事件反为“取到乙袋”，根据条件概率及相互独立事件的概

率公式计算可得；

【详解】设事件&为“取到甲袋”，事件E?为“取到乙袋”，

则尸闯=尸（切=；,^）=^=1，尸（囿功=胃=：

1<1773

则尸（A）=尸（AEj+尸（网）=尸（与）尸（A出）+尸（用）尸（A区卜万/^+乎百;左.

故选：C.

6.已知函数/'（xjucoslox-]｝。>。）在::上单调递增，且当xe%：时，/（x）之0恒

成立，则。的取值范围为（）

A-H][1'T]B-阿[臼C.[o,1][8,y]D.[o,|]（,8_

【答案】B

Ji

【分析】由已知，分别根据函数〃x）在区间上单调递增，在无€时，〃到20恒

成立，列出不等关系，通过赋值，并结合。的本身范围进行求解.

【详解】由己知，函数/（尤）=cos（o龙一如（0>0）在上单调递增,

k3；64

所以2勺九一兀Vox—工42勺兀（勺GZ）,解得：+—GZ）,

3co3Gco3G'

7i〉2%i兀2兀

兀兀

I丁兀兀2kJ22kl7i+6：3。，解得:

由于二丁U（匕eZ）,所以,

64G3GG3口兀」2匕兀71

—<——+——

、4co3。

4

12人一4404幽+1(勺eZ)①

耳71卜。>0）在上八%）20恒成立,

又因为函数/'（x）=cosCDX-

3

所以如上s子2辆密0解得:等高5等+次团

712左2兀71

——>——

kn712k7l4CD6G

由于一ZE夕3H22他eZ）,所以.,解得:

6G'3712公兀5兀

—<+——

13co6。

2

8人2——<co<6k2keZ)②

+32

。>0

4解得。中尚

又因为切〉0,当尢二女2=。时，由①②可知：，-4<,

3

2,，5

——<a)<—

132

。〉0

当尢=攵2=1时，由①②可知：<8W。,解得gw8,—

所以外的取值范围为[(。4，§&717

故选：B.

【点睛】在处理正弦型、余弦型三角函数性质综合问题时，通常使用整体代换的方法，将整

体范围满足组对应的单调性或者对应的条件关系，罗列出等式或不等式关系，帮助我们进行

求解.

7.已知。=0.16,Z?=e04-Lc=0.8-21nl.4,则〃，b,c的大小关系为()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

【答案】C

【分析】。与6可看作OT与已必-1,从而可构造函数/(x)=e-1-V比大小，

a与c可看作oT与2(0.4-ln(l+0.4)),从而可构造函数g(x)=2x-21n(l+x)-x2比大小.

【详解】构造函数/(x)=e*-l-x2(x>0),则洋(x)=e*-2x,令/z(x)=e*-2x,则

/Z(x)=ex-2.令〃(x)=0,得x=ln2,所以〃(x)在(0,In2)上单调递减，在(ln2,y)上单

调递增，故〃(x)2/7(ln2)=2-21n2>0,因此〃尤)在(0,+巧上单调递增，所以

/(x)>y(o)=o.令x=0.4,则“0.4)=e°J「0.42>0,所以e°4—l>0.16,BPa<b.

r\Q2

构造函数g(x)=2x-21n(l+x)-x2(xN0),则g，(x)=2---------2x=——<0,因此g(x)在

1+x1+x

[0,+e)上单调递减，所以ga)4g(O)=O,令尤=0.4,贝iJg(0.4)=0.8-21nl.4-0.16<0,所

以0.8-21nl.4<0.16,所以c<a.故6>a>c.

故选：C.

【点睛】本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把

要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量尤就有了函数的形式，如在本

题中a=0.16,b=e0A-l,将a=0.16化为ON?的目的就是出现0.4,以便与6=e°4_l中的

0.4-ifc,从而只需比较丫=苫2与、=d-1这两个函数大小关系即可.

在构造函数后比较大小还可以借助于函数不等式、切线不等式放缩等手段比大小.

8.已知三棱锥S—ABC的所有顶点都在球。的球面上，SA_L平面ABC,&1=2,若球。的

表面积为16%，则三棱锥S—ABC的体积的最大值为()

A.空B.3后C.9D.673

22

【答案】A

【分析】根据球的表面积公式求出球的半径，从而求出三角形A2C的外接圆半径，三棱锥

底面三角形ABC面积最大时，三棱锥S—ABC的体积取得最大值，求出三角形ABC为等边

三角形时，三角形ABC面积最大，求出面积的最大值，进而求出体积的最大值.

【详解】设球的半径为七则4兀笈=16兀，解得：R=2,

设三角形ABC的外接圆半径为r,贝(三)+产=上，

即1+/=4，解得：r=>/3,

当三棱锥底面三角形ABC面积最大时，三棱锥S-ABC的体积取得最大值，

如图所示：

要想ABC面积最大，当A位于BC垂直平分线与圆的交点(BC与A点位于圆心两侧)时，

此时三角形ABC为等腰三角形时，面积最大，

连接50并延长，交圆于点。，连接CQ,则5。=2百，BCLBC,

设/CBD=%a£(0,5),则BC=2A/3COSa,OE=百sina,AE=AO+OE=百++sina,

贝(JS枷=—BC-AE=~xcosax^A/3+^3sin=3cos6Z(1+sinor)

令y=3cosa(l+sina),则

y'=-3sina(1+sina)+3cos2a=-6sin2a—3sina+3=—3(sincr+l)(2sincr-l),

当sina£[(),；)，即a£[0词)时,

/>0,当sina£14

即时，/<0,

即y=3cosa（l+sin（z）在单调递增，在上单调递减,

所以当a=£时，y=3cosa（l+sin。）取得最大值,

则三棱锥S—ABC的体积的最大值为』X%8X2=^

342

故选：A

【点睛】立体几何外接球问题，要能够画出图形，解题的突破口，找到外接球球心在某个特

殊平面的投影，进而找到半径，列出方程，或空间想象，数形结合求出最值等.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.已知函数/（力=/+依2+陵的导函数为尸（尤），则（）

A.若“力为奇函数,则广⑺为偶函数B.若/（0）=0,则/（力为奇函数

C.若尸（x）的最小值为0,则/=36D.若尸⑴为偶函数，则〃x）为奇函数

【答案】ACD

［分析］根据导函数的性质和函数奇偶性进行逐项判断.

【详解】解：由题意得：

对于选项A：若“X）为奇函数，=贝！I—尤3+62一灰=—炉一欠2一床，故a=0，又

/（x）=3x2+b,/'（-x）=/'（x）是偶函数，故A正确；

对于选项B:若/'(0)=0,又/'(工)=3%2+2依+/?,则/?=0,故/(%)=13+办2,/(一%)=一%3+办2,

当〃=0时，/(-%)=-/(%),/(九)是奇函数，当“WO时，”T)w—/(x),了(尤)不是奇函数，所以

了(%)不一定是奇函数，故B错误；

对于选项C：若/'(%)的最小值为0,f'(x)=3x2+2ov+Z?=3^x+^一三+b，

2

y.()=-—+&=0,贝！J/=36,故C正确；

uIIUI1'%/3

对于选项D：若尸(x)为偶函数,f(x)=3x2+2ax+b,/(-x)=3x2-2tzx+Z?.f(-x)=f(x),

解得a=0，故/(3尸丁+法，/(-%)=-/(%),所以〃x)为奇函数，故D正确.

故选：ACD

10.正方体ABCr>-4B]GA的棱长为1,E,F,G分别为3C,CC”20的中点,则()

B.直线AG与平面AEF平行

9

C.平面AEF截正方体所得的截面面积为gD.点A与点。到平面AEF的距离相等

O

【答案】BCD

【分析】根据棱柱的结构特征，建立以。为原点，以ZM、DC、所在的直线为x轴、

，轴、z轴的空间直角坐标系。-孙z,利用向量法即可判断A,根据线线平行即可判断B,

根据梯形面积即可判断C,根据中点关系即可判断D.

【详解】在棱长为1的正方体4BCD-A旦GA中，建立以。为原点，以DA、DC、RD所

在的直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系。-孙z,如图所示：

E、F、G分别为BC、CG、B片的中点，则。(0,0,0),^(0,0,1),A(l,0,0),

对于A,=(0,0,1),A歹=(一1,1,£|,

DDlAF=^0,故A错误；

对于B：连接AQ,。/,

期//匹，,A,A,E,尸四点共面,

由于42〃6工42=6%所以四边形42砥？为平行四边形，

故AfiUD'F,又平面AEF,RFu平面.厂，

〃平面AEF,故B正确，

对于C,连接&A，皿,

ADJ/EF，，四边形AD[FE为平面3截正方体所得的截面,

222

ADt=Vl+1=>/2,EFq,D,F=AE=JU)+1,

•••四边形为等腰梯形，高为《1号J-［拳J=赞，

则四边形AQFE的面积为葭（0+*1¥=，故C正确；

21Zj4o

对于D,连接4。交A2于点。，故。是\D的中点，且。是线段AtD与平面AD.FE的交点,

因此点A和点D到平面AEF的距离相等，故D正确.

故选：BCD.

11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴

的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知

抛物线。：产=山。为坐标原点，一束平行于x轴的光线4从点尸1弓J射入，经过c上的点

4（占,乂）反射后，再经C上另一点以程％）反射后，沿直线4射出，经过点Q，则（）

A.尸8平分NABQ

B.%%=-1

C.延长A0交直线于点O,则9氏Q三点共线

4

D.|AB|=—

1116

【答案】ACD

【分析】对于A,根据题意求得A（L1）,从而证得|R4|=|AB|，结合平面几何

的知识易得PB平分/A8Q；

对于B,直接代入%,当即可得到

对于C,结合题意求得。由2B,。的纵坐标相同得£>,且。三点共线；

,25

对于D,由选项A可知|A@=*.

【详解】根据题意，由C：V=x得呜,0；又由以〃x轴，得A（&1）,代入C:/=x得再=1

（负值舍去），则A（L1）,

所以"尸=口=耳，故直线"为y=g|J4x-3y-l=0,

1

X——......

j4%_3yT=0解得J,即七,卡

依题意知AB经过抛物线焦点厂，故联立

[y2

，故|E4|=|AB|,所以

ZAPB=ZABP,

又因为PA//X轴，3Q//%轴，所以PA//5Q,故NAP5=NPBQ,

所以NABP=NP5。，贝ij依平分/A3。，故A正确；

11

对于B,因为弘=1,%=-1，故%>2=-［，故B错误；

A"(11、

对于C,易得A0的方程为,=九，联立1,故。二，

%=——I44J

、4

又8Q//x轴，所以。,8。三点的纵坐标都相同，则。,反。三点共线，故C正确;

2s

对于D,由选项A知|A8|=正，故D正确.

故选：ACD.

12.已知函数〃x)=e"+x-2和g(x)=lnx+x-2,若“与”且伉卜。，贝1J()

A.玉+%=2B.0<X］<；

C.%,-x2>册D.x1<—x2Inx2

【答案】ABD

【分析】A选项，根据反函数求解出y=-％+2与y=%交点坐标，从而得到玉+々=2；B

选项，由零点存在性定理得到。<\<g,1<X2<^;C选项，化简整理得到

^x2=(2-X2)X2=x2lnx2,求出y=xlnx在(l,e)上的单调性，求出取值范围；D选项，构造

函数〃(元)=皿根据群2<［三产］=1得到。<%<;<1,根据〃⑺在(0,1)上单调递增,

X

所以〃(王)</7—,即<—产，整理得<—X-,Inx2,D正确.

【详解】由于y=e，和y=lnx互为反函数，则y=e，和y=lnx的图象关于直线y=x对称,

将y=-x+2与y=x联立求得交点为(1,1),则土产=1,即%+%=2,A正确.

易知〃无)为单调递增函数，因为/(。)=-1<0,/出=五-|>0,由零点存在性定理可

知0<X］<；,B正确.

易知g(x)为单调递减函数，g(l)=-l<0,g(加［五-|>0,由零点存在性定理可知

1<%2<Ve.

因为百工2=(2-％)%2=%2皿％2，令y=xlnx,则y'=l+lnx>o在(l,e)上恒成立，所以

y=xlnx在(l,e)上单调递增，所以王马=无21nx?〈年，C错误.

21]

X1+x2I=1,所以0＜玉＜一＜1.令/7（x）=磐，则

因为外>0,x2>0,所以不%<

2I%2%

〃(无)=上空，当Ovx<l时，〃(x)>0,/7(x)在(0,1)上单调递增，所以川西)</7

X

整理得屿<-尤21nx2，D正确.

x\

故选：ABD

【点睛】结论点睛：对于双变量问题，要结合两个变量的关系，将双变量问题转化为单变量

问题再进行求解，也可通过研究函数的单调性及两个变量的不等关系进行求解

三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在X-」的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64,则/的系数为.

【答案】3乃

【分析】分别求出各项系数和与二项式系数和，相比，求出〃，得到二项式即其通项公式,

即可求出V的系数.

【详解】解：由题意

令尤=1,即可得到各项系数和为：［1-；］=(-4)"

团二项式系数和为2"，各项系数和与二项式系数和之比为64,

团㈢-=64

2"

解得：n=6.

回二项式为

,3

回展开式的通项公式为：C)q（-5）J

3

当6-大厂=3时，解得：r=2

2

团d的系数为：C寅-5)2=^x25=375

故答案为：375.

14.已知曲线C:y-2=j4-（无一2『，直线/：X7+。=0,曲线C上恰有3个点到直线/的距

离为1,贝U。的取值范围是____________.

【答案】[2-72,72）

【分析】根据曲线C的表达式画出半圆图象，再利用直线与曲线C的临界位置讨论。的取值

范围，由于曲线C上恰有3个点到直线/的距离为1,根据两平行线间的距离公式并结合图

象即可确定实数。的取值范围.

【详解】由>22,得曲线C是以（2,2）为圆心，半径为2的圆的上半部分.

在曲线C中，令1=2,得x=0或4,将（0,2）代入直线/得。=2,

将（4,2）代入直线/得a=-2,

当直线/与曲线C相切时，由圆心到直线的距离为2,得。=2&，

所以当-2Va<2或。=2四时，直线/与曲线C有一个公共点；

当2WaW2后时，直线/与曲线C有两个公共点.如下图所示：

记与曲线C相切的直线为4：x-y+2夜=0,

过（0,2）且斜率为1的直线记为"7+2=0.

—2-\/21一

当直线/与4距离为1时，即J一q=l，回a=3/或a=0，

V2

取4=0，此时曲线C上有2个点到直线/:x-y+0=O距离为1；

a2

当直线/与4距离为1时，即l-L10o=5/2+2或a=2—>/2，

取a=2-0，此时恰有3个点到直线/的距离为1.

@2-亚Wa<亚.

故答案为：2-8Wa<VL

15.已知『（x）为奇函数,当xe（0,l],f（x）=lnx,且/（x）关于直线x=1对称.设方程/（x）=x+1

的正数解为王，尤2,…，尤”，且任意的weN,总存在实数M,使得成立，则实

数M的最小值为.

【答案】2

【分析】根据题意可得函数/（x）是以4为周期的周期函数，作出函数/（x）的图像，结合图

像可知:吧（斗+i一斗）的几何意义为函数/'（X）两条渐近线之间的距离，从而可得到<2,

进而求出M的最小值.

【详解】因为/⑺为奇函数，所以〃力=一〃-"，且"0）=0,

又了（元）关于直线x=l对称，所以"1+尤）=〃1一力，

所以/（2+x）引-x）=-,

则〃4+x)=-〃2+x)=〃x),

所以函数是以4为周期的周期函数，

作出函数y=/(x)和y=x+i的图像如图所示:

则鹭(无川-无“)的几何意义为函数/(x)两条渐近线之间的距离为2,

所以:吧(％+「％)=2.

所以得任意的〃eN,|x"+「xj<2,

已知任意的〃eN,总存在实数/，使得|%+「二|<加成立，

可得M22,即M的最小值为2.

故答案为：2.

22

16.已知双曲线。：1-/=1(4>0力>0)的左、右焦点分别为耳、居，点P在双曲线

22

C:二-2=1上，点H在直线x=a上，且满足2HP+3町+4胚=0.若存在实数彳使得

ab

PR,PF

OH=OP+A2,则双曲线C的离心率为

、sinZPF2F[sin/尸耳F2,

【答案】2

IpFl4

【分析】根据双曲线的定义及向量的运算，三角形的正弦定理，求出占H=再表示出闺B|,

r^2\3

根据双曲线离心率的定义求解即可.

、

PF\।PF?

、sin/尸与F[sin/PF]F2,

、

PR।PH

有OH=OP+4・2R

2RsmZPF2Ft2Rsin/P月区,

故=，所以直线尸“过的内心,

设△产片鸟的内切圆圆心为/,内切圆圆/分别切尸月、PF］、久居于点M、N、T,

由切线长定理可得|用图=|耳］，什N|=|苗1，1aM=|PN|,

所以，忸周一|尸阊=（|尸网+国M）一（|PN|+|BM）=|骂］一|取1=为，

结合图形可得（马+。）-（。-/）=2与=2。，所以，xT=a,

故△尸月心的内心的横坐标为a,

因为点“在直线x=a上，所以点77为△尸£耳的内心.

由2HP+3明+4HF2=0可得-2PH+3（尸百一尸”）+4（尸&一/W）=0,

934

所以，9PH=3PF］+4PFz，记^PH=亍PF［+亍PF2,

设尸6=,尸片+?尸瑞，则：（尸6_尸❷）=^（尸片一PG）,所以，F2G=^GFl,

所以，点在直线片工上，又因为故点与点。重合，

GFXF2=Q,G

934

^-PH=-PFX+-PF2=PQ,

由角平分线的性质可知点Q到直线PF1、PF2的距离相等，

SgFiQ_尸耳I_国/同一徨幽-囱.陛

故s△平2尸用优。|3'同里可侍寓Q||皿’

令1叫~,则冏卜痴，且丝="=禺］尸一用」,

121111+

"HQ£0\F2Q\|/<2|+F2Q\2

故国。|+|鸟口=国词=2九

「IFFI

则双曲线C的离心率e=一=2gL^_=2.

aIPR|—IPF2\4m一3m

故答案为：2.

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于推导出点H为鸟的内心，再结合角平分线定

理推导出之=懦I,以及需=^=焉,再利用双曲线的定义来进行求解.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知数列｛%｝满足。1=1,Q〃+i=2a〃一九2+2〃+2,nGN*.

⑴证明：数列｛4-*+1｝为等比数为

(2)设么=(T)"。"，求数列也｝的前2”项和S2n.

【答案】⑴证明见解析

4"-1

(2)邑.=—^+2n2+n

【分析】(1)根据等比数列的定义即可求证.

(2)首先求出口的表达式，然后利用分组求和即可.

【详解】(1)(法一)由a“+i=2%—a?+2”+2,知q+i—(〃+1)2+1=2(a“—+1),

又％-仔+1=1,故｛4-1+”是首项为1,公比为2的等比数列，得证.

(法二)%=1,可知：^-12+1=1,

又a“+i=2%-/+2〃+2,所以

222

〃〃+]—(n+1)?+12ati—7?+2〃+2一(鹿+1)+12c1rt—2n+2

222''

ctn—Tl+1c1rl—Tl+1ctn—n+1

回｛%—〃2+1｝是首项为1,公比为2的等比数列，得证.

(2)由(1)知：〃2+1=2〃1,则〃〃=2〃।—1+"之，

%=(―1/K=(T)"2〃T—(―1)〃+(―1)方

T

b2n=aln=22〃—1+4〃2,b2n7=f=+1-(2〃-,

ba

2n-\+b2n=^2n~2n-l="一+4几―1,

T

团§2〃=(d+Z?2)+(Z?3+")++(处-i+勿〃)=0+4+…+4〃)+[3+7+…+(4〃—1)]

1—4〃小|、4n-l.2

=--------Fn(2n+1)=--------F2〃+n

1-43

18.(12分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a=bcosA-acoSjB.

⑴求证：B=2A；

(2)求*的取值范围.

a

【答案】⑴证明过程见解析.

(2)(应+1,指+2)

【分析】（1）利用正弦定理及积化和差得到sinA=sin（3-A）,结合角的范围，得到3=24

（2）利用正弦定理得到^=4fcosA+-V--,根据三角形为锐角三角形，得到A,

a{4j4<64j

cosAe,从而求出取值范围.

I22J

【详解】（1）a=bcosA-acosB,

由正弦定理得：sinA=sinBcosA—sinAcosB,

由积化和差公式可得：

sinA=—sin(B+A)+—sin(B-A)--sin(A+B)--sin(A-B)=—sin(B-A)-—sin(A-B),

因为；$1]1（24_5）=_35111（5_24）,

所以sinA=sin（5-A）,

因为三角形ABC为锐角三角形，故

所以8-Ae

故A=6—A,即6=2A；

(2)由(1)知：B=2A,

由正弦定理得：

Z?+c_sinB+sinC_sin2A+sin(B+A)_sin2A+sin3A

asinAsinAsinA

其中sin3A=sin(2A+A)=sin2AcosA+cos2AsinA=2sinAcos2A+cos2AsinA,

因为sinAwO,

b+c2sinAcosA+2sinAcos2A+cos2AsinA_c

所crH以I---=------------------------------------=2cosA1+12cos?Aa+cos2A

asinA

=2cosA+2cos2A+2cos2A-l=4cos2A+2cosA-l=4|cosA+—

I4l-r

由B=2Ae得:何吟，

由。=兀一4一8=兀-34€0,',解得：AG

7171V2

结合可得：AeCOSAG

654

故b+c=4(cosA+41］一9在cosA

e上单调递增,

2'2

a44\7

2

所以生=4cosA+2cosA-lG14xg+后一1,4乂2+6一1j,

a

即蜉耳(A/2+1,>/3+2).

19.（12分）如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD（及其

内部）以A5边所在直线为旋转轴顺时针旋转2告7r得到的，G是0方的中点.

⑴求此几何体的体积；

⑵设P是山上的一点，且APLBE1,求/CBP的大小;

⑶当钻=3,AD=2时，求二面角£-AG-C的大小.

【答案】

(2)ZCBP=30

⑶60.

【分析】⑴由题意可知该几何体为圆柱的三分之一，根据计算圆柱体积即可得出此几何体

的体积；

（2）利用线面垂直的判定定理可得比，平面然后结合几何体的结构特征计算可得

NC3P的大小；

⑶建立空间直角坐标系，用空间向量法即可求出二面角E-AG-C的余弦值，从而可得二面

角的大小.

【详解】(1)此几何体的体积V=!叱22-2=:；

(2)因为AB±BE,AB,APu平面ASP,ABIAP=A,

所以3E_L平面ABP,又BPu平面"尸，所以BELBP,

又NEBC=120,因止匕/C3P=30

(3)以2为坐标原点，分别以BE,阶,54所在的直线为x,y,z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系.

由题意得A(0,0,3),£(2,0,0),G(l,瓜3),C(-1,6,0),

故4E=(2,0,-3),AG=(1,73,0),CG=(2,0,3),

设初=(无i，M，Z])是平面.G的一个法向量.

m-AE=02再—3Z]=0

由《，得</-八，取4=2,则石=3,乂=-<3,

m,AG=0[工]+\/3%=0

得平面AEG的一个法向量机=(3,-指,2).

设力=(%,%，z?)是平面ACG的一个法向量.

：+:,取z2=-2,则芯=3,%=一6

2X2+3Z2=0

得平面ACG的一个法向量n=(3,-百,-2).

所以cos<m,n>=

|m|•|n|2

因此二面角E-AG-C的大小为60.

20.(12分)某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂

品a分为两类不同剂型必和%.现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂/和合格

的概率分别为3:和二3，第二次检测时两类试剂四和的合格的4概率2分别为工和：.已知两次

检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品a才算合格.

(1)设经过两次检测后两类试剂％和合格的种类数为X,求X的分布列和数学期望；

⑵若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者"，这种情况下医护人

员要对其家庭成员逐一使用试剂品a进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确

定该家庭为"感染高危户设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为P(0<P<1)且相互独立,

该家庭至少检测了3个人才确定为"感染高危户”的概率为7(p),若当p=p。时，"P)最大，

求区的值.

【答案】⑴分布列见解析，1

⑵Po=l-

~1

【分析】(1)先得到剂型内与%合格的概率，求出X的所有可能取值及相应的概率，得到

分布列，求出期望值；

(2)求出/(p)=(l_p)2p+(l_p)3p=(l_p)2p(2_p),令x=l-p,得至IJ

^(x)=x2(l-x2)(O<x<l),利用基本不等式求出最值，得到答案.

343

【详解】(1)剂型％合格的概率为:—X—=—

455

剂型合格的概率为：|3xj2=12.

由题意知X的所有可能取值为0,1,2.

1-2x!_226

则P(X=O)=

5525

P(X=I)=II-|213

55525

尸(X=2)=|x|啥

则X的分布列为

X012

6136

P

252525

数学期望E(X)=0x郎+lx1|+2x5=1.

(2)检测3人确定"感染高危户”的概率为(I-4),

检测4人确定"感染高危户"的概率为(I-0)?p,

则"P)=(l-P)2P+(l-P)3P=(l-P)2P@_P).

令x=l-p,因为。<P<1,所以Ovxvl,

原函数可化为g(%)=%2(l-f)(0<x<1).

2

因为41«)」2+(了2)］寸

当且仅当/=1一尤2,即尤=也时，等号成立.

2

此时p=l一,，所以为=1一字.

21.(12分)已知函数/(x)=Mn九一九+'.

x

⑴讨论的单调性；

।/八111

(2)证明：+7T+-+…

【答案】⑴答案见解析

⑵证明见解析

【分析】(1)求导得到导函数，考虑aWO,0<a<2,。>2三种情况，根据导数的正负得

到函数的单调性.

11H+11

（2）当〃=2时得至!）21nx<jr--