2024年济南历城区九年级中考数学二模考试试题（含答案）

2024年九年级学业水平模拟测试（二）

数学试题2024.05

本试卷共8页，26题，全卷满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如衙改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在

本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一.选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.某个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（）

一山口

2.自2020年起，济南新能源汽车市场逐渐驶入发展快车道.2023年一季度，济南新能源汽

车总保有量约达111500辆.将数字111500用科学记数法表示为（）

A.0.1115X105B.1.115X105C.1.115X104D.11.15X104

3.如图，在国ABC中，点D在边BA的延长线上，DE〃BC.如果NCAD=110。，ZC=30°,那么N

BDE的度数是（）

A.100°B.105°C.110°D.120°

4.下列以数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

1

5.已知a是方程x2-2x-l=0的解，则代数式2a2-4a+2022的值为（）

A.2023B.2024C.2025D.2026

6."龙行益益，前程烟烈"表达了对未来的美好祝愿和期许。现将分别印有"龙""行""敲""益"四

张质地均匀、大小相同的卡片放人盒中，从中随机抽取一张后放回，再从中随机抽取一张，

则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字"矗"的概率为（）

（——3<0

7.不等式组3的所有整数解的和是（）

（2（x+2）>1

A.9B.7C.5D.3

8.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数y=-慢（kbHO）的大致图象可以

X

是（）

9.已知NADB,作图.

步骤1:以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交DA、DB于点M和N；再分别以点M、

N为圆心，大于［MN长为半径画弧交于点E,画射线DE.

步骤2：在DB上任取一点0,以点0为圆心，0D长为半径画半圆，分别交DA、DB、DE于

点P、Q、C.

步骤3：连接PQ、0C.

则下列结论不正确的是（）

A.弧PC=MCQB.0C/7DAC.OC垂直平分PQD.DP=PQ

10.在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等或互为相反数,则称点P为"大美点",

例如点(1,1)>(1,-1)>(-V2,V2)...,都是"大美点若二次函数y=ax2+4x+c(a*0,30)

的图象上只有三个"大美点"，其中一个"大美点"是（3,3）,当04x4m时，函数y=ax2+4x+c-|（ax0,

CHO）的最小值为一6,最大值为2,则m的取值范围为（）

A.0<m<4B.0<m<4C.4<m<8D.4<m<8

二.填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）

11.因式分解：2m2-18=o

2

12.七巧板被西方人称为"东方魔术"，下面的两幅图是由同一个七巧板拼成的.一只蚂蚁在右

图上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在阴影部分

13.若a-l<VH<a,且a为整数，则a的值是。

14.如图，以正五边形ABCDE的边DE为边向外作等边三角形团DEF,连接AF,则NAFE等

于O

15.公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图将两个大小

相同的"赵爽弦图"（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长

为10的正方形ABCD,则空白部分面积为o

（第15题图）（第16题图）

16.如图，在平面直角坐标系中，将等边团OAB绕点A旋转180。得到国OiABi,再将团O】ABi绕点

01旋转180。得到国0退迅2,再将国O1A1B2绕点A1旋转180。得到国O2A1B3......，按此规律进行下去，

若点B的坐标为（-2,0）,则点B2024的坐标为.

三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（6分）计算：卜（J】+强+6tan30。

18.（6分）先化简再求值：（全+1）+、2+6X+9

,其中x=

3

19.（6分）如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD的中点0作直线EF,分别交DA的延长

线，AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F.求证：AE=CF.

20.（8分）某种落地灯如图1所示，立杆AB垂直于地面，其高为120cm,BC为支杆，它可绕点

B旋转，其中BC长为30cm,CD为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度，支杆BC与悬杆CD之

间的夹角NBCD为70。.

（1）如图2,当A、B、C三点共线且CD=50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；

（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转50。，同时调节CD的长（如图3）,

此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为160cm,求CD的长.（结果精确到1cm）

（参考数据：Sin70°=0.94,cos700=0.34,tan700=2.75,sin500=0.77,cos500=0.64,tan50°^1.19）

mi期国3

21.（8分）甲、乙两所学校组织志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各400名学生进

人综合素质展示环节.从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的

综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分

信息.

a.甲学校学生成绩的频数分布直方图如右图（数据分成6组：

40<x<50,50<x<60,60<x<70,70<x<80,80<x<90.90<x<100）;

b.甲学校学生成绩在804x<90这一组的是：=

4

c.乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下表:

平均效中位数众效优秀率

83.3847846%

根据以上信息，回答下列问题：

⑴甲学校50名学生成绩的中位数为,优秀率为.（85分及以上为优秀）：

（2）甲学校学生A,乙学校学生B、的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综

合素质展示排名更靠前的是（填"A"或"B"）.

⑶根据上述信息，推断学校综合素质展示的水平更高，理由为（至少从一个角度说

明推断的合理性）；

⑷若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，请预估甲学校学生分数

至少达到多少分才可以人选，并说明理由.

22.（8分）如图，团ABC中，以AB为直径的。。交BC于点D,DE是。O的切线，且DEaAC,垂

足是E,延长CA交回O于点F,连接DF.

（1）求证：AB=AC;

（2）若DF=20,CE=16,求AC的长.

23.（10分）2024年是中国农历甲辰龙年.元旦前，某商场进货员预测一种"吉祥龙"公仔能畅销

市场，就用6000元购进一批这种"吉祥龙"公仔，面市后果然供不应求，商场又用•12800元购

进了第二批这种"吉祥龙"公仔，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了4元

⑴该商场购进第一批、第二批"吉祥龙"公仔每件的进价分别是多少元？

（2）若两批"吉祥龙"公仔按相同的标价销售，最后的50件"吉祥龙"公仔按标价的八折优惠售出,

且在整个销售过程中需要支出1300元各项费用，要使两批"吉祥龙"公仔全部售完后获利不低

于6000元（不考虑其他因素），那么每件"吉祥龙"公仔的标价至少是多少元？

5

24.(10分)【发现问题】

小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形.那么，面积为定值

的矩形中，其周长的取值范围如何呢？

【解决问题】

小明尝试从函数图象的角度进行探究：

⑴建立函数模型

设一矩形的面积为4,周长为m,相邻的两边长为x、y,则xy=4,2(x+y)=m,即y=%

y=-x+y,那么满足要求的(x,y)应该是函数丫=：与丫=十咛+二的图象在第象限内的公

共点坐标.

(2)画出函数图象

①画函数y=%x>0)的图象；

r

9

8

7

-S6

-34

.12

+J-2-L1I234S6789x

②在同一直角坐标系中直接画出y=-x的图象，则y=-x咛的图象可以看成是y=-x的图

象向上平移个单位长度得到。

⑶研究函数图象

平移直线丫=/观察两函数的图象；

第24题图

①当直线平移到与函数y=：(x>0)的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为,周

长m的值为.

②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数

及对应数值m的取值范围。

【结论运用】

⑷面积为8的矩形的周长m的取值范围为.

6

25.(12分)综合与实践

【问题情境】

在"综合与实践"课上，老师提出如下问题：如图1,C是线段BD上的一点，以BC和CD

为直角边分别作等腰直角团ACB和等腰直角回DEC,点E在边AC上，连接BE和AD.

(1)试判断DE和AB的位置关系，并说明理由.

【实践探究】

(2)',勤学小组,,受此问题启发，将图1中的团BCE绕点C逆时针旋转角度a(00<a<90°),使得点B

落在回ABD的外部，得到回B'CE',点B的对应点为B',点E的对应点为E'.连接AB'、DE',如

图2,请判断DE，与AB，之间的位置关系，并加以证明。

［拓展探究］

(3)"志远小组"在"勤学小组"探究的基础上，提出了这样一个问题：如图3,在回ABC中，Z

ACB=90°,ZBAC=60°,D为回ACB内一点，当NBDC=105。，CD=V6,BD=3百时，求线段

AD的长。

26.(12分)如图1,抛物线y=x2+bx与x轴交于点A,与直线y=x交于点B(4,4),点C(0,4)

在y轴上.点p从点B出发，沿线段B0方向匀速运动，运动到点0时停止。

(1)求抛物线y=x2+bx的表达式；

(2)在图1中过点P作PD±OA交抛物线于点D,连接PC、0D,当四边形OCPD是平行四边形

时，求BP的长.

⑶如图2,点P从点B开始运动时，点Q从点0同时出发沿x轴正方向匀速运动，速度是点

P速度的2倍，点P停止运动时点Q也停止运动.连接BQ、PC,求2CP+BQ的最小值.

图JL由2

7

答案

一.选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.某个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（C）

2.自2020年起，济南新能源汽车市场逐渐驶入发展快车道.2023年一季度，济南新能源汽

车总保有量约达111500辆.将数字111500用科学记数法表示为（B）

A.0.1115X105B.1.115X105C.1.115X104D.11.15X104

3.如图,在团ABC中,点D在边BA的延长线上，DE〃BC.如果NCAD=110。，ZC=30",那么N

BDE的度数是（A）

A.100°B.105°C.110°D.120°

4.下列以数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（A）

0O

A.3科克曲线莱洛三角形

C.N-y赵爽弦图D.笛卡尔心形线

5.已知a是方程x2-2x-l=0的解，则代数式2a2-4a+2022的值为（B）

A.2023B.2024C.2025D.2026

6."龙行益益，前程烟烈"表达了对未来的美好祝愿和期许。现将分别印有"龙""行""敲""益"四

张质地均匀、大小相同的卡片放人盒中，从中随机抽取一张后放回，再从中随机抽取一张，

则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字"矗"的概率为（D）

A-tB.|C.1昵

，％+5

<0

7.不等式组亏―3的所有整数解的和是（C）

2（x+2）>1

A.9B.7C.5D.3

8

8.在同一平面直角坐标系中，一次函数丫=1«+1)与反比例函数y=-竺(kbHO)的大致图象可以

X

是(B)

9.已知NADB,作图.

步骤1:以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交DA、DB于点M和N；再分别以点M、

N为圆心，大于^MN长为半径画弧交于点E,画射线DE.

步骤2：在DB上任取一点0,以点0为圆心，0D长为半径画半圆，分别交DA、DB、DE于

点P、Q、C.

步骤3：连接PQ、0C.

则下列结论不正确的是(D)

A.MPC=MCQB.0C/7DAC.OC垂直平分PQD.DP=PQ

10.在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等或互为相反数,则称点P为"大美点"，

例如点(1,1)、(1,-1)、(-V2,V2)...,都是"大美点若二次函数y=ax2+4x+c(a*0,30)

的图象上只有三个"大美点"，其中一个"大美点"是(3,3),当04x4m时，函数y=ax2+4x+c-|(aH0,

CHO)的最小值为一6,最大值为2,则m的取值范围为(C)

A.0<m<4B.0<m<4C.4<m<8D.4<m<8

二.填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)

11.因式分解：2m2-18=2仅+3)仅一3)。

12.七巧板被西方人称为"东方魔术"，下面的两幅图是由同一个七巧板拼成的.一只蚂蚁在右

图上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在阴影部分

的概率是3。

9

（第12题图）（第14题图）

13.若a-l<VH<a,且a为整数，则a的值是4

14.如图，以正五边形ABCDE的边DE为边向外作等边三角形团DEF,连接AF,则NAFE等于

6o

15.公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了"赵爽弦图将两个大小

相同的"赵爽弦图"（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长

为10的正方形ABCD,则空白部分面积为50。

区区

rei

（第15题图）（第16题图）

16.如图，在平面直角坐标系中，将等边回OAB绕点A旋转180。得到回OiABi,再将（SOiABi绕点

□1旋转180。得到回O1A1B2,再将团0次止2绕点Ax旋转180。得到回。2人止3......，按此规律进行下去，

若点B的坐标为（-2,0）,则点B2024的坐标为（-2026,2024班）.

三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（6分）计算：|四附】+至+6tan30°

=V3-2+2+2V3

=3遮

・X2+6x4-9

18.（6分）先化简再求值：（工+1）,其中x=-4.

Azrx+3(x+2)(x—2)

解：原式-------2一

x+2(x+3)

_x~2

x+3

将x=-4代入得6.

10

19.（6分）如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD的中点0作直线EF,分别交DA的延长

线，AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F.求证：AE=CF.

证明：•••四边形ABCD为平行四边形

；.AD〃BC,AD=BC

.\ZE=ZF

又TO为对角线BD的中点

.\OD=OB

在国DOE与团BOF中

INE=NF

jZDOE=NBOF

(OD=OB

.•.回DOEg回BOF(AAS)

/.DE=BF

:.DE-AD=BF-BC

.•.AE=CF.

20.（8分）某种落地灯如图1所示，立杆AB垂直于地面，其高为120cm,BC为支杆，它可绕点

B旋转，其中BC长为30cm,CD为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度，支杆BC与悬杆CD之

间的夹角NBCD为70。.

（1）如图2,当A、B、C三点共线且CD=50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；

（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转50。，同时调节CD的长（如图3）,

此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为160cm,求CD的长.（结果精确到1cm）

（参考数据：Sin70°=0.94,cos700=0.34,tan700=2.75,sin500=0.77,cos500=0.64,tan50°^1.19）

mi期田3

解：（1）过点D作DE_LAC于点E

在Rt回CDE中，ZBCD=70°,CD=50cm

11

cos70°=一=—^0.34

CD50

，解得CE=17

工灯泡悬挂点D距离地面的高度为120+30-17=133（cm）

（2）过点D向地面作垂线，垂足为F,过点C作CG±DF于点G,延长AB交CG于点H.在Rt团BCH

中，ZCBH=50°,BC=30cm

lc。BHBH〜仆

cos50=—=—~0.64

BC30

解得BH=19.2

AFG=AH=AB-BH=120+19.2=139.2(cm)

ADG=DF-FG=160-139.2=20.8(cm)

在Rt回CDG中，ZDCG=70°-(90°-50°)=30°

_-ODG20.81

Sin30=—=——=-

CDCD2

解得CD=41.6=42

ACD的长为42cm

21.（8分）甲、乙两所学校组织志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各400名学生进

人综合素质展示环节.从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的

综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分

信息.

a.甲学校学生成绩的频数分布直方图如右图（数据分成6组：

40<x<50,50<x<60,60<x<70,70<x<80,80<x<90.90<x<100）;

b.甲学校学生成绩在804x<90这一组的是：=

C.乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下表:

平均致中位及众效优秀率

83.3847846%

根据以上信息，回答下列问题：

⑴甲学校50名学生成绩的中位数为,优秀率为.（85分及以上为优秀）：

（2）甲学校学生A,乙学校学生B、的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综

合素质展示排名更靠前的是（填"A"或"B"）.

⑶根据上述信息，推断学校综合素质展示的水平更高，理由为（至少从一个角度说

12

明推断的合理性)；

⑷若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，请预估甲学校学生分数

至少达到多少分才可以人选，并说明理由.

解：(1)81.5:40%

(2)答案为：A,甲学校学生成绩的中位数为81.5,乙学校学生成绩的中位数为84,二这两人在

本校学生中综合素质展示排名更靠前的是A

⑶答案为：乙与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多：与

甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多.

⑷答案为：88

理由：7^x50=15,也就是50人中取前15名，即第15名是88分，

400

故预估甲学校分数至少达到88分的学生才可以入选

22.(8分)如图，回ABC中，以AB为直径的。。交BC于点D,DE是。。的切线，且DE团AC,垂

足是E,延长CA交回O于点F,连接DF.

(1)求证：AB=AC;

(2)若DF=20,CE=16,求AC的长.

(1)证明：连接OD

VDE为。O的切线

.•.OD±DE

.•.ZODE=90°

VDE±AC

/.ZOEC=90

.\ZODE=ZOEC

；.OD〃AC

.\ZODB=ZC

VOB=OD

/.ZODB=ZOBD

.\ZOBD=ZC

.,.AB=AC

(2)由(1)知NOBD=NC,AB=AC

,/弧AD=MAD

/.ZABD=ZAFD

/.ZAFD=ZC

/.DF=DC=20

13

.,.△FDC为等腰三角形

又TDELAC

.,.EF=CE=16

pp4

cosNAFD=—=-

DF5

连接AD

TAB为。0直径

.\ZADB=90°

.\AD±BC

:.BD=DC=20

4

cosZABD=cosZAFD=-

.*.AC=AB=25

23.（10分）2024年是中国农历甲辰龙年.元旦前，某商场进货员预测一种"吉祥龙"公仔能畅销

市场，就用6000元购进一批这种"吉祥龙"公仔，面市后果然供不应求，商场又用・1280（1元购

进了第二批这种"吉祥龙"公仔，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了4元

⑴该商场购进第一批、第二批"吉祥龙"公仔每件的进价分别是多少元？

（2）若两批"吉祥龙"公仔按相同的标价销售，最后的50件"吉祥龙"公仔按标价的八折优惠售出,

且在整个销售过程中需要支出1300元各项费用，要使两批"吉祥龙"公仔全部售完后获利不低

于6000元（不考虑其他因素），那么每件"吉祥龙"公仔的标价至少是多少元？

解：（1）设第一批"吉祥龙"公仔每件的进价是x元，则第二批"吉祥龙"公仔的进价为（x+4）元

由题意得：幽X2=i^

xx+4

解得：x=60.

经检验x=60是原方程的解

x+4=64

答：该商场购进第一批、第二批"吉祥龙"公仔每件的进价分别是60元、64元。

（2）设"吉祥龙"公仔每件的标价是a元

由题意得：鲁°-50）a+50aX0.8-6000-12800—130026000

解得：a>90

吉祥龙"公仔标价至少是90元

答:每件"吉祥龙"公仔的标价至少是90元

14

24.(10分)【发现问题】

小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形.那么，面积为定值

的矩形中，其周长的取值范围如何呢？

【解决问题】

小明尝试从函数图象的角度进行探究：

⑴建立函数模型

设一矩形的面积为4,周长为m,相邻的两边长为x、y,则xy=4,2(x+y)=m,即y=%

y=-x+y,那么满足要求的(x,y)应该是函数y=：与y=-x为十二的图象在第象限内的公

共点坐标.

(2)画出函数图象

①画函数y=g(x>0)的图象；

②在同一直角坐标系中直接画出y=-x的图象，则y=-x咛的图象可以看成是y=-x的图

象向上平移个单位长度得到。

⑶研究函数图象

平移直线丫=火，观察两函数的图象；

第24题图

①当直线平移到与函数y=%x>0)的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为,周

长m的值为.

②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数

及对应数值m的取值范围。

【结论运用】

⑷面积为8的矩形的周长m的取值范围为.

(D-

(2)①如图

15

②如上图：y

(3)①(2,2)8;

②由①并结合图象知：0个交点时，0<m<8；2个交点时，m>8

(4)m^8V2

25.(12分)综合与实践

【问题情境】

在,,综合与实践"课上，老师提出如下问题：如图1,C是线段BD上的一点，以BC和CD

为直角边分别作等腰直角国ACB和等腰直角团DEC,点E在边AC上，连接BE和AD.

⑴试判断DE和AB的位置关系，并说明理由.

【实践探究】

⑵"勤学小组"受此问题启发，将图1中的回BCE绕点C逆时针旋转角度a(00<a<90"),使得点B

落在回ABD的外部，得到回B'CE',点B的对应点为B',点E的对应点为E'.连接AB'、DE',如

图2,请判断DE，与AB，之间的位置关系，并加以证明。

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