高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）直线、平面垂直的判定与性质

直线、平面垂直的判定与性质

基础知限要打牢掌握程度

1强双基固本源得基础分

［知识能否忆起］

一、直线与平面垂直

1.直线和平面垂直的定义

直线，与平面a内的任意一条直线都垂直,就说直线/与平面a互相垂直.

2,直线与平面垂直的判定定理及推论

文字语言图形语言符号语言

a,6u

一条直线与一个平面

b=0

内的两条相交直线都>=

判定定理1la

垂直，则该直线与此平

k11b,

面垂直

71Q

如果在两条平行直线

卜J

中，有一条垂直于平b]

推论心6_La

面，那么另一条直线也._L°J

垂直这个平面

3.直线与平面垂直的性质定理

文字语言图形语言符号语言

垂直于同一个平面的两:L_ala'

性质定理>=>a〃b

条直线平行75_La

二、平面与平面垂直

1.平面与平面垂直的判定定理

文字语言图形语言符号语言

一个平面过另一个平面

判定定理的垂线,则这两个平面〉=4J.£

/_L。J

垂直£b

2.平面与平面垂直的性质定理

文字语言图形语言符号语言

a工B、

两个平面垂直，则一个lu£

>

性质定理平面内垂直于交线的直aCB=a

线垂直于另一个平面11a,

今7_La

［小题能否全取］

1.（教材习题改编）已知平面。，£,直线若ac8=1,则（）

A.垂直于平面£的平面一定平行于平面a

B.垂直于直线1的直线一定垂直于平面。

C..垂直于平面£的平面一定平行于直线1

D.垂直于直线1的平面一定与平面a、B都垂直

解析：选DA中平面可与a平行或相交，不正确.

B中直线可与。垂直或斜交，不正确.

C中平面可与直线,平行或相交，不正确.

2.（•厦门模拟）如图，。为正方体ABCD-ABCM的底面ABCD的中心，则下列

直线中与瓜。垂直的是（）

A.AiDB.AAi

C.A\D\D.4G

解析：选D易知4G，平面BB\DiD.

又Bg平面BBiDiD,：.A\C\VB\O.

3.已知£是两个不同的平面，W〃是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（）

A.若m//a,aC\8=n,则m//n

B,若ml.Q,mVn,贝ljn//a

C.若m_La,,a_L£,贝［］mLn

口.若。_1£,aCf=n,ml.n,则ml.B

解析：选C对于选项A,若加〃QC8=n,则〃〃亿或见〃是异面直线，所以A错误；对于

选项B,〃可能在平面。内，所以B错误；对于选项D,〃与£的位置关系还可以是m£,必〃£,或必

与£斜交，所以D错误；由面面垂直的性质可知C正确.

4.如图，已知以，平面/比；BCVAQ则图中直角三角形的个数为

解析：由线面垂直知，图中直角三角形为4个.

答案：4

5.(教材习题改编)如图，已知六棱锥尸比颂的底面是正六边形，为_L平面

ABC,为=2小则下列命题正确的有一.

①以，志；②平面46人平面PBC-,③直线6勿平面PAE-,④直线PD与平面

F

/回所成角为30°.

解析：由以1.平面ABC,：.PAVAD,故①正确；②中两平面不垂直，③中与平面为£相交，BC//

AD,故不正确；④中如与平面/回所成角为45°.

答案：①

1.在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件.同时抓住线线、线面、面

面垂直的转化关系，即：

2.在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可

通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理.

3.几个常用的结论：

(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直.

(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

色|高频考点要单差TONGGUAN抓考点I学技法|得拔高分|掌握程度

*垂直关系的基本问题

典题导入

[例1](•襄州模拟)若名〃为两条不重合的直线，£为两个不重合的平面，给出下列命题：

①若〃，〃都平行于平面a,则名〃一定不是相交直线；②若以〃都垂直于平面a,则W〃一定是平

行直线；③已知a、£互相垂直，m,〃互相垂直，若卬，a,则”_L£；④勿，〃在平面。内的射影互相

垂直，则〃，〃互相垂直.其中的假命题的序号是_.

［自主解答］①显然错误，因为平面a〃平面£,平面。内的所有直线都平行£,所以£内的两

条相交直线可同时平行于a;②正确，•如图1所示，若aC£=/,且n//1,当。时，但n//

£,所以③错误；如图2显然当，In'0^,〃不垂直于亿所以④错误.

图1图2

［答案］①W）

由题悟法

解决此类问题常用的方法有：①依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；②

否定命题时只需举一个反例.③寻找恰当的特殊模型（如构造长方体）进行筛选.

以题试法

1.（•长春模拟）设a,6是两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，则下列四个命题：

①若alb,ala,Ma,则6〃a；②若a//a,a」£,贝1Ja_L£；③若a_L£,a_L£,则a〃

。或zua;④若alb,a_La,bl.,贝（Ja_L£.

其中正确命题的个数为（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：选D对于①，由，不在平面。内知，直线6或者平行于平面a,或者与平面。相交，若直

线6与平面n相交，则直线6与直线a不可能垂直，这与已知"a,〃’相矛盾，因此①正确.对于②，

由a〃a知，在平面。内必存在直线&〃a,又aLS,所以有a】J,£,所以②正确.对于③，

若直线a与平面。相交于点4过点力作平面a、£的交线的垂线〃，则又aLS,则有a〃q

这与“直线a、/有公共点"’相矛盾，因此③正确.对于④，过空间一点。分别向平面a、£弓|垂线&、

也、则有a〃ai,b"b\、又a，b、所以&所以a16,因此④正确.综上所述，其中正确命题的个

数为4.

直线与平面垂直的判定与性质

典题导入

［例2］（•广东高考）如图所示，在四棱锥P及/中，相，平面PAD,

AB//CD,PD=AD,£是阳的中点，户是"上的点且如PH为4PAD中

边上的高.

⑴证明：平面/6切；

⑵若加=1,AD=y[2,FC=1,求三棱锥£-"方的体积；

⑶证明：皮」平面以8.

：自主解答]⑴证明：因为AB1.平面PAD,PHu平面PAD,

所以用，熊

因为用为△阳，中/。边上的高，所以9，力〃

因为阳：平面46。ABQAD=A,AB,/Zt平面/及〃

所以7%U平面相以

⑵如图，连接班取刚的中点G,连接爆

因为£是阳的中点,

所以EG//PH,

且阳=*

因为为U平面N8切,

所以比_L平面

因为481.平面阳〃4fc平面

所以幺6，/〃

所以底面融切为直角梯形.

所以上.2.FC、AD•£G=*.

⑶证明：取为中点M,连接MD,ME.

因为£是阳的中点，所以屹1延然

又因为加'触，及所以超触此所以四边形磔叨是平行四边形，所以劭/也

因为PD=AD,所以切_L序.

因为.平面阳〃所以必_L/8

因为用AA6=4所以加_L平面序及所以历\L平面用6.

由题悟法

证明直线和平面垂直的常用方法有：

(1)利用判定定理.

(2)利用判定定理的推论(a〃瓦alanb,a).

(3)利用面面平行的性质(a_La,a〃£na_L£).

（4）利用面面垂直的性质.

当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.

以题试法

2.（•启东模拟）如图所示，已知身，矩形相切所在平面，X“分别是4瓦PC

的中点.

（1）求证:MN1CD；

⑵若乙期=45。，求证：仞VI平面户CZZ

证明：⑴连接四AN,BN,

•.•以_L平面：.PALAC,

在RtARIC中，”为尸C中点，.•/%='1%

,以_L平面/阅9,\PA_LBC,又BCLAB,

PA^AB=A,

PAB.：.BCVPB.

从而在Rt△咖中，m为斜边相上的中线,

：.BN=~PC.

.•.4V=5Vm为等腰三角形，又〃为的中点，，始U/8,

又,：AB"CD、MNLCD.

⑵连接掰阳期=45°,PALAR:.AP=AD.

二•四边形极力为矩形，:.AD=BC,:.AP=BC.

又•.•〃为48的中点，

而乙用〃=ACBM=90

PM=CM.

又及为秋的中点，.•.如U知

由⑴知，MN1CD,PCCCD=C,.,.腑1平面也Z

面面垂直的判定与性质

典题导入

[例3]（•江苏高考）如图，在直三棱柱/比'-4笈G中，48=44,4CD、£分别是

棱BC、CG上的点（点，不同于点。，且ADVDE,F为BC的中点.

B

求证：⑴平面/龙'，平面6s；

(2)直线4%平面ADE.

［自主解答］⑴因为/8C-48K是直三棱柱，所以CCU平面四乙

又ADc.平面ABC,所以CCi_LAR

又因为Ca,庞u平面6CGS,

CQnDE=E,

所以ADV平面BCQBr.又4fc平面ADE,

所以平面ADEL平面BCCB.

(2)因为4夕=4G,—为的中点,

所以47U81G.

因为CG_L平面AiBiCi,且4代平面ABCi,

所以CQVAxF.

又因为S,8iGu平面及石瓦CGC8K=G,

所以4c平面8CGA.

由⑴知平面BCCB、所以A.F//AD.

又ADc.平面ADE,AM平面ADE,

所以4%平面/应：

由题悟法

1,判定面面垂直的方法：

(1)面面垂直的定义.

(2)面面垂直的判定定理(a_L£,aua=>a_L£).

2.在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直.

转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.

以题试法

3.(-泸州一模)如图，在四棱锥尸一四切中，底面/及/为菱形，乙BAD=60；

。为/〃的中点.

⑴若序=PD,求证：平面PQBL平面PAD；

⑵若点〃在线段PC上，旦PM=tPCM),试确定实数大的值，使得为〃平面

MQB.

解：⑴因为以二出，0为四的中点，所以被

连接BD,因为四边形切为菱形，乙BAD=60°,

所以AB=BD

所以制，被

因为刃匕平面胤鲂闾C平面尸皱

BQCPQ-Q

所以四，平面园a

因为ADci平面PAD、所以平面PQBI平面PAD.

⑵当力仁时,为〃平面仅以

证明如下：

连接/c,设勿=。，连接掰在与△屐为中，

因为AD//BC,所以乙0Q4=乙①（7,40AQ=Z_OCB.

AOAQ1AO10C2

所以所以不=而=5.所以力=可，即万=可.

ULUDZACoAC6

,1CM2CM0C「…〃

PM=-PC,知方=可，所以有=万所以"〃血

oUroUrriU

因为。仁平面他为，平面颇5,所以孙〃平面欣以

EL解融训练要高效抓速度।抓规范।拒绝眼高手做।掌握程度

A级全员必做题

1.（•杭州模拟）设a,4c是三条不同的直线，a,£是两个不同的平面，则a,6的一个充分条件

是（）

A.a±c,bLcB.。_L£,aua,6u£

C.a_La,b//aD.alff,bLa

解析：选C对于选项C,在平面。内存在。〃6,因为a，a,所以a，c,故a，6；A,B选项中，

直线a,6可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D选项中一定有a〃4

2.设。，£,7是三个不重合的平面，/是直线，给出下列命题

①若a，£,B"则a，尸；②若/上两点到。的距离相等，则1//a；③若l'a、1"B、

则；④若aUBN£,且/〃。，则/〃£.

其中正确的命题是（）

A.①②B.②③

C.②④D.③④

解析：选D对于①：若。£_L九则。，九前者不是后者的充分条件，比如当。〃/时,

也有a，Sly.对于②：显然错误，当。。/时，/上到/距离相等的两点到。的距离

相等.③④显然正确.

3,给出命题：

（1）在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；

（2）设/,“是不同的直线，a是一个平面，若a,1//m,则〃，a;

（3）已知a,£表示两个不同平面，〃为平面a内的一条直线，则“是的充要条

件；

（4）a,6是两条异面直线，户为空间一点，过户总可以作一个平面与a,6之一垂直，与另一个平行.

其中正确命题个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：选B⑴错，也可能相交；⑵正确；⑶“。,夕'是『，夕’的必要条件，命题错误；（4）

当异面直线a,右垂直时才可以作出满足要求的平面，命题错误.

4.（•济南模拟）如图，在斜三棱柱46C-48K中，乙的C=90°

在底面/6C上的射影〃必在（）

A.直线四上

B.直线BC上

C.直线ACY.

D.△/白；内部

解析：选A由阅，.•/UL平面/阅.

又；/ft面A6C.,.平面A6G_1_平面力6c，G在面/6C上的射影〃必在两平面交线46上.

5，.（•曲阜师大附中质检）如图所示，直线以垂直于。。所在的平面，△ABC内接于

。。，且加为。。的直径，点〃为线段外的中点.现有结论：①BC1PC；②OM//平面

加/；③点6到平面用。的距离等于线段笈的长.其中正确的是（）

A.®（2）B.①统

c.aD.②③

解析：选B对于①，•.•用_L平面16c为。。的直径，：.BCLAC.：.BCV^-^PAC.y^

止平面序c,.•.比工程；对于②，•.•点〃为线段外的中点，，在〃勿•.•用u平面为a.•.如〃平面用u

对于③，由①知BC1平面PAC,：.线段6c的长即是点6到平面用C的距离，故①②③都正确.

6.（•济南名校模拟）如图，在四边形短/中，AD//BC,AD^AB,乙BCD=45°,

乙BAD=90°,将△/劭沿初折起，使平面力劭，平面6。构成三棱锥/I/\-BCD,则

在三棱锥力-灰/中，下面命题正确的是（）\八

A,平面ABD1平面ABCB,平面ADC1平面BDC

C,平面ABC1平面BDCD,平面ADC1平面ABC

解析：选D在平面图形中CDYBD,折起后仍有CDLBD、由于平面/Ml.平面BCD,故CDL平面ABD,

CDVAB,又ABLAD,故居，平面4%所以平面/及71.平面4%

7.如图所示，在四棱锥户-融必中，*，底面加内且底面各边都相等，〃是

用上的一动点，当点〃满足时，平面掰切，平面23（只要填写一个你认

为是正确的条件即可）

解析：由定理可知，BDVPC.

当DMLPC(或BM1.PC)时，即有PCI平面MBD.

而PCu平面PCD,

平面MBDX.平面PCD.

答案：DM1PC@BM1PC等

8.（•忻州一中月考）正四棱锥S-4O的底面边长为2,高为2,£是理的中点，动点P在四棱锥的

表面上运动，并且总保持必'L/C,则动点尸的轨迹的长为一一一.

解析：如图，设4CCBD=0,连接SO,取切的中点F、SC的中点G,连接EF,EG,

FG,设站交立于点〃连接GH,

易知/人的GH//SO,

.•.而_L平面

：.ACLGH,：.ACLEFG,

故动点尸的轨迹是△笈场由已知易得鳍=也，

GE=GF=*，:.△郎G的周长为小+乖,故动点尸的轨迹长为镜+加.

答案：山+4

9.（•蚌埠模拟）点户在正方体ABCD-A^CM的面对角线BQ上运动，给出下列

四个命题：

①三棱锥A-DW的体积不变；

②4%平面AC仄;

③DPIB6；

④平面PDBil.平面ACDi.

其中正确的命题序号是.

解析：连接BD交AC于0,连接DG交院干«,连接oa,则O（\//Ba.

.,.比1〃平面AflC,动点P到平面/"C的距离不变,

•・・三棱锥尸-阳。的体积不变.

又VP-ABC=%-DiPC,：.①正确.

•••平面4G勿平面ABC,47t平面A,QB,

•••4%平面/细，②正确.

由于血不垂直于6G显然③不正确；

由于&DBiLADi,DiC^ADi=Di,

二比；_L平面ADiC.DBc平面PDB、、

，平面&SJ_平面/勿，④正确.

答案：①0)④

10.如图所示，已知三棱锥力-如C中，APIPC,ACIBC,M为AB的中点，D为

%的中点，且△7W为正三角形.

(1)求证：％平面/AC；

(2)求证：平面ABC1平面APC.

证明：⑴由已知，得如是△/成的中位线，所以如〃相.

又Mffi平面APC,4t平面APC,

故陟〃平面APC.

⑵因为△/«为正三角形，，为心的中点,

所以MDVPB.所以APLPB.

又APLPC,PBCPC=P、所以4Pl,平面小

因为6Cu平面如C,所以"，况:

又BCLAC,ACDAP=A,所以6C_L平面"C

因为BCu平面ABC,所以平面ABCV平面APC.

11.(•北京海淀二模)如图所示，为，平面26"点C在以四为直径的。。上,乙

物=30°,PA=AB=2,点£为线段期的中点，点〃在石上，鱼。刈AC.

(1)求证：平面加於'〃平面PAC；

⑵求证：平面PACV平面PCB.

证明：⑴因为点£为线段阳的中点，点。为线段"的中点,

所以OE//PA.

因为序u平面PAC,OBt平面PAC,

所以施〃平面PAC.

因为0M//AC,

且ACc平面PAC、0MX平面FAQ

所以。稼平面PAC.

因为您'u平面掰定，。仁平面磔OEC0M=0,

所以平面随定'〃平面PAC.

⑵因为点。在以为直径的O。上，所以乙/4=90°,^BCVAC.

因为用_1平面ABC,BCu平面ABC,所以PA1BC.

因为ACu平面用C,为u平面以C用C/C=4

所以笈1.平面PAC.

因为8ct平面产四,

所以平面用C_L平面PCB.

12.（•珠海摸底）如图，在多面体/况娇中，四边形4夕切是梯形，AB//CD,

四边形/C硬是矩形，平面/CK建平面/及〃AD=DC=CB=AE=a,[乙ACB*.

（1）求证:BCL平面ACFE；忆-;二三^

AB

⑵若〃是棱斯上一点，胡〃平面好求朗的长.

JI

解：⑴证明：因为5，所以6UL/C又因为at平面4及〃平面/仃“1平面"8（力=47,平

面ACFEL平面ABCD,

所以6C_L平面/第E

（2）记/CC如=〃，在梯形/及/中，因为AD=DC=CB=a、AB//CD,所以447?=乙。6=乙〃4c

JIJIJI

所以n=乙/a"+4版=4力⑦=34〃4。+不，所以4〃4C=不，即4或。=豆.

又因为乙水石=5，CB=a,所以。。=乎a.连接做由4〃平面叱得力勿应因为四边形水座是

、后

矩形，所以朗=，。=¥口—

B级重点选做题

1.如图，在三棱锥〃T胸中，若AB=CB,AD=CD,£是〃的中点，则下列正确的是（）

A.平面ABC1.平面ABD口

B.平面ABDV平面BDC/

D.平面ABCX.平面ADC,且平面ADCL平面BDE

解析：选C要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第

一个平面垂直.因为熊二绍且£是熊的中点，所以龙同理有理UC,于是熊，平面延因为

在平面Z6C内，所以平面/比二平面BDE.又由于ACc:平面ACD,所以平面Z67?_L平面BDE.

2.如图所示，b,c在平面。内，aCc=B,bC\c=A,且aJ_6,alc,blc,若CEa,DEb,则4

ACO是()

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

解析：选BaVb,bLc,aCc=B,Z）!®ABC,

：.ADLAC,故△力切为直角三角形.

3.（•莆田模拟）如图，在三棱锥尸T根中，NPAC、分别是以4B为直角顶

点的等腰直角三角形，AB^\.

⑴现给出三个条件：①如=乖；②阳，6C；③平面序6,平面力必试从中任意选

取一个作为已知条件，并证明：/^_L平面A6C；

⑵在⑴的条件下，求三棱锥尸-/欧的体积.

解：法一：（1）选取条件①

在等腰直角三角形四C中，

:48=1,

又•：PA=AC,：.PA=-\[2.

.•.在△246中，AB=1,PA=@.又•;PB;小,

:.A百'PN=P百.

...乙用6=90°,gpPALAB.

y^-：PAVAC,ABOAC^A,

二阳_L平面ABC.

(2)依题意得，由(1)可知必_L平面

「三棱锌=|■必•SAABc=~Xy[2X^XI2二

法二：(1)选取条件②

,:PBIBC,

又AB1BC,且PBCAB=B,

BC1,平面PAB,

,/PAu平面PAB,

BCLPA.

又•••B4_L/C且BCD心C

.•・用，平面ABC.

(2)依题意得，由(1)可知用_1平面/宛

•；AB=BC=\,AB1.BC,

；.AC=小,

■-PA=y^,

11111厂北

*,./三棱锥尸纪二144,SMBCMQXQAB,BJPA=-X-X1X1Xyl2=^T

33232Yb

法三：(1)选取条件③

若平面以反L平面ABC,

■.・平面必8G平面/回二股以七平面力比；BC1AB,

平面PAB.

'：PAu平面PAB、：.BCi.PA.

'：PALAC,AC=C,

平面ABC.

(2)同法二.

I.师各选题I

1.(•福建高考)如图，在长方体/及力-4笈G“中，AB=AD^1,44=2,〃为棱

/“I上的一点.

(1)求三棱锥/-掰％的体积;

(2)当4〃+团取得最小值时，求证：笈以平面MAC.

解：⑴由长方体Z腼-48K〃知,

/〃_L平面CDKC1、

•，•点A到平面CDDiG的距离等于AD=1.

“11

又SAMCG=-CGXCD=-X2X1=1,

1人1

VA-MCG=-AD*S/\MCG=~

UO

(2)证明将侧面绕Z®逆时针转90°