2024年高考数学一轮复习：复数9种常见考法归类（新高考地区专用）含解析

考点27复数9种常见考法归类

高频考点

考点一复数的有关概念

（-）复数的实部与虚部

（-）共朝复数

（三）复数相等

（四）复数分类

考点二待定系数求复数

考点三复数的模

（一）求复数的模

（-）由复数模求参数

（三）与复数模相关的轨迹（图形）问题

考点四复数的四则运算

（-）复数的运算

（二）复数范围内方程根的问题

考点五复数的几何意义

（-）与复数对应点（向量）有关的运算

（二）判断复数对应点所在的象限

（三）根据复数对应坐标的特点求参数

考点六复数的综合问题

考点七复数的新定义问题

考点八欧拉公式及其应用

考点九复数与其他知识的交汇

解题策略

1.复数的概念

概念定义

把形如。+历(°,66R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.复数通常用字母

复数

z表示，即2="+历，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部

复数集全体复数所构成的集合，即C={a+历|a,bGR}

复数

a+bi=c+di<=^a=c,b=d,其中a,b,c,d£R

相等

复数复数z=a+历(a,匕£R)的分类：

|实数。=0),

分类复数i虚数(厚0)(当〃=0时为纯虚数)

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为

共甄

共辗复数，虚部不等于0的两个共朝复数也叫做共轨虚数.复数Z的共辗复

复数

数用Z表示，即如果z=a+bi(a,b^R),那么z=a—历

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，尤轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.

复平面

显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

复数z=a+bi(4,i为虚数单位)对应的向量为龙，则向量龙的模叫做

复数复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|〃+bi|.即|z|=1。+bi[=y/屏+或2,其中

的模a,b£R.复数z=a+Z?i(〃，b£R)的模就是复数z=〃+历在复平面内对应的

点Z(a,匕)到坐标原点的距离

2.解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a,bGR),则该复数的实部为

a,虚部为6；

(2)求一个复数的共朝复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得

原复数的共轨复数.复数zi=a+历与Z2=c+di共轨uw=c,b——d(a,b,c,dGR).

(3)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数

化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.所以解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,

bCR)的形式，以确定实部和虚部.

①复数是实数的条件:①z=a+biERH)=O(a,beR)；②zeRT=N；③zeR^2>0.

②复数是纯虚数的条件:①z=a+bi是纯虚数ua=O且b/)(a,beR);@z是纯虚数0+N=O(z，O);③z是纯虚数

~2<0.

3.解决复数问题最基本的思想方法

复数问题标准化、实数化是解决复数问题最基本的思想方法.复数概念中应注意的几点：①对于复数相

+ni,如果加，wGC(或没有明确界定相，«GR),则不可想当然地判定机，wGR；②易误认为y轴上的点与

纯虚数一一对应(注意原点除外)；③对于a+历(a,bGR)为纯虚数的充要条件，只注意了。=0而漏掉了厚0.

4.复数的几何意义

[复数z=a+M(a,6CR,i为虚数单位)]

一一对应一一对应

|复平面内的总卜一一对应

(a,b)[平面向量应(起点为原点。)]

为方便起见，我们常把复数Z=a+历说成点Z或说成向量龙，并且规定，相等的向量表示同一个复数.

5.对复数几何意义的再理解

(1)复数Z、复平面上的点Z及向量/相互联系，即2=。+历(°,bGR)f,b)^OZ-,

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解

题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

6.两个复数的差的模|z「Z2|的几何意义

|z|的几何意义：令2=》+.0，ydR),则历尸“^+产,由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|

的几何意义；|Z1—Z2I的几何意义是复平面内表示复数Zl,Z2的两点之间的距离.即设复数

Zj=a+bi,z2=c+di(a,b,c,deR)在复平面内对应的点分别是A(a,b),5(c,d),则|zx-z21=

一般地，设复数Z1=a+万,Z2=c+力(。也c,deR)对应的点分别是A(a,b),B(c,d)，则复数z对应的

点Z的轨迹如下：

①若|z-z/=r,则为圆;

②若/J<|z-4|<2，则为圆环，但不包括边界;

③若|z-2j=|z-Z?|,则为垂直平分线;

④若|Z-Z]|+|z-Z2l=常数，则当常数大于AB时，为椭圆；当常数等于AB时，为线段；当常数小

于AB时，不存在；

⑤若lz-4I-|z-Zzl=常数，则当常数大于AB时，不存在；当常数等于AB时，为一条射线；当常

数小于AB时，为双曲线的一支.

7.复数的四则运算

(1)运算法则：设zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,dGR),贝I

①zi±Z2=(a±c)+(b+d)i.

②Z1Z2={ac—bd)+(ad+bc)i.

ziac+bdbe—ad

③Z2=C2+/+d+屋i(Z2?0).

注：①复数的计算除了掌握基本运算法则外，最好熟记一些常见算式运算的结果，这对提高运算的速

度和准确度都有很大的帮助.②除法的关键是“分母实数化”.

(2)复数加、减法的几何意义

y

加复数Z1+Z2是以波1,龙2为邻边的平行四边形的z心，孰

法

对角线0Z所表示的向量应所对应的复数01x

]Z（c,d）

减复数Z1—Z2是从向量应2的终点指向向量历1的终2

法（a,b）

点的向量方之所对应的复数X

(3)复数加法的运算律：对任意Zi,Z2,z3ec,有

交换律Z1+Z2二=Z2+Z1

结合律（Zl+Z2）+Z3二=Z1+（Z2+Z3）

(4)复数乘法的运算律：对于任意Zl,Z2,Z3WC,有

交换律Z1Z2—Z2Z1

结合律（Z1Z2）Z3=Z1（Z2Z3）

分配律Z1（Z2+Z3）=Z1Z2+Z1Z3

(5)共辗与模是复数的重要性质，运算性质有:

①Z]±Z2=Z]±Z2；②Z1XZ2=Z]XZ2；③Z.N=|z'=|司2；④卜J一㈤闫Z[±Z2同zj+㈤;

⑤|平2月小闾；®—二?

Z2Zl|

(6)常用结论

①(a±6i)2=cr±2abi~b2(a,bGR)；

②(a+bi)(a—6i)=q2+62(a,6GR)；

„..1+i.1—i.

③(1±i)―9=±2i；-：r=i,1.——i.

1—11+1

@i4n=l,i4"+l=i,i4"+2=—1,i4"+3=—i其中〃GN*'i4"+i4"+l+i4"+2+i4"+3=0(〃GN*).

8.复数代数形式运算问题的解题策略

在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则（实部与实部相加减，

复数的加减法

虚部与虚部相加减）计算即可

复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，

复数的乘法

不含i的看作另一类同类项，分别合并即可

除法的关键是分子分母同乘以分母的共轨复数，解题中要注意把i的舞写成最

复数的除法

简形式

在含有z,z,忆|中至少两个的复数方程中，可设z=a+bi,a,bER,变换方程，利用两复数相等的充

要条件得出关于a,b的方程组，求出a,b,从而得出复数z.

9.复数范围内实系数一元二次方程依2+%+。=0（际0）的求根公式为

,,,—b±\lb2—4ac

（1）当/NO时，x=-----9-----；

—b川一（左一4aRi

（2）当/<0时，尤=2a

注：实系数方程的虚数根必共轨成对出现

10.复数范围内解方程的一般思路是：

依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解.对于一元二次方程，也可以利用

求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的（依然满足韦达

定理）.注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解.

注：由于虚数单位i的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根.

W考点精析

考点一复数的有关概念

（一）复数的实部与虚部

1.（2023・广东・统考模拟预测）若（z+i）i=4-7i,则复数Z的虚部为（）

A.-5B.5C.7D.-7

2.（2023•河南安阳•统考三模）已知（l+2i）（a+i）的实部与虚部互为相反数，则实数（）

A.-B.--C.gD.--

3322

1-4i3

3.（2023•河南驻马店•统考二模）复数z=--的实部与虚部之和为（）

1-i

A.-4B.-1C.1D.4

（二）共施复数

4.（2023春•四川雅安•高三雅安中学校联考阶段练习）i3+i，的共辗复数为（）.

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

5.（2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）已知i是虚数单位，复数z满足z（3+i）=|（2+i）j,

则复数z的共轨复数虚部为（）

A.-B.4C.--D.--

2222

1+Z

6.（2023・全国•高三专题练习）已知复数z是纯虚数，.是实数，贝匹=（）

1+1

A.—iB.iC.12iD.2i

（三）复数相等

7.（2023・上海徐汇・位育中学校考模拟预测）已知ZEC,则2=五”是“ZER”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

8.（2023・上海•高三专题练习）已知xeR,yeR,且X+i=y+M,i是虚数单位，则％+>=.

9.（2023・全国•校联考三模）已知I,=♦-沅则Q+Z?的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

2

10.（2023・天津津南・天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知;~~；=l-i（«eR）,贝=

11.（2023・上海•高三专题练习）已知复数（1-3加-1）+（1-5利-61=3（其中i为虚数单位），则实数冽=

12.（2023•湖北黄冈・黄冈中学校考三模）已知a,beR,复数z=。+仇满足z（l+i）=（1—2产，则〃+（）

C.-3

13.（2023・陕西安康•陕西省安康中学校考模拟预测）已知复数z=2+i,且磔二+8=0,其中。，。为实

数，则（）

A.〃=—1,b=—4B.a=—ljb=4C.a=l,b=—4D.a=l,b=4

（四）复数分类

14.（2023•山东潍坊•三模）已知”,beR,i为虚数单位，则“复数z=是纯虚数”是“同+网/0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

15.（2023・四川成都•三模）已知复数z=（a+i）（2+i）是纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值为.

16.（2023・湖南•校联考模拟预测）已知复数出■是纯虚数，则实数。的值为（）

2

2

3+

（2023・全国•合肥一中校联考模拟预测）设〃R,贝厂加=2”是“丁一十相（3+4i）为纯虚数”的

A.充分不必要条件必要不充分条件

C.充要条件既不充分也不必要条件

18.（2023・全国•高三专题练习）设复数z=2+（疗+2〃?_i5）i为实数，则实数根的值是

19.（2023春・全国•高三竞赛）复数z=（a+i『eR,且1＜忖＜3,则实数”.

20.【多选】（2023•吉林・统考三模）已知复数Z]=M-l+（m+l）i,Z2=cos26+isin6,下列说法正确的是

（）

A.若4纯虚数，则机=1

B.若Z2为实数，则夕=E,keZ

、4

C.右4=4,则机=0或加=一1

D.若420,则根的取值范围是（-w,—l]u[l,+oo）

考点二待定系数求复数

21.（2023・湖北•模拟预测）已知复数z满足z+|z|=2+4i,则z的共轨复数的虚部为（）

A.2B.-4C.4D.-2

22.（2023・湖南郴州•统考模拟预测）设复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且目=2,卜+目=2,贝匹

的值为（）

A.1-V3iB.1+拘

C.V2-V2iD.V2+V2i

23.（2023・甘肃金昌・永昌县第一高级中学统考模拟预测）若复数z满足z+2』=2+i，其中i为虚数单位，

则Z=（）

22

A.3—2iB.2+3iC.—iD.—hi

33

24.（2023春•上海闵行•高三上海市七宝中学校考阶段练习）若复数z满足2（z+2）-（z-5）=8-2i,则其实

部Rez=.

7Z

25.（2023・全国•高三专题练习）已知复数三为纯虚数，且丁一二1,则z=（）

l+i1+1

A.1-iB.l+i

C.—l+i或l—iD.—l—i或l+i

考点三复数的模

（一）求复数的模

26.【多选】（2023•全国•高三专题练习）设z“Zz为复数，则下列命题中一定成立的是（）

A.如果Z]-Z2>0,那么Z]>Z2

B.如果㈤=卜|,那么Z1Z=Z2Z2

C.如果3>1,那么㈤>以,|

Z2

D.如果z；+z；=o,那么Z[=Z2=。

27.（2023・广东•高三专题练习）己知a,Z?GR,（l-2i）a=l+M,贝山+例=（）

A.5B.275C.3D.石

28.（2023•全国•高三专题练习）已知复数a+3i=4+历，则手&=（）

5+121

A.AB,1C.2D.H

13131313

29.（2023•全国•模拟预测）己知复数z满足（l+2i）z=i23,则同=（）

A.-B.旦C.-D.也

5555

30.（2023•山西・校联考模拟预测）已知复数z满足z2=-2i，则恸=（）

A.1B.&C.6D.2

31.（2023•江西九江•统考三模）已知复数z满足z-（2+i）=7—4i,则|z|=（〕

A.1B.&C.2D.2夜

32.（2023•河南•模拟预测）已知复数z满足z2+z+l=0,贝!J|z|=（）

A.1B.1C.V2D.1或0

（二）由复数模求参数

33.（2023•安徽蚌埠•统考三模）已知acR,i为虚数单位，若复数z=i（a-i）,目=2,贝/=

34.（2023•全国•高三专题练习）已知复数z满足z（2+i）=o+i（其中a>0,i为虚数单位），若复数z的

模为0，则实数。=（）

A.1B.2C.3D.4

35.（2023•陕西西安・西安一中校联考模拟预测）已知复数z满足z=1[aeR）,若闫=而，则复数z

为（）.

A.3-iB.-l-3i

C.3-i或-l-3iD.3-i或3+i

13

36.（2023•河北石家庄•正定中学校考模拟预测）设复数z=l+«i（aeR）,z2=-^-,且卜区同，贝匹的

最大值为（）

A.1B.2C.2y/3D.372

（三）与复数模相关的轨迹（图形）问题

37.【多选】（2023•全国•高三专题练习）设z,4,均为复数，且z产Z2,下列命题中正确的是（）

A.若Z[=Z2，则Zj=Z2

B.若区—z?卜[z]+z?[,则Z]Z2=0

C.若zz=zz2，则z=0

D.若|z-zj=|z-z/贝”在复平面对应的点在一条直线上

38.（2023秋・江苏•高三统考期末）若复数z满足|z-l|W2,则复数z在复平面内对应点组成图形的面积为

（）

A.兀B.2兀C.3兀D.4兀

39.（2023.江西赣州.统考二模）已知复数z满足|z+i|=l（i为虚数单位），则|z-i|的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

40.（2023•全国•模拟预测）设z是复数且|z-l+2i|=l,则目的最小值为（）

A.1B.73-1C.75-1D.小

41.（2023春•浙江杭州•高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）若复数z满足z+二eR,则|z+i|的最小值

为（）

A.立B.正C.72-1D.1

32

42.【多选】（2023•河北石家庄•统考三模）已知复数4=1+27,复数z满足|z-zj=2,则（）

A.z1-zi=5

B.A/5-2<|Z|<V5+2

C.复数4在复平面内所对应的点的坐标是（-1,2）

D.复数z在复平面内所对应的点为Z（x,y）,则（x_iy+（y_2）2=4

43.（2023・全国•高三专题练习）如果复数z满足2+17卜2,那么|z-2+i|的最大值是.

44.（2023河南・洛阳市第三中学校联考模拟预测）已知复数2满足|2+"=|2-力2在复平面内对应的点为（不力,

则（）

A.x+y=0B.x—y=0C.x=0D.y=。

45.（2023•全国•高三专题练习）复平面内复数z满足|z-2|-|z+2|=2,则|z-i|的最小值为（）

A.且B.gC.6D.75

22

46.（2023.山东烟台.统考二模）若复数z满足|z+3|-|z-3|=4,则|z+l|的最小值为（）.

A.3B.73C.2D.72

考点四复数的四则运算

（-）复数的运算

47.（2023•天津河北・统考二模）i是虚数单位，则复数3+筌4i=______.

1+1

48.（2023・山东聊城・统考三模）］1一口=（）

A.2-iB.2+iC.-2iD.2i

49.（2023•浙江•校联考二模）已知复数z满足（z+2i）（z-2i）=2（i为虚数单位），贝”=（）

A.±V6iB.±y/2iC.2iD.土戈

7

50.（2023・重庆・统考模拟预测）已知复数z=l-i（i是虚数单位），则=一=（）

ZZ+1

A31.11.八13.11.

A.-+-1B.-+-1C.------1D.一一+-1

55555555

51.（2023•江苏南通•三模）复数z=l+2i+3i?++2O22i2021+2023i2022）.

A.1012B.-1011C.1011D.2022

52.（2023・全国•高三专题练习）

53.（2023・贵州贵阳•统考模拟预测）已知4=a+2iz2=2+bi,（a,1eR）,若+Z）+（Z2豆）i=4+13i,

则（）

A.。=2,Z?=3B.a=—2fb=—3

C.。=2,&=±3D.a=-2fZ?=±3

54.【多选】（2023•河北邯郸•统考三模）已知复平面内复数4对应向量。4=（1,-百），复数z?满足Iz?|=2,

I是Z1的共辗复数，则（）

A.\zl\=\OZl\B.

C.—=4D.|Z]Zzl=4

zi

（二）复数范围内方程根的问题

55.（2023・江苏盐城•统考三模）己知a,beR,虚数z=1+为是方程x?+ax+3=0的根，则目=（）

A.B.73C.2D.下

56.（2023・湖北•黄冈中学校联考模拟预测）己知2-i（i是虚数单位）是关于x的方程/+法+。=0（dceR）

的一个根，则b+c=（）

A.9B.1C.-7D.2i-5

57.（2023•全国•高三专题练习）若虚数z是关于％的方程d-2x+机=0（机eR）的一个根，且忖=JL则

m=（）

A.6B.4C.2D.1

58.（2023・山东济南・统考三模）已知复数40是关于犬的方程％2一2%+3=0的两根，则乎?的值为（）

A.-3B.-2C.2D.3

59.（2023•全国•模拟预测）设i是虚数单位，已知2i-3是关于犬的方程2x2+p%+g=（）3qwR）的一个根，

贝,q=.

60.（2023・重庆・统考三模）设4，%?是方程/+%+1=0在复数范围内的两个解，则（）

A.|zj-z2|=V2B.|zj=V2C.z+z2=lD.z；=z：=l

考点五复数的几何意义

（一）与复数对应点（向量）有关的运算

61.（2023•全国•高三专题练习）设复数z在复平面内对应的点为（2,5）,贝iJi+W在复平面内对应的点为（）

A.（3,-5）B.（3,5）C.（-3,-5）D.（-3,5）

62.（2023・山东聊城・统考一模）复数z在复平面内对应的点为（2,1），则二=（）

z—1

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

63.（2023春・云南・高三云南师大附中校考阶段练习）在复平面中，点O为坐标原点，记OA，OC>表

示的复数分别为2+i,-l+2i,l-2i,记z为8c所表示的复数，则z-5=（）

A.25B.8C.5D.2+3z

64.【多选】（2023•全国•高三专题练习）己知z为复数，设z,三，iz在复平面上对应的点分别为A,B,

C,其中。为坐标原点，则（）

A.|OA|=|OB|B.OALOC

c.|AC|=|BC|D.OB//AC

（二）判断复数对应点所在的象限

65.（2。23春•山西高三校联考阶段练习）已知复数z=则z在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

66.（2023•江西景德镇•统考模拟预测）已知i为虚数单位，若复数二三（aeR）为纯虚数，则复数z=2〃-i

a+i

在复平面上对应的点（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7—4i.2023/r•\

67.（2023.河南•校联考模拟预测）已知Z=7^+1….（5T）,则在复平面内，复数Z所对应的点位于（）

（J）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

68.（2023•全国•高三专题练习）设2=。+砥a,>eR）在复平面内对应的点为用，贝广点M在第四象限”是

“仍<0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件

（三）根据复数对应坐标的特点求参数

69.（2023•江苏南通・统考模拟预测）已知复数z=（l+i>（"?-2i）在复平面内对应的点落在第一象限，则实

数加的取值范围为（）

A.m>2B.0<m<2

C.—2<m<2D.m<—2

70.（2023・河北唐山•开滦第二中学校考模拟预测）已知复数4与z=4-2i在复平面内对应的点关于实轴对

称，贝（）

1-1

A.-l-3iB.-l+3iC.l-3iD.l+3i

2

71.（2023•河南濮阳・濮阳一高校考模拟预测）在复平面内，复数z与T一对应的点关于虚轴对称，则2等

1—1

于（）

A.1+iB.-1-iC.1-iD.-1+i

72.（2023•江苏淮安・江苏省肝胎中学校考模拟预测）已知复数z=（l-i3）（〃+2i）（〃£R,i为虚数单位）在复

平面内对应的点在直线X-2y=o上，则〃=（）

A.—B.—C.6D.—6

33

考点六复数的综合问题

73.（2023•全国•高三专题练习）若复数z=[^,则（）

A.|z|=5B.复数z在复平面上对应的点在第二象限

C.复数z的实部与虚部之积为2D.z=3+4i

74.【多选】（2023•吉林四平•四平市实验中学校考模拟预测）若复数z满足z（2+i）=l-i?023,则（）

A.z的虚部为§B.z=———

C.|z|=^D.z在复平面内对应的点位于第四象限

75.【多选】（2023•山东青岛・统考三模）关于x的方程炉=_4的复数解为z，Z?,则（）

A.Zj-z2=-4

B.与z?互为共轨复数

C.若4=2i,则满足z.z=2+i的复数z在复平面内对应的点在第二象限

D.若忖=1,则|z-z「zj的最小值是3

考点七复数的新定义问题

76.（2023・河南•校联考模拟预测）若两个复数的实部相等或虚部相等，则称这两个复数为同部复数.已知

z=（l-i）3,则下列数是z的同部复数的是（）

A.2+iB.3—2iC.4—iD.—3+2i

77.（2023・全国•高三专题练习）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数

Z=丁二（i为虚数单位）为“等部复数”，则实数。的值为（）

1-ai

A.-3B.-1C.0D.1

abz1-i

78.（2023•宁夏银川•校联考二模）规定运算历，若复数z满足=i，则z的值为（：

cai+i1

A.1-iB.1+iC.2-iD.2+i

79.（2023・全国•高三专题练习）对于任意的两个数对定义运算儿，若

（l,—l）*（z,zi）=l-i,则复数三.

考点八欧拉公式及其应用

80.（2023•浙江绍兴・统考模拟预测）欧拉公式短=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉

创立，依据欧拉公式，下列选项不正确的是（）

A.复数亘的虚部为JB.若则复数e"对应点位于第二象限

1+iI2J

C.复数i.e"的模长等于1D.复数-1的共辗复数为'+1i

e22

81.（2023・四川成都•川大附中校考模拟预测）欧拉公式ea=cosx+isinx（其中i为虚数单位，xeR）是

由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关

联，在复变函数论里面占有非常重要的地位.依据欧拉公式，下列选项正确的是（）

A.e疝为虚数B.函数“外=/不是周期函数

C.若川=三区，则X#D.曰至的共轨复数是在二回一旦尼i

82.（2023秋・贵州贵阳•高三统考期末）欧拉公式e，』=cosx+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式

将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要

的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列选项中不正确的是（）

A.e等对应的点位于第二象限B./为纯虚数

C.4工的模长等于!D./的共轨复数为工一也i

V3+i2e22

考点九复数与其他知识的交汇

83.（2023・全国•高三专题练习）已知i为虚数单位，复数z=，^（4eR）是纯虚数，贝心=/是直线

4：以+4y+l=0与直线/2：兄+电+；=0平行的（）条件

A.充要B.必要不充分C.充分不必要D.既不充分也不必要

84.（2023・全国•高三专题练习）定义函数/（x,〃）=（l+W（〃wN*）,已知"i,〃）=32i（i为虚数单位），则

A.180B.120C.90D.45

考点27复数8种常见考法归类

番高频考点

考点一复数的有关概念

（-）复数的实部与虚部

（二）共轨复数

（三）复数相等

（四）复数分类

考点二待定系数求复数

考点三复数的模

（一）求复数的模

（-）由复数模求参数

（三）与复数模相关的轨迹（图形）问题

考点四复数的四则运算

（一）复数的运算

（二）复数范围内方程根的问题

考点五复数的几何意义

（-）与复数对应点（向量）有关的运算

（二）判断复数对应点所在的象限

（三）根据复数对应坐标的特点求参数

考点六复数的综合问题

考点七复数的新定义问题

考点八欧拉公式及其应用

考点九复数与其他知识的交汇

三:解题策略

1.复数的概念

概念定义

把形如。+历(〃，b£R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.复数通常用字母

复数

Z表示，即z=〃+历，其中〃与b分别叫做复数Z的实部与虚部

复数集全体复数所构成的集合，即C={a+历|a,bGR}

复数

〃+历=c+diQ=c,b=d,其中a,b,c,dWR

相等

复数z=〃+历(〃,Z?£R)的分类：

复数

|实数(b=0),

分类复数［虚数(。川)(当。=0时为纯虚数)

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为

共转

共辗复数，虚部不等于0的两个共粗复数也叫做共辗虚数.复数Z的共辗复

复数

数用Z表示，即如果z=a+bi(a,b^R),那么z=a—历

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，尤轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.

复平面

显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

复数z=〃+bi(4,i为虚数单位)对应的向量为龙，则向量龙的模叫做

复数复数z=〃+bi的模或绝对值，记作|z|或|〃+bi|.即|z|=1。+Ai|=d句+抉,其中

的模

a,b《R.复数z=〃+历(〃，b£R)的模就是复数z=〃+为在复平面内对应的

点Z(〃，。)到坐标原点的距离

2.解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z=a+历(a,6GR),则

该复数的实部为。，虚部为6；

(2)求一个复数的共朝复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变

为相反数，即得原复数的共轨复数.复数zi=a+历与Z2=c+di共辗d=c,b=—d(a,b,

Cfd£R).

(3)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问

题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.所以解题时一

定要先看复数是否为a+bi(a,6GR)的形式，以确定实部和虚部.

①复数是实数的条件:①z=a+bieR<=4)=0(a,beR);②zeRT=N;③zeR<=^2>0.

②复数是纯虚数的条件:①z=a+bi是纯虚数ua=O且b加(a,beR);②z是纯虚数

T+N=O(Z#));③z是纯虚数金2<0.

3.解决复数问题最基本的思想方法

复数问题标准化、实数化是解决复数问题最基本的思想方法.复数概念中应注意的几点:

①对于复数m+m,如果根,"GC(或没有明确界定m,n^R),则不可想当然地判定根,“GR；

②易误认为y轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点除外)；③对于a+历(a,6GR)为纯虚数

的充要条件，只注意了。=0而漏掉了厚0.

4.复数的几何意义

复数z=a+Z>i(°,CR,i为虚数单位)

一一对应一一对应

|复平面内的总(a㈤卜一一对应》[平薪向量应(起点为原点O)|

为方便起见，我们常把复数Z