重点校高三上学期数学期末试题汇编：概率与统计章节综合

第1页/共1页2024北京重点校高三（上）期末汇编概率与统计章节综合一、解答题1．（2024北京顺义高三上期末）某学生在上学路上要经过三个路口，在各个路口遇到红灯的概率及停留的时间如下：路口路口一路口二路口三遇到红灯的概率遇到红灯停留的时间3分钟2分钟1分钟假设在各路口是否遇到红灯相互独立．(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间大于3分钟的概率；(3)假设交管部门根据实际路况，5月1日之后将上述三个路口遇到红灯停留的时间都变为2分钟．估计5月1日之后这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的变化情况，是“增加，不变还是减少”．（结论不要求证明）2．（2024北京通州高三上期末）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔等5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲､乙､丙三人报名民航招飞.(1)估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率；(2)求甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率；(3)根据甲､乙､丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设甲､乙､丙三人能被招飞院校录取的人数为X，求X的分布列及数学期望.3．（2024北京丰台高三上期末）2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹．某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异．在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标小于的人判定为阳性，大于或等于的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率．(1)当临界值时，求漏诊率和误诊率；(2)从指标在区间样本中随机抽取2人，记随机变量为未患病者的人数，求的分布列和数学期望；(3)在该地患病者占全部人口的5%的情况下，记为该地诊断结果不符合真实情况的概率．当时，直接写出使得取最小值时的的值．4．（2024北京石景山高三上期末）某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一球得2分，没有投进得0分；在区每投进一球得3分，没有投进得0分.学生甲在，两区的投篮练习情况统计如下表：甲区区投篮次数得分假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立．(1)试分别估计甲在区，区投篮命中的概率；(2)若甲在区投个球，在区投个球，求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率；(3)若甲在区，区一共投篮次，投篮得分的期望值不低于分，直接写出甲选择在区投篮的最多次数．（结论不要求证明）5．（2024北京朝阳高三上期末）某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传11月4日至11月10日的步数信息.教师甲、乙这七天的步数情况如图1所示.(1)从11月4日至11月10日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率；(2)从11月4日至11月10日中随机选取三天，记乙的步数不少于20000的天数为，求的分布列及数学期望；(3)根据11月4日至11月10日某一天的数据制作的全校800名教职员工步数的频率分布直方图如图2所示.已知这一天甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名，判断这是哪一天的数据.（只需写出结论）6．（2024北京昌平高三上期末）某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：，并整理得到如下频率分布直方图：(1)求的值；(2)该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人，对评分低于110分的车主送价值3000元的售后服务项目，对评分不低于110分的车主送价值2000元的售后服务项目．若为这3人提供的售后服务项目总价值为元，求的分布列和数学期望；(3)用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这10人中评分不低于110分的人数为，问为何值时，的值最大？（结论不要求证明7．（2024北京西城高三上期末）生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望；(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明）8．（2024北京东城高三上期末）某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷.规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会.现从2022年和2023年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取100位考生，获得数据如下表：2022年2023年通过未通过通过未通过第一次60人40人50人50人第二次70人30人60人40人第三次80人20人人人假设每次考试是否通过相互独立.(1)从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率；(2)小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率；(3)若2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，则的最小值为下列数值中的哪一个？（直接写出结果）的值8388939．（2024北京海淀高三上期末）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911(1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；(2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望；(3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系.10．（2024北京房山高三上期末）某移动通讯公司为答谢用户，在其APP上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公司用户2023年12月1日至7日获得的流量（单位：MB）数据，如图所示.(1)从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量的概率；(2)从2023年12月1日至7日中任选两天，设是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，求的分布列及数学期望；(3)将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为，，，试比较，，的大小（只需写出结论）.11．（2024北京大兴高三上期末）为了解客户对A，B两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知A，B两家公司的调查问卷分别有120份和80份，全部数据统计如下：快递公司A快递公司B快递公司项目份数评价分数配送时效服务满意度配送时效服务满意度292416124756404844402420假设客户对A，B两家快递公司的评价相互独立，用频率估计概率.(1)从该地区选择A快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对A快递公可配送时效的评价不低于75分的概率：(2)分别从该地区A和B快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1份，记X为这2份问卷中的服务满意度评价不低于75分的份数，求X的分布列和数学期望：(3)记评价分数为“优秀”等级，为“良好”等级，为“一般”等级､已知小王比较看重配送时效的等级，根据该地区A，B两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情况，你认为小王选择A，B哪家快递公司合适？说明理由，

参考答案1．(1)(2)(3)增加【分析】（1）易知这名学生在上学路上没有遇到前两个红灯，计算可得结果；（2）分别求出遇到不同红灯个数时满足题意的概率，由加法公式即可得出结果；（3）利用期望值定义分别求出红灯时间调整前后红灯停留的总时间平均值，即可得出变化情况是增加的.【详解】（1）根据题意可知，这名学生在上学路上没有遇到前两个红灯，因此到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）依题意，若仅遇到一个红灯，停留的总时间不会不大于3分钟；若遇到两个红灯，可知在路口一和路口二，路口一和路口三遇到红灯满足题意，此时的概率为；若遇到三个红灯，此时的概率为；所以因遇到红灯停留的总时间大于3分钟的概率为（3）根据题意可知，红灯时间没有调整前红灯停留的总时间的取值；则，，，，，，；可得；时间都变为2分钟后因红灯停留的总时间的取值；，，，；可得显然；所以调整后总时间的变化情况，是“增加”的．2．(1)(2)(3)分布列见解析，【分析】（1）由相互独立事件同时发生的概率乘法公式可得；（2）可看成次独立重复试验模型求解概率；（3）分别计算出甲、乙、丙能被招飞院校录取的概率，按步骤求出离散型随机变量的分布列.【详解】（1）因为每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为，且能否通过相互独立，所以估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率.（2）因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，所以甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率.（3）因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，且预估甲､乙､丙三人的高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，所以甲能被招飞院校录取的概率，乙能被招飞院校录取的概率，丙能被招飞院校录取概率.依题意的可能取值为，所以，，，.所以的分布列为：0123所以.3．(1)，(2)分布列见解析；期望为(3)【分析】（1）由频率分布直方图计算可得；（2）利用超几何分布求解；（3）写出的表达式判单调性求解.【详解】（1）由频率分布直方图可知，．（2）样本中患病者在指标为区间的人数是，未患病者在指标为区间的人数是，总人数为5人．可能的取值为0，1，2．，，．随机变量的分布列为012随机变量的期望为．（3）由题，，时，令所以，关于的一次函数系数为，故单调递增，则即时取最小值4．(1)，(2)(3)次【分析】（1）根据频率和概率的知识求得正确答案.（2）根据“甲在区投篮得分高于在区投篮得分”进行分类讨论，根据相互独立事件乘法公式求得正确答案.（3）根据数学期望类不等式，由此求得正确答案.【详解】（1）甲在区投篮次，投进次，所以估计甲在区投篮进球的概率为，甲在区投篮次，投进次，所以估计甲在区投篮进球的概率为.（2）据题意，甲在区进球的概率估计为，在区投篮进球的概率估计为.设事件为“甲在区投篮得分高于在区投篮得分”甲在区投个球，得分可能是，在区投个球，得分可能是.则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的情况有：区分区分，概率估计为，区分区分，概率估计为，区分区分，概率估计为，区分区分，概率估计为，区分区分，概率估计为，则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率估计为.（3）甲在区投篮一次得分的期望估计是，甲在区投篮一次得分的期望估计是，设甲在区投篮次，则甲在区投篮次，则总的期望值估计为，解得，则甲选择在区投篮的次数最多是次．5．(1)(2)分布列见解析，(3)11月6日【分析】（1）根据古典概型即可得解；（2）先写出随机变量的所有可能取值，求出对于概率，即可求出分布列，再根据期望公式求期望即可；（3）先分别求出各个区间的人数，从而确定甲乙步数所在的区间，进而可得出结论.【详解】（1）设“甲比乙的步数多”为事件，在11月4日至11月10日这七天中，11月5日与11月9日这两天甲比乙步数多，所以；（2）由图可知，7天中乙的步数不少于20000步的天数共2天；的所有可能取值为，，所以的分布列为012；（3）由频率分布直方图知，步数在各个区间的人数如下，有人，有人，有人，有人，有人，有人，因为甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名，所以甲走的步数在区间内，乙走的步数在区间内，符合的只有11月6日这一天，所以这是11月6日的数据.6．(1)；(2)分布列见解析，期望6900；(3).【分析】（1）利用频率分布直方图的性质计算即可；（2）利用频率分布直方图及离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可；（3）利用二项分布的概率公式计算即可.【详解】（1）由频率分布直方图可知；（2）根据频率分布直方图可知评分低于110分的占比，评分不低于110分的占比，任选3人中其评分情况有四种：3人均低于110分；2人低于110分，1人不低于110分；1人低于110分，2人不低于110分；3人均不低于110分，所以可取四种情况，，，，，故的分布列为：90008000700060000.0270.1890.4410.343则；（3）由题意可知，可知当时取得最大值.证明如下：设最大，即，所以，化简得，因为，故.7．(1)(2)分布列详见解析，(3)【分析】（1）根据相互独立事件乘法公式求得正确答案.（2）根据分层抽样以及超几何分布的知识求得分布列并计算出数学期望.（3）通过计算，，来确定正确答案.【详解】（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，这人都最喜爱使用跑步软件一的概率为.（2）因为抽取的人中最喜爱跑步软件二的人数为，所以的所有可能取值为，，所以的分布列为：所以.（3），证明如下：，，所以.，，所以.数据：，，，，，，，，对应的平均数为所以所以.8．(1)(2)(3)【分析】（1）根据相互独立的事件的概率求解即可；（2）根据相互独立的事件的概率求解即可；（3）分别求出2022年和2023年考生成绩的合格率，列出不等式即可求解.【详解】（1）记事件：“2022年第次参加考试的考生通过考试”，，记事件：“2023年第次参加考试的考生通过考试”，，则，，从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率为；（2），，，小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率为；（3）2022年考生成绩合格的概率为,2023年考生成绩合格的概率为，要使2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，则，解得.故的最小值为.9．(1)(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）从表格中可以发现甲获胜的场数为3场，从而得到甲获胜的概率；（2）从表格中可以发现在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场。乙得分大于丙得分的场数的取值为0，1，2，通过超几何分布的知识点，得到的分布列及数学期望.（3）通过题目条件得到10场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，因为甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，从而得到方差，，的大小关系.【详解】（1）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场.设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则.（2）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场.所以的所有可能取值为0，1，2.，，.所以的分布列为012所以.（3）由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，还需要进行6场比赛，而甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，所以，，故.10．(1)(2)的分布列见解析，(3)