勾股定理易错题集训及常考疑难问题突破（解析版） 八年级数学下册专题训练

专题06勾股定理易错题集训及常考疑难问题突破（解析版）类型一教材易错易混题集训易错点1误认为三角形为直角三角形1．已知△ABC的三边长a，b，c均为整数，且a和b满足a−2+b2﹣6b+9＝0，试求c【思路引领】已知等式左边后三项利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出a与b的值，利用三角形三边关系求出第三边的范围，确定出c的值即可．【解答】解：∵a−2+b2﹣6b∴a−2+（b﹣3）2∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，即a＝2，b＝3，∴3﹣2＜c＜3+2，即1＜c＜5，则c＝2，3，4．【总结提升】此题考查了配方法的应用，三角形三边关系，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．易错点2误认为c为直角三角形的斜边2．在△ABC中，已知∠B＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且a＝6，b＝8，求c的长．【思路引领】直接根据勾股定理即可得出结论；【解答】解：∵在△ABC中，已知∠B＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且a＝6，b＝8，∴c=82−【总结提升】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若a2+b2≠c2，则这个三角形是不是直角三角形？请说明理由．【思路引领】当c为最长边时，△ABC不是直角三角形；当c不为最长边时，若a2+c2＝b2或b2+c2＝a2，则△ABC是直角三角形，即可得出结论．【解答】解：若a2+b2≠c2，则这个三角形不一定是直角三角形，理由如下：当c为最长边时，∵a2+b2≠c2，∴△ABC不是直角三角形；当c不为最长边时，若a2+c2＝b2或b2+c2＝a2，则△ABC是直角三角形；∴若a2+b2≠c2，则这个三角形不一定是直角三角形．【总结提升】本题考查了勾股定理的逆定理、分类讨论等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理并进行分类讨论是解题的关键．易错点3忽视分类讨论4．（2022春•关岭县期中）若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（）A．13或119 B．13或19 C．13或15 D．15【思路引领】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：当12是斜边时，第三边是122当12是直角边时，第三边是122故选：A．【总结提升】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．5．（2022秋•冠县期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6，若点P在直线AC上（不与点A、C重合），且∠ABP＝30°，则CP的长为（）A．6或23 B．6或43 C．23或43 【思路引领】根据点P在直线AC上的不同位置，∠ABP＝30°，利用特殊角的三角函数进行求解．【解答】解：如图1：当∠C＝60°时，∠ABC＝30°，与∠ABP＝30°矛盾；如图2：当∠C＝60°时，∠ABC＝30°，∵∠ABP＝30°，∴∠CBP＝60°，∴△PBC是等边三角形，∴CP＝BC＝6；如图3：当∠ABC＝60°时，∠C＝30°，∵∠ABP＝30°，∴∠PBC＝60°﹣30°＝30°，∴PC＝PB，∵BC＝6，∴AB＝3，∴PC=PB=如图4：当∠ABC＝60°时，∠C＝30°，∵∠ABP＝30°，∴∠PBC＝60°+30°＝90°，∴PC=BC故选：D．【总结提升】本题考查利用特殊角的三角函数值求线段的长，解题的关键是确定点P在直线AC上的不同位置．6．（2023春•青云谱区月考）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=3，AD＝1，AB＝2AC，求BC【思路引领】分两种情况：①当△ABC是锐角或直角三角形，如图1，②当△ABC是钝角三角形，如图2，分别根据勾股定理计算AC和BC即可．【解答】解：分两种情况：①当△ABC是锐角或直角三角形，如图1，∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∵CD=3，AD∴AC＝2，∵AB＝2AC，∴AB＝4，∴BD＝4﹣1＝3，∴BC=CD2②当△ABC是钝角三角形，如图2，同理得：AC＝2，AB＝4，∴BC=CD2综上所述，BC的长为23或27．【总结提升】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，要熟练掌握．7．（2022秋•禅城区月考）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m长的边为直角边的直角三角形．（如图所示：假设Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6m，AC＝8m）（1）求原花圃周长．（2）请设计出扩建后为等腰三角形花圃的所有合适的方案．（画出草图，并注意指出哪两条是腰）（3）求扩建后的等腰三角形花圃的周长．【思路引领】（1）利用勾股定理计算出斜边的长，即可求解；（2）利用等腰三角形的性质分别画出符合题意的图形求出即可；（3）根据所画出的图形，利用三角形的周长公式以及勾股定理计算即可得出答案．【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6m，AC＝8m，∴AB=6∴原花圃周长为6+8+10＝24（m）；（2）如图①所示，AB＝AD＝10（m）；如图②所示，BD＝AB＝10（m）；如图③所示，BD＝AD；（3）如图①，扩建后的等腰三角形花圃的周长为2×（6+10）＝32（m）；如图②，AD=4∴扩建后的等腰三角形花圃的周长为2×10+45如图③所示：在Rt△ACD中，AC2+DC2＝AD2，即82+x2＝（x+6）2，解得：x=73，∴扩建后的等腰三角形花圃的周长为2×25故扩建后的等腰三角形花圃的周长为32m或(20+45)m或【总结提升】此题主要考查了应用设计与作图、勾股定理以及等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能通过分类求出等腰三角形的所有情况是解此题的关键．易错点4忽视使用勾股定理的条件8．（2022春•米东区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【思路引领】利用等腰三角形的三线合一性质可得BC＝2BD，AD⊥BC，从而可得∠ADB＝90°，然后在Rt△ADB中，利用勾股定理求出BD的长，最后进行计算即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴BC＝2BD，AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵AB＝5，AD＝3，∴BD=A∴BC＝2BD＝8，故选：C．【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．9．（2023秋•崇安区期末）△ABC中，AB＝10，BC＝16，BC边上的中线AD＝6，则AC＝10．【思路引领】首先根据中线的定义得BD＝8，则有BD2+AD2＝AB2．根据勾股定理的逆定理得AD⊥BC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，得AC＝AB＝10．【解答】解：由题可知，在△ABD中，AB＝10，BD=12BC＝8，因为AD2+BD2＝AB2，所以△ABD为直角三角形，即AD⊥BC，又因为BD＝DC，根据线段垂直平分线的性质，所以AC＝AB＝10．【总结提升】能够运用勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形．熟悉线段垂直平分线的性质．易错点5忽视勾股数中“正整数”的条件10．下列各组数中，是勾股数的是（）A．9，40，41 B．2，22 C．5，4，41 D．3k，4k，5k（k为整数）【思路引领】利用勾股数定义进行分析即可．【解答】解：A、92+402＝412，且为整数，因此是勾股数，符合题意思；B、2不是整数，因此不是勾股数，不符合题意思；C、41不是整数，因此不是勾股数，不符合题意思；D、当k＝0时，3k＝4k＝5k＝0，（3k）2+（4k）2≠（5k）2，因此不是勾股数，不符合题意思；故选：A．【总结提升】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．11．下列几组数中是勾股数的有（）①9，40，41；②13，14，15；③3k，4k，5k（k为正整数）；④23，2，7A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【思路引领】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数解答即可．【解答】解：①92+402＝412，且9，40，41都是正整数，是勾股数，符合题意；②132+142≠152，不是勾股数，不符合题意；③（3k）2+（4k）2＝（5k）2，且3k，4k，5k（k为正整数）都是正整数，是勾股数，符合题意；④23，2，7综上所述，有2组符合题意．故选：B．【总结提升】本题考查了勾股数的定义，注意：一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方．类型二常考疑难问题突破疑难点1规律探究问题12．（2023春•吕梁期中）细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题．OA22=（1）2+1＝2，SOA32=12+（2）2＝3，SOA42=12+（3）2＝4，（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变规律：OAn2=n，Sn＝（2）求出OA10的长．（3）若一个三角形的面积是5，计算说明它是第几个三角形？【思路引领】（1）根据题意计算求出OAn2和S（2）根据（1）中的规律计算即可；（3）根据（1）的结论列出方程，解方程得到答案．【解答】解：（1）根据上述变规律筷子，OAn2=12+（(n−1)）2Sn=n故答案为：n；n2（2）OA10=10（3）设它是第m个三角形，由题意得，m2解得，m＝20答：一个三角形的面积是5，它是第20个三角形．【总结提升】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．13．（2021春•蓬江区期中）陈老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n2345…a22﹣132﹣152﹣1…b46810…c22+132+152+1…（1）补充完整表格：（2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示；（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形，并证明你的猜想．【思路引领】（1）按表中数字规律填写即可．（2）用n表示出变化规律．（3）利用勾股定理的逆定理判断即可．【解答】解：（1）由表得，当n＝4时，a＝42﹣1，c＝42+1，故答案为：42﹣1，42+1．（2）当n＝2时，a＝22﹣1，b＝4，c＝22+1，当n＝3时，a＝32﹣1，b＝6，c＝32+1，当n＝4时，a＝42﹣1，b＝8，c＝42+1，……∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1．（3）是直角三角形．a2＝（n2﹣1）2＝n4﹣2n2+1，b2＝（2n）2＝4n2，c2＝（n2+1）2＝n4+2n2+1，∵a2+b2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1，∴a2+b2＝c2，∴以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形．【总结提升】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．疑难点2数学建模问题14．设计师要用四条线段CA，AB，BD，DC首尾相接组成如图所示的两个直角三角形图案，∠C与∠D为直角，已知其中三条线段的长度分别为1cm，9cm，5cm，第四条长为xcm，试求出所有符合条件的x的值．【思路引领】显然AB是四条线段中最长的线段，分AB＝x或AB＝9两种情况来讨论．【解答】解：显然AB是四条线段中最长的线段，分AB＝x或AB＝9两种情况来讨论．把AB平移至ED（如图所示）．①若AB＝x，当CD＝9时，则x=9当CD＝5时，则x=5当CD＝1时，则x=1②若AB＝9，当CD＝5时，由（x+1）2+52＝92，得x=214当CD＝1时，由（x+5）2+12＝92，得x=45当CD＝x时，由x2+（1+5）2＝92，得x=35（以上每种情况2分）…（12分）【总结提升】本题考查勾股定理的知识，解题关键是分AB＝x或AB＝9两种情况进行讨论，注意不要漏解．15．（2021•黔东南州模拟）黔东南州某校杨老师组织数学兴趣小组开展探究代数式x2+1+(4−x)2+4（x≥0）的最小值，王老师巧妙的运用了“数形结合”的思想，具体做法是：如图，C为线段BD上一动点，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝1，DE＝2，BD＝4．设BC＝x，则AC=x2【探究发现】（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得x2+1+(4−x)2+4（x≥0）的最小值等于5（2）请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式x2+4+【拓展迁移】（3）请你用构图的方法试求(4+x)2+4【思路引领】（1）如图1中，C为线段BD上一动点，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝1，DE＝2，BD＝4．设BC＝x，则AC=x2+1，CE=(4−x)（2）模仿（1）解决问题即可．（3）如图3，取线段BD＝4，在线段BD所在直线的同侧分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，且AB＝1，DE＝2，连接EA，并延长EA交DB的延长线于点C，则线段AE的长为：(x+4)2+4−【解答】解：（1）如图1中，C为线段BD上一动点，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝1，DE＝2，BD＝4．设BC＝x，则AC=x2+1，CE=(4−x)过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F．则四边形ABDF是矩形，∴AF＝BD＝4，AB＝DF＝1，∵DE＝2，∴EF＝3，∴AE=A∵AC+EC≥AE，∴AC+EC≥5，∴AC+CE的最小值为5，此时4−x4=23∴x2+1+（2）如图2，取线段BD＝12，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，且AB＝2，DE＝3，连接AE，则AE为x2+4+过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F．则四边形ABDF是矩形，∴AF＝BD＝12，AB＝DF＝2，∵DE＝3，∴EF＝5，∴AE=A（3）如图3，取线段BD＝4，在线段BD所在直线的同侧分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，且AB＝1，DE＝2，连接EA，并延长EA交DB的延长线于点C，则线段AE的长为：(x+4)2+4−x2【总结提升】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，最值问题等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，中用转化的思想解决问题，属于中考压轴题．疑难点3最短路径问题16．（2020秋•峄城区期中）已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是（）A．29cm B．5cm C．37cm D．4.5cm【思路引领】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况：（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图1：AB′2＝AB2+BB′2＝（2+1）2+42＝25；（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图2：AB′2＝AC2+B′C2＝22+（4+1）2＝4+25＝29；（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图3：AB′2＝AD2+B′D2＝12+（4+2）2＝1+36＝37；综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB′2＝25，即AB′＝5cm，故选：B．【总结提升】此题考查了平面展开﹣最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．17．（2022秋•