2024年湖南省衡阳八中教育集团直选生数学模拟试卷+

2024年湖南省衡阳八中教育集团直选生数学模拟试卷一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.分式值为零的条件是(

)A. B. C. D.2.只用下列图形不能进行平面镶嵌的是(

)A.正六边形 B.正五边形 C.正四边形 D.正三边形3.满足不等式的最大整数n等于(

)A.8 B.9 C.10 D.114.函数图象的大致形状是(

)A. B. C. D.5.如图，在中，，，，D，E分别为边AB，BC上一点，且满足AD：：连接DE，将沿DE翻折，点B的对应点F恰好落在边AC上，则CF的长度为(

)A. B. C. D.6.若，则的值的个位数字是(

)A.1 B.2 C.3 D.47.已知二次函数的图象经过点，，且满足当时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是(

)A. B. C. D.8.如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点.若，以下结论：①；②；③当点E在BA的延长线上时，；④在旋转过程中，当线段MB最短时，的面积为其中正确结论有(

)A.1个

B.2个

C.3个

D.4个二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。9.因式分解：______.10.在一个不透明口袋中放着5只红球，其余是黑球和白球，它们除颜色不同外，其余都相同，若从中随机摸出一个黑球的概率是，摸出一个白球的概率是，则黑球与白球的个数和是______.11.若关于未知数x的方程有两个不相等的实数根，则实数p的取值范围是______.12.如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则的长度最小值为______.

13.已知抛物线，，若这两条抛物线与x轴共有3个交点，则a的值为______.14.在中，，，在边BC上有一点P，且，连接AP，则AP的最小值为______.三、解答题：本题共4小题，共38分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题8分

a为何值时，关于x的方程会产生增根？16.本小题8分

如图，在数轴上被墨汁覆盖的整数部分恰好是关于x的不等式组的所有整数解．求m、n的取值范围．

17.本小题10分

如图，在锐角中，AC是最短边.以AC为直径的，交BC于D，过O作，交于E，连接AD、AE、

求证：；

若，，求的度数；

若，，求CF的长.18.本小题12分

如图，已知抛物线经过点、，与y轴交于点

求抛物线的解析式；

若点P为该抛物线上一点，且点P的横坐标为

①当点P在直线AC下方时，过点P作轴，交直线AC于点E，作轴.交直线AC于点F，求的最大值；

②若，求m的值.

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：由题意可得且，

解得

故选：

分式的值为0的条件是：分子为0；分母不为故且，解得x的值即可．

本题考查了分式值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为0；分母不为这两个条件缺一不可．由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．2.【答案】B

【解析】解：A、正六边形的每个内角是，能整除，能密铺；

B、正五边形每个内角是，不能整除，不能密铺；

C、正四边形的每个内角是，能整除，能密铺；

D、正三边形的每个内角是，能整除，能密铺．

故选：

根据镶嵌的条件，判断一种正多边形能否镶嵌，要看周角能否被一个内角度数整除：若能整除，则能进行平面镶嵌；若不能整除，则不能进行平面镶嵌．

几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．3.【答案】D

【解析】解：，，

所以，最大整数

故选：

将不等式左右两边理由幂的乘方运算法则变形为指数相同的两个幂，通过计算可求出n的最大值．

本题利用了幂的乘方、积的乘方以及分数的基本性质进行变形而求的．4.【答案】D

【解析】解：由函数解析式可得x可取正数，也可取负数，但函数值只能是负数；

所以函数图象应在x轴下方，并且x，y均不为

故选：

由题意只需找到图象在x轴下方的不经过原点的函数图象即可．

解决本题的关键是根据在函数图象上的点得到函数图象的大致位置．5.【答案】A

【解析】解：如图，过点F作于H，作于G，

又，

四边形GFHB是矩形，

，

，AD：：3，

，，

将沿DE翻折，点B的对应点F恰好落在边AC上，

，

，

∽，

，

，

，

，

，

负值舍去，

，

，，，

，

，

∽，

，

，

，

故选：

过点F作于H，作于G，先证四边形GFHB是矩形，可得，由折叠的性质可得，通过证明∽，可求，利用勾股定理可求的长，通过证明∽，可得，即可求解．

本题考查了翻折变换，矩形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．6.【答案】D

【解析】解：，

，

，

，

，

的值的个位数字是

故选：

首先由，求得，然后由，求得，再由，即可求得答案．

此题考查了完全平方公式的应用．解题的关键是注意的应用．7.【答案】D

【解析】解：二次函数的图象与x轴交于，两点，

图象开口向下，对称轴为直线，

，

，

当时，函数的最大值是时所对应的函数值，函数的最小值是时所对应的函数值，

，，

故选：

由二次函数的图象经过点，两点，得出对称轴为直线，即可得出对称轴在之间，根据函数的最大值是时所对应的函数值，函数的最小值是时所对应的函数值，求解即可．

本题主要考查了抛物线的图象与性质，判断对称轴在之间、确定函数的最大值是时所对应的函数值，函数的最小值是时所对应的函数值是解题的关键．8.【答案】D

【解析】解：和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，

，，，

，

在和中

≌，

，，故①正确；

设，，

，

，故②正确；

当点E在BA的延长线上时，如图：

同理可得，

，

，

∽

，

，，

，，

，

，故③正确；

④以A为圆心，AD为半径画圆，如图：

，

当CE在的下方与相切时，MB的值最小，

，

，

四边形AEMD是正方形，

，

，

，，

，

的面积为，故④正确，

故选：

证明≌可判断①，由三角形的外角的性质可判断②，证明∽，有，即可判断③；以A为圆心，AD为半径画圆，当CE在的下方与相切时，MB的值最小，可得四边形AEMD是正方形，在中，，然后根据三角形的面积公式可判断④．

本题考查等腰直角三角形的旋转问题，涉及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，最短路径等知识，解题的关键是掌握旋转的性质．9.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．观察原式，找到公因式2a，提出公因式后发现符合平方差公式的形式，利用平方差公式继续分解即可得求得答案．

【解答】

解：，

，

10.【答案】7

【解析】解：设总球数为n个，

由题干条件知，随机摸出一个黑球的概率是，摸出一个白球的概率是，

则随机摸出一个红球的概率，

根据概率定义，

解得，

故黑球的个数为，

白球的个数为

，

故答案为：

设总球数为n个，根据题干求出随机摸出一个红球的概率，然后根据概率公式求出总球数n，再次根据概率公式求出黑球和白球的个数即可推理计算结果．

本题主要考查概率公式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握概率的定义，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率11.【答案】

【解析】解：，，两边平方得：，

，

，设两个根为：，，则，

实数p的取值范围：，

故答案为：

x的方程有两个不相等的实数根，两边平方后根据即可求出p的取值范围．

本题考查了无理方程及根的判别式，难度不大，关键是不要忽视的隐含条件．12.【答案】

【解析】解：四边形ABCD是正方形，

，

，

，

，

，

点E在以BC为直径的半圆上移动，

如图，设以BC为直径的圆的圆心为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，

连接FO交于点，连接FP，OE，

则，

，

即的长度最小值为，

，，

，

，

的长度最小值为，

故答案为：

根据正方形的性质得到，推出，得到点E在以BC为直径的半圆上移动，设以BC为直径的圆的圆心为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交AB于P，交于E，则线段的长即为的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．

本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，点与圆的位置关系，两点之间线段最短，勾股定理．能够用一条线段的长表示两线段和的最小值是解题的关键．13.【答案】或0或6

【解析】解：令，则，

解得：，，

抛物线与x轴的交点为和，

两个抛物线与x轴共有3个交点，

抛物线与x轴有一个交点或与抛物线有一个与x轴的公共点，

令，则，

①当抛物线与x轴有一个交点时，

，

解得：；

②当抛物线与抛物线有一个与x轴的公共点时，

当是两条抛物线的公共点时，

，

解得：；

当是两条抛物线的公共点时，

，

解得：

综上所述，a的值为或0或

故答案为：或0或

先求出抛物线与x轴的两个交点的坐标．再根据两个抛物线与x轴共有3个交点，可以判断抛物线与x轴有一个公共点或经过或，然后求值即可．

本题考查抛物线与x轴的交点，关键是理解二次函数与x轴的交点与一元二次方程的关系．14.【答案】

【解析】解：如图，作的外接圆，圆心为M，连接AM、BM、CM，过M作于D，过B作，交BP的垂直平分线于N，连接AN、BN、PN，以N为圆心，为半径作圆；

，M为的外接圆的圆心，

，，

，

，

，

，

在中，

，

，

，

即，

由作图可知，N在BP的垂直平分线上，

，

，

又为的外接圆的圆心，

，

，

，

∽，

，

，

，

即，

，

在中，，

在中，，

即AP最小值为，

故答案为：

作的外接圆，圆心为M，连接AM、BM、CM，过M作于D，过B作，交BP的垂直平分线于N，连接AN、BN、PN，以N为圆心，为半径作圆；结合圆周角定理及垂径定理易得，再通过圆周角定理、垂直及垂直平分线的性质、三角形内角和定理易得，从而易证∽，可得即，勾股定理即可求得，在中由三角形三边关系即可求解．

本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，角所对的直角边等于斜边的一半，三角形三边之间的关系；解题的关键是结合的外接圆构造相似三角形．15.【答案】解：方程两边都乘，

得

原方程有增根，

最简公分母，

解得或，

时，，

当，，

当或时，关于x的方程会产生增根．

【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到或，然后代入化为整式方程的方程算出a的值．

本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．16.【答案】解：由图可知，数轴上被墨迹覆盖的整数是，0，1，2，

解这个不等式组，得，，

根据题意得：最小值在与之间，最大值在2与3之间，

，

解得

【解析】先解每一个不等式，再根据数轴可知，整数解为，0，1，2，得出，的取值范围，解m、n的取值范围．

此题考查了含字母系数的不等式组的解法．要注意x为，0，1，2，确定含m、n的式子的取值范围．17.【答案】证明：，

，

，

，

，

即，

解：延长AE交BC于点G，

是的外角，

，

，

，

，

；

解：是AC中点

，

，

，

是直径，

，

，

∽，

，

【解析】易证，，从而可知，即；

延长AE交BC于点G，易证，由于，所以，所以；

易证，由于，所以，由圆周角定理可知，从而可证明∽，利用三角形相似的性质即可求出答案．

本题考查圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．18.【答案】解：抛物线经过点、，与y轴交于点

，

解得：，

抛物线的解析式为；

①在中，令，得，

，

设直线AC解析式，、，

，

解得：，

直线AC解析式，

，，

，

，

点P为该抛物线上一点，且点P的横坐标为m，

，

轴，轴，

，，，

，

，

，

，

当时，的最大值；

②作点B关于y轴的对称点，连接，过点作交CP于D，过点D作轴于E，

，

，

，，

，，

，

，

，

，即，

，

，

，

，

，

，

，，

，，

，，

，

，

设直线CD解析式为，

则：，解得：，

直线CD解析式为，

联立方程组：，解得：舍去，；

【解析】把点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次