2024年高考数学总复习 阶段测试 平面向量与复数

考案［十二］阶段测试（四）平面对量与复数

（本试卷满分150分，测试时间120分钟）

一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.（2024•河南省顶级名校联考）已知复数2=1+12°2|6为虚数单位），贝1］等于

（D）

A.72B.1

C.0D.邓

［解析］因为i4=l,则z=i+?M=i+i4XMS+1=2i,则z-l=2i-l,故|z—1|=

、241=/.故选D.

2.（2024•江西景德镇一中期中）已知复数z=|（十-i）i1—i“i为虚数单位），则复

数z的共辗复数为（B）

A.2-iB.2+i

C.4-iD.4+i

［解析］因为2=1（「—i）i1-1=11+斓i1—i=［l2+~y/3~—i=2—i,所以2

=2+i.

3.（2024•北师大附中期中）已知向量a=（1,0）,6=（—1,1）,则（D）

A.a//bB.H_L6

C.（a—Z?）//bD.（a+6）J_a

［解析］因为己=析,0）,b=（—1,1）,所以a+b=（0,1）,则（a+6）・a=0,即（a+6）

-La,故选D.

JI

4.（2024•黑龙江哈尔滨六中期中）已知平面对量a,b的夹角为〒，且|a|=2,1引=1,

J

则|a—2引=（B）

A.4B.2

C.1D.乖

［解析］Ia—2引2=（a—2b）2=F—4a•b+4-=|a『一4|a|,|Z?|cos—+41b\2,因为

O

向量a,6的夹角为弓，且㈤=2,|引=1,所以|a—26/=4—4义2义1义义+4=4,|2一2引

=2,故选B

O—94

5.设］.为虚数单位，a£R,若复数是纯虚数，则实数片（B）

1+1

A.—2B.2

C.11D.1

LELra—2ia—2i1—ia-2a+2.a—2i―一、”

［斛析］Z=1+i=—干——=^-~21,因为复数z=1+i7E纯虚数,

所以彳,解得a=2.故选B.

a+2,

6.（2024•辽宁名校联盟联考）欧拉公式e^ucos占+isin夕（JeR）是由瑞士闻名数

学家欧拉发觉的，该公式被誉为“数学中的天桥”，特殊是当时，得到一个令人着

迷的美丽恒等式：e"+l=0,这个恒等式将自然对数的底数e,圆周率口，虚数单位i,自

5n

然数1和0完备地结合在一起，有些数学家评价它是“最完备的公式”.依据欧拉公式，e-

在复平面内对应的点位于（C）

A.第一象限B.其次象限

C.第三象限D.第四象限

［解析］e14=008^+isin2^^221,则e”在复平面内对应的点的坐标为

［—坐，一书，位于第三象限.故选C.

7.（2024•江西九江一中期中）我国东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用一

幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角

形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若诙=a,BA^b.BE

=3旗则砺=(B)

1219

人年+/r

C-5a+5b

［解析］BF=BC+CF=BC+^A=BC+l（EB+BA）=诙+|/|刖小〜斯+|

BA,解得赤'=£诙+!|加，即滋故选B.

8.边长为12的正三角形中，£为%的中点，户在线段〃上且441花：若/£与

BF交于M,则说•法=（B）

A.-12B.-27

1527

C.--D.一丁

［解析］如图1所示，取"'的中点G,连接EG.又£为功的中点，所以EG//BF,即EG

〃好:易知尸为/G的中点，所以〃为熊的中点.

解法一：（代数法）用〈港=）＞4（通+而=；崩+；而所以加=一；葩一；位BM=^（BA

+丽—诵+'AC-AB=_|法+土亦所以法=|逾一:亦所以法.法

=（一%4一•1,6—土/,=一得/?一（/刀•/0+上/不=——X12?一（X12X12Xcos

60°+上义122=—27.故选B.

16

解法二：（坐标法）如图2所示，以£为坐标原点，BC,/£所在的直线分别为x轴，y

轴建立平面直角坐标系.因为正三角形/8C边长为12,所以£（0,0）,/（0,6小）,MS,3^3）,

6（—6,0）,MA=（0,3^/3）,茄=（—6,-3A/3）,所以法•荡=（0,34）•（一6,—3/）=

-27.故选B.

解法三：（极化恒等式法）取AB中点G',连接账'.利用极化恒等式得加•茄=：

［（2启）2—前$叱三游=—27,故选B.

二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.每个小题给出的4个选项中，全

部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分)

9.已知复数2=厂\,则以下说法正确的是(CD)

A.复数2的虚部为5

5

_91

B.复数z的共轨复数z=---

55

「II—亚

D.在复平面内与z对应的点在其次象限

［解析］因为11.1+2；=—1+1，所以复数Z的虚部为4故A

错误；T=-|-|,故B错误；21=4一|)+以菩,故C正确；在复平面内与Z对

应的点的坐标为(一|，(),在其次象限，故D正确.故选CD.

10.(2024•湖南长郡中学质检)设向量a=(2,0),6=(1,1),则(CD)

A.\a\=\b\B.(a—A)//b

.,,,JI

C.(a—物工bD.d与6的夹角为才

［解析］因为向量a=(2,0),b=(1,1),则|a|=2,|引=隹,A不正确;a-b=(1,

_1),而一1X1W1X1,即a—b与b不共线，B不正确；a—b—(1,—1),则1X1+(—1)X1

2X］IQx1、历

=0,所以(a—6)_L6,C正确；cos〈a,6〉=：,---乎'又0W〈26〉W兀，

42+0x41…+12尸2

JI.....兀

于是得〈a,b)=—,即a与6的夹角为T，D正确.故选CD.

11.(2024•石家庄期中)下列命题中正确的是(AD)

11

11

若

+贝n

Z2-uZ--

A.-Z0

B.若复数zi,勿满意片+3=0,则为=@=0

C.若2为复数，则Iz「=z2

D.若复数2满意|Z—11=2,贝IJIz+iI的最大值为2+镜

为

因

所以021=/019­/=(z3)673-/=

i,故A正确.令zi=l+i,Z2=l—i,满意zi+z：=O,但ziWO,

22

Z2WO,故B错误.令z=z+5i,a,Z?£R,则|z|=yj蛾+式|z\2=a-\-l）,z=（5+Z?i）2=

a—I）+2abi,但1/「Wz。故C错误.令z=d+6i,a,6£R,则？-1=3一1+历，|z—11

=yla-l2+A2=2,即（a—1）2+方=4,所以在复平面内点（a,6）的轨迹是以以1,0）为

圆心，以2为半径的圆，|z+i|表示圆上的点到点产（0,—1）的距离&连接/所以如

=CP+2=^2+2,故D正确.故选AD.

12.（2024•广东珠海一中检测）如图，已知△/回是边长为2的等边三角形，D,£分别

是AC,的中点，物与方交于点。，则下列说法正确的是（BC）

LAB-CE=~\

fIf1一

B.BD=-BC+-BA

C.\OA+OB+OC\=0

D.瓦在反方向上的投影向量为所

0

［解析］依题意可知。是等边三角形/灰的中心，耳=2.对于A选项，诵，亦诵•CE

I比\

=0,A错误.对于B选项，BD=^（BC+BA）=^BC+^BA,B正确.对于C选项，|涝+应+龙

|=\20E-\-0C\=|0|=0,C正确.对于D选项，|戊7|=*=P=<,/LECB=—,所以况在

瓦上的投影向量为I由cosg•旦=,击D错误.故选BC.

6\BC\4

三、填空题（本题共4个小题，每个小题5分，共20分）

13.（2024•辽宁重点中学联考）已知复数z=a2+3a-4+（a2—a）i为纯虚数（i为虚数

单位），则实数a的值为一4.

［才+38一4=0,

［解析］因为复数z为纯虚数，则有L」解得》=—4,所以实数a的值

〔才一石£0,

为一4.

14.若a,6是两个非零向量，且|a|=|引=4|a+6|,几£半，1则3与司+6的夹

角的取值范围是一

［解析］依据题意，设|a+5|=力，则|川=|引=4方，设司与a+6的夹角为。，由

a*a~\-b

+b\=3得a+2a,6+斤=汽又|4=|6|,所以a+a,6=万,所以cos

\a\\a-\~b\

a：工丁又平，1］贝"wcos夕W半，又OW。〈兀，所以0e

/方X2/方//zNZ

JlJI

_干_3__'

15.定义aX6是向量3和6的“向量积”，它的长度|aX引=|a|•\b\•sin3,其

中。为向量石和b的夹角，若〃=(2,0),u—K=(1,—^3),则|〃XH=2、何.

［解析］因为u=(2,0),u—K=(1,一十)，所以v=u~(£/—K)=(1,十)，

u•v21

=2,|v|=2,u•0=2.所以cosu,v=।4I故3=〃，v=60°.

结合公式|aX引=|a|•|b\•sin0,得v\=2X2Xsin60°=2y［3.

16.△/回中，〃为47上的一点，满意砺应:若尸为物上的一点，满意淳=康+嬴

o

141

(%>0,77>0),则加7的最大值为京；一+一的最小值为16.

~10—mn--------

［解析］因为砺=(应；所以而=呆,所以方三蕨+疝=蕨+4蕨，因为B,P,D

三点共线，所以〃+4刀=1,贝|4在W—"包一=；,则即即即最大值为/(当且仅

44161b

当加=4刀时取等号).2+2=(勿+4〃)金+3=竺^+&+822，T^+8=16,即包+工的最小值为

mn\mnjmn、mn

16(当且仅当m=4n时取等号).

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(2024•河北省保定模拟)(本题满分10分)已知向量a,b,c是同一平面内的三个

向量，且b=⑵1).

(1)若|a|=2，B,且，〃a,求a；

(2)若c=(-2,1),且6+力。与46—c相互垂直，求几.

\x+y=20,

［解析］(1)设d=(x,y),依题意得

［2尸x,

x=4,

解得

y=2f

即a—(4,2)或a=(—4,—2).

⑵因为b+X。=⑵1)+(一24，几)=(2—24，1十4)，

入b—c=(2几，几)一(—2,1)=(24+2,4—1),

因为b+4。与几，一。相互垂直，所以(6+4c)•(4,—c)=0,

即4(1—4)(1+4)+(1+4)(4-1)=0,

所以3(1—几)(1+几)=0,解得几=1或一1.

18.(2024•定远县民族学校高三调研考试)(本题满分12分)已知4(1,2),B{af1),

C(2,3),〃(一1,6),(Z6£R)是复平面上的四个点，且向量宓而寸应的复数分别为为，

交

(1)若zi+z2=l+i,求zi,力；

(2)若|为+勿|=2,zi—Z2为实数，求46的值.

[解析](1)诵=(a—l,-1),茂仁(一3,6—3)

=1—i,Z2=-3+(ZJ—3)i

又zi+%=a-4+(Z?-4)i=l+i

[a-4=11a=5

・13-4=1'"b=5

/.zi=4—i,Z2=-3+2i

(2)由(1)得zi+Z2=(a—4)+(b—4)i,zi—Z2=(a+2)+(2—6)i,

丁IZ1+Z21=2,Zi—Z2为实数，

2

Ja—4+b~42=4,ja=4,

•心―9[b=2.

19.(2024•湘北高三月考)(本题满分12分)已知a,Z?eR,方程/+以+8=0的一个

根为1—i,复数zi=a+6i,%满意|0|=4.

(1)求复数行1；

⑵若Z1•Z2>0,求复数Z2.

[解析](1)依题意，得(1—i)2+a(l—i)+Z?=0,即(a+6)+(—2—0)i=0,

仿+6=0,\a——2,

由复数相等的定义及a6£R,得八八解得，°

〔一2—a=0,〔6=2.

故复数zi=a—H——2—2i.

(2)设Z2=x+yi(x,p£R),由|Z21=4,得/+/=16,

z1•@=(-2—2i)(x+yi)=(—2x+2y)—(2x+2。i,

—2x+2y>0,[y>x,

由zi•z>0,得即

22x+2y=0,[x=­y,

'x+/=16,

x=-2"\^2,

所以<x=-y,解得＜

、y=2*\/2，

.y>x,

所以z?=-2y[2+2^2i.

20.（2024•广东珠海高三质量检测）（本题满分12分）已知内接于。。，AB=c,

BC—a,CA—b,。。的半径为r.

⑴若应+2应+/应■=（）,试求的大小;

⑵若/为动点，AO^AOC+nOB,试求1十〃的最大值.

[解析](1)；游+2初小应=0,

：.Ab^2,dB+yl3OC,

.•.诟!=(22+/应产，

<AgOB=OC=r,

：./=4d+2X2Xy[3rXcosZBOC+3r

解得cosZBOC=-N^~,

5兀

又/BOCG0,Ji),AABOC=—.

6

/、JI2兀

(2)VZBAC=—,：.Z,BOC=—9

'：AO=4无+nOB,

.•口=(八无+”施2,

9j[

*.r=几2/+24urcos-T-+u2r,

o

^2+p2=4〃+l,

依据题意，可知4>0,〃>0,

■/I|〃2

(4+〃)2=3A〃+1W3•--------1----+1(当且仅当4=〃时等号成立),

「.(4+〃)・,.()<4+〃W2.

A+〃的最大值为2.

21.(2024•山东潍坊一中高三期中)(本题满分12分)在平面直角坐标系中，。为坐标

12

原点，A,B,C三点满意应上可洒+鼻南

OO

(1)求3的值；

\CB\

⑵已知力(1,cosx),8(l+cosx,cosx),xG0,—,f{x)=0A'(7C—|AB

.若f(x)的最小值为虱血，求gE)的最大值.

12

[解析]⑴由题意知，A,B,C三点满意沆-§应+§曲，

可得亦一应=g(应一应)，

2f2f—]-2

所以否=押=§(AC+CB),即河'=§亦

即否=2为，则|诙|=2|应所以"工=2

\CB\

(2)由题意，得以=(1,cos分，0B=(1+cosx,cosx),

r19(2\

dc=-O4r+-d^r=[l+-cosX,cosx\,茄r=应r一应r=(cosx,0),所以函数f(x)=应r•必r

uu\uJ

一(2加+,)|初|222〃+|n

=l+-cosx+cosX—|cosx=(cosx—iD)2-\-1—in.因为0,

2

所以cosxR[0,1],

当成0时，当cosx=0时，_f(x)取得最小值gGzz)=1,

当0W必W1时，当cosx=〃时，广(x)取得最小值g(加)=1一

当切>1时，当cosx=l时，f(x)取得最小值g®=2—2加

1,成0,

综上所述，g®=T—$0W辰1,可得函数g®的最大值为1,即g®的最大

2~2m,ni>l,

值为L

22.(本题满分12分)已知在平面直角坐标系中，点/(a,。)，点6(0,6)(其中8b为

常数，且a6n0),点。为坐标原点.

⑴设点尸为线段也靠近4点的三等分点，0P=AOA+(1-A)OB^AeR),求A的值.

(2)如图，设