2024高考数学专项复习史上椭圆二级结论大全

2024高考数学专项复习

史上最全椭圆二级结论大全

f2\pp\

l.\PFU\PF2\=2a2.标准方程=+==13.」Ue<l

ab4

4.点P处的切线PT平分APFF?在点P处的外角.

5.PT平分△PBF2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长

轴的两个端点.

6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.7.以焦点半径PB为直径的圆必与以长轴为直径的圆内

切.

8.设Ai、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2(或PFi)上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于

A](或Ai).

22

9.椭圆=+2r=1(a>b>0)的两个顶点为A(-a,0),4(a,0),与y轴平行的直线交椭圆于Pi.P2时

ab

2

AR与A2P2交点的轨迹方程是二

a

10.若兄(%,％)在椭圆与+4=1上，则过凡的椭圆的切线方程是誓+$尹=1.

abab

22

11.若£)(%,%)在椭圆二+与=1外，则过PO作椭圆的两条切线切点为Pl、P2,则切点弦P1P2的直线

ab

J34王THk=1.

ab2

12.AB是椭圆=+当=1的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则自

aba

2222

13.若6(%,%)在椭圆5+与=1内，则被p。所平分的中点弦的方程是¥+岑=2+4.

ababatr

2222

14.若兄(x°,%)在椭圆0+2=1内，则过P。的弦中点的轨迹方程是5+当=警+邛.

ababab

22-111-1

15.若PQ是椭圆二+多=l(a>b>0)上对中心张直角的弦，则===+=|。尸|/=|OQ\).

ab八r1ab

22

16.若椭圆二+与=1(a>b>0)上中心张直角的弦L所在直线方程为"+为=1(ABHO),则(1)

ab

2+5452

1199

/+厂…；⑵L=

a2A2+b2B2

2-h1

222222222n

17.给定椭圆G：bx+ay=ab(a>b>0),C2：bx+ay=(—7-7ab)\则(i)对上任意给

a-+b-

222

,a-b-a-b

定的点尸(%,%),它的任一直角弦必须经过C,上一定点M(———yx0,-一5——7y0).

a+Zr«-+b-

(ii)对C2上任一点P\x0,y0)在G上存在唯一的点M',使得M'的任一直角弦都经过P'点.

22

18.设P(x°,%)为椭圆(或圆)<2:=+多=1(a>0„b>0)上一点，P1P2为曲线C的动弦，且弦PPi,PP2

ab

1

1+m

斜率存在，记为ki,k2,则直线P1P2通过定点M■(明，-9%)⑺W1)的充要条件是K•左2=---------T-

-1—ma

22

19.过椭圆与=1(a>0,b>0)上任一点A(x0,y°)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，

ab

则直线BC有定向且施c="(常数).

矿为

22

20.椭圆二+与=1(a>b>0)的左右焦点分别为Fi，F2,点P为椭圆上任意一点/耳「招=/,则椭圆的

ab

焦点三角形的面积为=〃tan乙P(±-Jc2-62tan2,±—tan.

122cV2c2

22

21.若P为椭圆。+m=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,Fi,F2是焦点，^PFXF2=a,

ab

/PF?F\=0,则^^=tanttan2.

〃+c22

22

22.椭圆3+当=1(a>b>0)的焦半径公式：|MGI=a+eXo，|MEJ=a—e/(4(—c,0),F.(c,0),

ab

加(%0，%)),

22

23.若椭圆'+4=1(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi、F2,左准线为L,则当

a2b2

V2-l<e<lHt,可在椭圆上求一点P,使得PFi是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

22

24.P为椭圆二+与=1(a>b>0)上任一点,Fi,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则

ab

2a-\AF21<|PA|+1P耳区2〃+1A与I,当且仅当A6,。三点共线时，等号成立.

25.椭圆二+与=1(a>b>0)上存在两点关于直线/：y=左(x—2)对称的充要条件是玉/«£")；

ab~a~+bk~

26.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切

线垂直.

27.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

\x—acos(p)1

28.P是椭圆1(a>b>0)上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是e?=......-.

y=bsin(p1+sincp

2222

29.设A,B为椭圆左伏>0,左Hl)上两点，其直线AB与椭圆一+4=1相交于P,Q,则

abab

AP=BQ.

Y22

30.在椭圆—+j~=l中，定长为2m(o<m<a)的弦中点轨迹方程为

a

~2

1/X+/?25出2。),其中tan。=一史，当y=0时，。=90.

m2=—十cos2a

7ay

31.设S为椭圆++当=l(a>b>0)的通径，定长线段L的两端点A,B在椭圆上移动，记|AB|=/,M(%,%)

ab

是AB中点，则当IN①S时，有(Xo)max=----L(c2=a2-b2,e=-);当/〈①S时，有

c2ea

2

(%)max=不』4b?一俨,(%)1nhi=。.

2b

22

.椭圆二+与直线互有公共点的充要条件是2”>2

322r=1Ac+y+C=O42a+c.

ab

33.椭圆一+(y一；。)2=1与直线Ax+By+C=o有公共点的充要条件是

ab

l2

A2a2+B2b>(Ax0+By0+C).

34.设椭圆=+与=1(a>b>0)的两个焦点为Fi、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在△PFE

ab

winac

中，记/耳^PFF=(3^FFP=Y，则有-----------=—=e.

X2X2sin/+sin/a

35.经过椭圆尸£+口2y2二片尸(a>b>o)的长轴的两端点Ai和A2的切线，与椭圆上任一点的切线相

交于Pi和P2,贝uwAwgar/.

36.已知椭圆工+斗=1(a>b>0),0为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPLOQ.(1)

ab

1-111A.2人2272

—^+—^=4+4；(2)IOPF+IOQF的最小值为军一；(3)SAOM的最小值是母。.

|0P|2|0Q|2a2b-cr+b2AOPQa2+b2

37.MN是经过椭圆〃/+q2y2(a>b>0)焦点的任一弦，若AB是经过椭圆中心。且平行于MN

的弦，贝i]|A5/=2a|MN|.

38.MN是经过椭圆及犬+口2y2(a>b〉o)焦点的任一弦，若过椭圆中心0的半弦OP，MN,

e2111

则--------1------------二----1------

a\MN\|0P|2a2b2

22

39.设椭圆=+多=1(a>b>0),M(m,o)或(o,m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一条

ab

2

直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线AiP、A?Q(Ai.A2为对称轴上的两顶点)的交点N在直线/：x=L(或

m

b1

y=一)上u.

m

40.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相

应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MFLNF.

41.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,Ai、A2为椭圆长轴上的顶点，AiP和A2Q交于点M,

A2P和AiQ交于点N,则MFLNF.

22

42.设椭圆方程三+与=1,则斜率为k(k¥0)的平行弦的中点必在直线/：y=质的共轨直线y=左x上,而

ab~

口，，，b1

且kk=——-.

a"

22

43.设A、B、C、D为椭圆三+当=1上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为圆月，直线AB与CD

ab

\PA-\PB\_b2cos2/3+crsin213

相交于P,且P不在椭圆上，则

\PC\PD\b2cos2a+a2sin2a

22

44.已知椭圆J+与=1(a>b>0),点P为其上一点FI,F2为椭圆的焦点，N£P凡的外(内)角平分线

ab

3

为I,作Fi，F?分别垂直/于R、S,当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是

a2y2+/?2%(九±c)]

2,22z22

x+y=a(cy=).

(22y2+Z?2(x±c)2

45.设AABC内接于椭圆「，且AB为「的直径，/为AB的共辄直径所在的直线，/分别交直线AC、BC

于E和F,又D为/上一点，则CD与椭圆「相切的充要条件是D为EF的中点.

22

46.过椭圆A+与=1(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交

ab

x轴于p,则L

\MN\2

Y2y2A2V

47.设A(X1,yi)是椭圆三+2T=1(a>b>0)上任一点，过A作一条斜率为-竽的直线L,又设d

abayx

是原点到直线L的距离，小马分别是A到椭圆两焦点的距离，则配d=

2222

48.已知椭圆「+4=1(a>b>0)和=+1=%(0<2<1),一直线顺次与它们相交于A、B、C、

a2b-a2b-

D四点，贝ij|AB|=|CD|.

22

49.已知椭圆。+与=1(a>b>0),A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点

ab

..矿*a2-b"

Pn(x,n0),则nl--------<x<------.

0a0a

22

50.设P点是椭圆二+与=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,Fi、F2为其焦点记=，，则

ab

⑴|因IIPF21=二型w.(2)SgF,=/tan2

1+cos92

51.设过椭圆的长轴上一点B(m,o)作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP

/7_rrj一

和AQ分别交相应于过H点的直线MN：元=〃于M,N两点，则NM5N=90O----=-.....

a-\-mb(ji+d)

x2

52.L是经过椭圆一十y=1(a>b>0)长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是

ab2

离心率，点尸wL,若NEPF=a,则a是锐角且sine<e或。<arcsine(当且仅当|PH|二人时取等号).

22

53.L是椭圆二+多=1(a>b>0)的准线,A、B是椭圆的长轴两顶点，点PwL,e是离心率，/EPF=a,

ab

nh

H是L与X轴的交点c是半焦距,则a是锐角且sinor<e或cr<arcsine(当且仅当|PH|=一时取等号).

c

2

Yy

54.L是椭圆-y+=1(a>b>0)的准线,E、F是两个焦点,H是L与x轴的交点，点、PGL,ZEPF=a,

a

则a为锐角且sinaWe2或aWarcsin/(当且仅当|PHu'ja?+C之时取等

离心率为e,半焦距为c,

C

号).

22

55.已知椭圆二+与=1

(a>b>0),直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与

CTb2

椭圆左焦点Fi连结起来，则固区Ra，1/)一(当且仅当AB，X轴时右边不等式取等号，当

a

4

且仅当A、Fi、B三点共线时左边不等式取等号）.

56.设A、B是椭圆=1a>b>0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，ZPAB=a,

NPBA=0,NBPA=y,c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有⑴|P4|=1cos，⑵

a—ccosoc

201b2

tanatan/?=1—/.（3）S'PAB~cot/.

57.设A、B是椭圆「+与=1（a>b>0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且乙、乙

ab

的横坐标（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则/PBA=NQ8A；（2）若过B

引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则/口43+/243=180.

22

58.设A、B是椭圆当=1（a>b>0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过

a-b2

A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，（若BP交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称），且NPBA=NQ8A,

则点A、B的横坐标与、/满足九（2）若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且

NP4B+NQAB=180,则点A、B的横坐标满足4

22

59.设4A是椭圆二+二=1的长轴的两个端点，是与A4'垂直的弦，则直线AQ与A'Q’的交点P

ab

22

的轨迹是双曲线。-与=1.

ab

22

60.过椭圆「+与=1（a>b>0）的左焦点P作互相垂直的两条弦AB、CD则

a2b2

8ab2<|AB|+1CD|<2（a+b

a2+b2a

22。—c*

61.到椭圆——H—z-=1a>b>0）两焦点的距离之比等于——（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹

/b2b

圆（九±a）?+y2=b2.

22Z7—C

62.到椭圆——H——=1a>b>0）的长轴两端点的距离之比等于——（C为半焦距）的动点M的轨迹

abb

是姊妹圆（x±@）2+y2=A2.

ee

Y2y2。—c*

63.至I」椭圆节+J=1（a>b>0）的两准线和X轴的交点的距离之比为幺上（C为半焦距）的动点的轨

ab2b

迹是姊妹圆（x±：）2+y2=（§）2（e为离心率）.

e

.2,2

64.已知P是椭圆二+1=1（a>b>0）上一个动点，A',A是它长轴的两个端点，且

ab

f扇2

AQ±AP,AQ±AP,则Q点的轨迹方程是—=1.

aa

65.椭圆的一条直径（过中心的弦）的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.

I"2d刃2

66.设椭圆彳+4=1（a>b>0）长轴的端点为A,A',P（玉,％）是椭圆上的点过P作斜率为—1的直

abayx

5

线/,过A,A分别作垂直于长轴的直线交/于则（1）\AM\\AM'\^b2.（2）四边形MAA'”面积

的最小值是2H?.

22

67.已知椭圆=+与=1（a>b>0）的右准线/与x轴相交于点E,过椭圆右焦点R的直线与椭圆相交

a2b2

于A、B两点，点C在右准线/上，且BC//X轴，则直线AC经过线段EF的中点.

68.OA、OB是椭圆+与=1（a>0,b>0）的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则（1）直线

ab

r\72

AB必经过一个定点（^^,0）.（2）以OA、OB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是

a+b

69.P（人"）是椭圆+1=1（a>b>0）上一个定点，PA、PB是互相垂直的弦，贝U（1）直线

ab

2ab2+m(a2-b2)n(b2-a2)

AB必经过一个定点（■）.（2）以PA、PB为直径的两圆的另一个交点Q的轨

a2+b2'a2+b2

迹方程是

心Z/+叫:⑹］租

(/+/)2，

70.如果一个椭圆短半轴长为b,焦点日、F2到直线L的距离分别为出、d2,那么（1）4d2=/,且B、

F2在L同侧O直线L和椭圆相切.（2）44>/,且FI、F2在L同侧o直线L和椭圆相离,（3）4%〈济,

或Fi、F2在L异侧O直线L和椭圆相交.

22

71.AB是椭圆当=1（a>b>0）的长轴，N是椭圆上的动点，过N的切线与过A、B的切线交于C、

a-b2

Y24V2

。两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是r+—=l（yH0）.

a"b~

2222

72.设点PC%,为）为椭圆二+与=1（a>b>0）的内部一定点，AB是椭圆二+与=1过定点P（%,%）

aba~b

2222

ab—(a2%2+Z>x0)

的任一弦，当弦AB平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时（|巳4|・|/>5|）3.当弦

b2

a'b2-(«2y2+Z>2%2)

AB垂直于长轴所在直线时，（IPAI-IPBI）^=00

a2

73.椭圆焦三角形中，以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.

74.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.

75.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.

76.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.

77.椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注:在椭圆焦三

角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）

78.椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

79.椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

80.椭圆焦三角形中立陶圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成

比例.

81.椭圆焦三角形中，半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成

比例.

82.椭圆焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所

6

在直线平行.

83.椭圆焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的

长.

84.椭圆焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭

圆长轴为直径的圆的切点.

85.椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.

86.椭圆焦三角形中，非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.

87.椭圆焦三角形中，非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.

88.椭圆焦三角形中，过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交，则以两交点为直径的圆必过两焦点.

X2V2bb

89.已知椭圆―+==l(a>O,b>0)(包括圆在内)上有一点P，过点P分别作直线y=—%及丁=一一x的

a"baa

平行线，与了轴于M,N,与y轴交于尺Q.,。为原点，则：(1)\OM^+\ON^2a2；(2)

|0。|2+|ORF=2〃

bb

90.过平面上的尸点作直线/］：>=—%及4:y=—-%的平行线，分别交x轴于MN,交y轴于

aa

22

若|OM1+1ON『=2",则p的轨迹方程是f+.=1(。>o,/,>0).(2)若|OQ『+1OR/=2b2,则P

ab

22

的轨迹方程是二+与=l(a>0乃>0).

ab

22

91.点P为椭圆T+多=l(a>0力>0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P引x轴、y轴的

ab

b

平行线，交y轴、元轴于交直线y=——x于Q,R,记AOMQ与AONR的面积为与下？，则：

a

5+S,=—.

'22

_b

92.点尸为第一象限内一点，过尸引x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于M,N,交直线y=--x于Q,R,

a

记AOMQ与AONR的面积为y,S2，已知S+S2=一，则P的轨迹方程是二十4=1(Q>0/>0).

2ab

7

椭圆性质92条证明

1.椭圆第一定义。2.由定义即可得椭圆标准方程。3.椭圆第二定义。

4.如图，设？（后,%）,切线PT（即/）的斜率为k,尸耳所在直线斜率为匕，尸鸟所在直线斜率为上2。

h—k?

由两直线夹角公式tan6=得:

1+k[k?

"一。二

22

k-k[ayx+cb2x1+a2yl+/?2xca2b2+b1cx/(a+5)

tana=—00=0=Q=

222222cbol

1+kk]]%ax0y0+acy0-bx0y0CXoyo+acy0cy0(a+cx0)

2

ayQx0+c

।y°

2十1

k-k，2b2x^+“2y：-b2XCa2b2-b2cxb(/_/)

tan/?="o%一000

222~~i22

l+kk21b，%ax0y0-acy0-bx0y0C_QQocy0(a-cx0)

12

a%%-c

a,/3^^:.a=/3同理可证其它情况。故切线PT平分点P处的外角。

5.如图，延长FF至A,使PA=PF2,则APAg是等腰三角形，AF2中点即为射影H?。则。82=当=。，

同理可得O〃i=a,所以射影Hi,上的轨迹是以长轴为直径的圆除去两端点。

6.设P,Q两点到与焦点对应的准线的距离分别为4,4,以PQ中点到准线的距离为d,以PQ为直径的圆

的半径为r,则d==：＞r,故以PQ为直径的圆与对应准线相离。

8

\PF.\2a-\PF,\\PF7\,,「一

-------=--------———=a--———=a-r,故两圆内切。

222

8.如图,由切线长定理：⑶S|+闺T|=|「用+|「居|+闺阊=2a+2c,⑶S|=|耳7|=a+c

而怩T|=a+c=|耳阕，T与4重合，故旁切圆与x轴切于右顶点，同理可证P在其他位置情况。

22

9.易知A（-。,。）4（。,。），设6（%o,%）,£（%（）,—%），则3"+，~=1

A4:y=%x+aVAiR,:y=———(x-a

a+xQ一a-x0

2/2、21a2y°?_22

则九尸=幺n尸a伙.Xpa02b2-cry^1.-.尸点的轨迹方程为三-==1

b2为22222

aZ?x0Z?x0ab

x2,22222

10.--6(%,%)在椭圆+=1对J+与=1求导得：

—aiaba2b-

2x2yy，Mx。

=0n-.y=―-

7+方矿为

22

，切线方程为y—%=—一）即誓+若*+*1

1।%%

11,设片（石，弘），鸟（入2，%），由1。得：卞+芋^=1=1,因为点耳鸟在直线片鸟上，且

ab2

同时满足方程誓+程=i,所以《鸟：¥+岑=1

abab

22,222

12.设A。,yj,5（为2，%），/（%，%）则有T+普=1，耳+今=1作差得:+x-=0

ababa2b2

=0

b2

9

22

b(石+Z)hX〃人2

/(%+%)

x-x)=>片%y一〃2乂+/?2XX-Z?2XQ=0

13.由12可得：y-yQ=-00

22

2212

=^>bxQx+ay0y=b^+an-^+碧^二号+消

abab

14..由12可得：-——•—=-^-na2y2—〃2%丁+/工2一人2%0%=0

x-xQxa

22

222

+ay=Z?\x+ay0j=1卷=勺+鬟

abab

bsintbsint1a

15.设尸(acos，,bsin%),Q(acos，,bsin，)则左°尸•左OQ=------------r=一41，tan%•tan%=——-

acostacost--------------------b

22a1(cos21+cos2t^+b1(sin21+sin2，)

L16+2

+r2r2COS2t+b2sin2s21+b2sin21j

i2("CO

22

]+1^tan1tan1

cos2r+cos2^'J+[cos?%+cos21J/(2+tai?%+tan2"+/^tan2r+tan2，)+2b2tan"tan21

222222

(/+人2tan?"(a?+/tan?，)/+ab(tanr+tan，)+//tanHan1

(iz2+Z?2)(tan2r+tan2r')+2d!2-^±^-[：+„n2/+tan2/)+2,1】

--2/+调佃也+1皿2”--2'+(taM-tan?”不庐

16.将直线AB代入椭圆方程中得：(42/+32/)％2-24/；(；+02(1-32加)=0

A=4a2B2b2(A2a2+BV-1),\AB\AM2a2+§2二_1

2Aa2a2(l-B2b2}b2(l-^a2}

设A(x，y则x+x=----，不与二----------，y%=—--------

'勺J"V2122^a2+B2b2-^a2+B2b2”242a?十产〃

OALOB

X/2+X%=0="+/=/4万+⑹二万+^2=J_+J_