6.2.2导数与函数的极值最值（第1课时）课件高二下学期数学人教B版选择性

6.2.2

导数与函数的极值、最值第1课时导数与函数的极值第六章人教B版

数学选择性必修第三册课标定位素养阐释1.了解极大值、极小值的概念.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会根据函数的极值求参数.4.通过利用导数研究函数的极值,提高直观想象、数学运算与逻辑推理的核心素养.自主预习新知导学极值点与极值1.如图,函数y=f(x)在点x=d,e,f,g,h,i处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?y=f(x)在这些点处的导数值是多少?在这些点附近,y=f(x)的导数的符号有什么规律?提示:以d,e两点为例,函数y=f(x)在点x=d处的函数值f(d)比在点x=d附近其他点的函数值都小,f'(d)=0,在x=d附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0.类似地,函数y=f(x)在点x=e处的函数值f(e)比在点x=e附近其他点的函数值都大,f'(e)=0,在x=e附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0.2.(1)一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,如果对于x0附近的任意不同于x0的x,都有①

f(x)<f(x0),则称x0为函数f(x)的一个极大值点,此时f(x)在x0处取极大值;②

f(x)>f(x0),则称x0为函数f(x)的一个极小值点,此时f(x)在x0处取极小值.极大值点与极小值点都称为

极值点

,极大值与极小值都称为

极值

.(2)一般地,如果x0是y=f(x)的极值点,且f(x)在x0处可导,则必有

f'(x0)=0.(3)一般地,设函数f(x)在x0处可导,且f'(x0)=0.①如果对于x0左侧附近的任意x,都有

f'(x)>0,对于x0右侧附近的任意x,都有f'(x)<0,那么此时x0是f(x)的极大值点.②如果对于x0左侧附近的任意x,都有

f'(x)<0,对于x0右侧附近的任意x,都有f'(x)>0,那么此时x0是f(x)的极小值点.③如果f'(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为

正号

(或均为

负号

),则x0一定不是y=f(x)的极值点.3.已知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导函数的图象如图所示,则函数f(x)的极小值是(

)A.a+b+c

B.8a+4b+cC.3a+2b

D.c解析:由f(x)的导函数的图象可知函数f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,2)内单调递增,所以函数f(x)在x=0处取得极小值c.答案:D【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)函数的极大值一定大于极小值.(×)(2)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的.(×)(3)可导函数f(x)在区间(a,b)内一定有极值.(×)(4)若函数f(x)在区间(a,b)内有极值,则方程f'(x)=0在区间(a,b)内一定有解.(√)(5)函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值的充要条件是f'(x)=3x2+2ax+b=0有解,即Δ≥0.(×)合作探究释疑解惑探究一求函数的极值【例1】

求下列函数的极值点和极值.分析:求f(x)的定义域→求f'(x)→解方程f'(x)=0→列表分析→结论

解:(1)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=x2-2x-3.令f'(x)=0,得x=3或x=-1.当x变化时,f'(x),f(x)的变化如下表:x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值-6↗当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,1)1(1,+∞)f'(x)-0+f(x)↘极小值3↗故f(x)的极小值点为1,极小值为3,无极大值点和极大值.求函数的极值应注意以下两点:(1)在讨论可导函数f(x)在定义域内的极值时,若方程f'(x)=0的实数根较多,则应注意使用表格,使极值点一目了然;(2)讨论函数的性质要遵循定义域优先的原则.反思感悟【变式训练1】

设函数f(x)=x3+ax2-9x的导函数为f'(x),且f'(2)=15.(1)求函数f(x)的图象在x=0处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.解:(1)∵f'(x)=3x2+2ax-9,∴f'(2)=12+4a-9=15,∴a=3.∴f(x)=x3+3x2-9x,f'(x)=3x2+6x-9,∴f(0)=0,f'(0)=-9.∴切线方程为y=-9x.(2)令f'(x)=0,得x=-3或x=1.当x变化时,f(x)与f'(x)的变化情况如下表:x(-∞,-3)-3(-3,1)1(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗27↘-5↗故当x=-3时,f(x)取极大值27,当x=1时,f(x)取极小值-5.探究二已知函数极值求参数【例2】

函数

有极值点,则a的取值范围为

.

解析:f'(x)=x2-2x+a.由题意,关于x的方程x2-2x+a=0有两个不同的实数根,所以Δ=4-4a>0,解得a<1.答案:(-∞,1)延伸探究1.若例2中函数f(x)的极大值点是-1,则a的值为

.

解析:f'(x)=x2-2x+a.由题意,f'(-1)=1+2+a=0,解得a=-3.则f'(x)=x2-2x-3.经验证可知,f(x)在x=-1处取得极大值.答案:-32.若例2中函数f(x)有一正一负两个极值点,则a的取值范围为

.

答案:(-∞,0)反思感悟已知函数极值的情况,逆向应用确定函数的解析式,进而研究函数性质时,注意以下两点:(1)常根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解;(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.探究三极值的综合运用【例3】

求函数f(x)=x3-3x2-a(a∈R)的极值,并讨论当a为何值时,函数f(x)恰有一个零点.分析:先求出函数的单调区间和极值,再借助函数的图象判定函数零点的个数.解:f'(x)=3x2-6x,函数f(x)的定义域为R,由f'(x)=0得x1=0,x2=2.当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表:x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗

极大值↘极小值↗因此,函数f(x)在x=0处有极大值,极大值为f(0)=-a;在x=2处有极小值,极小值为f(2)=-4-a.函数f(x)的零点即方程f(x)=0的解,也就是方程x3-3x2=a的解,f(x)的零点个数为直线y=a与曲线y=x3-3x2的公共点个数,易知函数y=x3-3x2的极大值为0,极小值为-4(如图所示).故当a>0或a<-4时,函数f(x)恰有一个零点.【变式训练2】

若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值

.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若关于x的方程f(x)=k有三个不相等的实根,求实数k的取值范围.(2)由(1)知f'(x)=x2-4=(x-2)(x+2).令f'(x)=0,得x=2或x=-2,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:【易错辨析】

将导数为零的点误认为极值点而致误【典例】

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,求f(2)的值.当a=4,b=-11时,f(2)=18.当a=-3,b=3时,f(2)=11.故f(2)的值为11或18.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:应注意“f'(x0)=0”是“可导函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.错解忽略了对解进行检验,导致出现增解.但当a=-3,b=3时,f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,故f(x)在R内单调递增,不可能在x=1处取得极值,故f(x)=x3+4x2-11x+16.故f(2)=18.“f'(x0)=0”是“x0为极值点”的必要不充分条件.对于给出函数极大(小)值的条件,一定既要考虑f'(x0)=0,又要检验是否符合“左正右负”(“左负右正”)的条件.防范措施【变式训练】

已知f(x)=x3+ax2+bx+b2,当x=-1时,f(x)取极值8,则a+b=

.

解析:由f(x)=x3+ax2+bx+b2,得f'(x)=3x2+2ax+b,又当x=-1时,f(x)取极值8,随堂练习1.已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f'(x)在区间(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在区间(a,b)内的极小值点有(

)A.5个

B.4个

C.3个

D.2个答案:C2.已知函数f(x)=x3-3x2+3x,则(

)A.当x=1时,f(x)取得极大值B.当x=1时,f(x)取得极小值C.当x=-1时,f(x)取得极大值D.f(x)无极值解析:f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0恒成立,故f(x)在R上是增函数,f(x)无极值.故选D.答案:D3.函数y=2x3-15x2+36x-24的极小值为

.

解析:y'=6x2-30x+36=6(x2-5x+6)=6(x-2)(x-3).令y'>0,得x<2或x>3,令