2024年一次函数知识点

一次函数一．知识要點1、正比例函数一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.2、正比例函数图象和性质一般地，正比例函数y=kx（k為常数，k≠0）的图象是一条通過原點和（1,k）的一条直线，我們称它為直线y=kx.當k>0時，直线y=kx通過第一、三象限，從左向右上升，即伴随x的增大，y也增大；當k<0時，直线y=kx通過第二、四象限，從左向右下降，即伴随x的增大y反而減小.3、正比例函数解析式确实定确定一种正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx(k≠0)中的常数k，其基本环节是：（1）设出具有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0)；（2）把已知条件（自变量与函数的對应值）代入解析式，得到有关系数k的一元一次方程；（3）解方程，求出待定系数k；（4）将求得的待定系数的值代回解析式.4、一次函数一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.當b=0時，y=kx＋b即y=kx，因此說正比例函数是一种特殊的一次函数.5、一次函数的图象（1）一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象是通過（0，b）和两點的一条直线，因此一次函数y=kx＋b的图象也称為直线y=kx＋b.（2）一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：通過两點能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两點确定一条直线，因此画一次函数的图象時，只要先描出两點，再连成直线即可.一般状况下：是先选用它与两坐標轴的交點：（0，b），.即横坐標或纵坐標為0的點.6、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|個單位長度而得到（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）.7、直线y=kx＋b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：b>0b<0b=0k>0通過第一、二、三象限通過第一、三、四象限通過第一、三象限图象從左到右上升，y随x的增大而增大k<0通過第一、二、四象限通過第二、三、四象限通過第二、四象限图象從左到右下降，y随x的增大而減小8、直线y1=kx＋b与y2=kx图象的位置关系：(1)當b>0時，将y2=kx图象向x轴上方平移b個單位，就得到y1=kx＋b的图象．(2)當b<0時，将y2=kx图象向x轴下方平移－b個單位，就得到了y1=kx＋b的图象．9、直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2的位置关系可由其解析式中的比例系数和常数来确定：當k1≠k2時，l1与l2相交，交點是(0，b)．10、直线y=kx＋b(k≠0)与坐標轴的交點．(1)直线y=kx与x轴、y轴的交點都是(0，0)；(2)直线y=kx＋b与x轴交點坐標為(，0)与y轴交點坐標為(0，b)．11、用待定系数法确定函数解析式的一般环节：（1）根据已知条件写出具有待定系数的函数关系式；（2）将x、y的几對值或图象上的几种點的坐標代入上述函数关系式中得到以待定系数為未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.12、运用图象解題通過函数图象获取信息，并运用所获取的信息处理简朴的实际問題.13、經营决策問題函数建模的关键是将实际問題数學化，從而处理最佳方案，最佳方略等問題.建立一次函数模型处理实际問題，就是要從实际問題中抽象出两個变量，再寻求出两個变量之间的关系，构建函数模型，從而运用数學知识处理实际問題.二、重难點知识归纳1、一次函数的定义、图象和性质.2、一次函数的实际应用.3、待定系数法.三、經典例題剖析例1（1）若函数y=(k＋1)x＋k2－1是正比例函数，则k的值為（）A．0B．1C．±1D．－1（2）已知是正比例函数，且y随x的增大而減小，则m的值為_____________.（3）當m=_______時，函数是一次函数.解：（1）由于y=(k＋1)x＋k2－1是正比例函数，∴，∴k=1，∴应选B.（2）是正比例函数的条件是：m2－3=1且2m－1≠0，要使y随x的增大而減小還应满足条件2m－1<0，综合這两個条件得當即m=－2時，是正比例函数且y随x的增大而減小.（3）根据一次函数的定义可知，是一次函数的条件是：解得m=1或－3，故填1或－3.小結某函数是一次函数应满足的条件是：一次项（或自变量）的指数為1，系数不為0．而某函数若是正比例函数，则還需添加一种条件：常数项為0．例2、两個一次函数y1=mx＋n，y2=nx＋m，它們在同一坐標系中的图象也許是图中的（）分析：若m>0，n>0，则两函数图象都应通過第一、二、三象限，故A、C錯，若m<0，n>0，则y1=mx＋n的图象函数過第一、二、四象限，而函数y2=nx＋m的图象過第一、三、四象限，故D錯．若m>0，n<0，y1=mx＋n的图象過第一、三、四象限，函数y2=nx＋m的图象過第一、二、四象限，故选B．答案：B例3、下列說法与否對的，為何？（1）直线y=3x＋1与y=－3x＋1平行；（2）直线重叠；（3）直线y=－x－3与y=－x平行；（4）直线相交.解：（1）该說法不對的，∵k1≠k2，∴两直线相交；（2）该說法不對的，∵k1=k2，但b1≠b2，∴两直线平行；（3）该說法對的，∵k1=k2，b1≠b2，∴两直线平行；（4）该說法不對的，∵k1=k2，b1=b2，∴两直线重叠.变式：某一次函数的图象与直线y=6-x交于點A（5，k），且与直线y=2x-3無交點，求此函数的关系式．例4若點A（2－a，1－2a）有关y轴的對称點在第三象限，则a的取值范围是（）A、a<B、a>2C、<a<2D、a<或a>2．例5已知直线y=kx+b与直线y=-3x+7有关原點對称，求k、b的值。例6假如直线y=-2x+k与两坐標轴所围成的三角形面积是9，则k的值為_____例7判断三點A（3，1），B（0，-2），C（4，2）与否在同一条直线上．[分析]由于两點确定一条直线，故选用其中两點，求通過這两點的函数体現式，再把第三個點的坐標代入体現式中，若成立，阐明在此直线上；若不成立，阐明不在此直线上．解：设過A，B两點的直线的体現式為y=kx+b．由題意可知，∴∴過A，B两點的直线的体現式為y=x-2．∴當x=4時，y=4-2=2．∴點C（4，2）在直线y=x-2上．∴三點A（3，1），B（0，-2），C（4，2）在同一条直线上．例8一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-3≤x≤6，對应函数值的取值范围是-5≤y≤-2，求這個函数的解析式。.[分析]本題分两种状况讨论：①當k＞0時，y随x的增大而增大，则有：當x=-3，y=-5；當x=6時，y=-2，把它們代入y=kx+b中可得∴∴函数解析式為y=-x-4．②當k﹤O時则随x的增大而減小，则有：當x=-3時，y=-2；當x=6時，y=-5，把它們代入y=kx＋b中可得∴∴函数解析式為y=-x-3.∴函数解析式為y=x-4，或y=-x-3.答案：y=x-4或y=-x-3.例9图11－30表达甲、乙两名选手在一次自行車越野赛中，旅程y（仟米）随時间x（分）变化的图象（全程），根据图象回答問題．（1）當比赛開始多少分時，两人第一次相遇？（2）這次比赛全程是多少仟米？（3）當比赛開始多少分時，两人第二次相遇？［分析］本題重要考察讀图能力和运用函数图象处理实际問題的能力．处理本題的关键是写出甲、乙两人在行驶中，旅程y（仟米）随時间x（分）变化的函数关系式，其中：乙的函数图象為正比例函数，而甲的函数图象则是三段线段，第一段是正比例函数，第二段和第三段是一次函数，需分别求出．解：（1）當15≤x＜33時，设yAB=k1x+b1，把（15，5）和（33，7）代入，解得k1=,b1=,∴yAB=x+.∴yAB=x+.當y=6時，有6=x+，∴x=24。∴比赛開始24分時，两人第一次相遇．（2）设yOD=mx,把（4，6）代入，得m=，當X=48時，yOD=×48=12（仟米）∴這次比赛全程是12仟米．（3）當33≤x≤43時，设yBC=k2x+b2，把（33，7）和（43，12）代入，解得k2=，b2=-.∴yBC=x-.解方程组得得例10.A市和B市分别库存某种机器12台和6台，現决定支援給C市10台和D市8台．已知從A市调运一台机器到C市和D市的运费分别為400元和800元；從B市调运一台机器到C市和D市的运费分别為300元和500元．

（1）设B市运往C市机器x台，求總运费W（元）有关x的函数关系式．（2）若规定總运费不超過9000元，問共有几种调运方案？（3）求出總运费最低的调运方案，最低运费是多少？

解：①W=200x+8600；②由題意得200x+8600≤9000，∴x≤2．又∵B市可支援外地6台，∴0≤x≤6．综上0≤x≤2，∴x可取0，1，2，∴有三种调运方案；③∵0≤x≤2，且W随x的值增大而增大，當x=0時，W的值最小，最小值是8600元．此時的调运方案是：B市运往C市0台，运往D市6台；A市运往C市10台，运往D市2台．例11某商店销售A、B两种品牌的彩色電视机，已知A、B两种彩電的進价每台分别為元、1600元，一月份A、B两种彩電的销售价每台為2700元、2100元，月利润為1.2萬元（利润=销售价－進价）.為了增長利润，二月份营销人员提供了两套销售方略：方略一：A种每台降价100元，B种每台降价80元，估计销售量分别增長30%、40%.方略二：A种每台降价150元，B种每台降价80元，估计销售量都增長50%.請你研究如下問題：（1）若设一月份A、B两种彩電销售量分别為x台和y台，写出y与x的关系式，并求出A种彩電销售的台数最多也許是多少？（2）二月份這两种方略与否能增長利润？（3）二月份该商店应當采用上述两种销售方略中的哪一种，方能使商店所获得的利润较多？請阐明理由.分析：（1）中根据月利润可列出有关x、y的方程，由x、y為整数，求出A种彩電销售的台数的最大值；（2）中写出方略一、方略二的利润与x、y的关系，再和1元比较，即可得出結论.解：（1）依題意，有（2700－）x＋（2100－1600）y=1，即700x＋500y=1.则由于y為整数，因此x為5的倍数，故x的最大值為15，即A种彩電销售的台数最多也許為15台.（2）方略一：利润W1=（2700－100－）（1＋30%）x＋（2100－80－1600）（1＋40%）y=780x＋588y；方略二：利润W2=（2700－150－）（1＋50%）x＋（2100－80－1600）（1＋50%）y=825x＋630y.由于700x＋500y=1，因此780x＋588y>1，825x＋630y>1.故方略一、方略二均能增長利润.故方略二使该商店获得的利润多，应采用方略二.例6如图11－31所示，已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴交于A，B两點，直线l通過原點，与线段AB交于點C，把△AOB的面积分為2：1的两部分，求直线l的解析式．[分析]设直线l的解析式為y=kx(k≠0),由于l分△AOB面积比為2：1，故分两种状况：①S△AOC：S△BOC=2：1；②S△AOC：S△BOC=1：2．求出C點坐標，就可以求出直线l的解析式．解：∵直线y=x+3的图象与x,y轴交于A，B两點．∴A點坐標為（-3，0）,B點坐標為(0,3).∴|OA|＝3，|OB|=3．∴S△AOB=|OA|·|OB|=×3×3=.设直线l的解析式為y=kx（k≠0）.∵直线l把△AOB的面积分為2：1，直线l与线段AB交于點C∴分两种状况来讨论：①當S△AOC:S△BOC=2:1時，设C點坐標為（x1，y1）.又∵S△AOB=S△AOC+S△BOC=，∴S△AOC==3.即S△AOC=·|OA|·|y1|=×3×|y1|=3.∴y1=±2，由图示可知取y1=2．又∵點C在直线AB上，∴2=x1+3，∴x1=-1.∴C點坐標為（-1，2）．把C點坐標（-1，2）代人y=kx中，得2=-1·k，∴k＝-2．∴直线l的解析式為y=-2x．②當S△AOC:S△BOC=1:2時，设C點坐標為(x2,y2)．又∵S△AOB=S△AOC+S△BOC=,∴S△AOC=即S△AOC=·|OA|·|y2|=·3·|y2|=.∴y2=±1，由图示可知取y2=1.又∵點C在直线AB上，∴1=x2+3，∴x2=-2.把C點坐標（-2，1）代入y=kx中，得1=-2k，∴k=-y2.∴直线l的解析式為y=-x.∴直线l的解析式為y=-2x或y=-x.练习1、图3中，表达一次函数与正比例函数、是常数，且的图象的是（）2、若直线与的交點在轴上，那么等于（）3、已知直线与轴的交點在轴的正半轴，下列結论：①；②；③；④，其中對的的個数是（）A．1個B．2個C．3個D．4個4．直线m:y=2x+2是直线n向右平移2個單位再向下平移5個單位得到的，而（2a,7）在直线n上，则a=____________；5、如图8，在直標系内，一次函数的图象分别与轴、轴和直线相交于、、三點，直线与轴交于點D，四边形OBCD（O是坐標原點）的面积是10，若點A的横坐標是，求這個一次函数解析式.6．已知雅美服装廠既有A种布料70米，B种布料52米，現计划用這两种布料生产M、N两种型号的時装共80套．已知做一套M型号的時装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利50元；做一套N型号的時装需用A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利45元．设生产M型号的時装套数為x，用這批布料生产两种型号的時装所获得的總利润為y元．①求y（元）与x（套）的函数关系式，并求出自变量的取值范围；②當M型号的時装為多少套時，能使该廠所获利润最大？最大利润是多？①y=50x+45（80-x）=5x+3600．∵两种型号的時装共用A种布料[1.1x+0.6（80-x）]米，共用B种布料[0.4x+0.9（80-x）]米，∴解之得40≤x≤44，而x為整数，∴x=40，41，42，43，44，∴y与x的函数关系式是y=5x+3600（x=40，41，42，43，44）；②∵y随x的增大而增大，∴當x=44時，y最大=3820，即生产M型号的時装44套時，该廠所获利润最大，最大利润是3820元．7已知直线m通過两點（1,6）、（-3，-2），它和x轴、y轴的交點式B、A，直线n過點（2，-2），且与y轴交點的纵坐標是-3，它和x轴、y轴的交點是D、C；分别写出两条直线解析式，并画草图；计算四边形ABCD的面积；若直线AB与DC交于點E，求△BCE的面积。8如图，A、B分别是x轴上位于原點左右两侧的點，點P（2，p）在第一象限，直线PA交y轴于點C（0,2），直线PB交y轴于點D，△AOP的面积為6；求△COP的面积；求點A的坐標及p的值；若△BOP与△DOP的面积相等，求直线BD的函数解析式整式乘除与因式分解一．回忆知识點1、重要知识回忆：幂的运算性质：am·an＝am＋n（m、n為正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．＝amn（m、n為正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．（n為正整数）积的乘方等于各因式乘方的积．＝am－n（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）同底数幂相除，底数不变，指数相減．零指数幂的概念：a0＝1（a≠0）任何一种不等于零的数的零指数幂都等于l．负指数幂的概念：a－p＝（a≠0，p是正整数）任何一种不等于零的数的－p（p是正整数）指数幂，等于這個数的p指数幂的倒数．也可表达為：（m≠0，n≠0，p為正整数）單项式的乘法法则：單项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作為积的因式；對于只在一种單项式裏具有的字母，则连同它的指数作為积的一种因式．單项式与多项式的乘法法则：單项式与多项式相乘，用單项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一种多项式的每一项与另一种多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．單项式的除法法则：單项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作為商的因式：對于只在被除式裏具有的字母，则连同它的指数作為商的一种因式．多项式除以單项式的法则：多项式除以單项式，先把這個多项式的每一项除以這個單项式，再把所得的商相加．

2、乘法公式：①平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2文字語言论述：两個数的和与這两個数的差相乘，等于這两個数的平方差．②完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a－b）2＝a2－2ab＋b2文字語言论述：两個数的和（或差）的平方等于這两個数的平方和加上（或減去）這两個数的积的2倍．

二、纯熟掌握因式分解的常用措施．1、因式分解的概念把一种多项式化為几种整式的积的形式，叫做把多项式因式分解.注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互為相反的变形過程，因些常用整式乘法来检查因式分解.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化為积的形式，而整式乘法是把积化為和差的形式．2、提取公因式法把，分解成两個因式乘积的形式，其中一种因式是各项的公因式m，另一种因式是除以m所得的商，像這种分解因式的措施叫做提公因式法.用式子表求如下：注：=1\*romani多项式各项都具有的相似因式，叫做這個多项式各项的公因式.=2\*romanii公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都具有的相似字母；③指数：相似字母的最低次幂.3、运用公式法把乘法公式反過用，可以把某些多项式分解因式，這种分解因式的措施叫做运用公式法.ⅰ）平方差公式注意：①条件：两個二次幂的差的形式；②平方差公式中的、可以表达一种数、一种單项式或一种多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表到达的形式，并弄清、分别表达什么.ⅱ）完全平方公式注意：①是有关某個字母（或式子）的二次三项式；②其首尾两项是两個符号相似的平方形式；③中间项恰是這两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；④使用前应根据題目构造特點，按“先两頭，後中间”的环节，把二次三项式整顿成公式原型，弄清、分别表达的量.补充：常見的两個二项式幂的变号