3.2.1双曲线的标准方程课件高二上学期数学选择性

双曲线的标准方程湘教版

数学

选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程课标要求1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程;2.掌握双曲线的标准方程及其求法;3.能用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标基础落实·必备知识一遍过知识点1双曲线的定义平面上到两个定点F1,F2的距离之

的绝对值为正常数(小于

)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点F1,F2叫作双曲线的

,两个焦点之间的距离

叫作双曲线的

.

名师点睛双曲线的定义用集合语言叙述为:{P|||PF1|-|PF2||=2a,0<2a<|F1F2|},||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|,下同)不要漏掉绝对值符号,若没有绝对值号,则当|PF1|-|PF2|=2a时,表示双曲线的靠近焦点F2的一支;当|PF2|-|PF1|=2a时,表示双曲线的靠近焦点F1的一支.所有满足条件的点的集合

差

|F1F2|焦点

|F1F2|焦距

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)平面上到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间的距离)的点的轨迹是双曲线.(

)(2)平面上到两定点的距离的差等于零的点的轨迹是两定点组成的线段的垂直平分线.(

)2.双曲线定义中,将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”,其他条件不变,点的轨迹是什么?×√提示当距离之差的绝对值等于|F1F2|时,动点的轨迹是两条射线,端点分别是F1,F2,当距离之差的绝对值大于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.知识点2双曲线的标准方程焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程这里a,b之间没有大小关系

=1(a>0,b>0)

(a>0,b>0)焦点坐标

,

(0,-c),(0,c)a,b,c的关系

(-c,0)

(c,0)

c2-a2=b2名师点睛方程

=1既可以表示椭圆又可以表示双曲线.当方程表示椭圆时,m,n应满足m>n>0或n>m>0.当方程表示双曲线时,m,n应满足mn<0;当m>0,n<0时,方程表示焦点在x轴上的双曲线;当m<0,n>0时,方程表示焦点在y轴上的双曲线.若不确定焦点在哪一个坐标轴上,则双曲线的方程可设为

=1(mn<0)或mx2+ny2=1(mn<0).过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)在双曲线标准方程

=1中,a>0,b>0且a≠b.(

)(2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(

)(3)若mx2+ny2=1表示双曲线,则mn<0.(

)2.如何从双曲线的标准方程判断焦点的位置?×√×提示焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上.重难探究·能力素养速提升探究点一求双曲线的标准方程角度1待定系数法求双曲线的标准方程【例1】根据下列条件,求双曲线的标准方程:(3)已知双曲线通过M(1,1),N(-2,5)两点,求双曲线的标准方程.分析(1)中a的值确定,但是焦点位置不确定,因此结合a的值设出标准方程的两种形式,将点A的坐标代入求解;(2)由于焦点位置确定,因此可利用定义计算a,b或直接设出方程后求解;(3)双曲线焦点的位置不确定,因此可设一般方程求解.(2)(方法1

待定系数法)由题意知双曲线的焦点为(0,-3),(0,3).又a2+b2=9,解得a2=5,b2=4.(3)设所求双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0).将点M(1,1),N(-2,5)代入上述方程,规律方法

待定系数法求双曲线标准方程的具体步骤

变式训练1求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)a=3,c=4,焦点在x轴上;(2)c=,经过点(-5,2),焦点在x轴上.解

(1)由题设知,a=3,c=4,由c2=a2+b2,得b2=c2-a2=42-32=7.角度2定义法求双曲线的标准方程【例2】如图所示,已知定圆F1:x2+y2+10x+24=0,定圆F2:x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.分析

根据两圆相切的几何条件,列出动圆圆心M的关系式,根据关系式的特征求解.解

圆F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(-5,0),半径r1=1.圆F2:(x-5)2+y2=42,圆心F2(5,0),半径r2=4.设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,∴|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|.规律方法

定义法求双曲线标准方程的方法(1)列出等量关系,化简得到方程;(2)寻找几何关系,由双曲线的定义,得出对应的方程.[提醒]①确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.变式训练2已知两圆C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x-4)2+y2=2,动圆M与圆C1外切,与圆C2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为

.

解析

设动圆圆心M(x,y),半径为r,因为圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,所以探究点二双曲线定义的应用【例3】若F1,F2是双曲线

=1的两个焦点.(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;(2)若点P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.分析利用双曲线的标准方程求出2a,结合定义及已知条件求(1),而(2)可在△F1PF2中结合定义利用余弦定理求|PF1|·|PF2|.解

(1)设|MF1|=16,根据双曲线的定义知||MF2|-16|=6,即|MF2|-16=±6,解得|MF2|=10或|MF2|=22.故点M到另一个焦点的距离为10或22.由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos

60°,则102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,得|PF1|·|PF2|=64.变式探究若本例题中双曲线的方程不变,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,双曲线上一点P到焦点F1的距离为7,求|PF2|.由于|PF1|=7<a+c=8,因此点P在双曲线的左支上,因此|PF2|-|PF1|=6.结合|PF1|=7可知|PF2|=13.规律方法

求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法(1)根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a;(2)利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之间满足的关系式;(3)通过配方,利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值;上,若|PF1|≥a+c,则点P在双曲线的两支上;若|PF1|<a+c,则点P在双曲线的左支上.探究点三双曲线标准方程的应用(1)若该方程表示双曲线,求实数k的取值范围;(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线,求实数k的取值范围.分析

结合已知条件以及双曲线标准方程的特征,列出关于k的不等式(组)求解.解

(1)将所给方程化为

=1,若该方程表示双曲线,则有(4+k)(k-1)>0,解得k>1或k<-4,故实数k的取值范围是(-∞,-4)∪(1,+∞).规律方法

方程表示双曲线的特征及方程表示某种曲线时参数的求解方法(1)对于方程

=1,当mn<0时表示双曲线.其中,当m>0,n<0时表示焦点在x轴上的双曲线;当m<0,n>0时表示焦点在y轴上的双曲线.(2)对于方程

=1,当mn>0时表示双曲线.其中,当m>0,n>0时表示焦点在x轴上的双曲线;当m<0,n<0时表示焦点在y轴上的双曲线.(3)已知方程所代表的曲线,求参数的取值范围时,应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式,再根据方程中参数取值的要求,建立不等式(组)求解参数的取值范围.变式训练3已知方程

=1表示的是双曲线,那么实数k的取值范围是(

)A.(5,+∞) B.(-2,2)∪(5,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,2)B解析

∵方程表示的是双曲线,∴(k-5)(|k|-2)>0,解得k>5或-2<k<2.本节要点归纳1.知识清单:(1)双曲线的定义;(2)双曲线的标准方程.2.方法归纳:待定系数法、定义法求双曲线的标准方程,利用双曲线的定义求解双曲线的焦点三角形问题.3.注意事项:双曲线的定义中不但要求“到两定点距离差的绝对值是非零常数”,而且要求“该常数要小于两定点之间的距离”,用待定系数法求双曲线的标准方程时,要先判断焦点所在的位置,如果焦点不确定要分类讨论,采用待定系数法求方程或用形如mx2+ny2=1(mn<0)的形式求解.学以致用·随堂检测促达标123451.[2024甘肃白银高二期末]已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0,3),F2(0,-3),P是双曲线上一点且||PF1|-|PF2||=4,则双曲线的标准方程为(

)C

6123452.P是双曲线x2-y2=16左支上一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,则|PF1|-|PF2|=(

)A.4 B.-4 C.8 D.-8D解析

因为将双曲线方程x2-y2=16化为标准方程得

=1,即a=4.所以||PF1|-|PF2||=2a=8,而点P在双曲线左支上,于是|PF1|<|PF2|,所以|PF1|-|PF2|=-8.故选D.6123453.已知方程

=1表示双曲线,则实数m的取值范围是(

)A.(-1,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-1,2)D解析

∵方程

=1表示双曲线,∴(m-2)(m+1)<0,解得-1<m<2.∴m的取值范围是