2025年黑龙江齐齐哈尔普高联谊校高三下5月第一次质量检测试题数学试题试卷含解析

2025年黑龙江齐齐哈尔普高联谊校高三下5月第一次质量检测试题数学试题试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设函数的导函数，且满足，若在中，，则（）A． B． C． D．2．在正方体中，点，，分别为棱，，的中点，给出下列命题：①；②；③平面；④和成角为.正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．33．已知向量，且，则等于（）A．4 B．3 C．2 D．14．设，，则（）A． B． C． D．5．已知向量，，当时，（）A． B． C． D．6．已知函数，若恒成立，则满足条件的的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．37．若为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．函数的图象大致是()A． B．C． D．9．已知集合，则全集则下列结论正确的是()A． B． C． D．10．已知向量，，则与共线的单位向量为()A． B．C．或 D．或11．某四棱锥的三视图如图所示，记为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）.A．，且 B．，且C．，且 D．，且12．已知函数（），若函数在上有唯一零点，则的值为（）A．1 B．或0 C．1或0 D．2或0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在的展开式中，的系数为________．14．若函数为偶函数，则．15．已知函数，则曲线在处的切线斜率为________.16．设，则_____，（的值为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）设，求函数的单调区间，并证明函数有唯一零点.（2）若函数在区间上不单调，证明：.18．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为.（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程及的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到距离的取值范围.19．（12分）我们称n（）元有序实数组（，，…，）为n维向量，为该向量的范数.已知n维向量，其中，，2，…，n.记范数为奇数的n维向量的个数为，这个向量的范数之和为.（1）求和的值；（2）当n为偶数时，求，（用n表示）.20．（12分）在中,角、、所对的边分别为、、，角、、的度数成等差数列，.（1）若，求的值；（2）求的最大值.21．（12分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，点是棱的中点，，.（1）若，证明：平面平面；（2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.22．（10分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，该项质量指标值落在区间内的产品视为合格品，否则视为不合格品，如图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改造后样本的频数分布表.图：设备改造前样本的频率分布直方图表：设备改造后样本的频率分布表质量指标值频数2184814162（1）求图中实数的值；（2）企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在区间内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在区间或内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元，根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.若有一名顾客随机购买两件产品支付的费用为(单位：元)，求的分布列和数学期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

根据的结构形式，设，求导，则，在上是增函数，再根据在中，，得到，，利用余弦函数的单调性，得到，再利用的单调性求解.【详解】设，所以，因为当时，，即，所以，在上是增函数，在中，因为，所以，，因为，且，所以，即，所以，即故选：D本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.2．C【解析】

建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.【详解】设正方体边长为，建立空间直角坐标系如下图所示，，.①，，所以，故①正确.②，，不存在实数使，故不成立，故②错误.③，，，故平面不成立，故③错误.④，，设和成角为，则，由于，所以，故④正确.综上所述，正确的命题有个.故选：C本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.3．D【解析】

由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解．【详解】因为，且，，则．故选：．本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．4．D【解析】

集合是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可【详解】，，则故选本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．5．A【解析】

根据向量的坐标运算，求出，，即可求解.【详解】，.故选:A.本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系，属于中档题.6．C【解析】

由不等式恒成立问题分类讨论：①当，②当，③当，考查方程的解的个数，综合①②③得解．【详解】①当时，，满足题意，②当时，，，，，故不恒成立，③当时，设，，令，得，，得，下面考查方程的解的个数，设（a），则（a）由导数的应用可得：（a）在为减函数，在，为增函数，则（a），即有一解，又，均为增函数，所以存在1个使得成立，综合①②③得：满足条件的的个数是2个，故选：．本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型.7．B【解析】

由共轭复数的定义得到，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解【详解】由题意得，因为，，所以在复平面内对应的点位于第二象限．故选：B本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.8．B【解析】

根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.【详解】设，，则的定义域为.，当，，单增，当，，单减，则.则在上单增，上单减，.选B.本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.9．D【解析】

化简集合，根据对数函数的性质，化简集合，按照集合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可求出结论.【详解】由，则，故，由知，，因此，，，，故选:D本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题.10．D【解析】

根据题意得，设与共线的单位向量为，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出即可得出答案.【详解】因为，，则，所以，设与共线的单位向量为，则，解得或所以与共线的单位向量为或.故选：D.本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.11．D【解析】

首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长.【详解】根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以：，，.故选：D..本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.12．C【解析】

求出函数的导函数，当时，只需，即，令，利用导数求其单调区间，即可求出参数的值，当时，根据函数的单调性及零点存在性定理可判断；【详解】解：∵（），∴，∴当时，由得，则在上单调递减，在上单调递增，所以是极小值，∴只需，即.令，则，∴函数在上单调递增.∵，∴；当时，，函数在上单调递减，∵，，函数在上有且只有一个零点，∴的值是1或0.故选：C本题考查利用导数研究函数的零点问题，零点存在性定理的应用，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

根据二项展开式定理，求出含的系数和含的系数，相乘即可.【详解】的展开式中，所求项为：，的系数为.

故答案为:.本题考查二项展开式定理的应用，属于基础题.14．1【解析】试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数，．考点：函数的奇偶性．【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为函数为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取．15．【解析】

求导后代入可构造方程求得，即为所求斜率.【详解】，，解得：，即在处的切线斜率为.故答案为：.本题考查切线斜率的求解问题，考查导数的几何意义，属于基础题.16．7201【解析】

利用二项展开式的通式可求出；令中的，得两个式子，代入可得结果.【详解】利用二项式系数公式，，故，，故（=，故答案为：720；1.本题考查二项展开式的通项公式的应用，考查赋值法，是基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）为增区间；为减区间.见解析（2）见解析【解析】

（1）先求得的定义域，然后利用导数求得的单调区间，结合零点存在性定理判断出有唯一零点.（2）求得的导函数，结合在区间上不单调，证得，通过证明，证得成立.【详解】（1）∵函数的定义域为，由，解得为增区间；由解得为减区间.下面证明函数只有一个零点：∵，所以函数在区间内有零点，∵，函数在区间上没有零点，故函数只有一个零点.（2）证明：函数，则当时，，不符合题意；当时，令，则，所以在上单调增函数，而，又∵区间上不单调，所以存在，使得在上有一个零点，即，所以，且，即两边取自然对数，得即，要证，即证，先证明：，令，则∴在上单调递增，即，∴①在①中令，∴令∴，即即，∴.本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间和零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.18．（1），.（2）【解析】

（1）根据直线的参数方程为（为参数），消去参数，即可求得的的普通方程，曲线的极坐标方程为，利用极坐标化直角坐标的公式:，即可求得答案；（2）的标准方程为，圆心为，半径为，根据点到直线距离公式，即可求得答案.【详解】（1）直线的参数方程为（为参数），消去参数的普通方程为.曲线的极坐标方程为，利用极坐标化直角坐标的公式:的直角坐标方程为.（2）的标准方程为，圆心为，半径为圆心到的距离为，点到的距离的取值范围是.本题解题关键是掌握极坐标化直角坐标的公式和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.19．（1），.（2），【解析】

（1）利用枚举法将范数为奇数的二元有序实数对都写出来，再做和；（2）用组合数表示和，再由公式或将组合数进行化简，得出最终结果.【详解】解：（1）范数为奇数的二元有序实数对有：，，，，它们的范数依次为1，1，1，1，故，.（2）当n为偶数时，在向量的n个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为：1，3，…，进行讨论：的n个坐标中含1个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为；的n个坐标中含3个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为；的n个坐标中含个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为1；所以，.因为，①，②得，，所以.解法1：因为，所以..解法2：得，.又因为，所以.本题考查了数列和组合，是一道较难的综合题.20．(1)；(2)．【解析】

(1)由角的度数成等差数列，得.又.由正弦定理，得,即.由余弦定理，得,即，解得.(2)由正弦定理，得.由，得.所以当，即时，.【方法点睛】解三角形问题基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化．逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等．21．（1）见解析（2）【解析】

(1)由已知可证得平面,则有,在中,由已知可得,即可证得平面,进而证得结论.(2)过作交于,由为的中点,结合已知有平面.则,可求得.建立坐标系分别求得面的法向量,平面的一个法向量为,利用公式即可求得结果.【详解】（1）证明：平面，平面，,又四边形为正方形，.又、平面，且，平面..中，，为的中点，.又、平面，，平面.平面，平面平面.（2）解：过作交于，如图为的中点，，.又平面，平面.，.所以,又、、两两互相垂直，以、、为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系.，，，设平面的法向量，则，即.令，则，..平面的一个法向量为.二面角的余弦值为.本题考查面面垂直的证明方法,考查了空间线线、线面、面面位置关系，考查利用向量法求二面角的方法,难度一般.22．（1）（2）详见解析【解析】

（1）由频率分布直方图中所有频率（小矩形面积）之和为1可计算出值；（2）由频数分布