第一次数学危机

13第一次数学危机2历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的挫折叫做危机。危机意味着挑战，危机的解决就意味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危机，都是数学的基本部分受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。一、什么是数学危机

危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的。人类最早认识的是自然数。从引进零及负数就经历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通；引进分数使乘法有了逆运算——除法。接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用有理数来表示?于是发现无理数就导致了第一次数学危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。

方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”。可是这种不实的数却能解决实数所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。

几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧几何学。5二、毕达哥拉斯学派和他们的

“万物皆数”

1.毕达哥拉斯Pythagoras(约前570年—前500年）

毕达哥拉斯是公元前500多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家。6毕达哥拉斯(公元前570年～公元前500年)7

毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织，也致力于哲学与数学的研究，促进了数学和理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士多德的思想产生很大影响。8

相传“哲学”（希腊原词意为“智力爱好”）和“数学”（希腊原词意为“可学到的知识”）这两个词是毕达哥拉斯本人所创。92.毕达哥拉斯学派在数学上的贡献

1）数学证明的起始

泰勒斯

毕达哥拉斯

欧几里得证明是要有假设的:公设、公理及定义。许多人推测，欧几里得几何《原本》前两卷的大部分材料，来源于毕达哥拉斯学派。10

2）数学抽象的提出

从实物的数与形，抽象到数学上的数与形，本身就把数学推向了科学。

3）毕达哥拉斯定理

即“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”。在中国叫商高定理或勾股定理。11《周髀算经》中的“勾股定理”

（约公元前700年）

《周髀算经》卷上记载西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“勾广三股修四经隅五”，这是勾股定理的特例。卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：“……以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”12

中国数学史上最先完成勾股定理证明：公元3世纪三国时期的赵爽。赵爽注《周髀算经》，作“勾股圆方图”，其中的弦图，相当于运用面积的“出入相补”方法（刘徽），证明了勾股定理。如图1314

西方文献中称此定理为毕达哥拉斯定理。曾经有人编书，收集了勾股定理的370种证法。153.毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说

1）“万物皆数”学说

①数，是世界的法则

毕达哥拉斯说的“数”，是指自然数，即正整数，同时还包含它们的比，即正分数。

②任意两条线段a、d都是可公度的

“可公度的”，意即有公共的度量单位

t。162）实例

①形数

三边形数、四边形数、五边形数、六边形数；17

三边形数四边形数五边形数六边形数18

“形数”体现了数与形的结合；让我们从又一个侧面了解“万物皆数”。

毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说，加强了数学中的理论化倾向。19

②多个场合下的小整数比

ⅰ产生谐音的各个弦的长度成小整数比

绷得一样紧的两根弦，若其长度成小整数比，就会发出谐音。例如，1︰2时短弦的音高

8度，2︰3时短弦音高5度，3︰4时短弦音高4

度；当三根弦的长度之比为3︰4︰6时，就得到谐音。20

ⅱ同名正多边形复盖平面的情形（即铺正多边形地砖的情形）

只有三种情况：环绕平面上一个点可以紧密地放6个正三角形，或者4个正方形，或者3个正六边形，如图：2122

毕达哥拉斯学派确信：“宇宙的和谐在于数”，神是以数的规律创造世界的。

“万物皆数”学说产生了很大的影响。23三、与第一次数学危机对“万物皆数”理论产生冲击的，却正是毕达哥拉斯学派自己的一个发现，用现在的符号，这就是。241.的发现和危机的产生C11根据毕达哥拉斯定理，边长为1的正方形，其对角线长度若记为，则，推出1）一个不能表成整数比的数25下边证明，当时，不能表成整数比。由此知是偶数。由于偶数的平方是偶数，奇数的平方是奇数，∴是偶数。如果不然，有两个正整数和使（不妨设是既约分数即）。两端平方得，即。26因“既约”，不能再是偶数，于是是奇数。这样的左端，因是奇数而不能被4整除，右端却因是偶数而可以被4整除。这个矛盾说明开始的假设是错误的。从而不能表成两个整数的比。证毕。

[注]：这是“反证法”的开始。272）不可公度的线段

设正方形的边长为，对角线长为，如图：daa28根据毕达哥拉斯定理，。如果存在第三个线段长为，使得和都是的整数倍，如

，

，这里，是整数.29由得，从而，又可以类似于上一个证明导出矛盾。于是，与就是不可公度线段。所以，不可能存在长度为的线段，使得且。（严重：“可公度”涉及“成比例”，进一步还涉及“相似形”）30

3）危机产生，封锁消息

希帕索斯泄露秘密，被抛进大海。一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的

希帕索斯(Hippasus)314）无理数

像这样的数，和其它一些不能表成整数比的数，称为无理数。

称两个整数之比为有理数，而把那样的一类数叫做无理数，即没有道理的数，原来是翻译出了问题。32rationalnumber是有理数的英文名称，而rational是一个多义词，含有“比的”，“有理的”意思。而词根ratio来自希腊文，完全是“比”的意思。对“rationalnumber”正确的翻译应该是“比数”。“比数”的名称才正确反应了这类数是两个整数之比的内涵。人类在认识有理数之前，唯一知道的是自然数。那时所谓的“数”，都是自然数。把由自然数产生的数叫做比数，其实才符合古人的原意。33

在东方，最早把rationalnumber翻译过来的是日本人。可能是那个日本人英文不好，数学又不太懂，把它翻译成“有理数”。而日本文字又和汉字形似，于是中国人把这三个字照搬过来，沿用至今，形成习惯。如果正确地把两个整数之比叫做“比数”，那么像一类的数称为“非比数”，还是颇有道理的。34

2.“两个量的比相等”的新定义

——部分地消除了危机

35

两个量的比相等，即。约公元前370年，希腊数学家欧多克索斯和阿契塔的定义：“称四个量的第一个和第二个之比与第三个和第四个之比相等，如果取第一个和第三个量的任何相同的倍数，第二个和第四个量的任何其他的相同倍数后，从第三个量的倍数大于、等于或小于第四个量的倍数，便有第一个量的倍数对第二个量的倍数的相应关系”。

36

“两个量的比相等”的这一定义，是正确的、严格的，部分地解决了危机，使几何的基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出。欧几里得的几何《原本》中也采用了这一定义，以致在以后的近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数学的基础。但是彻底解决这一危机是在19世纪，依赖于数系的扩充和实数理论的建立。37

3.无理数与数系的扩张——危机的解决

1）有理数的稠密性

定义：“一个数集在数轴上是稠密的”是指，在数轴上，每一个不管处于什么位置，也不论是多么小的区间（,）中都存在着这个数集中的点。

定理：有理数集在数轴上是稠密的。

38

2）数轴

①古代观点：数轴↔有理数②现代观点：数轴↔实数

393）数系的扩张——危机的解决

①自然数系②有理数系③实数系40实数系具有连续性。有理数系具有稠密性,却不具有连续性。数系的连续性和稠密性是两个不同的概念。数系的稠密性，通俗说成“到处都有”、“密密麻麻”；数系的连续性，通俗说成“一个挨一个”、“针插不进，水泼不进”。连续性是一个很好的性质。但是对“数系的连续性”的概念，给出严格的数学定义，就那么容易了。数系扩张为实数系以后，第一次数学危机就彻底解决了。因为数的范围扩充以后，“万物皆数”的命题就是正确的了；不能表成整数比的数，即无理数，也是实数系中的数了。4142[思]：能说“任何两个有理数之间都有无理数”吗？为什么？43四、反证法与无理数

1.反证法

1）反证法的威力

44

例：有数学书、物理书、外语书共十本。证明：在这三种书籍中，有一种书籍至少有四本。穷举法：数学书10998887777…0…0物理书0010120123…0…10外语书0102103210…10…0反证法：452）反证法的依据和步骤依据：逻辑里的“排中律”

（命题A与命题非A中，必有一个是正确的）。

步骤：否定原命题

→

推导出矛盾

→

原命题成立。3）哈代对反证法的评论

“反证法是远比任何弃子术更为高超的一种策略。棋手可以牺牲的只是几个棋子，而数学家可以牺牲整个一盘棋。”46472.定理：设是大于1的自然数，写成不同素数方幂的乘积为，则是有理数全是偶数。

[思]：证明该定理。11醉翁亭记

1．反复朗读并背诵课文，培养文言语感。

2．结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路。

3．把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。

4．体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下《岳阳楼记》，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文学家、史学家欧阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于《岳阳楼记》的千古名篇——《醉翁亭记》。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。二、教学新课目标导学一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修(1007—1072)，字永叔，自号醉翁，晚年又号“六一居士”。吉州永丰(今属江西)人，因吉州原属庐陵郡，因此他又以“庐陵欧阳修”自居。谥号文忠，世称欧阳文忠公。北宋政治家、文学家、史学家，与韩愈、柳宗元、王安石、苏洵、苏轼、苏辙、曾巩合称“唐宋八大家”。后人又将其与韩愈、柳宗元和苏轼合称“千古文章四大家”。

关于“醉翁”与“六一居士”：初谪滁山，自号醉翁。既老而衰且病，将退休于颍水之上，则又更号六一居士。客有问曰：“六一何谓也？”居士曰：“吾家藏书一万卷，集录三代以来金石遗文一千卷，有琴一张，有棋一局，而常置酒一壶。”客曰：“是为五一尔，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于此五物之间，岂不为六一乎？”写作背景：宋仁宗庆历五年(1045年)，参知政事范仲淹等人遭谗离职，欧阳修上书替他们分辩，被贬到滁州做了两年知州。到任以后，他内心抑郁，但还能发挥“宽简而不扰”的作风，取得了某些政绩。《醉翁亭记》就是在这个时期写就的。目标导学二：朗读文章，通文顺字1．初读文章，结合工具书梳理文章字词。2．朗读文章，划分文章节奏，标出节奏划分有疑难的语句。节奏划分示例

环滁/皆山也。其/西南诸峰，林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，琅琊也。山行/六七里，渐闻/水声潺潺，而泻出于/两峰之间者，酿泉也。峰回/路转，有亭/翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者/谁？山之僧/曰/智仙也。名之者/谁？太守/自谓也。太守与客来饮/于此，饮少/辄醉，而/年又最高，故/自号曰/醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之间也。山水之乐，得之心/而寓之酒也。节奏划分思考“山行/六七里”为什么不能划分为“山/行六七里”？

明确：“山行”意指“沿着山路走”，“山行”是个状中短语，不能将其割裂。“望之/蔚然而深秀者”为什么不能划分为“望之蔚然/而深秀者”？明确：“蔚然而深秀”是两个并列的词，不宜割裂，“望之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师可做适当的讲解引导。目标导学三：结合注释，翻译训练1．学生结合课下注释和工具书自行疏通文义，并画出不解之处。【教学提示】节奏划分与明确文意相辅相成，若能以节奏划分引导学生明确文意最好；若学生理解有限，亦可在解读文意后把握节奏划分。2．以四人小组为单位，组内互助解疑，并尝试用“直译”与“意译”两种方法译读文章。3．教师选择疑难句或值得翻译的句子，请学生用两种翻译方法进行翻译。翻译示例：若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝，晦明变化者，山间之朝暮也。野芳发而幽香，佳木秀而繁阴，风霜高洁，水落而石出者，山间之四时也。直译法：那太阳一出来，树林里的雾气散开，云雾聚拢，山谷就显得昏暗了，朝则自暗而明，暮则自明而暗，或暗或明，变化不一，这是山间早晚的景色。野花开放，有一股清幽的香味，好的树木枝叶繁茂，形成浓郁的绿荫。天高气爽，霜色洁白，泉水浅了，石底露出水面，这是山中四季的景色。意译法：太阳升起，山林里雾气开始消散，烟云聚拢，山谷又开始显得昏暗，清晨自暗而明，薄暮又自明而暗，如此暗明变化的，就是山中的朝暮。春天野花绽开并散发出阵阵幽香，夏日佳树繁茂并形成一片浓荫，秋天风高气爽，霜色洁白，冬日水枯而石底上露，如此，就是山中的四季。【教学提示】翻译有直译与意译两种方式，直译锻炼学生用语的准确性，但可能会降低译文的美感；意译可加强译文的美感，培养学生的翻译兴趣，但可能会降低译文的准确性。因此，需两种翻译方式都做必要引导。全文直译内容见《我的积累本》。目标导学四：解读文段，把握文本内容1．赏析第一段，说说本文是如何引出“醉翁亭”的位置的，作者在此运用了怎样的艺术手法。

明确：首先以“环滁皆山也”五字领起，将滁州的地理环境一笔勾出，点出醉翁亭坐落在群山之中，并纵观滁州全貌，鸟瞰群山环抱之景。接着作者将“镜头”全景移向局部，先写“西南诸峰，林壑尤美”，醉翁亭坐落在有最美的林壑的西南诸峰之中，视野集中到最佳处。再写琅琊山“蔚然而深秀”，点山“秀”，照应上文的“美”。又写酿泉，其名字透出了泉与酒的关系，好泉酿好酒，好酒叫人醉。“醉翁亭”的名字便暗中透出，然后引出“醉翁亭”来。作者利用空间变幻的手法，移步换景，由远及近，为我们描绘了一幅幅山水特写。2．第二段主要写了什么？它和第一段有什么联系？明确：第二段利用时间推移，抓住朝暮及四季特点，描绘了对比鲜明的晦明变化图及四季风光图，写出了其中的“乐亦无穷”。第二段是第一段“山水之乐”的具体化。3．第三段同样是写“乐”，但却是写的游人之乐，作者是如何写游人之乐的？明确：“滁人游”，前呼后应，扶老携幼，自由自在，热闹非凡；“太守宴”，溪深鱼肥，泉香酒洌，美味佳肴，应有尽有；“众宾欢”，投壶下棋，觥筹交错，说说笑笑，无拘无束。如此勾画了游人之乐。4．作者为什么要在第三段写游人之乐？明确：写滁人之游，描绘出一幅太平祥和的百姓游乐图。游乐场景映在太守的眼里，便多了一层政治清明的意味。太守在游人之乐中酒酣而醉，此醉是为山水之乐而醉，更是为能与百姓同乐而醉。体现太守与百姓关系融洽，“政通人和”才能有这样的乐。5．第四段主要写了什么？明确：写宴会散、众人归的情景。目标导学五：深入解读，把握作者思想感情思考探究：作者以一个“乐”字贯穿全篇，却有两个句子别出深意，不单单是在写乐，而是另有所指，表达出另外一种情绪，请你找出这两个句子，说说这种情绪是什么。明确：醉翁之意不在酒，在乎山水之间也。醉能同其乐，醒能述以文者，太守也。这种情绪是作者遭贬谪后的抑郁，作者并未在文中袒露胸怀，只含蓄地说：“醉能同其乐，醒能述以文者，太守也。”此句与醉翁亭的名称、“醉翁之意不在酒，在乎山水之间也”前后呼应，并与“滁人游”“太守宴”“众宾欢”“太守醉”连成一条抒情的线索，曲折地表达了作者内心复杂的思想感情。目标导学六：赏析文本，感受文本艺术特色1．在把握作者复杂感情的基础上朗读文本。2．反复朗读，请同学说说本文读来有哪些特点，为什么会有这些特点。(1)句法上大