沪教版高中数学知识点归纳

高中数学知识点归纳

高一(上)数学知识点归纳

第一章集合与命题

1.主要内容：集合的基本概念、空集、子集和真子集、集合的相等；集合的交、

并、补运算。四种命题形式、等价命题；充分条件与必要条件。

2.基本栗求：理解集合、空集的意义，会用列举法和描述法表示集合；理解子

集、

真子集、集合相等等概念，能判断两个集合之间的包含关系或相等关系；理

解

交集、并集，掌握集合的交并运算，知道有关的基本运算性质，理解全集的

意

义，能求出已知集合的补集。理解四种命题的形式及其相互关系，能写出一

个

简单命题的逆命题、否命题与逆否命题；理解充分条件、必要条件与充要条

件

的意义，能在简单问题的情景中判断条件的充分性、必要性或充分必要性。

3.重难点：重点是集合的概念及其运算，充分条件、必要条件、充要条件。难

点

是对集合有关的理解，命题的证明，充分条件、必栗条件、充要条件的判别。

4.集合之间的关系：(1)子集：如果A中任何一个元素都属于B,那么A是B的

子集,记作AuB.⑵相等的集合:如果AuB,且BuA,那么A=B.(3).真子集：

AuB且B中至少有一个元素不属于A,记作AuB.

5.集合的运算：(1)交集：4n5={x\xeAJlxeB}.

(2)并集:2uB={x|xe4或reB}.(3)补集：CUA—[x\xEU.S.XgA].

6.充分条件、必要条件、充栗条件

如果PnQ,那么P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。

如果P=Q,那么P是Q的充要条件。也就是说，命题P与命题Q是等价命题。

有关概念：1.我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合。

2.数集有：自然数集N,整数集Z,有理数集Q,实数集R。

3.集合的表示方法有列举法、描述法和图示法。

4.用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用

图

叫做文氏图。

5.真子集，交集，并集，全集，补集。

6.命题，逆命题，否命题，逆否命题，等价命题。

7充分条件与必栗条件。

注意：1.集合中的元素是确定的，各不相同的。

2集合与元素的属于关系与几何之间的包含关系，两者不能混淆。

3.证明A是B的充要条件：(1)充分性的证明：A今B.(2)必要性的证明:

BnA.

4.原命题与它的逆否命题同真(假)，因此它们是等价命题，逆命题与否

命题互为逆否命题。

第二章不等式

1.主要内容：不等式基本性质、不等式性质；一元二次不等式(组)的解法、

分时不等式的解法、绝对值不等式的解法、无理不等式的解法、某些高次不

等式的解法、基本不等式、不等式的证明。

2.基本要求：掌握不等式的基本性质及常用的不等式的性质，掌握一元二次不

等式的解法，掌握简单的分式不等式及绝对值不等式的解法，会解简单的无

理不等式和高次不等式，掌握比较法、综合法、分析法证明不等式的基本思

路，并会用这些方法证明简单的不等式。

3.重难点：重点是不等式的基本性质和一元二次不等式的解法，基本不等式及

其证明。难点是分式不等式与绝对值不等式的解法，解不等式的应用，比较

法、综合法、分析法证明简单的不等式。

不等式的基本性质：1.如果a>b,b>c;那么a>c.

2.出口果a>b,那么a+c>b+c.

3.如果a>b,c>0,那么ac>be:如果a>b,c<0,那么ac<be.

4.如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.

5.如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.

6.如果a>h>0,那么0V工<工.

ab

7.如果a>b>0,那么an>b“(?ieN).

8.如果a〉b>0,那么Va>VF(nGN,n>1).

一元二次不等式的解法：这个知识点很重要，可根据4与0的关系来求解，注意

解的区间的表示，不等式组也是一样。解分式不等式的方法就是将它转化为解

整式不等式。

两个基本不等式：1.对于任意实数。秘，有a?+b2>2ab,当且仅当。=6时等号

成立。2.对任意正数(1初b,有1产2A/花，当且仅当a=6时等号

成立。我们把贮产制而分别叫做正数a、b的算术平均数和几何平均数。

第三章函数的基本性质

1.主要内容：函数、函数的运算；函数的奇偶性、单调性、周期性、函数的最

大

值或最小值。

2.基本要求：理解函数的概念，能使用函数的记号y=/(%)表示y悬的函数，会

求函数值/(a),会求简单函数的定义域和值域。理解函数运算意义，会求两

个函数的和与积。掌握函数奇偶性、单调性、周期性概念，会求一些简单函

数

的最大值和最小值。

3.重难点：重点是函数关系的建立，函数奇偶性、单调性、周期性等的判定，

以

及由函数图像研究其性质和由函数性质研究其图像的一般方法。难点是求函

数

的值域、最大值和最小值。

注意：(1)函数的运算中一定要考虑函数自变量的定义域，定义域会随着函数的

运算改变而改变。

⑵函数讲到奇偶性时其定义域一定栗关于原点对称。

⑶偶函数的性质：f(x)=f(-x).

⑷奇函数的性质：f(%)=-/(-X).

(5)单调性和最值性。

⑹零点的概念，实际上，函数y=/(©的零点就是方程/(刈=0的解，也

就是函数y=f(x)的图像与久轴的交点的横坐标.

第四章幕函数、指数函数和对数函数(上)

1.主要内容：露函数的概念及其在(0,+8)内的单调性。指数函数及其性质，

2.基本要求：掌握幕函数的定义域及其性质，特别是在(0,+8)内的单调性会画

赛

函数的图像，掌握指数函数的图像及其性质。

3.重难点：重点是藉函数性质的探求，指数函数的图像和性质；难点是赛函数

性

质的运用指数函数的单调性。

注意：1.幕函数的定义：一般地，函数y=为常数，keQ)叫做露函数。

2.指数函数的定义：一般地，函数y=谟①>02a芋1)叫做指数函数。

其

中x是自变量，函数的定义域是R.纂函数与指数函数的形式一定要区分开。

指数函数的性质：1.指数函数y=a*的函数值恒大于零.性质

2.指数函数y=a，的图像经过点(0,1).

3.函数y=a*(a>1)在(—8,+8)内是增函数；

函数y=ax(0<a<1)在(-8,+co)内是减函数.

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第四章号函数、指数函数和对数函数(下)

1.主要内容：赛函数的概念及其在+°°)内的单调性。对数；反函数；指数函

数、

对数函数及其性质；简单的指数方程和对数方程。

2.基本要求：掌握幕函数的定义域及其性质，特别是在(°，+°°)内的单调性。会

画

幕函数的图像，熟练地将指数式与对数式互化。对数积、商、赛的运算性质,

掌握换底公式并会灵活运用，掌握函数与它的反函数在定义域、值域以及图

像

上的关系。指数函数与对数函数互为反函数的结论，会解简单的指数方程和

对

数方程。

3.重难点：赛函数性质的探求及其运用。对数的意义与运算性质，反函数的概

念，

指数函数与对数函数的图像和性质（单调性）。

说明：①赛函数V=x"（aeQ，a是常数）的定义域。由常数a确定，但总有

（0,+oo）0D.D不外乎是（0,+oo）,[0,+00）,（-00,0）u（0,+00）,（-00,+00）四种。当

0=（-8,0）（0,+8）或D=（-00,+00）时，暴函数y=x"是奇函数或偶函数，因此研

究露函数的性质，主要是研究赛函数在上的性质。当

a〉0时，丁=/在（。，+8）是增函数；当a<0时，丁=/在（°，+°°）上是减函数,

赛函数的图像都经过（1』）。

②指数函数丁=优（“〉°，且awD有些同学常会与暴函数,=》"9€0，1是常数）

混淆。

log,N=电阻”.（其中a>0,am>0,6工1,N>0）

③换底公式kg的

④函数y=/a）的定义域是它的反函数丁=广|（乃的值域；函数v=/（%）的值域

就是它的反函数V=/T（X）的定义域。互为反函数的两个函数的图像关于直线

y=》对"称。

⑤对数函数>=i°g“Ma〉a且"D与指数函数>=屋伍〉°，且"1）互为反函数。

⑥在解对数方程时必须对求得的解进行检验，因为在利用对数的性质将对数方

程

变形的过程中，如果未知数的允许值范围扩大，那么可能会产生增根。

第五章三角比

第1节任意角的三角比

1.主要内容：正角、负角、零角、象限角、终边在坐标轴上的角，与某个角有

重

合终边（包括这个角本身）的角的集合，弧度制，角度与弧度的互化，圆的

弧

长公式，扇形的面积公式。任意角的六个三角比（正弦、余弦、正切、余切、

正割、余割）的定义及它们在各象限的符号。终边相同的两个角的同名三角

比

的关系，单位圆。

2.重难点：任意角的三角比的定义，由角的范围求三角比的取值范围和由三角

比

的取值范围求角的范围。

第2节三角恒等式

1.主要内容：同角三角比的关系（倒数关系、商数关系和平方关系）、诱导公式、

两角和与差的正弦、余弦和正切，两倍角的正弦、余弦和正切，半角的正弦、

余弦和正切。【理】三角比的积化和差与和差化积。

2.重难点：三角恒等变形，如何灵活运用三角公式进行三角恒等变形，三角公

式

的变式训练。

第3节解斜三角形

1.主要内容：已知三角形的两边及夹角，求三角形的面积。正弦定理、余弦定

理、

扩充的正弦定理。解斜三角形。

2.重难点：正弦定理和余弦定理与其他数学知识的综合运用。

第六章三角函数

第1节三角函数的图像与性质

1.主要内容：正弦函数、余弦函数的定义域、值域、最大值和最小值、周期性、

奇偶性、单调性。正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。正

弦

函数、余弦函数和正切函数的图像。

2.重难点：掌握正弦函数的概念性质和图像并领悟有关方法。在此基础上类似

地

研究并掌握余弦函数和正切函数。研究三角函数式的性质，设法把已知函数

表

达式转化为形如丁=44113%+。）（4〉0,0〉0）的表达式。

第2节反三角函数与最简三角方程

1.主要内容：反正弦函数、反余弦函数、反正切函数。最简三角方程，简单的

角方程。

2.重难点：掌握反正弦函数的概念并领悟其研究方法，在此基础上，研究并掌

握

反余弦函数和反正切函数。含字母系数的简单三角方程的实数解的讨论。三

角

函数的图像分析方法。

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第七章数列与数学归纳法

1.主要内容：第1节数列：数列的概念，等差数列与等比数列的定义，等差中

项

与等比数列，等差数列与等比数列的通项公式。

第2节数学归纳法：数学归纳法的原理，数学归纳法的一般步骤，

数学归纳法的应用。

第3节数列的极限：数列极限的概念，数列极限的运算法则，常用

的数列极限公式，无穷等比数列各项的和。

2.基本要求：第1节数列：理解数列的概念，掌握等差数列与等比数列的定义,

会求等差中项与等比数列，理解数列通项公式的含义，掌握等差数列与等比

数

列的通项公式。

第2节数学归纳法：会用数学归纳法解决整除问题及证明某些与正整数有关

的

等式，领会“归纳一猜想一论证”的思想方法。

第3节数列的极限：掌握数列极限的运算法则，常用的数列极限公式，掌握

无

穷等比数列前n项和的极限公式。

3.重难点：第1节数列：等差数列与等比数列的通项公式，数列的概念及由计

算

数列的前若干项，通过归纳得出数列的通项公式。

第2节数学归纳法：用数学归纳法证明命题的步骤，数学归纳法的应用及通

过

归纳猜想命题的一般结论O

第3节数列的极限：无穷等比数列各项和公式的应用。

公式：(1)等差数列｛。/的通项公式:an=^+(n-l)d.

(2)等差数列｛乐｝的前n项和公式：Sn=迎等=口药+硬/d.

(3)等比数列｛a九｝的通项公式：an=Q/T.

(4)等比数列｛a午的前n项和公式：Sn=11al(q=1)

s=^p^s=a】一a九q

nl-qn1-q(q丰1)

(5)当|q|<1时，limQn=0,lim1=0(noo)

(6)无穷等比数列各项的和：$=言(均|<1).

第八章平面向量的坐标表示

1.主要内容：平面向量及其运算，平面向量的坐标表示及其运算，基向量、平

面

向量分解定理，平面向量的数量积及其坐标表示，平面向量的夹角，平面向

量

的平行和垂直。

2.基本要求：理解平面向量的有关概念：向量的方向，向量的模，单位向量，

位

置向量，负向量，向量的相等，向量的平行，向量的垂直，向量的夹角，向

量

的加减法，向量的数乘，向量的数量积，一个向量在另一个向量上的投影等。

掌握向量加减法的平行四边形法则和三角形法则，掌握向量的坐标表示方法,

线段的定比分点公式和中点公式。会判别两个向量的平行关系和垂直关系，

会

运用两个非零向量平行或垂直的充要条件解决一些简单的问题。理解基向量

和

平面向量分解定理。

3.重难点：重点是向量的数量积，向量的平行关系和垂直关系，向量的夹角。

难

点是向量的夹角的概念和向量的数量积。

(=%+菽2

注意：(1)有向线段的定比分点的坐标公式：[x—(久力-1)

[y=^r

(2)向量a与向量X的夹角0w9<兀的取值范围是0<e<n.

(3)向量4与向量另的数量积：a-b=|a||b|cos0

(4)向量1与向量3垂直的充票条件是：a-b-0

(5)向量N=(x,y)的模的计算公式：|团=J/+

第九章矩阵和行列式初步

1.主要内容：矩阵及矩阵有关运算，二阶行列式、三阶行列式，二元、三元线

性

方程组的矩阵表示，二元、三元线性方程组的解的讨论。

2.基本要求：理解矩阵的意义，会进行矩阵的数乘、加法、乘法运算。掌握行

列

式的意义，理解二元、三元线性方程组的矩阵表示形式，掌握二阶、三阶行

列

式的对角线展开法则，掌握三阶行列式按照某一行(列)的代数余子式展开

的

方法，会运用行列式解二元、三元线性方程组，并会对含字母系数的二元、

元线性方程组的解的情况进行讨论，会根据二元线性方程组的解的情况判断

直

角坐标系平面内两条直线的位置关系。

3.重难点：重点是运用行列式研究二元、三元线性方程组，难点是对含字母系

数

的二元、三元线性方程组的解的情况进行讨论。

注意：（1）经过往年高考试题分析代数余子式这个知识点常考，一般是出在填空

题；⑵二元一次方程组（）的解的判别：⑴DWO,方程组（）

有唯一解.（ii）D=0：①/、乌,中至少有一个不为零，方程组（）无解；

②。*=%=0,方程组（）有无穷多解。

第十章算法初步

1.算法的表述：主要有三种表述方法：（1）通常语言（2）程序框图（3）计算

机

程序

2.算法的思想方法：主要是将接替过程数值化、程序化、机械化的方法。

3.高考每年必考一道填空题，学生大部分能做对，难度不大。

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第十一章坐标平面上的直线

1.主要内容：直线的点方向式方程、直线的点法向式方程、点斜式方程、直线

方

程的一般式、直线的倾斜角和斜率等。点到直线的距离，两直线的夹角以及

两

平行线之间的距离。

2.基本要求：掌握求直线的方法，熟练转化确定直线方向的不同条件（例如：

直

线方向向量、法向量、斜率、倾斜角等）。熟练判断点与直线、直线与直线的

不同位置，能正确求点到直线的距离、两直线的交点坐标及两直线的夹角大

小。

3.重难点：初步建立代数方法解决几何问题的观念，正确将几何条件与代数表

示

进行转化，定量地研究点与直线、直线与直线的位置关系。根据两个独立条

件

求出直线方程。熟练运用待定系数法。

（1）图形与方程

图形方程

直线Iax+by+c=O（。，6不同时为零）①

⑵直线的几何特征与二元一次方程的代数特征

几何特征代数特征

点A在直线上点A的坐标（x,y）是方程①的解。

直线I的法方向法向量〃=（。力）

直线I平行的向量方向向量4=（b,—a）

倾斜角a

斜率k=b

⑶直线的已知条件与所选直线方程的形式

直线的已知条件所选择直线方程的形式

已知直线］经过点Z（%o，yo）且点方向式方程上殛=匕也

UV

与向量巨二（u,V）平行

已知直线L经过点4（%o，yo）且

与向量元二（a,b）垂直点法向式方程a(%—x0)+b(y—y0)=0

已知直线/经过点火礼月）和

点8（%2/2）一般式方程ax+by+c=0

已知直线［的斜率为k,且经

点斜式方程

过点z（%o，yo）y-yo=k(x-%0)

⑷两直线的位置关系：*y=kj%+bj（i=l,2）.

位置关系系数关系

Z1与72相交k]WZe?

4与72平行k]=k?-S-b]HZ)2

42

勺重合kr=k2且瓦=b2

%与垂直k、'k，2=—1

⑸点到直线的距离公式d=I警等字

\aa+bb\

(6)两直线的夹角公式COSQ=12r2

2+2

A/ai2+&12A/d2^2

⑺直线的倾斜角a的范围是0WaQr,当直线1的斜率不存在时，直线的倾斜》

第十二章圆锥曲线

1.主要内容：直角坐标系中，曲线C是方程F(x,y)=0的曲线及方程F(x,y)

=0是曲线C的方程，圆的标准方程及圆的一般方程。椭圆、双曲线、抛物

线

的标准方程及它们的性质。

2.基本要求：理解曲线的方程与方程的曲线的意义，利用代数方法判断定点是

否在曲线上及求曲线的交点。掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义和求这

些曲线方程的基本方法。求曲线的交点之间的距离及交点的中点坐标。利用

直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们的位置关系并利用解析

法解决相应的几何问题。

3.重难点：建立数形结合的概念，理解曲线与方程的对应关系，掌握代数研究

几何的方法，掌握把已知条件转化为等价的代数表示，通过代数方法解决几

何问题。

4.椭圆、双曲线和抛物线及其标准方程表格

图椭圆双曲线抛物线

形

平面内到两个定点平面内与两个定点国,尸2

见尸2的距离和等于常的距离之差的绝对值等平面上与一定点F和

几一条直线1（F不在2

数2a（2a>\FrF2\）于常数2a（2a<旧闻）

何上）的距离相等

条

件

X2V2%2v222

今+}=l(a>6>0)5—£=l(a>0,b>0)y=2pxx=2py

azbza2-bzv'

(p>0)

标其中=02一力2其中=q2+力2(P>。)

准

方

程

%轴，长轴为2a

对y轴，短轴为2b%轴，y轴，原点都对称》轴y轴

称

轴

(―Q,0)(Q,0)(—00)(见0)

顶(0,-&)(01)原点

点

坐

标

(―Va2—b2,0)(―+炉,0)

p

焦(――尼,0)(,。2+炉,0)刍。）(吟

点

坐

标

b

渐y=±—x

a

近

线

方

程

准X=——PP

2y=-2

线

方

程

第十三章复数

1.主要内容：⑴复数的有关概念：复数，虚数，纯虚数，复数的实部和虚部,

复

数的相等，复数的共机。（2）复平面的有关概念：复平面，实轴与虚轴，复数

的

坐标表示，复数的向量表示，复数的模，复平面上两点的距离。⑶复数的运

算：

加、减、乘、除、乘方，平方根，立方根（仅限于1的平方根的应用），复数

的积、商与乘法的模，实系数一元二次方程。

2.基本要求：掌握复数的有关概念，理解复平面的有关概念，会进行复数的四

则

运算法则，会求复数的平方根，会利用1的平方根求复数的立方根。会求复

数

的模，会计算两个复数的积、商、与乘方的模，掌握结论z-2=|z『的结论，

会求复数的模的最大值与最小值。会在复数集内解实系数一元二次方程。

3.重难点：复数的模，模是实数，复数的模的综合问题。

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第十四章空间直线与平面

1.主要内容：平面的概念及其表示方法，平面的基本性质，用“斜二测”方法

画

简单的直观图，简单几何体的截面，空间直线与直线的位置关系，平行公理,

等角定理，异面直线的概念，异面直线所成的角，空间直线与平面的位置关

系，

空间平面与平面的位置关系。

2.基本要求：掌握画空间图形的基本技能，培养空间想象能力，理解异面直线

所

成角的概念，会画简单图形中的异面直线所成角的大小。

3.重难点：平面的基本性质和平行线的传递性，空间直线和直线、直线和平面、

平面和平面的位置关系及其各种表示法，用反证法证明两条直线是异面直线,

运用平面的基本性质进行说理证明问题。

知识结构图

平面的基本性质3个公理及3个推论

空

间

直

相交

线

与

两条直线的位置

直线和平的的位置

关系

_平行

一平面和平面的位置关系

才目交

第十五章简单几何体

(图形的性质

简单几何体既H体积和表面积的计算

〔旋转体J击力网的一、4

I直观图的回法

1.“斜二侧”画图法：图中的X轴、y轴、z轴分别表示现实中的前后方向、

左右方向、铅垂方向。现实中1cm长的线段，在x轴、y轴、z轴方向上的

直观图中的长度分别是0.5cm、1cm、1cm.

2.祖恒定理：用一组平行线去截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积相

等则这两空间图形的体积必然相等。

3.多面体和旋转体共同性质和度量公式:

多面体旋转体主要特征体积

柱体棱柱圆柱侧棱或母线平行，两底面平行S-h

锥体棱锥圆锥侧棱或母线共点，只有一个底面1

3Sh

球球球球面上的点到球心的距离相等43

3

4.设几何体的底面周长为c(有两个不同底面时，周长分别记为q,c2),母线

或斜高长为七

(1)圆柱和直棱柱的表面积分别为S圆柱=1+ch，，S^=ch，+地面面积2

(2)圆锥和正棱锥的表面积分别为S阊裾=受四，S/=」ch，+底面面积

(3)半径为r的球的表面积为5球=4仃2.

5.球面距离：通过球面上两点的大圆劣弧的弧长。

第十六章排列组合和二项式定理

1.乘法原理：如果完成一件事需要几个步骤，第1步有如种不同的方法，第2

步有机种不同的方法，.，第？1步有n1n种不同的方法，那么完成这件事共

有％=m1m2•••zn”种不同的方法。

2.加法原理：如果完成一件事有几类办法，在第1类办法中有g种不同的方法,

在第2类办法中有772种不同的方法，.，在第n类办法中有THn种不同的方

法，那么完成这件事共有N=Hl]+巾2+—Fnin种不同的方法。

3.排列：一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按一定的次序排成

一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

4.排列数公式：P$=n(n—l)(n-2)•••(n—m+1).

特别地:Pn=n(n—l)(n—2)...3-2-1=n!.此外排列数公式还可写成

pm—祀

n~(n-m)!*

5.组合：一■般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素组成一■组，叫做从n

个不同元素中取出m个元素的一个组合。

6.组合数公式：优=^=n(n-l)(n-2)…(n-m+1).(其中机式九)此外组合