2025年浙江省三校第二次联考高三5月毕业考试数学试题理试题含解析

2025年浙江省三校第二次联考高三5月毕业考试数学试题理试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象()A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度2．执行如图所示的程序框图，当输出的时，则输入的的值为()A．-2 B．-1 C． D．3．函数fxA． B．C． D．4．已知f（x）=ax2+bx是定义在[a–1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是A． B．C． D．5．一个正四棱锥形骨架的底边边长为，高为，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（）A． B． C． D．6．若的二项展开式中的系数是40，则正整数的值为（）A．4 B．5 C．6 D．77．设，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，，则.其中正确的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④8．已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（a＞0，b＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（）A． B．C． D．9．已知为坐标原点，角的终边经过点且，则()A． B． C． D．10．已知复数，则（）A． B． C． D．211．已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（）A． B． C． D．12．函数f(x)=lnA． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为______．14．的展开式中，若的奇数次幂的项的系数之和为32，则________．15．已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．16．若关于的不等式在上恒成立，则的最大值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，己知圆和双曲线，记与轴正半轴、轴负半轴的公共点分别为、，又记与在第一、第四象限的公共点分别为、.（1）若，且恰为的左焦点，求的两条渐近线的方程；（2）若，且，求实数的值；（3）若恰为的左焦点，求证：在轴上不存在这样的点，使得.18．（12分）为了解网络外卖的发展情况，某调查机构从全国各城市中抽取了100个相同等级地城市，分别调查了甲乙两家网络外卖平台（以下简称外卖甲、外卖乙）在今年3月的订单情况，得到外卖甲该月订单的频率分布直方图，外卖乙该月订单的频数分布表，如下图表所示.订单：（单位：万件）频数1223订单：（单位：万件）频数402020102（1）现规定，月订单不低于13万件的城市为“业绩突出城市”，填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.业绩突出城市业绩不突出城市总计外卖甲外卖乙总计（2）由频率分布直方图可以认为，外卖甲今年3月在全国各城市的订单数（单位：万件）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表），的值已求出，约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题：①从全国各城市中随机抽取6个城市，记为外卖甲在今年3月订单数位于区间的城市个数，求的数学期望；②外卖甲决定在今年3月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国各月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市不开展营销活动，若每按一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖平均需送出红包2元，则外卖甲在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？附：①参考公式：，其中.参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0012.7022.7063.8415.0246.63510.828②若，则，.19．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，面.（1）在线段上是否存在点，使面，说明理由；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）车工刘师傅利用数控车床为某公司加工一种高科技易损零件，对之前加工的100个零件的加工时间进行统计，结果如下：加工1个零件用时（分钟）20253035频数（个）15304015以加工这100个零件用时的频率代替概率.（1）求的分布列与数学期望；（2）刘师傅准备给几个徒弟做一个加工该零件的讲座，用时40分钟，另外他打算在讲座前、讲座后各加工1个该零件作示范.求刘师傅讲座及加工2个零件作示范的总时间不超过100分钟的概率.21．（12分）等差数列的前项和为，已知，.（Ⅰ）求数列的通项公式及前项和为；（Ⅱ）设为数列的前项的和，求证：.22．（10分）已知都是大于零的实数．（1）证明；（2）若，证明．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

根据函数图像平移原则，即可容易求得结果.【详解】因为，故要得到，只需将向左平移个单位长度.故选：A.本题考查函数图像平移前后解析式的变化，属基础题.2．B【解析】若输入，则执行循环得结束循环，输出，与题意输出的矛盾；若输入，则执行循环得结束循环，输出，符合题意；若输入，则执行循环得结束循环，输出，与题意输出的矛盾；若输入，则执行循环得结束循环，输出，与题意输出的矛盾；综上选B.3．A【解析】

由f12=e-14>0排除选项D;【详解】由f12=e-14>0，可排除选项D，f-1=-e本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及x→04．B【解析】

依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x），且定义域关于原点对称，a﹣1=﹣2a，即可得解.【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称，且f（x）是定义在[a–1，2a]上的偶函数，得a–1=–2a，解得a=，又f（–x）=f（x），∴b=0，∴a+b=．故选B．本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数．5．B【解析】

根据正四棱锥底边边长为，高为，得到底面的中心到各棱的距离都是1，从而底面的中心即为球心.【详解】如图所示：因为正四棱锥底边边长为，高为，所以，到的距离为，同理到的距离为1，所以为球的球心，所以球的半径为：1，所以球的表面积为.故选：B本题主要考查组合体的表面积，还考查了空间想象的能力，属于中档题.6．B【解析】

先化简的二项展开式中第项，然后直接求解即可【详解】的二项展开式中第项.令，则，∴，∴（舍）或.本题考查二项展开式问题，属于基础题7．C【解析】

根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可.【详解】解：①：、也可能相交或异面，故①错②：因为，，所以或，因为，所以，故②对③：或，故③错④：如图因为，，在内过点作直线的垂线，则直线，又因为，设经过和相交的平面与交于直线，则又，所以因为，，所以，所以，故④对.故选：C考查线面平行或垂直的判断，基础题.8．A【解析】

由题意可得，即，代入双曲线的渐近线方程可得答案.【详解】依题意椭圆与双曲线即的焦点相同，可得：，即，∴，可得,双曲线的渐近线方程为：,故选：A．本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．9．C【解析】

根据三角函数的定义，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出结果.【详解】根据题意，，解得，所以，所以，所以.故选：C.本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力.10．C【解析】

根据复数模的性质即可求解.【详解】,,故选：C本题主要考查了复数模的性质，属于容易题.11．B【解析】

由三视图可知，该三棱锥如图,其中底面是等腰直角三角形，平面,结合三视图求出每个面的面积即可.【详解】由三视图可知，该三棱锥如图所示：其中底面是等腰直角三角形，平面,由三视图知，因为,,所以,所以,因为为等边三角形，所以,所以该三棱锥的四个面中，最大面积为.故选：B本题考查三视图还原几何体并求其面积;考查空间想象能力和运算求解能力;三视图正确还原几何体是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.12．C【解析】因为fx=lnx2-4x+4x-23=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

设圆柱的轴截面的边长为x，可求得，代入圆柱的表面积公式，即得解【详解】设圆柱的轴截面的边长为x，则由，得，∴．故答案为：本题考查了圆柱的轴截面和表面积，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.14．【解析】试题分析：由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．考点：二项式定理．15．【解析】由已知，即，取双曲线顶点及渐近线，则顶点到该渐近线的距离为，由题可知，所以，则所求双曲线方程为.16．【解析】

分类讨论，时不合题意；时求导，求出函数的单调区间，得到在上的最小值，利用不等式恒成立转化为函数最小值，化简得，构造放缩函数对自变量再研究，可解,【详解】令；当时，，不合题意；当时，，令，得或，所以在区间和上单调递减.因为，且在区间上单调递增，所以在处取极小值，即最小值为.若，，则，即.当时，，当时，则.设，则.当时，；当时，，所以在上单调递增；在上单调递减，所以，即，所以的最大值为.故答案为：本题考查不等式恒成立问题.不等式恒成立问题的求解思路：已知不等式(为实参数)对任意的恒成立，求参数的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法;如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(,或，)求解．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）；（2）；（2）见解析．【解析】

（1）由圆的方程求出点坐标，得双曲线的，再计算出后可得渐近线方程；（2）设，由圆方程与双曲线方程联立，消去后整理，可得，，由先求出，回代后求得坐标，计算；（3）由已知得，设，由圆方程与双曲线方程联立，消去后整理，可解得，，求出，从而可得，由，可知满足要求的点不存在．【详解】（1）由题意圆方程为，令得，∴，即，∴，，∴渐近线方程为．（2）由（1）圆方程为，，设，由得，(*)，，，，所以，即，解得，方程(*)为，即，，代入双曲线方程得，∵在第一、四象限，∴，，∴．（3）由题意，，，，，设由得：，，由得，解得，，，所以，，，当且仅当三点共线时，等号成立，∴轴上不存在点，使得．本题考查求渐近线方程，考查圆与双曲线相交问题．考查向量的加法运算，本题对学生的运算求解能力要求较高，解题时都是直接求出交点坐标．难度较大，属于困难题．18．（1）见解析，有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.（2）①4.911②100万元.【解析】

（1）根据频率分布直方图与频率分布表，易得两个外卖平台中月订单不低于13万件的城市数量，即可完善列联表.通过计算的观测值，即可结合临界值作出判断.（2）①先根据所给数据求得样本平均值，根据所给今年3月订单数区间，并由及求得，.结合正态分布曲线性质可求得，再由二项分布的数学期望求法求解.②订单数低于7万件的城市有和两组，根据分层抽样的性质可确定各组抽取样本数.分别计算出开展营销活动与不开展营销活动的利润，比较即可得解.【详解】（1）对于外卖甲：月订单不低于13万件的城市数量为，对于外卖乙：月订单不低于13万件的城市数量为.由以上数据完善列联表如下图，业绩突出城市业绩不突出城市总计外卖甲4060100外卖乙5248100总计92108200且的观测值为，∴有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.（2）①样本平均数，故==，，的数学期望，②由分层抽样知，则100个城市中每月订单数在区间内的有（个），每月订单数在区间内的有（个），若不开展营销活动，则一个月的利润为（万元），若开展营销活动，则一个月的利润为（万元），这100个城市中开展营销活动比不开展每月多盈利100万元.本题考查了频率分布直方图与频率分布表的应用，完善列联表并计算的观测值作出判断，分层抽样的简单应用，综合性强，属于中档题.19．（1）存在；详见解析（2）【解析】

（1）利用面面平行的性质定理可得，为上靠近点的三等分点，中点，证明平面平面即得；（2）过作交于，可得两两垂直，以分别为轴建立空间直角坐标系，求出长，写出各点坐标，用向量法求二面角．【详解】解：（1）当为上靠近点的三等分点时，满足面.证明如下，取中点，连结.即易得所以面面，即面．（2）过作交于面，两两垂直，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图，设面法向量，则，即取同理可得面的法向量综上可