2024年安徽省合肥市某中学中考三模数学试题（解析版）

2024年九年级质量调研检测（三）

数学试卷

本试卷共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟.

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

每小题都给出代号为N、5、C、O的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代

号写在题后的括号内，每一小题，选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论

是否写在括号内）一律得0分.

1.一2024的相反数是（）

11

A.-2024B.2024C.----------D.-------

20242024

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查相反数，根据相反数的定义即可求得答案.

解：-2024的相反数是2024,

故选：B.

2.下列计算正确的是（）

A.a,3-a~—a6B.（—2a）=—Set6

C.（（7+Z））2=a~+b~D.2tz+4a=6a2

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了合并同类项，完全平方公式，塞的运算，熟练掌握累的运算法则及完全平方公式是解

题的关键.根据合并同类项法则，完全平方公式，塞的运算法则，即可判断答案.

A、所以A选项错误，不符合题意；

B、计算正确，符合题意；

C、（a+by=a2+2ab+b2,所以C选项错误，不符合题意;

D、2a+4a=6a,所以D选项错误，不符合题意.

故选B.

3.如图几何体的俯视图是（）

【答案】c

【解析】

【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键.根据图形即可得到俯视图.

解：依题意，俯视图是1・代

故选：C.

4.2023年，我国国内生产总值超过126万亿元.其中数据“126万亿”用科学记法表示为（）

A.1.26X1O10B.1.26X1014c.126x1012D.1.26xl015

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为ax10"的形式，其中

1〈忖<10,"为整数，由此进行求解即可得到答案.

解：：126万亿=126000000000000=1.26x1014，

故选：B.

’1-2x<3

5.不等式组x+l<2的最小整数解为（）

A.0B.-1C.1D.3

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找

不到”的原则是解答此题的关键.

先分别解每个不等式，然后取两个不等式解集的公共部分确定不等式组的解集，再从解集中找出最小整数

解即可.

’1-2x<3①

工42②

解不等式①得，x>-l

解不等式②得，x<3

，不等式组的解集为：-l<x<3.

最小整数解为0.

故选：A.

町一2y

6.化简的结果是()

x2-4x+4

y

x+2x-2x+2

【答案】D

【解析】

【分析】首先将分子、分母进行因式分解，然后根据分式的基本性质约分.

xy_2y_y(x_2)_y

x2-4x+4(x-2)2x-2,

故选D.

7.如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，那么该班40名同学一周参加体育锻

炼时间的众数、中位数分别是()

A.16,10.5B.8,9C.16,8.5D.8,8.5

【答案】B

【解析】

【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数.

解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；

而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于20,21两个数的平均数，由中位数的定义可知，这组数据的中

位数是9；

故选：B.

【点睛】考查了中位数、众数的概念.本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从

小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数,

如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中

位数.

8.若关于X的方程依2—4x-4=0有实数根，则实数左的取值范围是（）

A.k=0B.k>-\

C.k>~\D.左2—1且左NO

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程办2+bx+c=0（a/0,a,b,c为常数）的根的判别式△=-4ac，

理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键.当A>0时，方程有两个不相等的实数根当A=0时，

方程有两个相等的实数根；当A<0时，方程没有实数根.

根据一元二次方程根的判别式即可求出答案.

解：由题意可知：当左70时，A=（-4）2-4^X（-4）>0,

.1.晚2—1,

当左=0时，原方程是一元一次方程，有实数根，

故选：C.

9.如图，点。是丫4BC。的对角线的交点，N4BC=120°,//。。的平分线。£交25于点E,

AB=2AD,连接。£.下列结论：①S°ABCD=4D-BD；②DB平分NCDE；@AO=DE；④

G：6；⑤S&ADE=5s刖其中正确的个数有。

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性

质与判定，三角形中位线定理等等，求得乙4。8=90。，即NDSAD,即可得到S“BCD=；根

据/。。£=60。,/8。£=30°,可得NCDB=NBDE,进而得出。5平分NCDE；依据RMZOD中，

AO>AD,即可得到/0>。£；由三角形中位线定理可得。£=工2。，OE//AD,解直角三角形得到

2

BD=AD•tan/BAD=CAD，则BD=2®）E，可得OE:5。=G:6;证明尸，

得到》1=（桨］=4,桨=桨=2则52〃=45/£尸，S△立F=2SMEF即可得到

S^OEF\OE）OFOE

S4ADE=S丛ADF+S△/£77=6S&

OEF•

解：在YZBCQ中，

/BAD=ZBCD=60°,ZADC=120°,DE平■分/ADC,

NADE=NDAE=ZAED=60°,

.•V4DE是等边三角形，

AD=AE=-AB,

2

;.E是AB的中点，

/.DE=BE,

ZBDE=-ZAED=30°,

2

ZADB=90°,即/8。，

SaABCD=AD-BD,故①正确；

•••NCDE=60°,ZBDE=30°,

ZCDB=ZCDE-ZBDE=60°-30°=30°,

ZCDB=BDE,

故DB平分NCDE,故②正确；

依据RtANOD中，AO>AD,即可得到幺。>。£,故③错误；

••,0是中点，E为48中点，

是△28。的中位线，

AOE=-AD,OE//AD,

2

在RtAABD中，BD=AD-tanZBAD=y/3AD，

•••BD=2MOE，

：.0E:BD=®6故④正确;

OE//AD,

：.AADFSAOEF,

cAD

°"DFi-2

C条条

3OEFOE

,•S△通F=4S40£F,SAAEF-2s△OEF

S丛ADE二^AADF+S4AEF=6S&OEF,故⑤错误;

...正确的有3个，

故选B.

10.如图1,在平行四边形4BC。中，点尸沿NfC方向从点/移动到点C,设点P移动路程为x,

线段/尸的长为外图2是点P运动时y随x运动时y随x变化的关系图象，则的长为（）

A.4.4

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，根

据点尸运动规律，结合函数图象解题是解题关键.根据平行四边形的性质，再结合尸运动时了随x的变化

的关系图象，通过勾股定理即可求解.

解：如图1,过/点作于E,连接ZC,

D

根据图2知：当点尸与点5重合时，AP=AB=3,

当F与E重合时，AB+BP=4.8,

BP=BE=1.8,

AE=ylAB2-BE2=A/32-1.82=—,

5

当点P到达点C时，AP=AC=4,

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11.分解因式：3X2-18X+27=

【答案】….

【解析】

试题分析：鼬露嘲瞰酒画，：：「.故答案为「.

考点：提公因式法与公式法的综合运用.

12.如图，OC经过正六边形ABCDEF的顶点A、E,则弧AE所对的圆周角/APE等于.

【答案】300

【解析】

【分析】根据正六边形的性质求出=，尸=/。所=/5=/£>=120°，AB=BC,CD=DE,

求出/A4c=30°，/CED=30°，求出=/CEF=90°，求出/ZCE,根据圆周角定理即可求

出答案.

解：连接/C、EC,

•••六边形ABCDEF是正六边形,

/62)x]80°

ZBAF=ZF=ZDEF=ZB=ZD=-——=120°，AB=BC,CD=DE,

6

ZBAC=NBCA=1(180°-^5)=30°,

同理/CED=30°，

NG4/=NBAF—NBZC=120°—30°=90°，

同理NCE尸=90°，

在四边形/CE尸中，ZACE=360°-90°-90°-120°=60°-

NAPE=-ZACE=30°,

2

故答案为30°.

【点睛】本题考查了正多边形与圆、等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形的内角和定理等知识.利用辅

助线并求出/ACE的度数是解题的关键.

13.如图，把一块直角三角板（NZ8O=30。）的直角顶点。放在坐标原点处，顶点A在函数％=-4的

图象上，顶点B在函数％的图象上，则左=.

【答案】3

【解析】

【分析】本题考查了反比例函数和锐角三角函数，熟练掌握相关知识是解题的关键.根据NA8O=30。，

△208为直角三角形，设。4=。，则08=Ga，设N/0C=9,证得NOB。=NZ0C=6,根据三角

\k

函数可得点/（一时0的，45］适），点8（6^道，6°（：0的），将两点坐标代入％=-一和％=—即可求

6XX

得k.

解：过点A、5分别作ZCLx轴于点C,5。，》轴于点。，如图所示，

。底篇

设乙4。。二，，

ZAOB=90°f

，/40C+NB0D=90。,又/BOD+/OBD=90。,

・•.ZOBD=ZAOC=0,

在RtA^CO中，AC=OA-sinZAOC=asin^,OC=OA-cosZAOC=Qco的,

点A(-acosff,asin^),

在Rt/\BDO中，OD=OB-sinZOBD=也asin。，BD=OB-cosZOBD=百aco的，

「•点5(V3«si修,co的)，

•.,点/（一QCO的，asin^）在必二一一上,

x

1

•••asind=-------，得/singcog=1,

-acos0acos6

k

丁点5(j3asin^,J3〃co的)在%=一上，

x

也acos0=一厂卜----,

J3asin。

k=Gacos0-43asin0=3a1sin0cos6=3■

故答案为：3.

14.如图，在Rt^NBC中，NC=90。，/B=30°，ZC=2,点。是BC的中点，点E是边4g上一动

点，沿。E所在直线把ABDE翻折到AB'QE的位置，B，D交4B于点、F,连接

（1）48'的最小值是；

（2）若A4S'厂为直角三角形，则8E的长为.

【答案】V7-V3②.1或1

【解析】

【分析】（1）找到点B的运动轨迹，用三角形三边关系确定48'的最小值即可;

（2）分两种情形画出图形，构造直角三角形用勾股定理解决问题.

解：（1）由题意可得，CD=BD=B'D,

.•.8’在以。为圆心CD为半径的圆上，如图一所示：

nft

在点8'运动过程中，在中，由三边关系得,

AB'>AD-B'D,

在变化过程中，AD和B'D保持不变，

故48'的最小值为40，即如图二所示：

«*

在RtZkNBC中，ZB=30°,AC=2,

:.BC=2^3,AB=4,

：.CD=BD=B'D=-BC=6，

2

在RtZkZC£)中，AC=2,C£)=G，

AD=^AC2+CD2=J22+(V3)2=V7;

故48'的最小值为40—8'。=J7—G.

(2)Azy尸为直角三角形，分两种情况：

①NAFB'=90。，

在RtZ\8£）尸中，BD=43>ZS=30°,

BF=-,

2

3

设BE=x,EF=——x,

2

3

在下中，AEB'F=30°,EF=--x,B'E=x,

解得，x二l

即=

②乙4B'D=90。,过£点作即，48交4B'的延长线与〃点，如图四所示:

A

y———叱.

一♦H

/；,F

由折叠的性质可知，NDBE=NDB'E=30。,

•.•NAB'D=90°,

ZAB'E=900+30°=120°：

ZEB'H=60°，

设BE=B'E=x,

，在Rt△皮阳中，B'H=~:C，HE=—x

22

在RtA^CD和RtZ\4B'D中

AD=AD

CD=B'D

^ACD^^AB'D(HL)

AB'=AC=2,

在RtZkAHE中，AH=2+-x,HE=—x，AE=4-X,

22

,(1YfV3Yz.、2

I2)[2,

m-.x=|.

综上，BE的长是1或

【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是看

出运动点的轨迹，学会分类讨论的思想解决问题.

三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

15.计算：V9-(2024-7iy+41cos450.

【答案】3

【解析】

【分析】本题主要考查二次根式，零次基以及特殊的三角函数值，熟练掌握计算法则是解题的关键.根据

计算法则计算即可.

解：原式=3—1+后x立

2

=3-1+1

=3.

16.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载：“今有甲、乙二人，持钱各不知数.甲得乙中半,

可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八.问甲、乙二人原持钱各几何？”译文：“甲，乙两人各有若干钱，

2

如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文，如果乙得到甲所有钱的那么乙也共有钱48文，问

甲、乙二人原来各有多少钱？”

【答案】甲原来有36文钱，乙原来有24文钱

【解析】

2

【分析】设甲原有x文钱，则乙原有2(48-x)文钱，根据题意可得甲所有钱的'+乙的钱=48文钱，据此列方

程可得.

解：设甲原有x文钱，则乙原有2(48-x)文钱，

2

根据题意，得：—x+2(48-x)=48,

解得x=36,

则2(48-x)=24,

答：甲原来有36文钱，乙原来有24文钱.

故答案为甲原有36文钱，乙原有24文钱.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关

系，列方程求解.

四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

17.某校数学兴趣小组一次综合实践活动中，利用无人机测量一个池塘的宽度.如图，无人机在距离地面的

铅直高度为24G米的A处测得池塘左岸3处的俯角为63.4°,无人机沿水平线方向继续飞行12米至

。处，测得池塘右岸。的俯角为30°.求池塘的宽度AD(结果精确到1米，参考数据：6=1.7,

sin63.4°»0.89，cos63.4°*0.45，tan63.4°。2.00).

【答案】池塘的宽度RD约为64米

【解析】

【分析】本题考查了关于俯仰角的解直角三角形的问题.作垂线构造直角三角形是解题关键.

过点8作郎，力。于点E,过点。作。尸INC于点b，分别解RtzXFC。、即可.

解：过点8作庞T_LZC于点£,过点。作。尸/4C于点尸.

则四边形£8式。是矩形.

BE=DF=24^/3,EF=BD

在RtZ\/5E中，/8NC=63.4°

…BE-

tan63.4—-2

AE

24G、

------------二2

AE

AE=12道

在Rt△尸C。中，ZFCD=30°

DF

tanZDCF=——

CF

24MV3

tan30°

CFT

:.DE=24百X班=72

BD=EF=AC+CF-AE=12-1243+12

=84-120a84-12x1.7=84-20.4a64米

答：池塘的宽度BD约为64米.

18.如图，在平面直角坐标系中，AABC的三个顶点坐标分别为A8（—1,4）,C（-4,1）.

（1）将A48C向上平移4个单位、再向左平移2个单位得到△4四。1；

（2）画出A48C绕点3按逆时针方向旋转90°,在网格中画出旋转后的则点C旋转过程中的

路径长为.

【答案】（1）见解析（2）见解析，豆身

2

【解析】

【分析】本题考查了平移与旋转的性质，勾股定理，弧长公式.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活

运用.

（1）按平移要求进行作图即可；

（2）根据旋转的性质作图即可，然后根据弧长公式计算解题.

[小问1]

如图，AaBCz即为所作;

CB=A/32+32=372，

点C旋转过程中的路径长为90»义3一=3A/2£

1802

故答案为：豆身.

2

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19.（1）小明和小军用小石子在沙滩上摆成各种形状，小明摆成如图1所示的一列三角形，则第4个三角

形要用个小石子.小军摆成如图2所示的一列正方形，则第4个正方形要用个小石子；则第〃个正方形要

用个小石子.

（2）第"个三角形要用多少个小石子呢？小明很快想到了解决办法，他把每一个三角形倒过来摆放在三角

形右边就形成了平行四边形（如图3）,请你帮小明算一算第〃个三角形要用个小石子（用含有"的单项式

表示）.

（3）受（2）启发，小明发现相邻两个三角形的小石子数之和等于某一个正方形小石子数.你认为小明的

这个发现正确吗？若正确，请直接写出小石子数之和等于第〃个正方形小石子数的等式；若不正确请说明

理由.

n=1〃=2〃=3

图3

,1

【答案】(1)15,25；(〃+1)；(2)5(〃+1)(〃+2)；(3)小明的这个发现正确，第"个等式:

11,

—n(〃+1)+,(〃+1)(〃+2)=+

2

【解析】

【分析】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细观察图形，根据图形总结出一般变化规律.

(1)根据图形变化规律即可解答；

(2)总结出平行四边形的变化规律，再除以2,即可得出三角形的变化规律;

(3)先求出第"个三角形和第(〃-1)个三角形的小石子数之和，即可解答.

解：(1)根据题意可得：

第4个三角形要用1+2+3+4+5=15个小石子，

第4个正方形要用52=25个小石子,

第n个正方形要用(〃+1)2个小石子，

故答案为：15,25；(M+1)2；

(2)由图可知，

第一个平行四边形：2x3=6个小石子，

第二个平行四边形：3x4=12个小石子,

第三个平行四边形：4义5=20个小石子,

第〃个平行四边形：(〃+1)(〃+2)个小石子,

・••第”个三角形要用;(〃+1)(〃+2)个小石子，

故答案为：++

(3)由(2)可知：

第〃个三角形要用。(〃+1)(〃+2)个小石子，

则第(〃-1)个三角形要用(〃+1)个小石子，

第n个三角形和第(/7-1)个三角形的小石子数之和为g〃(〃+1)+g(〃+1)(〃+2)=〃2+2〃+1,

:第n个正方形要用+=n2+2〃+1个小石子，

11,

+1)+万(〃+1)(〃+2)=+1)-.

20.如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的。O经过点D,E是。。上一点，且

ZAED=45°.

(1)试判断CD与。O的位置关系，并证明你的结论;

(2)若。O的半径为3,sinZADE=-,求AE的值.

6

(2)AE=5.

【解析】

【分析】(1)连接OD,则/八0口=为直角，由四边形ABCD是平行四边形，则AB〃CD,从而得出

ZCDO=90°,即可证出答案；

(2)连接BE,则/ADE=NABE,根据题意得sin/ABE=*.由AB是圆O的直径求出AB的长.再在Rt^ABE

6

中，求得AE即可.

解：(1)CD与圆O相切.证明：连接OD,贝！］/人0口=2/人£口=2X45。=90。

•/四边形ABCD是平行四边形，；.AB//DC

，ZCDO=ZAOD=90°

AODICD

；.CD与圆O相切

(2)连接BE,贝!|NADE=NABE

5

/.sinZADE=sinZABE=-

6

VAB是圆O的直径，，ZAEB=90°,AB=2、3=6

+“»AE5

在RtZXABE中，sinZABE=—=-

AB6

，AE=5.

【点睛】此题考查了切线的判定、圆周角定理、垂线定理、平行四边形的性质以及三角函数等知识.此题综

合性较强，难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与转化思想的应用.

六、（本题满分12分）

21.深化素质教育，促进学生全面发展，合肥市50中开展了丰富多彩的社团活动.为了了解七年级新生对

选择社团的意向，对该校600名七年级新生进行了抽样调查.

调查问卷

1.你最喜欢的社团（单选）

A.机器人社团B.足球、篮球社团C.模拟联合国D.民乐社团

秦奋同学根据有效问卷绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题:

也条影统il图

（1）求扇形统计图中加的值，并补全条形统计图；

（2）在扇形统计图中，“反足球、篮球社团”部分所占圆心角的度数为；

（3）在社团招新生时，七（2）班的甲同学从他喜欢的4机器人社团、B.足球、篮球社团、C.模拟联

合国中随机选择了一个社团，乙同学也从他喜欢的4机器人社团、C.模拟联合国、D.民乐社团中随机

选择了一个社团，求他们进入了同一社团的概率.

【答案】（1）加=20,见解析

（2）144°（3）1

【解析】

【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，求解扇形的圆心角，利用画树状图求解随机事件的

概率，掌握以上基础知识是解本题的关键；

（I）由c类人数除以其占比可得总人数，再求解/类人数，补全图形即可；

（2）由8类的占比乘以360。即可得到圆心角；

（3）先画树状图得到所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可.

【小问1】

解：总人数=15+25%=60（人）.

/类人数=60-24-15-9=12（人）.

：12-60=0.2=20%,

m=20；

条形统计图如图：

f人数（人

【小问2】

24

•••—X360°=144°,

60

:.“B.足球、篮球社团”部分所占圆心角的度数为144。；

【小问3】

画树状图如下：

一/NA不A

乙ACDACDACD

共有9种等可能结果，其中甲乙进入同一社团的有2种结果.

所以尸（甲乙进入同一社团）=-.

9

七、（本题满分12分）

22.如图，已知抛物线;；=以2—2ax+3与x轴交于点8（T0）和点与y轴交于点C,作直线/C.

（2）若尸为直线NC上方抛物线上的动点，作刊7〃x轴交直线NC于点”，求？H的最大值；

（3）将抛物线在无轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图

象记为G.把直线NC向下平移〃个单位与图像G有且只有三个交点，请直接写出此时〃的值.

【答案】⑴a=-\

9

（2）?H取得最大值为:

4

25

（3）n的值为4或一

4

【解析】

【分析】（1）把8（-1,0）代入丁=a》2—2G+3求出。的值即可；

（2）设尸（机，—机2+2机+3）,得出点8的纵坐标为—%2+2机+3,求出直线NC的解析式为y=—x+3,

3

得出H(ni2+2加+3),求出PH=m—^m2—2掰)=—m2+32m=-Im---|根据二次函

I2

数的最值求出结果即可；

（3）分两种情况进行讨论，分别画出图象，求出〃的值即可.

[小问1]

解：：抛物线y=a/—2ax+3与x轴交于点5（-1,0）,

•**ci+2d+3=0,

解得：。=-1；

【小问2】

解：二次函数解析式为：＞=-—+2X+3,

设?（加，一加2+2加+3）,

・・・PH〃x轴,

.二点H的纵坐标为—加之_|_2m+3，

才巴x=0代入y=-x2+2%+3得歹=3,

.-.C(0,3),

设直线AC的解析式为y=kx+n,

3左+〃=0

n-3

k——\

解得：\.，

n=3

・•・直线4C的解析式为y=-x+3,

一冽2+2m+3——x+3,

/.x=m2-2m，

:,H(加2-2m,-m2+2加+3),

/.PH=m-^m1-2mj=-m2+3m=,

v-1<0,开口向下，

39

・•・当加=—时，PH取得最大值为一；

24

【小问3】

解：直线/C向下平移〃个单位后的关系式为>+3-〃，

如图，当平移后的直线4过点5时，直线4与图像G有且只有三个交点，

把5(—1,0)代入>=—%+3—〃得：1+3—〃=0,

解得：〃二4；

原抛物线上方折叠到下方的抛物线解析式为：歹二V-2、-3(-1