2024年中考押题预测数学试卷（浙江卷）（全解全析）

绝密★启用前

2024年中考押题预测卷01【浙江卷】

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.眄的相反数是（）

11

A.3B.-3C.—D.-----

33

【答案】B

【分析】先求方的值，再根据相反数的概念即可得出答案.

【详解】解：•••眄=3,3的相反数是一3,

⑺的相反数是-3,

故选：B.

【点睛】本题考查了相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.算术平方根的计算，解题的

关键是掌握以上知识点.

2.下列计算正确的是（）

A.我=3B.V（-3）2=-3C.序=±3D..（-3）2=±3

【答案】A

【分析】本题考查了二次根式的性质与化简.直接利用二次根式的性质对各选项进行判断即可.

【详解】解：A、府=3,故本选项符合题意；

B、7（-3）2=3^-3,故本选项不符合题意；

C、每=34±3,故本选项不符合题意;

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D、〃-3）2=3H±3,故本选项不符合题意；

故选：A.

3.2024年中央电视广播总台“春节联欢晚会”，全媒体累计触次，较去年增长

29%.数科学记数法表示应是（）

A.0.142X1011B.14.2X109C.1.42X109D.1.42X1O10

【答案】D

【分析】此题考查了同底数幕相乘，科学记数法的表示方法.先根据他同底数基相乘得出结果，再运用科

学计数法进行解答，科学记数法的表示形式为axl（P的形式，其中iw|a|<io,n为整数.确定n的值

时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，71的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210

时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.

【详解】解：依题意1.42X1O10

故选：D

4.若且有意义，则字母x的取值范围是（）

x+2

A.x>\B.x=/=2C.x>l且羽2D.x>-1

【答案】D

【分析】直接利用二次根式和分式有意义的条件进而分析得出答案.

【详解】解：•••”有意义，

X+2

.,.x+l>0且无+2加，

解得：x>-l.

故选：D.

【点睛】本题考查二次根式和分式有意义的条件，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键.

5.桦卯（siinmao）,是一种中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸

部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫柳，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉

子，利用柳卯加固物件，体现出中国古老的文化和智慧.如图是其中一种樟，其主视图是（）

【答案】B

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【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的图形，可得答案.

【详解】解：该几何体的主视图是：

故选：B.

【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提.

6.某校开展以“迎2024巴黎奥运会”为主题的体育活动，计划拿出1800元钱全部用于购买甲、乙两

种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的班级，已知甲种奖品每件150元，乙种奖品每件100

元，则购买方案有（）

A.5种B.6种C.7种D.8种

【答案】A

【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键.

设购买工件甲种奖品，y件乙种奖品，根据总价=单价x数量，即可得出关于x,y的二元一次方程，结合》,

y均为正整数，即可得出x,y的值，进而可得出共有5种购买方案.

【详解】解：设购买%件甲种奖品，y件乙种奖品，

依题意得：150%+100y=1800,

“2

Ax=12——y.

3/

又「X,y均为正整数，

」・[y=3或|y=6或|y=9或|y=12或=

•••共有5种购买方案.故选：A.

7.丽江古城是一个闻名遐迩的历史文化名城，春节期间相关部门对游客到丽江观光的出行方式进行

随机抽样调查，根据调查情况绘制了如下两幅尚不完整的统计图，根据图中信息，下列结论错误的是

A.扇形统计图中的a为40%

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B.本次抽样调查的样本容量是1000

C.在扇形统计图中，“其他”对应的扇形圆心角度数为36。

D.选择“公共交通”出行方式的人数为500

【答案】D

【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图

直接反映部分占总体的百分比大小；根据各部分百分比之和等于1可得a的值；根据“其他”人数及其对应

的百分比可得样本容量；用360。乘10%可得“其他”对应的圆心角度数；用总人数乘以对应的百分比可得选

择“公共交通”出行的人数.

【详解】解：A、扇形统计图中的a为1-50%-10%=40%,故本选项不符合题意；

B、本次抽样调查的样本容量是100+10%=1000,故本选项不符合题意；

C、“其他”对应的扇形圆心角度数为360。x10%=36°,故本选项不符合题意；

D、选择“公共交通”出行方式的人数为1000X40%=400人，故本选项符合题意；

故选：D.

8.如图，E是团ABCC的边CC的中点，延长AE交BC的延长线于点尸，若NBAF=90。，BC=5,EF=

3,则CD的长是（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】B

【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定方法、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性

质，证明三角形全等是解决问题的关键.

由平行四边形的性质得出力D〃BC,4B〃CD,证出NZX4E==NECF,由AAS证明△4DE三△FCE,

由全等三角形的性质得出2E=EF=3,由平行线的性质证出41ED=NB4F=90。，求出。E,即可得出

CD的长.

【详解】•••四边形力BCD是平行四边形，

：.AD//BC,AB//CD,

C./.DAE==乙ECF,

,/E是回力BCD的边CD的中点,

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：.DE=CE,

/.DAE=乙F

在aADE^LFCE中，z.D=Z,ECF,

.DE=CE

：.LADE三△FCE(AAS)；

•.AE=EF=3,

■:AB//CD,

：.Z-AED=4BAF=90°,

在△4DE中，AD=BC=5,

：・DE=yjAD2—AE2=V52-32=4,

••・CD=2DE=8.故选：B.

9.如图，。。半径长2cm,点A、B、。是。。三等分点，。为圆上一点，连接4。，且4。二

2近cm,CD交AB于点、E,贝U4BED()

【答案】A

【分析】本题主要考查了弧与圆周角之间的关系，圆周角定理，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，

连接。D,OA,BD,利用勾股定理的逆定理证明乙4。。=90。，则由圆周角定理得到ADBE==

45°,再由点A、B、C是。。三等分点，得到NBOC=180。*[=60。，即可利用三角形内角和定理求出答

案.

【详解】解：如图所示，连接。D,OA,BD,

VQ。半径长2cm,

OA=OD=2cm,

AD=2V2cm,

：.0A2+。。2=22+22=8=AD2,

是直角三角形，且乙4。。=90°,

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1

：.^LDBE=-Z-AOD=45°,

2

・・•点A、B、C是OO三等分点，

：.^BDC=180°xi=60°,

3

:.乙BED=180°-4BDE-乙DBE=75°,

故选：A.

10.如图，直线y-kx+b(kH0)与抛物线y=ax2(aH0)交于A,B两点，且点2的横坐标是一2,点

B的横坐标是3,则以下结论：①a>0,b>0；②当尤>0时，直线y=kx+b与抛物线、=a/的函

数值都随着久的增大而增大；③的长度可以等于5；④当—2<久<3时，ax?—kx<b；⑤连接

OA,OB,当。410B时，a=巫,其中正确的个数是()

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【分析】①由抛物线的开口向上，一次函数与y轴的交点位置，即可判断；②观察图象，即可判断；③由

点4的横坐标是-2,点B的横坐标是3,若4B=5,可得出直线4B与％轴平行与已知矛盾，即可判断；④根

据点4、B的横坐标，结合图象得出当—2<%<3时，。/(上%+小整理即可判断；⑤作4G1x轴于点

G,作轴点H,根据已知条件得出。G=2,0H=3,4G=4a,BH=9a,证明出tan乙。AG=

tanzBOH,把数据代入器=器中，求出a的值即可判断.

AGOH

【详解】解：①・・,抛物线的开口向上，

a>0,

二•一次函数与y轴的交点在y轴的正半轴，

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：.b>0,

故①正确；

②由图象得，一次函数的函数值都随着力的增大而增大；

..•抛物线丫=a/的对称轴为y轴，a>0,

.•.当x>。时，抛物线y=a/的函数值都随着%的增大而增大；

故②正确；

③•点4的横坐标是-2,点B的横坐标是3,

若2B=5,可得出直线力B与x轴平行，

即k=0,与已知k大0矛盾，

.••2B不可能为5,

故③不正确；

④：点4的横坐标是-2,点B的横坐标是3,

••.结合图象可得：当—2<x<3时，ax2<kx+b,即a/—k尤<6,

故④正确；

⑤如图，作4G1x轴于点G,作BH1久轴点”，

:抛物线丫=a/(a#0),4的横坐标是一2,点B的横坐标是3,

...点4的纵坐标=aX(-2)2=4a,点B的纵坐标=aX32=9a,

：.OG=2,OH=3,AG=4a,BH=9a,

,：AG1%轴，BH1x轴，当。41OB时，^AOB=90°,

：.Z.AOG+Z.0AG=90°,/.AOG+/-BOH=90°,

：.^OAG=乙BOH,

tanZ-OAG=tanZ-BOH,

OG_BH

AG-OH'

2_9a

4a~39

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36a2=6,

解得：a=当，

6

故⑤不正确.

综上所述，正确的有①②④这3个，

故选：C.

【点睛】本题是一次函数和二次函数的综合题，主要考查了一次函数和二次函数的图象与性质、结合图象

求不等式的解、利用正切列式求解等，熟练掌握知识点、数形结合是解题的关键.

第n卷

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.比较大小：V62.5(填“>”、“<”、或“=”)

【答案】<

【分析】本题主要考查了实数的大小比较，先得出两个实数的平方比较大小是解题的关键.

2

【详解】解：：(伤)=6,(2.5)2=6.25,

6<6.25,

V6<2.5,

故答案为：V.

12.分解因式：ax2—Sax+6a=

【答案】a(x-2)(%-3)

【分析】提取公因式Q后，再运用十字相乘法分解即可.

【详解】解：原式=a(x2一5%+6)

=a(%—2)(%—3)

【点睛】此题主要考查了提取公因式法和运用十字相乘分解因式，正确找出公因式是解题关键.

13.在一个不透明的口袋中，装有4个红球3个白球和1个绿球，它们除颜色外都相同，从中任意摸

出一个球，摸到白球的概率为.

【答案】|

【分析】用白球的个数除以球的总个数即可求得摸到白球的概率.

【详解】解：在一个不透明的口袋中，装有4个红球3个白球和1个绿球，它们除颜色外都相同，

•••从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为二

4+3+1o

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故答案为|.

O

【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

14•点4(—4,3),B(0,k)在二次函数y=—(x+2)2+八的图象上，贝瞌=.

【答案】3

【分析】将4(-4,3)代入解析式中即可得到/?的值，在当久=0代入即可求解.

【详解】解：•••点4(-4,3)在y=-(X+2尸+%上，

一(—4+2)2+h=3,

解得八=7,

。二次函数解析式为y=-(x+2尸+7,

当x=0时，y=-(0+2)2+7

=3,

：.k=3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了运用待定系数法求解二次函数解析式，解决本题的关键是将将力(-4,3)代入解析式.

15.如图，。4的半径为3,作正六边形ABCDEF,点3,点尸在。4上，若图中阴影部分扇形恰是一

个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为.

【答案】2V2

【分析】本题考查了正多边形和圆及圆锥的计算的知识，首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用圆锥的

底面圆周长是扇形的弧长计算即可，解题的关键是求得正六边形的内角的度数并理解圆锥的母线长是扇形

的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.

【详解】解：•••正六边形的外角和为360。，

每一个外角的度数为360。+6=60°,

...正六边形的每个内角为

180°-60°=120°,

设这个圆锥底面圆的半径是r,

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1207TX3

解得：r=1,

...这个圆锥高=V32-I2=2V2

故答案为：2夜.

16.如图，点4是函数y=-£(尤＜0)图象上一点，连接。4交函数y=-：(久＜0)图象于点B,点C是x

轴负半轴上一点，且AC=A。，连接BC,那么AABC的面积是—.

之

【答案】8-2V2/-2V2+8

【分析】过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为D,E,反比例函数比例系数的几何意义得SA。%。=4,

SAOBE=0.5,证4。4D八OBE得也她=(―)2,由此得04

=2aOB,证得S.BC=(2V2-1)SAOFC,

SROBE0B

然后根据等腰三角形的性质得SAAOC=2SA04D=8,贝USMBC+S^OBC=8,由此得得S4OBC=2V2,进而可

得△ABC的面积.

【详解】解：过点4B分别作％轴的垂线，垂足分别为D,E,如下图所示：

CDE|06•.•点4是函数y=—£0＜0)图象上一点，点B是反比例函数y=一：(久＜0)图象上的

点，

根据反比例函数比例系数的几何意义得：S

A0AD=(x8=4,S^OBE=5X1=

AD1%轴，BE1%轴，

­.AD//BE,

・•.△OADOBE,

.S^OAD_(04)2

SAOBE\0B)

0=2=&

OA=2V2OB,

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•••力B=。4一。8=2版OB-OB=(2V2-1)。8,

即些=2V2-1,

谭=2企-1，

SxOBC

S〉ABC=(2v2—1)S^OBC，

vAC=AO,AD1%轴，

OD=CD,

S-oc=2s△。40=8,

S—BC+S^OBC=8，

即（2A/^—DS^OBC+S^OBC=8,

S^OBC=2V2,

•*,S^ABC~S^AOC~SAOBC=8—2V2.

故答案为：8-2V2.

【点睛】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比

例系数的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键.

三、解答题,本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.（本题满分6分）（1）计算：V12-3tan30°+（7r-4）0+（一|）1

（2）解方程：2久2一3%-4=0

【答案】解：（1）VH-3tan30°+（7r-4）O+】

=2V3—3x—+1—21

3

=V3—1.

（2）2k2—3%—4=0

a=2,b=-3,c=-4,

•••b2-4ac=(-3)2-4x2x(-4)=41>0,

_3+V41_3-V41

"X1=

【分析】本题考查实数的混合运算、特殊角的三角函数及一元二次方程的解法，熟知实数的混合运算法

则、特殊角的三角函数值及一元二次方程的解法是正确解决本题的关键.

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运用实数的混合运算法则计算即可；

用公式法即可求解.

18.（本题满分6分）如图，在AABC中，

（1）用尺规完成以下基本作图：作NC的角平分线交A3边于点M,延长线段C4,并在其延长线上截

取线段AN,使得4N=4M,连接必V（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）中所作的图形中，若NBAC=2NB,证明：MN=MB.

【答案】（1）作图如下:

证明：（2）由（1）可得4V=4M,

."ANM=乙AMN,

."BAC=乙ANM+4AMN,

即NB4c=2乙ANM,

XVZ.BAC=2乙B,

:.乙ANM=乙B,

；CM平分乙4c8,

:.乙NCM=4BCM,

在ACNM与ACBM中

-4CNM=ZB

乙NCM=乙BCM

.CM=CM

：.△CNMCBM{AAS}

：.MN=MB.

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【分析】(1)作角的平分线，以点C为圆心，任意长为半径，作弧与AC,BC交于P,Q两点，分别以P,Q

两点为圆心大于［PQ的长为半径作弧，两弧交于点7,作射线CT,与4B交于点再以点4为圆心4M长为

半径，作弧与G4延长线交于点N,连接MN,作图为所求；

(2)根据4N=4M,4BAC=2乙B,可以退出乙4NM=NB,再利用角平分线得到相等的角，之后证明^

CNM=△CBM(AAS),则结论可以得证.

【点睛】本题考查角平分线的作法，等腰三角形的等边对等角，其中利用角平分线推出三角形全等是解题

关键.

19.(本题满分6分)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,对角线AC、BD交于点0,过点

B作BE//CD交AC于点E.

(1)求证；四边形BCDE是菱形；

⑵若A3=5,E为AC的中点，当3c的长为时，四边形BCDE是正方形.

；AC=AC

【答案】(1)证明：在AABC和AAOC中，

.BC=CD

：.^ABC^AADC,

：.ZBAO^ZDAO,

"：AB=AD,

：.AC±BD,BO=DO,

,SBE//CD,

:./BEO=/DCO,ZEBO=ZCDO,

/.△EBO^ACDO,

：.BE=CD,

...四边形BCDE是平行四边形，

'：AC±BD,

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四边形BCDE是菱形;

(2)解：当BC的长为强时，四边形3C0E是正方形.理由如下:

•.•四边形BCDE是菱形,

：.OB=OD,OE=OC,EC±BD,

为AC的中点，：.AE=EC,

设OE=OC=a,贝！IAE=EC=2a,0A=3a,

在RtxOBA中，序-4。2=52-(3°)2=25-9次，

;四边形8COE是正方形，

OB=OC,

25-9/=/,

2

.".a=~2,

在RtAOBC中，BC2=OB2+CO2=25-9/+。2=25-8乂|=5,

.•.8C=V^(负值已舍)，

.,.当BC的长为4时，四边形BCDE是正方形.

故答案为：V5.

【分析】(1)先判断出△ABC/AA£)C,得到NA4O=/D4O,推出AC_LB。，BO=DO,再证明AEBO也

LCDO,即可得出结论；

(2)根据题意设OE=OC=a,则AE=£C=2a,OA=3a,在尺公。区4中，求得。炉=25一9次,

根据正方形的性质得到次三，在RfAOBC中，利用勾股定理即可求解.

【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，解答本题

的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

20.(本题满分8分)如图，直线y=kx+b与双曲线丫=9(％<0)相交于4(—3,1),B两点，与x轴

相交于点C(—4,0).

(1)分别求一次函数与反比例函数的解析式;

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⑵连接。4OB,求AAOB的面积；

(3)直接写出当久<0时，关于x的不等式依+b<做的解集.

X

【答案】(1)解：将4(一3,1),。(一4,0)代入丫=k工+小得：

(—3k+6=1

t-4fc+b=0'

解得：#=1

3=4

，一次函数的解析式为y=x+4,

将4(一3,1)代入y=:0<0),得瓶=-3,

反比例的解析式为y=-1(x<0)；

(2)解:对于y=x+4,

当x=。时，y—4

...点。的坐标为(0,4),

由『朋J解明即3或RL

・••点5的坐标为(一1,3),

△/0B的面积=SAA0D—S^BOD=|X4X3—|x4xl=4；

(3)解：观察图象，当汽V0时，关于x的不等式for+bV巴X的解集是％V-3或一1V%V0.

【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析

式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强.

(1)将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；

(2)两函数解析式联立成方程组，求出点8的坐标，然后根据AAOB的面积=SMOD-SABOD即可以解决

问题；

(3)根据图象即可解决问题.

21.(本题满分8分)小暑是二十四节气的第十一节气，这时候天气非常热，但还不是最热，所以称

为小暑.小暑时节大江南北有着多种习俗，为了解学生最感兴趣的习俗，小莉从向阳中学中随机抽取

200名学生进行调查，将调查结果绘制成如下不完整统计图.

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(1)补全条形统计图.

⑵计算最感兴趣习俗为吃芒果中男生的人数.

(3)小亮看到折线统计图认为女生喜欢晒衣服的人数比吃芒果的人数多，你同意吗？请说明理由.

【答案】(1)解：簪茉莉的人数：200-30-20-80-30=40(人)，

补全统计图如下：

最感兴趣习俗的学生人数

(2)解：吃芒果中男生的人数：80—80x70%=80—56=24(人)，

(3)解：不同意女生喜欢晒衣服的人数比吃芒果的人数多，理由如下：

:生喜欢晒衣服的人数：20x80%=16(人)，女生喜欢吃芒果的人数：80x70%=56(人)，且16<

56,

...女生喜欢晒衣服的人数比吃芒果的人数少，

4000X25%=1000(人)

...不同意女生喜欢晒衣服的人数比吃芒果的人数多.

【分析】本题考查了数据的整理和分析，折线统计图与条形统计图的综合，

(1)用200减去吃藕、晒衣、吃芒果、扑流萤的人数即可得簪茉莉的人数，从而画出条形统计图.

(2)先求出吃芒果的女生人数，再用80减去吃芒果的女生人数即可得解.

(3)分别计算女生晒衣服的人数和吃芒果的人数，比较即可得解.

熟练掌握条形统计图的特征是解题的关键.

22.(本题满分10分)如图，分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了

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如下信息：滑杆0E、箱长BC、拉杆4B的长度都相等，即0E=BC=4B,点3,尸在线段AC上，点

C在DE上,支杆OF=12cm,CE:CD=1:3,ZDCF=45°,ZCDF=30°.请根据以上信息，解决下列问

题：

（1）求AC的长度（结果保留根号）；

（2）求拉杆端点A到水平滑杆EC的垂直距离（结果保留到1cm）.（参考数据：V2«1.41,V3«

1.73,V6«2.45）

【答案】（1）解：过尸作于点

Z.FDC=30°,DF=12,

在直角AFHO中，

sin30°=—,cos30°=―,

DFDF

・•.FH=sin30°・DF=6,DH=cos30°・DF=673,

•••乙FCH=45°,

・・.CH=FH=6,

・•・CD=CH+DH=6+6A/3,

•・•CE-.CD=1:3,

DE=iCD=8+8V3.

3

•・•AB=BC=DE

•••AC=2DE=(16+16V3)cm

答：AC的长度为(16+16V^)cm.

(2)解：过4作AG1ED交ED的延长线于G,

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//B：

ECHDGZ.XCG=45°,

V2「「

：.AG=—AC=8V2+8V6=8x1.41+8x2.45=30.88=31（cm）

答：拉杆端点4到水平滑杆ED的距离为31cm.

【分析】（1）过F作于H,解直角三角形即可得到结论；

（2）过4作力G1ED交ED的延长线于G,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实

际问题.

23.（本题满分10分）【发现问题】美丽的大连星海湾跨海大桥，是大连一张亮丽的名片，晚上大桥

的灯光秀璀璨夺目.小明通过查阅得知，星海湾大桥（XinghaiBayBridge）是中国辽宁省大连市境

内连接甘井子区与西岗区的跨海通道，位于黄海水域上.大连星海湾跨海大桥全长6千米，主桥为双

塔三跨地锚式、双层通车悬索桥.主桥长820米，主桥主跨（两个主塔间的距离L）460米，边跨

180米，跨径布置为180+460+180=820m.

如图是大桥的主跨，主跨悬索矢跨比（S：£）约为总，悬索的最低处直接和桥梁相连，悬索和桥梁之

间的吊杆间距10m,由于桥梁中间有车辆通过，灯光秀的光源放置在距桥梁上沿下方21米的桥梁

中.

图1图2

【提出问题】星海大桥主跨上的吊杆的高度与它距最低点的水平距离有怎样的数量关系？

【分析问题】小明了解到，大桥主跨上连接两座主塔之间的悬索可以看成是抛物线的一部分，结合二

次函数相关内容和查阅到的相关数据，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，

便可解决问题.

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【解决问题】小明利用查阅到的相关数据，为解题方便，小明以抛物线的顶点（大桥主跨上悬索的最

低点）为原点，以主跨的中轴为y轴，建立平面直角坐标系（如图3）.

图3

⑴请直接写出以下问题的答案：

①右侧悬索最高点B的坐标；

②y与x的函数解析式；

③最长的吊杆的长度（取整数）；

⑵某游客在远处海滩正对大桥主跨的位置，看到一个由多辆彩车组成的150米的车队，车队以50米/

分的速度通过大桥主跨，彩车高于桥梁部分均为6.9米.在彩车通过大桥主跨过程中，该游客在悬索

上方能看到彩车的时间是否超过6分钟；

（3）如图3,灯光秀中一个射灯光源C（-70,-21）,位于悬索最低点左下方，即距悬索最低点的水平

距离为70米的地方，它所发出的射线状光线，刚好经过右侧悬索的最高点8,现在想在这个光源的

水平右侧再放置一个同样的平行光源，应该在什么范围内放置，才能保证该光源所射出的光线照到右

侧悬索上？

【答案】（1）①如图，作8。，x轴于。点，

由题意得4B=L=460,

••・8=9=23。，

BD—69,

.•.点8的坐标为(230,69)；

②设y=ax2,

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把8(230,69)代入得2302,a=69f

解得。=墨

二•y与x的函数解析式为：y=

③如图，设最长的吊杆为E凡

吊杆间距10m,

：.DF=10,

••・OF=230-10=220,

由y=^%2得％=220时，y=-X2202«63,

/2300,2300

・•・EF«63,

•••最长的吊杆的长度约为63m.

(2)如图，作MN〃x轴，交抛物线于M、N两点，

由题意知y”=yN=6.9,代入抛物线解析式得嬴/=6.9,

解得=-23V10,x2=23V10,

xM=-23V10,xN=23vlU,

MN=2x23V10=46V10,

游客在悬索上方能看到彩车的时间为：46弋15。x5.9<6,

•••游客在悬索上方能看到彩车的时间不超过6分钟.

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设光源放在G点时，光线G”与悬索只有一个交点,

设直线的表达式为y=kx+b,则

C-21=-70k+b

t69=230k+b'

解得M,

Lb=0

・•・直线CB的表达式为:y=Q.

•・•GH//CB,

・•・直线GH与直线CB的人相同，

设直线G”的表达式为y=卷％+m,

(y=—^―x2

联立Iy°°,

Iy=—x+m

V10

—x2=—x+m,

230010

整理得3%2-690%-2300m=0,

・・,直线GH与抛物线只有一个交点，

・•・A=(-690)2-4x3x(-2300m)=0,

解得爪=一詈

直线GH的表达式为y=^-x—

104

当y=-21时，—21=三%—空，

,104

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解得X=_g

g,-21),

光源应放在(-70,-21)和(-§,-21)之间，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上.

【分析】⑴①作久轴于。点，由题意得4B=L=460,根据S:L=方求出S的值，即可得BD的

长，由此可得2点的坐标；

②设y=a/,将8点坐标代入，求出。的值，即可得抛物线的表达式；

③设最长的吊杆为EF,由题意得。尸=230-10=220,代入表达式中求出y的值，即可得EF的长，即吊

杆的长.

(2)作MN〃x轴，交抛物线于M、N两点，贝如机=丫可=6.9,求出M、N两点的横坐标，进而可得MN

的长，再求出游客在悬索上方能看到彩车的时间，即可判断结果.

(3)设光源放在G点时，光线GH与悬索只有一个交点，先求出直线CB的表达式为y由GH〃CB

可知直线GH与直线CB的人相同，设直线GH的表达式为y=2工+小，联立抛物线和直线的表达式可得

3%2-690%—2300m=0,由A=0,求出机的值为一"由此可得GH直线的表达式为y=总万一号，求出

G点的坐标即可得到答案.

【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，建立适当的坐标系，求出解析式，熟练掌握求二次函

数与一次函数的交点问题是解题的关键.

24.(本题满分12分)已知，AD.BC为两条弦，AD1BC于点E,连接OE,AE=CE.

(2)如图2,连接AC,延长E。交AC于点N,点尸为AC上一点