2024年中考押题预测卷2（山西卷）数学（全解全析）

2024年中考押题预测卷

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.一2024的倒数是（）

A.-2。24B.2024C.一募D.募

【答案】C

【分析】本题考查了倒数定义，根据题意利用倒数定义（互为倒数的两个数乘积为1）即可得出本题答案.

【详解】解：•••-2024x（—茄=1

-2024的侄！|数为-202.4

故选：C.

2.下列图中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）

【答案】D

【分析】此题考查中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠

后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180。后与原图重合.

【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

c、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；

故选：D.

3.下列运算正确的是()

A.(aZ?3)2=a2b6B.a2-a4=asC.2a6+a3-2cz9D.(a+b)2=a2+b2

【答案】A

【分析】本题考查了合并同类项，同底数哥的乘法，积的乘方，完全平方公式，根据合并同类项，同底数

寨的乘法，积的乘方，完全平方公式逐项分析即可.

【详解】解：A、(ab3y=a2b6,故选项A符合题意；

B、a2-a4=a6,故选项B不符合题意；

C、2a6与a3不是同类项，不能合并，故选项C不符合题意；

D>(a+b)2=a2+2ab+b2,故选项D不符合题意；

故选：A.

4.2023年10月26日11时14分，神舟十七号飞船成功发射，将汤洪波、江新林、唐胜杰三位宇航员送入

了中国空间站.这是中国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的第2次载人飞行任务，是工程立项实

施以来的第30次发射任务.已知中国空间站绕地球运行的速度约为7.68x103m/s,则中国空间站绕地球运

行2x103s走过的路程(m)用科学记数法可表示为()

A.15.36x106B.1.536x106C.1.536x107D.0.1536x108

【答案】C

【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为aX10n,其中1<|a|<10,几可以用整数位数

减去1来确定.用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法.根据路程等于速度乘

以时间，将结果用科学记数法表示即可.

【详解】解：••・中国空间站绕地球运行的速度约为7.68xl()3m/s,运行时间为2x103s,

走过的路程为：7.68x103x2x103=15.36x106=1.536x107(m).

故选：C.

5.如图，4B是半圆的直径，圆心为0.若4B的长为6,贝I弦4C的长为()

AOB

A.6sinZB.6cosZC.—D.6tanX

cosA

【答案】B

【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形.连接2C,根据直径所对的圆周角是直角可得乙4cB=90。,

然后在内△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答.

【详解】解：连接BC,

A°昆-AB是半圆。的直径,

•••4ACB=90°,

在Rt△力中，AB=6,

AC=AB-cos4=6cos力，

二弦AC的长为6cos力，

故选：B.

6.已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流/（单位：A）与电阻R（单位：Q）是反比例函数关系,

它的图象如图所示，则当电阻为4。时，电流为（）

【答案】C

【分析】此题考查了反比例函数的实际应用，先根据待定系数法求出解析式，R=4。代入函数求值即可,

熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键.

【详解】设电流/与电阻R函数关系为/=J

R

•.•图象经过点（8,3）,

解得：k=24；

36

R

当R=4Q时，/=^=6(A),

4

故选：c.

7.如图，小颖将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在4C上，其中NACB=90。,N4BC=60°,AEFD=90°,

C.45°D.75°

【答案】D

【分析】本题考查三角形的内外角关系、平行线的性质以及平角的定义，寻找角与角之间的关系是解决本

题的关键.

根据平行线得到ZBGF=40=45。，结合内外角关系得到Z2FG,结合平角的定义即可得到答案.

【详解】解：：乙EFD=90°,乙DEF=45°,AACB=90°,AABC=60°,

•••乙D=45°,乙4=30°,

ABWDE,如下图:

•­•/.BGF=4D=45°,

•••乙FGB=乙4+Z.AFG,

•••Z4FG=45°-3O°=15°,

•••Z.EFD=90°,

•••乙EFC=180°-90°-15°=75°.

故选：D.

8.如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值:

X-2013

y6一4—6一4

下列结论：①抛物线的开口向上；②其图象的对称轴为X=1；③当”>|时；函数值y随X的增大而增大；④

方程a/+bx+c=0有一个根大于4.其中正确的是（）

A.①②B.①③C.①③④D.②③④

【答案】B

【分析】本题考查抛物线与％轴的交点，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征.设出二次函数

的解析式，根据表中数据求出函数解析式，然后化成顶点式，根据二次函数的性质即可判断.

【详解】解：设二次函数的解析式为丫=。K2+/?%+的

’4a—2b+c=6

由题意知：c=—4,

、a+b+c=-6

a=1

解得b=—3,

c=—4

二二次函数的解析式为y=%2-3%-4=（x-4）（%+1）=（久一|）-

①函数图象开口向上，故①选项正确；

②对称轴为直线x=|,故②选项错误；

③当x>|时，函数值y随x的增大而增大，故③选项正确；

④方程/一3x-4=0的解为X1=-1,x2=4,故④选项错误.

故选：B.

9.如图，在RtAABC中，ZXCB=90°,先以点C为圆心画弧，使其恰好与4B边相切于点E,再以BC边为

直径，在2c边的上方作半圆且恰好经过点£若4C=BC=2,则图中阴影部分的面积为（）

【答案】A

【分析】本题考查了扇形面积和等腰直角三角形等知识，连接CE,根据对称性可得两个阴影面积和是AACE

的面积减去弓形CE的面积，然后求解即可.

【详解】解：连接CE,

以点C为圆心画弧，使其恰好与4B边相切于点E,

：.CELAB,

AC=BC=2,^ACB=90°,

：.AB=VXC2+BC2=2V2,

'.AE-BE=-AB=V2,

2

△4CB关于CE所在直线对称，

...下方阴影与上方空白处重合，

•••两个阴影面积和是△4CE的面积减去弓形CE的面积,

A4CE的面积=|xV2XV2=1,

弓形CE的面积=［（S半圆—SXBCE）=

阴影面积为：1一件一；）w，

\42724

故选：A.

10.如图所示,直线y=-江+3与x轴、y轴分别交于A,B两点，△40B绕点A顺时针旋转90。后得到△AO1B1

按此规律继续旋转，则第2025次旋转结束后，点4025的坐标为（）

A.(3,4)B.(7,4)C.(7,3)D.(3,7)

【答案】B

【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出

旋转后的点的坐标，以及一次函数与坐标轴交点的问题，熟练掌握各知识点是解决本题的关键.

先依次求出/，/，生，区的坐标，以此发现规律为4次一循环，而第2025次后点2的坐标与为重合，即可求

解.

【详解】解：对于y=-|x+3,当x=0,y=3,y=0时，一|x+3=0,解得％=4,

：.AO=4,OB=3,

•••第一次旋转后，根据旋转的不变性得名(4+3,4),即4(7,4),

第二次旋转后区(4+4,-3),即%(8,-3),

第三次旋转后口3(4-3,-4),即丛(1,—4),

第四次旋转后与点8重合，B4(0,3),

发现4次一循环，而2025+4=506…1,

.•.第2025次旋转结束后，点B2025与点4(7,4)重合，...BzgOA),

第n卷

二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)

11.已知xy=2,x—y=5,贝［J/y—.

【答案】10

【分析】本题考查了因式分解得应用，代数式求值，利用提公因式法可得久2y-xy2=孙仁―y),把孙=2,

x-y=5代入计算即可求解，正确利用因式分解对原式进行转化是解题的关键.

【详解】解：x2y—xy2-xy(x—y)-2x5-10,

故答案为：10.

12.《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙三十

六石，问：各该若干？”其大意为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，甲、乙白米相差数与乙、

丙白米相差数一样(甲的白米比乙多，乙的白米比丙多)，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多

少白米？”设乙分得白米无石，则可列方程为.

【答案】(%+18)+%+(%—18)=180

【分析】本题考查一元一次方程的应用，设乙分得白米x石，得出甲、丙分得白米数，由甲、乙、丙三人分

得之和为180石列出方程即可.找准等量关系来列方程是解题的关键.

【详解】解：若设乙分得白米x石，

•••甲、乙白米相差数与乙、丙白米相差数一样，甲比丙多分三十六石，

甲、乙白米相差数与乙、丙白米相差数都是18石，

二甲分得白米(％+18)石,丙分得白米(％-18)石,

又•.•甲、乙、丙三人来分这一百八十石，即甲、乙、丙三人分得之和为180石，

.,.可得方程：(x+18)+久+(x—18)=180.

故答案为：(x+18)+x+(x-18)=180.

13.若反比例函数y=-:的图象与正比例函数y=(n-6)x(n为常数)的图象有两个交点，贝比的取值范

围是.

【答案】n<6/6>n

【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一元二次方程根的判别式，联立两函数解析式得到

(n-6)x2+2=0,再根据题意可得方程(n-6)/+2=。有两个不相等的实数根，据此利用判别式求解即

可.

(__2

【详解】解：联立'一—或得⑺一6)/+2=0,

ly=(n—6)x

•.•反比例函数y=—|的图象与正比例函数y=(n—6次(律为常数)的图象有两个交点，

二方程(n-6)x2+2=0有两个不相等的实数根，

.,.△=0-4x2(n-6)>0,

••71<6,

故答案为：n<6.

14.春回大地万物生，“微故宫”微信公众号设计了互动游戏，与大家携手走过有故宫猫陪伴的四季.游戏规

则设计如下：每次在公众号对话框中回复【猫春图】，就可以随机抽取7款“猫春图”壁纸中的一款，抽取次

数不限，假定平台设置每次发送每款图案的机会相同，小春随机抽取了两次，她两次都抽到“东风纸莺”的概

率是•

九九圆满焕新春浴东风纸莺秋千飞荡品品春茶赏花扑蝶春游晚归

【答案。

【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于

两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实

验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，即可解答.

【详解】解：设7款壁纸分别为A、B、C、D、E、F、G,

根据题意列出表格如下：

ABcDEFG

A(44)(4B)(4C)(4D)(4E)(4F)(4G)

B(B,A)(B,B)(B,C)(B,D)(B,E)(B,F)(B,G)

C(C,A)(C,B)(C,C)(C,D)(C,E)(C,F)CG)

D(D,A)(D,B)(D,C)(D,D)(D,E)(D,F)(D,G)

E(E,4)(E,B)(E,C)(G,E)(E,E)(E,F)(E,G)

F(F,4)(F,B)(F,C)(G,F)(F,E)(F,F)(F,G)

G(GM)(G,B)(G,C)(G,D)(G,E)(G,F)(G,G)

由表可知，一共有49种情况，她两次都抽到“东风纸莺”的情况有1种,

•••她两次都抽至!]“东风纸莺”的概率=2，

49

故答案为：去.

49

15.如图，四边形力BCD是边长为6的菱形，NB=60。，点E、尸分别是BC、CD边上的动点（不与B、C、

。重合），连接AE、EF、AF,若A4EF是等边三角形，则△CEF周长的最小值为.（结果保留根号）

【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短、解

三角形等知识点，解题的关键是正确作出辅助线.

连接4C,易证△ABC与△/!（?£）是等边三角形，再结合等边三角形的性质可证AABE三△4CF,贝=CF,

于是ACEF的周长转化为4B+4E,由于当4E1BC时2E最短，于是即可得到答案.

【详解】如图，连接2C.

•.28=60。，四边形4BCD是菱形，

：.AB=BC,则八ABC是等边三角形.

：.AB=AC,/-BAC=60°,

由44EF是等边三角形知，LEAF=60°,

=Z.BAC-/.EAC=60°-Z.EAC,/.CAF=Z.EAF-Z.EAC=60°-Z.EAC,

J./-BAE=/.CAF.

由菱形ABCD知，ZD=ZB=60°,AD=CD,

...△ACO也是等边三角形，则乙4CF=60。.

^.BAE=/.CAF

在AZBE与AACF中，AB=AC,

.^ABE=AACF

：.AABE=△71CF(ASA),

：.BE=CF.

；.△CEF的周长=EC+CF+EF=EC+BE+AE=BC+AE=AB+AE.

当ZE为△ABC的边BC上的高时，4E最短，此时△CEF的周长最短.

此时，AE=AB-sinzS=6Xsin60°=3V3.

△CEF周长的最短值为6+3V3.

故答案为：6+3V3.

三、解答题(本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(10分)(1)计算：Q1-2024°+|/一1|；

(2)化简：—

【答案】(1)V2；(2)二

X-1

【分析】本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

(1)根据零指数募、零指数幕和绝对值计算即可；

(2)先算括号内的式子，再算除法即可.

【详解】解：⑴2024°+|a-1|

=2-1+V2-1

=V2;

⑵(i+£HT)

%+1%2—1

XX

X+1X

X(X+1)(%—1)

1

~X—1,

17・(7分)解方程：言+黑=2.

【答案】x=6

【分析】本题主要考查解分式方程，方程两边都乘以(x+3)(%-3)得出6x+%(%-3)=2(x+3)(%-3),

求出方程的解，再进行检验即可

【详解】解：先+2=2

x2-9x+3

方程两边都乘以(x+3)(%-3)得

6x+%(%—3)=2(%+3)(%—3),

整理得，%2-3%-18=0,

(%—6)(x+3)=0

解得，%!=6,x2=-3,

检验：当％=6时，(x+3)(%-3)H0,所以，x=6是分式方程的解；

当％=-3时，(x+3)(x-3)=0,所以，刀=一3是增根，

所以，分式方程的解是％=6

18.(9分)某中学组织七、八年级开展了以“学法明理、守法立身”为主题的普法知识竞赛，为了解学生掌

握普法知识的情况，分别从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩(满分：100分)进行整理、

描述和分析，给出以下部分信息：

a.八年级50名学生竞赛成绩的频数分布直方图：

(数据分成5组：50<%<60,60<%<70,70<%<80,80<%<90,90<%<100.)

八年级50名学生竞赛成绩

的频数分布直方图

c.七、八年级各随机抽取的50名学生的竞赛成绩的统计数据如下表所示:

年级平均数中位数方差

七年级82.78386.30

八年级82.7m124.70

根据以上信息，解答下列问题：

(1)补全八年级50名学生竞赛成绩的频数分布直方图.

(2)在表中，m的值为.

(3)在这次竞赛中，竞赛成绩更好的是年级，理由是.

(4)若竞赛成绩不低于85分记为优秀，根据统计结果，估计八年级650名学生中有多少名学生的竞赛成绩为

优秀.

【答案】(1)见解析

(2)82

(3)七；七、八年级各随机抽取的50名学生的竞赛成绩的平均水平相同，七年级比八年级更稳定

(4)286

【分析】(1)八年级50名学生竞赛成绩在80<%<90—组16人，补全八年级50名学生竞赛成绩的频数分

布直方图即可；

(2)根据中位数的意义解答即可；

(3)根据平均数和方差的意义判断并说明理由即可；

(4)将650乘以竞赛成绩不低于85分所占比即可估计八年级650名学生中有多少名学生的竞赛成绩为优

秀.

【详解】(1)解：八年级50名学生竞赛成绩在80Wx<90一组16人，补全八年级50名学生竞赛成绩的频

数分布直方图如下：

八年级50名学生竞赛成绩

的频数分布直方图

(2)解：八年级抽取的50名学生的竞赛成绩的中位数是成绩由小到大排列，第25、第26个成绩的平均数，

••・前3组有数据：4+8+10=22个数据，

・•・第25、第26个数据是80Wx<90一组的第3个，第4个数据，即81,83,

•••m—(81+83)+2=82,

故答案为：82；

(3)解：在这次竞赛中，竞赛成绩更好的是七年级，

理由如下：••・七年级成绩的平均数=八年级成绩的平均数=82.7,七年级成绩的方差86.30〈八年级成绩的方

差124.70,

.•・七、八年级各抽取的50名学生的竞赛成绩的平均水平相同，但七年级比八年级成绩更稳定，

故答案为：七；七、八年级各抽取的50名学生的竞赛成绩的平均水平相同，但七年级比八年级成绩更稳定；

(4)解：八年级50名学生竞赛成绩不低于85分有：10+12=22(名)，

650x6=286(名)，

答：估计八年级650名学生中有286名学生的竞赛成绩为优秀.

【点睛】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数，方差，用样本估计总体，掌握平均数，中位数，方

差的意义是解题的关键.

19.(9分)端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销.根

据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的

数量相同.根据以上信息，解答下列问题：

(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？

(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，那么该商场节前最多购进多

少千克A粽子？

【答案】(1)该商场节后每千克4粽子的进价是10元

(2)该商场节前最多购进300千克A粽子

【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出

方程和不等式.

(1)设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，则节前每千克A粽子的进价为(x+2)元，根据节前用240

元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同，列出方程，解方程即可；

(2)设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进(400-巾)千克A粽子，根据总费用不超过4600元，列

出不等式，解不等式即可.

【详解】(1)解：设该商场节后每千克A粽子的进价为万元，则节前每千克A粽子的进价为0+2)元，根据

题意，得：

240_200

x+2X'

解得x=10.

检验：当x=10时，x(x+2)羊0,x=10是原分式方程的根，且符合题意.

答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元.

(2)解：设该商场节前购进小千克A粽子，则节后购进(400-m)千克A粽子，根据题意得：

(10+2)m+10(400-m)<4600,

解得：m<300.

答：该商场节前最多购进300千克A粽子.

20.（8分）某学校办公楼（矩形4BCD）前有一旗杆MN,MN1.DN,旗杆高为15m,在办公楼底4处测得

旗杆顶的仰角为30。，在办公楼天台B处测旗杆顶的俯角为45。，在小明所在办公室楼层E处测得旗杆顶的俯

角为15。.（结果保留根号）

CB

DAN

（1）办公楼的高度力B；

（2）求小明所在办公室楼层的高度4E.

【答案】（1）办公楼的高度AB为（15+15V3）m；

（2）小明所在办公室楼层的高度4E为30旧-30（m）.

【分析】（1）过点M作MH，48于点可得四边形MM4H是矩形，再根据锐角三角函数即可求出办公楼的

高度48；

（2）过点E作EQ14M于点Q,由（1）得，NE4Q=60°,设4E=%,则4Q=%-cos60°=^x,MQ=EQ=

x-sin60°=yx,由4M=2MN=30得|+，x=30,求解即可；

本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，解题的关键是掌握仰角俯角定义.

【详解】（1）如图，过点M作MHLAB于点H,

DAN

\'MN1DN,/.BAN=90°,

•••四边形MM4H是矩形，

：.AH=MN=15,MHWANWBC,

：.Z.AMH=Z.MAN=30°,

在Rtz14M”中，MH==15V3,

tan30°

；4BMH=45°,

：.BH=MH=15V3,

：.AB=AH+BH=15+15V3,

答：办公楼的高度AB为(15+15百)m；

(2)过点E作EQ14M于点Q,由(1)得，AEAQ=60°,

J.Z.EMQ=180°-/.EAM-ZAEM=180°-60°-75°=45°,

设AE=x,则4Q=x-cos60°=|x,MQ=EQ=x-sin60°=—x,

由AM=2MN=30,-+—x=30,

22

解得x=30V3-30(m),

答：小明所在办公室楼层的高度4E为30百-30(m).

21.(7分)阅读与思考

•••AB<CD,MF<ME.

在△MEF中，ME-MF<EF<ME+MF.

-i-1

即:(CD-AB)<EF<；(CD+AB).

方法二：如图3,连接力F并延长至点G,使FG=4F,连接CG,DG.

(1)填空：材料中的依据是指;

(2)将方法二的证明过程补充完整；

(3)如图4,在五边形4BCDE中,AE||CD,AB=AE=6,乙4=120°,CD=4.若点F,G分别是边BC,QE的

中点，则线段FG长的取值范围是.

【答案】(1)三角形中位线定理；(2)见解析；(3)3V3-2<FG<3V3+2

【分析】(1)利用三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”解答即可；

(2)证明AAFB三AGFC(SAS),推出力B=CG,在ACDG中，利用三角形中位线定理即可得解；

(3)连接BE,作4"，BE,利用等腰三角形的性质结合直角三角形的性质求得BE=68，再利用(1)的

结论即可求解.

【详解】解：(1)•••点E,点M分别是4D和4C的中点，

ME||CD,且ME=：CD.(三角形中位线定理)

故答案为：三角形中位线定理；

(2);点尸是BC的中点，

：.BF=FC,

"：^LAFB=AGFC,AF=FG,

：.△AFB=△GFC(SAS),

：.AB=CG,

:点E是力D的中点，点尸是4G的中点，

EF||DG,S.EF=^DG,

\'AB<CD,

：.CG<CD,

在ACDG中，CD-CG<DG<CD+CG,

：.CD-AB<2EF<CD+AB,即1(CD-XB)<<|(CD+AB)；

(3)连接BE,作AHJ.BE,垂足为H,

A

三C-^D

*：AB=AE=6,=120°,

1

J.^ABE=Z.AEB=j(180°-120°)=30°,

.M”=YB=3,EH=BH=^^=3@,

：.BE=6V3,

F,G分别是边BC,DE的中点，

由(1)^-(BE-CD)<FG<-(BE+CD),Bp1(673-4)<FG<|(6V3+4),

.".3V3-2<FG<3V3+2.

故答案为：3百一2<FG<3旧+2.

【点睛】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理,

全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

22.(12分)综合与实践

问题情境：

“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1,在正方形4BCD中，E是对角线BD上的动点(与点B,。不

重合)，连结AE,过点E作EF14E,EG1BD,分别交直线BC于点F,G.请说明△ABE三△FGE,并求处的

AE

值.

数学思考:

(1)请你解答老师提出的问题.

深入探究：

(2)如图2,老师将图1中的“正方形力BCD”改为“矩形ABCD”，其他条件均不变，并让同学们提出新的问

题.

①“聪聪小组”提出问题：如图2,当2B=3,BC=4时，求子的值；进一步，当=时，直线写出竽

的值(用含机的代数式表示).

②“慧慧小组”提出问题：如图3,连结CE,当月B=2,BC=4,CE=C。时，求EF的长.

请解答这两个问题:

【分析】(1)利用正方形性质得到“BE=NGBE=45。，利用垂直的定义推出NAEB=NFEG,NG=45。,

进而得到BE=EG,即可利用“ASA”证明A/WE三AFGE,再由全等三角形的性质可得丝的值，即可求解；

AE

(2)①根据(1)得到乙4EB=NFEG,利用矩形的性质和等量代换得到NEFG=NB4E,证明△力BE八FGE,

得到笠=器，再证明△BEGBCD,利用相似的性质即可得到弓的值，根据前面同理可得，当ZB=m-BC

AEBEAE

时，笠的值，即可解题；

AE

②过点C作CH于点H,过点E作EQ14B于点Q.利用锐角三角函数和等腰三角形的性质可求的BE长,

由相似三角形的性质可求4Q和QE的长，由勾股定理可求4E的长，即可求解.

【详解】(1)解：•••四边形ABCD是正方形,

.­./.ABC=90°,4ABE=/.GBE=45°,

vEF1AE,EG1BD,

・•.AAEF=乙BEG=90°,

•••^AEF一(BEF=乙BEG-乙BEF,L.G=90°一乙EBG=45°,

•••Z-AEB=乙FEG,Z.ABE=乙EBG=zG,

•••BE—EG,

在和AFGE中

Z-ABE=ZG,BE=GE,2AEB=乙FEG,

・•.LABE=AF(7E(ASA),

・•・AE=EF,

EFy

・•・—=1；

AE

(2)解：①・・・四边形ABC。是矩形，

・•.CD=AB,Z,C=90°,

由(1),^z.AEB=Z.FEG,

•・•乙ABC=Z.AEF=90°,

・•・乙ABC+^AEF=90°+90°=180°,

•••^BAE+(BFE=180°,

•・•乙BFE+乙EFG=180°,

•••Z.EFG=乙BAE,

・•.△ABEFGE,

.EF_EG

•・AE-BE"

•••乙BEG=LC=90°,/.CBD=Z.EBG,

•*.△BEG〜匕BCD,

EGBE

----=-----«

CDBC

.EG_CD_AB_3

•・BE-BC~BC-4’

.EF_EG_3

•・AE~BE—49

EGAB

当4B=时，—一=一=m,

AE

②如答图，过点C作CHIB。于点H,过点E作EQ1AB于点Q.

AD

BFGC.,AB=CD=2,BC=4,

BD=yjBC2+CD2=<4+16=2V5,

V7,.CHCD

又•・.sin乙DBC=—=—

BCBD

CH_2

4~2旧

二"

•••CH=——4%

5

DH=VCD2-CH2=

vCE=CD,CH1BD,

'DE=2DH=^

厂

BnE=——6V5

5

•・,QE1AB,

•••4BQE=4BAD=90°,

又•・•乙ABD=乙QBE,

•••△BQEBAD,

BE_QE_BQ

BD~AD~AB

6A/5

._QE-BQ

"2V5-4-2，

QE=y,BQ=I，

4

AQ=

'16,1444V10

AE=y/AQ2+QE2=----1-----=------

25255

由⑵可知冷器T

.2V10

E17Fc=-----

5

【点睛】本题主要考查了正方形性质，矩形的性质，等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，勾股定理,

相似三角形判定和性质等知识，锐角三角函数，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形.

23.(13分)综合探究:如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-|尤2+"+c(a*0)与x轴交于4(一1,0)、

8(3,0)两点,与y轴交于点C,连接BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，点。在第一象限抛物线上一点，连接BC、DC,若ADC8=2N4BC,求点。的坐标；

(3)若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M,使得B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=-|x2++2

(2)(啕

⑶(4,一或(一2,一坐或(2,2)

【分析】(1)根据抛物线y=-|/+6久+c(aH0)与x轴交于4(一1,0)、8(3,0)两点，可设抛物线解析式为

y=a(x+l)Q—3),知a=—I，代入得到完整解析式即可；

(2)作。EII4B,交BC延长线于点E,交y轴于点尸，根据相似三角形的判定证明△DCFBC。，设

D(t,-lt2+^t+2),得出数据代入会=会中求解，得到点。的坐标即可；

(3)根据抛物线的解析式为y=—|/