2025届高考数学一轮复习第一部分考点通关练第八章概率与统计考点测试66用样本估计总体含解析新人教B版

PAGE1-考点测试66用样本估计总体高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中、低等难度考纲研读1．了解分布的意义与作用，能依据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据的标准差3．能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的说明4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想5．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简洁的实际问题一、基础小题1．某品牌空调在元旦期间实行促销活动，右面的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量状况(单位：台)，则销售量的中位数是()A．13 B．14C．15 D．16答案C解析由题意得，中位数是eq\f(14＋16,2)＝15.选C．2．某学校A，B两个班的爱好小组在一次对抗赛中的成果如茎叶图所示，通过茎叶图比较两个班爱好小组成果的平均值及标准差．①A班爱好小组的平均成果高于B班爱好小组的平均成果；②B班爱好小组的平均成果高于A班爱好小组的平均成果；③A班爱好小组成果的标准差大于B班爱好小组成果的标准差；④B班爱好小组成果的标准差大于A班爱好小组成果的标准差．其中正确结论的编号为()A．①④ B．②③C．②④ D．①③答案A解析A班爱好小组的平均成果为eq\f(1,15)×(53＋62＋64＋…＋92＋95)＝78，其方差为eq\f(1,15)×[(53－78)2＋(62－78)2＋…＋(95－78)2]＝121.6，则其标准差为eq\r(121.6)≈11.03；B班爱好小组的平均成果为eq\f(1,15)×(45＋48＋51＋…＋91)＝66，其方差为eq\f(1,15)×[(45－66)2＋(48－66)2＋…＋(91－66)2]＝175.2，则其标准差为eq\r(175.2)≈13.24.故选A．3．某班的全体学生参与英语测试，成果的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()A．45 B．50C．55 D．60答案B解析依据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以该班的学生人数是eq\f(15,0.3)＝50.故选B．4．在样本的频率分布直方图中，共有7个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他6个小长方形的面积的和的eq\f(1,4)，且样本容量为80，则中间一组的频数为()A．0.25 B．0.5C．20 D．16答案D解析设中间一组的频数为x，依题意有eq\f(x,80)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,80)))，解得x＝16.5．探讨人员随机调查统计了某地1000名“上班族”每天在工作之余运用手机上网的时间，并将其绘制为如图所示的频率分布直方图，若同一组数据用该区间的中点值作代表，则可估计该地“上班族”每天在工作之余运用手机上网的平均时间是()A．1.78小时 B．2.24小时C．3.56小时 D．4.32小时答案C解析该地“上班族”每天在工作之余运用手机上网的平均时间是(1×0.12＋3×0.2＋5×0.1＋7×0.08)×2＝3.56(小时)．6．对于一组数据xi(i＝1,2,3，…，n)，假如将它们变更为xi＋C(i＝1,2,3，…，n)，其中C≠0，则下列结论正确的是()A．平均数与方差均不变B．平均数变，方差保持不变C．平均数不变，方差变D．平均数与方差均发生变更答案B解析由平均数的定义，可知每个个体增加C，则平均数也增加C，方差不变．故选B．7．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品长度的中位数为()A．20 B．25C．22.5 D．22.75答案C解析自左至右各小矩形的面积依次为0.1,0.2,0.4,0.15,0.15，设中位数是x，则由0.1＋0.2＋0.08·(x－20)＝0.5，得x＝22.5.选C．8．甲、乙两名同学在7次数学测试中的成果如茎叶图所示，其中甲同学成果的众数是85，乙同学成果的中位数是83，则成果较稳定的是________．答案甲解析依据众数及中位数的概念易得x＝5，y＝3，故甲同学成果的平均数为eq\f(1,7)×(78＋79＋80＋85＋85＋92＋96)＝85，乙同学成果的平均数为eq\f(1,7)×(72＋81＋81＋83＋91＋91＋96)＝85，故甲同学成果的方差为eq\f(1,7)×(49＋36＋25＋49＋121)＝40，乙同学成果的方差为eq\f(1,7)×(169＋16＋16＋4＋36＋36＋121)＝eq\f(398,7)>40，故成果较稳定的是甲．二、高考小题9．(2024·全国卷Ⅱ)演讲竞赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成果时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()A．中位数 B．平均数C．方差 D．极差答案A解析中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差、极差均受影响．故选A．10．(2024·全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学珍宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的状况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8答案C解析解法一：设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x，则x＋80－60＝90，解得x＝70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为eq\f(70,100)＝0.7.故选C．解法二：用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系如图：易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为eq\f(70,100)＝0.7.故选C．11．(2024·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变更状况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A．新农村建设后，种植收入削减B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半答案A解析设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入为0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M12．(2024·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数答案B解析因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应当用样本数据的极差、方差或标准差．故选B．13．(2024·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变更规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2024年1月至2024年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．依据该折线图，下列结论错误的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变更比较平稳答案A解析对于选项A，由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A错；对于选项B，视察折线图的变更趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，D，由图可知明显正确．故选A．14．(2024·山东高考)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．依据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A．56 B．60C．120 D．140答案D解析由频率分布直方图，知这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1－(0.02＋0.10)×2.5＝0.7，则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140.故选D．15．(2024·全国卷Ⅱ)我国高铁发展快速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车全部车次的平均正点率的估计值为________．答案0.98解析平均正点率eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98.则经停该站高铁列车全部车次的平均正点率的估计值为0.98.16．(2024·江苏高考)已知一组数据6,7,8,8,9,10，则该组数据的方差是________．答案eq\f(5,3)解析这组数据的平均数为8，故其方差为s2＝eq\f(1,6)×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝eq\f(5,3).17．(2024·江苏高考)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．答案90解析由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为89,89,90,91,91，故平均数为eq\f(89＋89＋90＋91＋91,5)＝90.三、模拟小题18．(2024·河南省名校联考)如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过21%的为()A．腾讯与百度的访问量所占比例之和B．网易与搜狗的访问量所占比例之和C．淘宝与论坛的访问量所占比例之和D．新浪与小说的访问量所占比例之和答案B解析由于网易与搜狗的访问量所占比例之和为18%，不超过21%，故选B．19．(2024·济南模拟)随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．某家庭2024年全年的收入与2024年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变更，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：则下列结论中正确的是()A．该家庭2024年食品的消费额是2024年食品的消费额的一半B．该家庭2024年教化医疗的消费额与2024年教化医疗的消费额相当C．该家庭2024年休闲旅游的消费额是2024年休闲旅游的消费额的五倍D．该家庭2024年生活用品的消费额是2024年生活用品的消费额的两倍答案C解析2024年食品消费占0.2,2024年食品消费占0.4，因2024年全年的收入与2024年全年的收入相比增加了一倍，所以两年的食品消费额相当，故A错误.2024年教化医疗消费占0.2,2024年教化医疗消费占0.2，因2024年全年的收入与2024年全年的收入相比增加了一倍，所以2024年教化医疗消费额是2024年的两倍，故B错误.2024年休闲旅游消费占0.25,2024年休闲旅游消费占0.1，因2024年全年的收入与2024年全年的收入相比增加了一倍，所以2024年休闲旅游的消费额是2024年的五倍，故C正确.2024年生活用品消费占0.3,2024年生活用品消费占0.15，因2024年全年的收入与2024年全年的收入相比增加了一倍，所以2024年生活用品消费额是2024年的四倍，故D错误．故选C．20．(2024·日照二模)某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不肯定正确的是()注：90后指1990年及以后诞生，80后指1980～1989年之间诞生，80前指1979年及以前诞生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多答案D解析由题图易知互联网行业从业人员90后占56%，A正确；仅90后从事技术岗位的人数占总人数比为0.56×0.396＝0.22176超过20%，B正确；90后从事运营岗位的人数占总人数比为0.56×0.17＝0.0952>0.03，C正确；90后从事技术岗位的人数占总人数比为0.56×0.396＝0.22176<0.41，而题中未给出80后从事互联网行业岗位分布状况，故D不肯定正确．21．(2024·贵阳监测)在某中学实行的环保学问竞赛中，将三个年级参赛学生的成果进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、其次、第三、第四、第五小组，已知其次小组的频数是40，则成果在80～100分的学生人数是()A．15 B．18C．20 D．25答案A解析依据频率分布直方图，得其次小组的频率是0.04×10＝0.4，∵频数是40，∴三个年级参赛学生总人数是eq\f(40,0.4)＝100，又成果在80～100分的频率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，∴成果在80～100分的学生人数是100×0.15＝15.故选A．22．(2024·上海市复旦附中模拟)一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200,5300,5500,6100,6500,6600，另两名员工数据不清晰，那么8位员工月工资的中位数不行能是()A．5800 B．6000C．6200 D．6400答案D解析∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200,5300,5500,6100,6500,6600，∴当另外两名员工的工资都不超过5300时，中位数为eq\f(5300＋5500,2)＝5400；当另外两名员工的工资都不小于6500时，中位数为eq\f(6100＋6500,2)＝6300，∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400,6300]，∴8位员工月工资的中位数不行能是6400.故选D．23．(2024·成都市高三其次次诊断性检测)为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场竞赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：①甲最近五场竞赛得分的中位数高于乙最近五场竞赛得分的中位数；②甲最近五场竞赛得分平均数低于乙最近五场竞赛得分的平均数；③从最近五场竞赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场竞赛的得分看，甲比乙更稳定．其中全部正确结论的编号为()A．①③ B．①④C．②③ D．②④答案C解析甲的中位数为29，乙的中位数为30，故①不正确；甲的平均数为29，乙的平均数为30，故②正确；从比分来看，乙的得分集中度比甲的得分集中度高，故③正确，④不正确．故选C．24．(2024·新疆高三一模)在发生某公共卫生事务期间，我国有关机构规定：“该事务在一段时间没有发生规模群体感染的标记为连续10天，每天新增加疑似病例不超过7人”．依据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，肯定符合该标记的是()A．甲地总体均值为3，中位数为4B．乙地总体均值为2，总体方差大于0C．丙地中位数为3，众数为3D．丁地总体均值为2，总体方差为3答案D解析由于平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，A不正确；当总体方差大于0，不知道总体方差的详细数值，因此不能确定数据的波动大小，B不正确；中位数和众数也不能限制某一天的病例超过7人，C不正确；当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就超过3，D正确．故选D．一、高考大题1．(2024·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．依据试验数据分别得到如下直方图：记C为事务：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，依据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．解(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35，b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.2．(2024·全国卷Ⅰ)某家庭记录了未运用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和运用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未运用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0．1)[0.1，0．2)[0.2，0．3)[0.3，0．4)[0.4，0．5)[0.5，0．6)[0.6，0．7]频数13249265运用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0．1)[0.1，0．2)[0.2，0．3)[0.3，0．4)[0.4，0．5)[0.5，0．6]频数151310165(1)作出访用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：(2)估计该家庭运用节水龙头后，日用水量小于0.35m3(3)估计该家庭运用节水龙头后，一年能节约多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)解(1)(2)依据以上数据，该家庭运用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，因此该家庭运用节水龙头后日用水量小于0.35m(3)该家庭未运用节水龙头50天日用水量的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))1＝eq\f(1,50)×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.该家庭运用了节水龙头后50天日用水量的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))2＝eq\f(1,50)×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.估计该家庭运用节水龙头后，一年可节约水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)．3．(2024·北京高考)某高校艺术专业400名学生参与某次测评，依据男女学生人数比例，运用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如右频率分布直方图：(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．解(1)依据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4，所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计值为0.4.(2)依据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，样本中分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5，所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×eq\f(5,100)＝20.(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，所以样本中分数不小于70的男生人数为60×eq\f(1,2)＝30，所以样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100－60＝40，所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2，所以依据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2.4．(2024·四川高考)我国是世界上严峻缺水的国家，某市政府为了激励居民节约用水，安排调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水状况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据依据[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．解(1)由频率分布直方图，知月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04＋0.08＋0.5a＋0.20＋0.26＋0.5解得a＝0.30.(2)由(1)，知100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000.(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85，所以2.5≤x<3.由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．二、模拟大题5．(2024·安徽淮北模拟)如图为2025届淮北师范高校数学与应用数学专业N名毕业生的综合测评成果(百分制)分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．(1)求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；(2)现欲将90～95分数段内的n名毕业生随机地安排往A，B，C三所学校，每所学校至少安排两名毕业生．①若这n名毕业生中甲、乙两人必需进同一所学校，共有多少种不同的安排方法？②若这n名毕业生中恰有两名女生，设随机变量ξ表示n名毕业生中安排往B学校的两名毕业生中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望．解(1)80～90分数段的频率p1＝(0.04＋0.03)×5＝0.35，此分数段的学员总数为21人，所以毕业生的总人数N＝eq\f(21,0.35)＝60，90～95分数段的频率p2＝1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.1，所以90～95分数段内的人数n＝60×0.1＝6.(2)①将90～95分数段内的6名毕业生随机地安排往A，B，C三所学校，每所学校至少安排两名毕业生，且甲、乙两人必需进同一所学校，则共有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝18种不同的安排方法．②ξ的全部可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(2,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(8,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(0,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(1,15)，所以ξ的分布列为ξ012Peq\f(2,5)eq\f(8,15)eq\f(1,15)所以随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝0×eq\f(2,5)＋1×eq\f(8,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(2,3).6．(2024·武汉一模)十九