教师资格认定考试高级中学数学真题2016年上半年

教师资格认定考试高级中学数学真题2016年上半年一、单项选择题1.

极限的值是______

A．e

B．1

C．

D．0正确答案：A[解析]利用两个重要极限中的

2.

下列级数中，不收敛的是______

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解析]A为交错级数，且满足当p＞1时收敛，p≤1时发散，所以收敛。调和级数是发散的。D项收敛。故答案选C。

3.

方程x2-y2+z2=-1所确定的二次曲面是______A.椭球面B.旋转双曲面C.旋转抛物面D.圆柱面正确答案：B[解析]单叶双曲面：双叶双曲面：如果a=b，那么曲面是一个双叶旋转双曲面。方程(a，b，c是任意的正常数)所表示的图形也都是双叶双曲面，所以x2-y2+z2=-1是双叶旋转双曲面。其中单叶双曲面与双叶双曲面统称为双曲面。

4.

若函数f(x)在[0，1]上黎曼可积，则f(x)在[0，1]上______A.连续B.单调C.可导D.有界正确答案：D[解析]在闭区间上函数可导必连续，连续必可积，可积必有界。故选D。

5.

矩阵的特征值的个数是______A.0B.1C.2D.3正确答案：D[解析]令

解得λ1=-1(二重)，λ2=5，所以矩阵A的特征值的个数为3个。

6.

二次型f(x，y)=x2-3xy+y2是______A.正定的B.负定的C.不定的D.以上都不是正确答案：C[解析]二次型f(x，y)=x2-3xy+y2对应的系数矩阵为所以f(x，y)是不定的。

7.

《普通高中数学课程标准(实验)》的课程目标提出培养数学基本能力，对于用几何方法证明“直线与平面平行的性质定理”的学习有助于培养数学基本能力有______A.推理论证

运算求解

数据处理B.空间想象

推理论证

抽象概括C.推理论证

数据处理

空间想象D.数据处理

空间想象

抽象概括正确答案：B[解析]用几何方法证明“直线与平面平行的性质定理”有助于培养空间想象、推理论证和抽象概括能力。

8.

创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程中，下面的表述不适合在教学中培养学生创新意识的是______A.发现和提出问题B.寻求解决问题的不同途径C.规范教学书写D.探索结论的新应用正确答案：C[解析]发现和提出问题、寻求解决问题的不同途径、探索结论的新应用都是培养学生创新意识的教学。教学书写应正确、严谨，不宜随心所欲。

二、简答题(每小题7分，共35分)1.

设质点在平面上的运动轨迹为求质点在时刻t=1的速度大小。正确答案：t=1时，速度为

答：质点在时刻t=1的速度大小为

2.

设球面方程为(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=169，求它在(4，5，13)处的切平面方程。正确答案：设方程F(x，y，z)=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2-169，由于Fx=2(x-1)，Fy=2(y-1)，Fz=2(z-1)在全空间上处处连续，所以在(4，5，13)处可得Fx=2×(4-1)=6，Fy=2×(5-1)=8，Fz=2×(13-1)=24。因此可得切平而方程为6(x-4)+8(y-5)+24(z-13)=0，即3x+4y+12z-188=0。

3.

在体育活动中，甲乙两人掷一枚六面分别标有1，2，3，4，5，6的质地均匀的骰子。如果结果为奇数，则甲跑一圈，若结果为1或2，则乙跑一圈。请回答甲跑一圈和乙跑一圈这两个事件是否独立，并说明理由。正确答案：设事件A为“结果为奇数”，事件B为“结果为1或2”，则事件AB表示事件A和事件B要同时发生，只有当结果为1的时候事件发生，所以因为P(AB)=P(A)P(B)，所以A与B是相互独立的，即甲跑一圈和乙跑一圈这两个事件相互独立。

4.

《普通高中数学课程标准(实验)》描述“知识与技能”领域目标的行为动词有“了解”“理解”“掌握”“运用”，请以等差数列概念为例，说明“理解”的基本含义。正确答案：理解：描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。以等差数列为例，一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，常数叫作这个数列的公差，通常用d表示。等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。与等差数列相关的对象是等比数列，一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示。即等差数列的差是定值，等比数列的比值是定值。

在具体的情境中，我们还可以发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题，体会等差数列与一次函数的关系。结合具体情境，理解等差数列的概念，结合实例说出等差数列的具体含义，交流自己的认识和理解，能够自己描述等差数列的概念，这些属于“理解”的目标层次。

5.

以“余弦定理”教学为例，简述数学定理教学的主要环节。正确答案：主要环节：(1)定理的引入。

让学生清楚定理的由来，不仅有助于理解和记忆，还有利于培养学生的发现问题能力和创造能力。讲余弦定理时，把余弦定理编入平面向量之后，利用向量作为工具推导出余弦定理，进而利用这个定理来解决与三角形有关的边角转化的计算与证明。

(2)定理的明确与理解。

明确定理的结构是证明定理的基础，它的主要任务是帮助学生弄清定理的条件和结论。余弦定理是三角形的任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即c2=a2+b2-2abcosC，b2=a2+c2-2accosB，a2=b2+c2-2bccosA。

(3)掌握定理的证明与推导。

在△ABC中，已知边a，b及∠C，求边c的长。

如果∠C=90°，那么可以用勾股定理求c的长；

如果∠C≠90°，构造直角三角形，便于应用勾股定理进行计算。

当∠C为锐角时，如图所示，高AD把△ABC分成两个直角三角形ADB和ADC；

当∠C为钝角时，如图所示，作高AD，则构造了两个直角三角形ADB和ADC，算出c的关键是先算出AD或BD。

考查向量方向上的正射影数量；当∠C分别为锐角和钝角时，得到的两个数量符号相反；当∠C为直角时，其向量在直角边上的正射影的数量为零。因此，不论∠C是锐角、钝角还是直角，都有AD=bsinC，BD=a-bcosC。

在Rt△ADB中，运用勾股定理，得c2=AD2+BD2=b2sin2C+(a-bcosC)2=a2+b2-2abcosC。同理可得b2=a2+c2-2accosB，a2=b2+c2-2bccosA。

(4)定理的应用。

例如：①在△ABC中，已知a=4，b=4，c=3，求∠A，∠B，∠C。

②在△ABC中，已知a=3，b=4，∠C=60°，求其他的边与角。

(5)建立数学命题系统化体系。

引导学生对某些定理作适当的不同方向的推广，也是使学生认识定理之间关系的有效方法，同时也有利于培养学生的创造才能。

例如建立与正弦定理之间的联系。

三、解答题(本大题10分)1.

设求子空间A(R3)={Aa|a∈R3}的一组正交基。正确答案：取R3上一组基：e1=(1，0，0)T，e2=(0，1，0)T，e3=(0，0，1)T，令ε1=Ae1=(1，1，3)T，ε2=Ae2=(1，2，4)T，ε3=Ae3=(0，1，1)T，则进行初等行变换后为秩为2，ε1，ε2线性无关，所以ε1，ε2为A(R3)的一组基，将ε1，ε2进行正交化得β1=ε1=(1，1，3)T，所以子空间A(R3)={}的一组正交基是β1=(1，1，3)T

四、论述题(本大题15分)“严谨性与量力性相结合”是数学教学的基本原则。1.

简述“严谨性与量力性相结合”教学原则的内涵；正确答案：数学的严谨性是指数学具有很强的逻辑性和较高的精确性，即逻辑的严格性和结论的确定性。量力性是指学生的可接受性。

这一原则说明教学中的数学知识的逻辑严谨性与学生的可接受性之间相适应的关系。理论知识的严谨程度要适合学生的一般知识结构与智力发展水平，随着学生知识结构的不断完善，心理发展水平的不断提高，来逐渐增强理论的严谨程度；反过来，又要通过恰当的理论严谨性逐渐提高学生的接受能力。显然，这一原则是根据数学本身的特点及学生心理发展的特点提出的。但是，在学习过程中，学生的心理发展是逐步形成的，不同的年龄阶段，其感知、记忆、想象、思维、能力等心理因素都有不同的发展水平。这种心理发展的渐变性决定了学生在教学中不可能对数学理论的研究达到完全严密的程度，因此教师在不同的教学阶段，应该依据不同的教学目的和教学内容而提出不同的严谨性要求，即数学教学的严谨性是相对的。

2.

实数指数幂在数学上是如何引入的?正确答案：在初中的学习过程中，学生已了解了整数指数幂的概念和运算性质。因此实数指数幂的教学将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数，进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂。

3.

在高中“实数指数幂”概念的教学中，如何体现“严谨性与量力性相结合”的教学原则。正确答案：在高中“实数指数幂”概念的教学中，对严谨性要求，应设法安排使学生拥有逐步适应的过程和机会，逐步提高其严谨程度，要求做到推理有据，通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质，掌握分数指数幂和根式之间的互化以及分数指数幂的运算性质，渗透“转化”的数学思想。在推理有据的同时并不排斥直观和猜想，强调思维的严谨性，但允许猜想，辩证地处理好推理有据和猜想的关系。

在学习过程中，学生已经学习了数的平方根和立方根，根式的内容是这些内容的推广，由于方根和根式的概念和性质难以理解，在引入根式的概念时，要结合已学内容，列举具体实例，根式的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行，每种情况又分a＞0，a＜0，a=0三种情况，并结合具体例子讲解，设计大量的类比和练习题目，帮助学生加以理解。

在教学中不能消极适应学生，降低理论要求，必须在符合内容科学性前提下，结合学生实际组织教学。

五、案例分析题(本大题20分)在等差数列的习题课教学中，教师布置了这样一个问题：等差数列前10项和为100，前100项和为10，求前110项的和?

两位学生的解法如下：

学生甲：设等差数列的首项为a1，公差为d，则

学生乙：设等差数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn，由已知得

针对上述解法一些学生提出了自己的想法。

学生丙：怎么刚好有S100+S10=-S110呢，这是一种巧合吗?上述所得到的结论是否隐含着一般性的规律呢?

老师：同学丙说的规律是否就是：一般地，在等差数列{an}中，若存在正整数p，q，且p≠q，使得Sp=q，Sq=p，则Sp+Sq=-Sp+q(*)，请同学们进行验证。

问题：1.

请分析学生甲和学生乙解法各自的特点，并解析学生乙设Sn=An2+Bn的理由；正确答案：学生甲运用前n项和公式，把Sn表示成首项a1和公差d的两个方程，通过方程解决问题。学生乙把Sn化成关于n的二次函数，运用二次函数的知识求解。等差数列前n项和的公式，因为a1和d是确定的值，所以令就得到Sn=An2+Bn。

2.

请验证(*)中的结论是否成立?正确答案：成立。Sp+q=Sp+ap+1+ap+2+…+ap+q=Sp+Sq+pqd=-(p+q)，∴Sp+Sq=-Sp+q，所以(*)中的结论成立。

六、教学设计题(本大题30分)《普通高中数学课程标准(实验)》关于“古典概型”的教学要求是，“古典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征：实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性。让学生初步学会把一些实际问题化为古典概型，教学中不要把重点放在‘如何计算上’”，请完成下列任务：1.

结合上述教学要求，请设计高中“古典概型”起始课的教学目标；正确答案：教学目标：

知识与技能：

①理解基本事件的特点；

②通过实例，理解古典概型及其概率计算公式；

③会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数以及事件发生的概率。

过程与方法：

根据本节课的内容和学生的实际水平，通过两个实验的观察让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性。观察类比骰子试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合法、分类讨论的思想解决概率的计算问题。

情感态度与价值观：

概率教学的核心问题是了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象。适当的增加合作学习交流的机会，尽量地自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例，使得在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神。

2.

请设计两个符合古典概型的正例，以及两个不符合古典概型的反例，以便理解古典概型的特征；正确答案：正例1：掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。

正例2：从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。

反例1：向一个圆面内随机地投射一个点。

反例2：在适宜的条件下，“种下一粒种子观察它是否发芽”。

3.

抛掷一枚质地均匀的骰子(6个面分别有1，2，3，4，5，6)，请用两种不同的解