教师资格认定考试高级中学数学分类模拟10

教师资格认定考试高级中学数学分类模拟10解答题1.

设，求3AB-2A.正确答案：解：因为[考点]矩阵

2.

y=x3，x=2，y=0所围成的图形，分别绕x轴及y轴旋转，计算两个旋转体的体积．正确答案：解：图形绕x轴旋转，该体积为图形绕y轴旋转，该立体可看作圆柱体(x=2，y=8，x=0，y=0所围成的图形绕y轴所得到的立体)减去曲线，y=8，x=0所围成的图形绕y轴所得到的立体，因此体积为[考点]积分

3.

求随机变量Y=2X+1的概率密度函数．正确答案：解：设y=2x+1，则y'＞0，反函数为因此Y=2X+1的密度函数为[考点]概率论与数理统计

4.

已知二次曲线L：9x2+4y2+18x+16y-11=0，矩阵，求二次

曲线L在变换TX=AX+B所得二次曲线L1的方程．正确答案：解：设曲线L1上一点(x1，y1)对应曲线上的一点(x，y)，依据题意可知：变换形式得代入曲线L的方程，整理得x12+y12=1，即曲线L1的方程为x2+y2=1．[考点]线性空间与线性变换

5.

设A，B为3阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A-1+B|=2，求|A+B-1|的值．正确答案：解：由于A(A-1+B)B-1=(E+AB)B-1=B-1+A，所以|A+B-1|=|A(A-1+B)B-1|=|A||A-1+B||B-1|，因为|B|=2，所以，因此[考点]矩阵

6.

设x＞0，证明：正确答案：证明：记，则当x＞0时，有由拉格朗日中值定理的推论，得f(x)≡C(x＞0)，而从而结论成立．[考点]积分

7.

求曲面z-ez+2xy=3在点(1，2，0)处的切平面方程．正确答案：解：令F(x，y，z)=z-ez+2xy-3，则F'x=2y，F'y=2x，F'z=1-ez在点(1，2，0)处的切平面的法向量为(4，2，0)，则切平面方程为4(x-1)+2(y-2)+0(z-0)=0，即2x+y-4=0．[考点]多元函数微分学及其应用

已知x＞0，y＞0，且x+y=2．8.

求的最小值．正确答案：解：因为x＞0，y＞0，x+y=2，所以当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8．[考点]数与代数

9.

若4x+1-mxy≥0恒成立，求m的最大值．正确答案：解：因为4x+1-mxy≥0，所以，由x+y=2可得由第一小题可知的最小值为8，所以，所以m≤4，所以m的最大值为4．[考点]数与代数

将所有平面向量组成的集合记作R2，f是从R2到R2的映射，记作y=f(x)，或(y1，y2)=f(x1，x2)，其中x1，x2，y1，y2都是实数，定义映射f的模为：在|x|=1的条件下|y|的最大值记作||f||．若存在非零向量x∈R2及实数λ使得f(x)=λx，则称λ为f的一个特征值．10.

若，求||f||．正确答案：解：∵f是从R2到R2的映射，(x2=±1时取最大值)，∴此时有||f||=1．[考点]数与代数

11.

如果f(x1，x2)=(x1+x2，x1-x2)，计算f的特征值，并求相应的x．正确答案：解：由f(x1，x2)=(x1+x2，x1-x2)=λ(x1，x2)，可得解此方程组可得(λ-1)(λ+1)=1，从而时，此时这两个方程是同一个方程，∴此时方程组有无穷多个解，，其中m∈R且m≠0，当时，同理可得相应的，其中m∈R且m≠0．[考点]数与代数

12.

若f(x1，x2)=(a1x1+a2x2，b1x1+b2x2)，要使f有唯一的特征值，实数a1，a2，b1，b2应满足什么条件?试找出—个映射f，满足以下两个条件：①有唯一特征值λ；②||f||=|λ|．正确答案：解：由方程组可得x1(a1-λ，b1)+x2(a2，-b1-λ)=0，从而向量(a1-λ，b1)与(a2，-b1-λ)平行，从而有a1，a2，b1，b2应满足(a1-b1)2+4a2b1=0，当f(x)=λx时，f有唯一的特征值，且||f||=|λ|，故f(x)=λx．[考点]数与代数

13.

设概率空间为Ω={1，2，3，4，5，6}，且这六个数的出现概率为，设事件A={1，3，5}，事件B={1，2}．请回答事件A和B是否独立，并说明理由．正确答案：解：因为，而事件A，B同时发生只有一种情况，即出现1，所以，所以P(AB)=P(A)·P(B)，所以事件A和事件B为独立事件．[考点]概率论与数理统计

已知函数14.

求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．正确答案：解：∵函数的定义域为(0，+∞)，∴∴f'(1)=0，又∴曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为．

[考点]导数与微分

15.

求函数f(x)的极值点．正确答案：解：令f'(x)=(x-a)lnx=0，解得x=1或；①当0＜a＜2时，，当x变化时，f'(x)，f(x)变化情况如下表：

②当a=2时，f'(x)=(2x-2)lnx≥0，x∈(0，+∞)恒成立，故a=2时，f(x)无极值．

③当a＞2时，，当x变化时，f'(x)，f(x)变化情况如下表：

④当a≤0时，当x变化时，f'(x)，f(x)变化情况如下表：

表3a≤0时，f'(x)，f(x)变化情况x(0，1)1(1，+∞)f'(x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增综上可得：当0＜a＜2时极大值点为，极小值点为x=1；当a=2时不存在极值点；当a＞2时极大值点为x=1，极小值点为；当a≤0时极小值点为x=1，无极大值点．

[考点]导数与微分

16.

什么是概念的形成?请以“映射”概念的教学为例，说明概念形成的教学过程．正确答案：概念的形成指的是由学生在对大量同类数学对象的不同例证进行分析、类比、猜测、联想、归纳等活动的基础上，独立概括出来的概念获得的方式．

概念形成的教学过程一般包括以下几个方面．

(1)感知、辨别各种刺激模式．学生首先主动地观察、感知、体会所要学习的数学概念所关涉的对象和事物的特征，并对各种不同的刺激模式进行辨别分析，然后根据数学对象的外部特征概括、分化出各种刺激模式的属性．在“映射”概念的学习过程中，教师可以提供与学生日常生活经验或已有知识息息相关的对应的典型的例子．例如，数轴上的点与实数的关系，坐标平面上的点与有序实数对之间的关系等．

(2)抽象出各个刺激模式的共同属性，并提出假设．根据各个刺激模式的特征，抽象出它们的共同属性，把这些属性同认知结构中有关的起固着作用的观念联系起来，归纳后提出假设．例如，对于上述“映射”概念学习中的几个不同对象的例子，它们的共同属性为都是两种事物之间的对应，其中前半部分数轴上的点、坐标平面上的点，都能在后半部分找到和它对应的量．这就是“映射”的雏形，可在此基础上提出假设：两个集合，若其中一个集合中的元素都能在另一个集合中找到与之对应的元素，则这两个集合之间的关系就称之为映射．

(3)在特定的情境中修正、检验假设，形成概念．提出某种假设之后，紧接着应在特定的情境中通过变式修正、检验假设，把关键属性抽象出来，使新概念意义明确，并用语言概括成定义的形式．

(4)把新概念一般化，并用数学语言符号表达．为使新概念具有明确的代表性，需要将其共同关键属性推广到同类数学对象中，这也是在更大范围内检验和修正概念的过程，教师可以让学生先用自己的语言叙述并说明概念，然后再根据学生理解概念内涵和外延的实际情况进一步规范、深化概念的意义．在此基础上，引导学生用数学的符号语言准确地表达概念，并把数学的符号以及符号所代表的实质性内容建立起内在的联系．[考点]数学概念

17.

设n阶矩阵A满足A2=A，证明：R(A)+R(A-I)=n．正确答案：证明：由矩阵秩的性质知，R(A)+R(I-A)≥R[A+(I-A)]=R(I)=n，又因R(I-A)=R(A-I)，所以R(A)+R(A-I)≥n①，由A2=A，得A(A-I)=O，于是，由矩阵秩的性质知，R(A)+R(A-I)≤n②，结合①式和②式，即得，R(A)+R(A-I)=n．[考点]矩阵

18.

设，求M11+M21+M31+M41的值．正确答案：解：由题意可知[考点]行列式

19.

f(x)在(-∞，+∞)上连续，，且f(x)的最小值f(x0)＜x0，证明：f[f(x)]至少在两点处取得最小值．正确答案：证明：令F(x)=f(x)-x0，则F(x)在(-∞，+∞)上连续，且F(x0)＜0，，使得F(b)＞0，于是由零点定理，知，使得F(x1)=0；，使得F(x2)=0，即有x1＜x0＜x2，使得f(x1)=x0=f(x2)，从而得f[f(x1)]=f(x0)=f[(x2)]．[考点]导数与微分

已知a≥0，b≥0，c≥0，且满足a+2b+3c=3．20.

证明：．正确答案：证明：∵a≥0，b≥0，c≥0，∴a+1＞0，b+1＞0，c+1＞0，则，当且仅当a+1=2b+2=3c+3，即a=2，，c=0时，等号成立，∴．[考点]数与代数

21.

证明：a2+4b2+9c2≥3．正确答案：证明：∵a+2b+3c=3，a2+(2b)2≥4ab，(2b)2+(3c)2≥12bc，(a)2+(3c)2≥6ac，∴2(a2+4b2+9c2)≥2(2ab+6bc+3ac)，∴9=(a+2b+3c)2=a2+4b2+9c2+4ab+12bc+6ac≤3(a2+4b2+9c2)，即a2+4b2+9c2≥3，当且仅当a=2b=3c=1时，等号成立．[考点]数与代数

22.

求方阵的逆矩阵．正确答案：解：可记为B-E，则B=A+E，B2=4B=4(A+E)=(A+E)2，得[考点]矩阵

在检测中为减少检测次数，我们常采取“n合1检测法”，即将n个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均未感染病毒；若为阳性，则需对本组的每个人再做检测．现有10k(k∈N*)人，已知其中有2人感染病毒．23.

若k=5，并采取“10合1检测法”，求共检测15次的概率．正确答案：解：现共有50人，由题意先平均分为5组，检测5次，因为共检测15次，所以两个感染者必定分在同一组中，所以共检测15次的概率有两种算法，第一种是分组分配思想，第二种是算一组已经有一名感染者的情况下，选中另一名感染者，即两种算法结果为所以k=5，并采取“10合1检测法”，求共检测15次的概率为．[考点]概率论与数理统计

24.

设采取“5合1检测法”的总检测次数为X，采取“10合1检测法”的总检测次数为Y，若仅考虑总检测次数的期望值，当k为多少时，采取“10合1检测法”更适宜?请说明理由．正确答案：解：当感染者在同一组时，X=2k+5，Y=k+10，此时当感染者不在同一组时，X=2k+10，Y=k+20，此时综上：k≥10时，采取10合1检测法更适宜．[考点]概率论与数理统计

设矩阵(其中a＞0，b＞0)．25.

若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M-1．正确答案：解：设矩阵M的逆矩阵∴2x1=1，2y1=0，3x2=0，3y2=1，即故所求的逆矩阵．[考点]线性空间与线性变换

26.

若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到