2024年新高考高三数学复习阶段性复习：平面向量综合卷(解析版)

专题5.7平面向量综合卷(解析版)

本试卷满分150分时量：120分钟

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1.如图，在正六边形A5CDE产中，AC=()

A.AB-2AFB.AB+2AFC.2AB+AFD.2AB+2,AF

【答案】C

【解析】连接AO,BE,CP交于点。，由正六边形的性质可知，六个小三角形均为全等的正三角形,

所以FC=2AB且产C7/AB,：.ACAF+FC=AF+2AB.

故选C.

2.在△ABC中，内角所AB,C对的边分别为a,b,c,aBA+(b-2c)BC+cAC=0,则△ABC的形

状是()

A.等腰三角形B.等边三角形

C.等腰直角三角形D.钝角三角形

【答案】B

【解析】HaBA+(b-2c)BC+cAC=0,所以(a—c)BA+(Z?—c)3C=0,所以a-c=0,b—c=。,所

以a=b=c,故△ABC为等边三角形.

故选B.

3.己知非零向量.，〜满足1加=函，则“、+2耳=|2a—6/是“a_L6”的()

A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】|。+2.=|2”一4+=\2a-b^0,+4a»ft+4^2-二4a2-4。•力+办2,因为|°|=|〃|工0,

所以a.b=0=a_LZ>.

故选A.

4.在△ABC中，AD为5C边上的中线，AE=2ED,若EB=XAB+〃AC,则X+〃=()

A.1B.1C.0D1

3

【答案】D

A

［解析］

BDC

因为AD=AB+3D=A2+，C=AB+!(AC-AB)」A2+LAC,

22、>22

2=-

所以EBuEO+DBuLxLlAB+Acl+LlAS-AClnaAB-lAC,即<3「所以4+4二：W，

32、'2V'33

〃=—

r3

故选D.

5.若两个向量a,力的夹角是幺，a是单位向量，1*1=2,c=2a+b,则向量c与8的夹角为()

3

3/r

A.-B.-C.—D

633T

【答案】B

27r

【解析】•两个向量4,Z7的夹角是彳，。是单位向量，1切=2,」.^=lx2xcos-=-l.c=2a+b

.,.|c|=J(2a+b)2=J4a2+4a山+b2=/4-4+4=2.­-c»b=(2a+b)・b=2a»b+/=—2+4=2.设向量△与b的夹角

为夕，。£［0,加，贝ijcos。———,..0—.

1c|.|Z?|2x223

故选B.

6.设向量〃力满足卜=2,卜卜1,且b_L(Q+b),则向量/?在向量Q+：方上的投影的数量为()

A.1B.-1C.--D

2~2

【答案】D

-2

【解析】b±(ia+b'),b^a+b^=a-b+b2=0^：.a-b=~b=T,:.b-^a+2bj=a-b+2b=1'

[0君

cos0=m------nm=cos0+A/3sin6

AC=口,…+一2解得：<

,八1〃=2sin6

smu=—n

[2

:.y/3m-n=y/3cos0-^-sin3=2sin^0+6O),0<^<150.-.60<0+60<210.•.-；Wsin(e+60)<1

/.-1<V3m-n<2,即一〃的最大值为2.

故选C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.已知向量a=（'|,sina1,8=，intz,3）,若a〃b,则角a可能为（）

A.30B.60C.150D.330

【答案】ACD

【解析】已知向量aJl>sina],b=11311

sina,二，由〃〃。，得一x一—sin2a=0,即siYan—,

<6J264

所以sina=±g,贝!]sin30=J,sin60=—,sin150=sin30=—,sin330=sin(360-301=-sin30=--

22''2

故ACD正确，B错误.

故选ACD.

R时，日+彳自的最小值为白，则下列结论正确的是()

10.已知e；,e2是两个单位向量，2G

JTB.q,e的夹角是?或今

A.q,4的夹角是彳2

D.卜1+旬=1或苴

c.卜1+司=1或g

112

【答案】BC

【解析】设华4的夹角为氏由题可知，

/«1U\2IIIT/IIu*\2/IIu*\2/iru*\2,।IIIT।

2

（q+Xq）=A+2Ae1-e2+\=\^+ex-e2j+1—，因为4，g是两个单位向量，且卜i十几回

的最小值为乎，所以盯的最小值为/则1_即力=1,解得cos，=±g,二e；与02的夹角为年

或三，所以（i+e?|=l+2e「e2+l=2±2xg=l或3,所以R+e?|=1或6.

故选BC.

11.在△ABC中，D,E,产分别是边BC,AC,A3中点，下列说法正确的是（）

A.AB+AC-AD=0

B.DA+EB+FC=O

C.若点尸是线段AD上的动点，且满足2P=ZBA+〃BC,则2+2〃=1

/4RAC\

D.若△ABC所在平面内一点尸满足AP=2——+——（220）,则点尸的轨迹一定通过△ABC的内

\\AB\\AC\I

心

【答案】BCD

【解析】在△ABC中，D,E,尸分别是边BC,AC,A3中点.

A中，由AB+AC—AO=2A。一AO=AO，所以A不正确；

B中，由n4+£B+bC=-g（A8+AC+5A+8C+C4+CB）=O,所以B正确；

C中，由B尸=；l氏4+〃BC=X84+2〃BD,因为三点共线，

根据平面向量的基本定理，可得几+2〃=1,所以C正确；

AB

D中，因为同是与AB同向的单位向量，网时与AC同向的单位向量，所以点P在/BAC的角平分线

上，则点P的轨迹一定通过，ABC的内心，所以D正确.

故选BCD.

12.ZkABC中，Z）为AB上一点且满足AO=308,若尸为线段CO上一点，且AP=4AB+〃AC（A,〃为

正实数），则下列结论正确的是（）

一1一3

A.CD=-CA+-CBB.42+34=2

44

C.加的最大值为ID.J+的最小值为3

12A3〃

【答案】AD

由题设，可得AP=AD+//AC,又。,P,C二点共线，q-+//=1,即44+3//=3,B错误;

由2,〃为正实数，4九+3〃=324后则2人工当且仅当2二时等号成立，故C错误;

1682

]+，-=!(g+，-)(44+3〃)=:(5+半+¥)2：(5+2)半-¥)=3,当且仅当3〃=24时等号成立，故D

Z3ju323jU3A,3ju3丫力3〃

正确；

1•--131

0）=。3+3。=。3+—痴，又胡=8。+04,，。。=。8+—（8。+04）=—。8+—04,故人正确.

44744

故选AD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知a,6是两个互相垂直的单位向量，若c=2a-b，则cos,,c）=.

【答案】一延

5

rri*rrrrr?

【解析】由题意可知：忖=M=l,7」=0,则小c=“2a-b）=2a力一7=一1,

二必+』,所以3（鼠）=法=温=一手.

故答案为-好.

14.在△ABC中，AB=s/3,AC=2,若。为△ABC内部的一点，且满足Q4+O2+OC=0,则

AOBC=.

【答案】I

【解析】因为。4+O2+OC=0,所以。是△ABC的重心，所以AO=；(AC+AB)，又2。=4。一42，

AAO-BC=1(AC+AB)-(AC-AB)=1(IACl2-IABl2)=1•故答案为:•

15.已知菱形ABCQ的边长为1,ABAD=60°,AP=2AB(>)->0).当2=g时，AC.p£)=；当Af>.£)p

取得最小值时，X=.

【答案】43,41

44

【解析】当2=g时，AP=^AB,

AC-PD=(AB+BC^AD-AP^=(AB+AD^AD-^AB^=AD2AB2AB-AD

ii3

-l--+-xlxlxcos60°=-；DP=AP-AD=AAB-AD,所以AP-DP=/LA8(；IAB-AT))

=AAB2-AABAD=2|AB|2-2|AB|-|Ar）|-cos60o—上，所以当丸=；时，”.£）/>取得最小

值，最小值为一」.

16

31

故答案为了；—.

44

5兀

16.已知向量。L与。8的模均为2,且〈OAOB〉=L，点C在以。为圆心的劣弧A3上运动，若

6

OC=xOA+yOB,x,yeR,则x-也y的取值范围是.

【答案】[-2』

【解析】根据题意，作出如图的图形，设4（2,0）,8卜6,1）,则点在以0为圆心的劣弧A3上运动，其轨迹

方程为_?+/=4―辰尤V2,0V”2）,设C（2cos，,2sin6）,夕e0,y,因为04=（2,0）,02=卜"1）,

八八八”八八/7\b,、，=2cos0fxug'sinO+cosO

所以OC=xQA+yO8=（2龙-J3y,y）,所以<,解得，，

、/[y=2sind[y=2sin6

所以x-6y=\/^sine+cosO-25/5sinO=cosO-^sin。=2cos（6+4],因为。e0,—,0+—e—,

I3JL6J3|_36_

所以cosTiWcos（e+mjvcosm，即一lVcos（0+]]wg,所以一2V2cos+即x-gye[-2,l]

所以x-石y的取值范围是[-2』.

故答案为[-2』.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）

设「与e；是两个单位向量，其夹角为60。，S.a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,

（1）求a/

（2）分别求6的模；

（3）求a,6的夹角.

【答案】(1)-1；(2)口=近，恸=近；(3)120°.

一一一一一一一2-2--7

【解析】(1)。2=(2,+6),(一3,+24)=—6，+24+e^e2=-4+lxlxcos60°=--.

(2)因为〃=2q+e2，所以卜(二,+e；『=4e：+e：+44=7,所以忖=近；因为人=一3耳+2/,所以

|/?|=|-3^+2e2|=9e：+442-126七2=7,所以恸=6.

_7

(3)设0,。的夹角为。.则COS6>==£=广」L=」，所以夕=120?,故a,6的夹角为120。.

问.忖V7xV72

18.(本小题满分12分)

已知非零向量弓和02不共线.

(1)如果AB=el+e2,BC=2e1+8e2,CD=3iex—e2，求证：A,5。三点共线;

(2)欲使向量左G+6与4+3平行，试确定实数％的值.

【解析】(1)证明：因为=,+62,5。=26+802，。。=3(6一弓,可得加=5。+。力=5,+5%，所以

BD=5AB,且AB为非零向量，所以与8。共线，所以人民。三点共线.

(2)因为左6+/与之+总平行，且两向量都为非零向量，所以存在实数力使得左=之(,+3)成立

k—A=0

即("4招=("-1砥，因为q和e2不共线，所以独-1=0'解得-±L

3

19.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA=—

5

uuuuum

(1)若△ABC的面积为3,求A5・AC的值;

2s吟1}

(2)设m=n=COSB,COSy，且小〃几，求sin(5-2C)的值.

【解析】(1)0<A<7Tf/.sinA>0,则sinA=J1-cos?A=,，ABC的面积为

」151539

=4csinAx6cx3=3,bc=一,因止匕，AB-AC=cbcosA=—x—=—

2252252

uiBB

(2).m=2siny,1，n=cos8,cos万,且加〃几，所以，2sin—cos—=cosB,即sinB=cosB,/.tanB=l.

71

0<B<7r,:.B=—

4

sin2C=sin21耳-A)3

=sin:-2A=—cos2A=l-2cos2A=l-2xI=i,

A371、4324

cos2C=cos2=cos2A=-sin2A=-2sinAcosA=-2x—x—=-----

J5525

因此，sin（B-2C）=sin一2Cj=岑（cos2C-sin2C）24_2_3172

-近--x

225-2550

20.（本小题满分12分）

已知函数y（x）=cos（ox+夕）（0＞0,0＜夕＜兀）为奇函数，且其图象上相邻的一个最高点与一个最低点

之间的距离为，4+兀2.

（1）求/（x）的解析式；

)\UL1UUUIU/兀)、

（2）给定三点A（l,0）,+(—,/(71-6Z)I.AB//AC,且求sina+cosa

的值.

T

【解析】（1）设最高点为（士,1）,相邻最低点为则瓜-%i=q，由三角函数的图象及己知，可得

3+4=（"+/）2,即：+4=4+/，解得7=2万，由。=与，可得。=1,所以/'（x）=cos（x+。），

因为函数/（x）=cosOx+0）（G＞。，。＜。＜乃）为奇函数，所以/（O）=COS0=。，得。=%»+—,上eZ,

又0<9〈=，所以9=3，于是/(x)=cos(x+9=—sin%.

22

(2)由(1)可得/(a—/]=—sin[。—/]=cosa,—。)=—sin(»—。)=—sin。，.•.三点坐标A(l,0),

(1A(1)uuuumu7i1

B(coscr+l,l),C^-,-sin«J,向重A3=(cosa,l),AC=\^--,-sinaj,ABHAC,(0,—),/.-costzsincr=--,

]71

则cosasina=5，.•.(cosa+sina)2=l+2sinocosa=2,a£(0,一),所以sina