2024年中考数学复习：整式与因式分解（解析版）

整式与因式分解

命题趋势

g.

中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的

复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及事的运算，难度一般不大。因式分解作为整式乘

法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一

般只考察因式分解的前两步，拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好

基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向。

心知识导图

■.

多项式

多项式+单项式

t

3重点考向

一.

考向一、整式的加减；

考向二、哥的运算

考向三、整式的乘除

考向四、因式分解

考向一：整式的加减

1.整式的概念及注意事项:

名称识别次数系数与项

单项式①数与字母或字母与字母相乘组成的所有字母的系数：单项式中的数字因数

整代数式；②单独的一个数或一个字母指数的和

式多项式几个单项式的和次数最高项项：多项式中的每个单项式

的次数

【易错警示】

＞由定义可知，单项式中只含有乘法运算；分数是一个完整的数，不拆开来算；

＞单独的一个数或字母也叫单项式；单独的字母的系数为1,次数也是1

＞由定义可知，多项式中可以含有乘法——加法——减法运算；

＞多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数;

「真例引砥

1.（2022秋•泉州期中）单项式-2irr3的系数和次数分别是（）

A.-2,4B.-2,3C.-2TT,3D.2ir,3

【分析】根据单项式的系数和次数的概念解答.

【解答】解：单项式-2^的系数是-2TT,次数是3,

故选：C.

2.（2022秋•包河区期中）已知单项式2X3严与单项式-9xny2是同类项，贝U机-"的值为（）

A.-1B.7C.ID.11

【分析】根据同类项的定义可得机=2,n=3,再代人所求式子计算即可.

【解答】解：,•,已知单项式2X3严与单项式-9xV是同类项，

.二m=2,〃=3,

.,.m-n=2-3=-1.

故选:A.

3.（2022秋•陇县期中）下列说法中，错误的是（）

A.数字1也是单项式

B.单项式-5X3J的系数是-5

C.多项式-X3+2X-1的常数项是1

D.3马2二到+2y3是四次三项式

2

【分析】由多项式的次数，项的概念；单项式的次数，系数的概念即可判断.

【解答】解：/、数字1也是单项式，正确，故/不符合题意；

B、单项式-5X3）；的系数是-5,正确，故3不符合题意；

C、多项式-X3+2X-1的常数项是-1,故3符合题意；

D、3。21共2/是四次三项式，正确，故N不符合题意.

-2-

故选：C

4.（2022秋•高邮市期中）已知代数式3a-庐的值为3,则8-6a+2b2的值为.

【分析】将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可.

【解答】解：；代数式3a-b2的值为3,

3a-b2=3,

原式=8-2{3）a-b2）

=8-2x3

=8-6

=2.

故答案为：2.

5.（2022秋•鄂州期中）若多项式a（a-1）x?+（a-1）x+2是关于x的一次多项式，则a的值为（）

A.0B.1C.0或1D.不能确定

［分析］根据多项式为一次多项式得到二次项系数为0列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的

值.

【解答】解：根据题意得：a（a-1）=0,且a-1*0,

解得：a=0.

故选：A.

2.整式的加减

同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同

整式合并同类项把同类项的系数相加，所得的结果作为结果的系数，

的加减字母及字母的指数不变

添（去）括号法则括号外是“+”，添（去）括号不变号；括号外是“-”,

添（去）括号都变号

【易错警示】

A所有的常数项都是同类项；

>“同类项口诀”—两同两无关，识别同类项；一相加二不变，合并同类项

「典例引辍

a--4-1」

1.（2022秋•黄石期中）下列计算正确的是（）

A.6a-5a=1B.a+2a2=3Q

C.-（6Z-Z?）=-a+bD.2（a+b）=2a+b

【分析】根据去括号法则和合并同类项法则计算即可求解.

【解答】解：46a-5a=a,即4项不合题意，

B.〃和2片不是同类项不能合并，即8项不合题意，

C.-（a-b）=-a+b,即C项符合题意，

D.2（a+b）=2a+2b,即。项不合题意，

故选：C.

2.（2022秋•老河口市期中）一个长方形的周长为6a+8b,其中一边长为2Q-b,则与其相邻的一边长为

（）

A.a+5bB.a+bC.4Q+9bD.a+3b

［分析］根据一个长方形的周长为6。+86,其中一边长为2a-b,可以得到与其相邻的一边长为（6a+Sb）

♦2-（2a-6）,然后计算即可.

【解答】解：•••一个长方形的周长为6a+8b,其中一边长为2。-b,

・•・与其相邻的一边长为：（6a+Sb）♦2-（2a-b）

=3a+4b-2a+b

=a+5b,

故选：A.

3.（2022秋•江都区期中）如图，长方形45C。是由四块小长方形拼成（四块小长方形放置时既不重叠，也

没有空隙）.其中②③两块小长方形的长均为即宽均为b,若BC=2,则①④两块长方形的周长之和为

2a+2bC.2。+2b+4D.16

【分析】根据题目中的数据和图形，可以表示出长方形①和④的长、宽，然后根据长方形的周长=（长+

宽）X2,代入数据计算即可.

【解答】解：由图可得,

长方形①的长为2-a,宽为b,长方形④的长为2-b,宽为许

二.①④两块长方形的周长之和为：2[（2-〃）+0+2[（2-6）+0

=2(2"+26+2(2-b)+2〃

=4-2a+26+4-2b+2a

=8,

故选：A.

4.（2022秋•沈北新区期中）化简：6x2-[4x2-（x2+5）]=.

【分析】先去括号，再合并同类项即可求解.

【解答】解：6X2-[4X2-（^+5）]

=6,-4X2+X2+5

=3X2+5.

故答案为：3f+5.

5.（2022秋•北孺区校级期中）若关于x的多项式3ax+7x3-6x2+x不含二次项和一次项，贝人+6等于（）

A.--LB.-1C.3D.-3

33

【分析】不含二次项和一次项，则其相应的系数为0,据此可求解.

【解答】解：；多项式3办+7--bx2+x不含二次项和一次项，

3a+l=0,-b=0,

解得：a=--,b=0,

3

「•a+b="-.

3

故选：A.

6.（2022秋•扬州期中）化简:

(1)x2-3x-4X2+5X-6；

(2)3(2x2-xy)-(x2+xy-6).

【分析】(1)直接合并同类项；

(2)先去括号，再合并同类项.

［解答］解：(1)原式=(1-4)x2+(-3+5)x-6

=-3X2+2X-6；

(2)原式=6x2-3xy-x2-xy+6

=5x2-4盯+6.

7.(2022秋•黔东南州期中)阅读材料：“如果代数式5a+3b的值为-4,那么代数式2(〃+。)+4(2a+b)

的值是多少？”我们可以这样来解：原式=2。+26+8。+4b=10。+66.把式子5q+3b=-4两边同乘以2.得

1Qa+6b=-8.

仿照上面的解题方法，完成下面的问题：

(1)已知=0,求。2+。+2022的值；

(2)已知a-b=-3.求3(Q-6)-a+b+5的值；

(3)已知a^+lab=-2,ab-b1=-4,求2a2+5ab-b1的值.

【分析】(1)直接将/+〃的值代入6/W2018中计算即可；

(2)把3(〃・b)-a+b+5变形为3(〃・b)・(a-b)+5,然后利用整体代人的思想计算；

(3)把2a2+5ab-b1变形为2(a2+2ab)+ab-"再代人求值即可.

【解答】解:(1)因为次+。=0,所以修+〃+2018=0+2018=2018.

(2)因为-3,所以3(a-6)-a+b+5=3x(-3)-(-3)+5=-1.

(3)因为c^+lab--2,ab-b1=-4,

所以2办5讪-b2=Ic^Uab+ab-b2=2x(-2)+(-4)=-8.

考向二：塞的运算

建•/=建+"(加/都是正整数)

幕

(。叶=*(九〃都是正整数)

的

(㈤"=4少(〃为正整数)

运

alan=am-\aw0,m,〃都是正整数,且掰＞〃)

算a°=l(awO)=!(。w0,且夕是正整数)

CP

典例行微

1.（2022秋•朝阳区校级期中）下列运算正确的是（）

A.a3+a6=a9B.a6«a2=a12

C.（a3）2=a5D.a^cr+（a3）2=2a6

【分析】4应用合并同类项法则进行计算即可得出答案；

B.应用同底数幕乘法法则进行计算即可得出答案；

C.应用幕的乘方法则进行计算即可得出答案；

D.应用幕的乘方与积的乘方，合并同类项及同底数募乘法进行计算即可得出答案.

【解答】解：4因为03与不不是同类项，故/选项计算不正确，故/选项不符合题意;

B.因为不./=心+2=/，故5选项计算不正确，故5选项不符合题意；

C.因为（03）2=°3,2=°6,故C选项计算不正确，故C选项不符合题意；

D因为a4-a2+（a3）2=a6+a6=2a6,故。选项计算正确，故D选项符合题意.

故选：D.

2.（2022秋•浦东新区校级期中）计算（-3）2021.（一2）2022的结果是（）

23

A.J.B,J.C.（总）2022D.（工产22

23、2，、3，

［分析］根据幕的乘方运算以及积的乘方运算即可求出答案.

【解答】解：原式=［（-2）X（-2）］2021x（-2）

233

=12021x（-2）

3

=----2，

3

故选：B.

3.（2022秋•闵行区校级期中）已知j=2,a2n=3,求产叨=.

［分析】直接利用同底数幕的乘法运算法则，进而计算得出答案.

【解答】解：a2n=3,

am+2n=a"、/=2x3=6.

故答案为：6.

4.(2022秋•永春县期中)若产=2,a"=3,aP=5,贝［於+〃？=.

【分析】直接利用同底数幕的乘除运算法则、塞的乘方运算法则将原式变形，进而计算得出答案.

【解答】解：.•"'=2,a"=3,成=5,

•^m+n'p

•«ci

=amxan^aP

=2x3+5

=6+5

=6_

故答案为：旦

5

5.(2022秋•朝阳区校级期中)(1)计算：(a4)W-a4;

(2)计算：［(尤+y)m+n］2;

(3)已知2x+3y-2=0,求必・27》的值.

【分析】(1)应用幕的乘方与积的乘方及同底数幕乘法法则进行计算即可得出答案；

(2)应用塞的乘方法则进行计算即可得出答案；

(3)应用幕的乘法法则可得(32)%(33)匕即可得出吗再由已知可得2x+3y=2,代入计算即可

得出答案.

【解答】解:⑴原式=/3+产4

=an+an

=2a12；

(2)原式=(x+y)2%+M；

(3)9%.27-v=(32)%(33)》=32T・33J'=32什3匕

由2x+3y-2=0,

可得2x+3y=2,

原式=32=9.

6.(2022秋•浦东新区期中)阅读下列材料：一般地，〃个相同的因数。相乘aw…，记为a".如2x2x2

3

=2=8,此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28(EPlog28=3).

一般地，若a"=6(a>0且。声1,b>0),则〃叫做以。为底6的对数，记为logab(即log°6=w).如

34=81,则4叫做以3为底81的对数，记为log381(即log381=4).

(1)计算以下各对数的值：log24=,log216=,log264=.

(2)写出(1)log24、log216、log264之间满足的关系式.

(3)由(2)的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：logMlogaN=(〃>0且"1,M>

0,N>0\

(4)设Q〃=N,am=M,请根据哥的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性.

【分析】(1)根据对数的定义求解；

(2)认真观察，即可找到规律：4x16=64,Iog24+log216=log?64；

(3)由特殊到一般，得出结论：logMlogaN=log。(MN)；

(4)设logaAf=6i,logJV=/?2,根据毒的运算法则：…心和给出的材料证明结论.

【解答】解:(l)log24=2,log216=4,log264=6,

故答案为：2,4,6；

(2)/4x16=64,log24=2,log216=4,log?64=6,

/.Iog24+log216=log264,

故答案为：Iog24+log216=log264；

(3)logaM+logaN=logfl〈MN),

故答案为：log。(MN);

(4)证明:设logflM=bl,logaN=》2,

则卢=监a"=N,

aa

...bl+Z)2=loga(MN),

logJV/+logJV=log«(MN).

考向三：整式的乘除

单项式乘(除以)单项式，把它们的系数、同底数得分别相乘(除)；

单项式乘(除以)对于只在一个单项式里含有的字母(只在被除式里含有的字母)，

单项式则连同它的指数不变，作为积(商)的因式

单项式乘多项式m(a+b+c)=ma+mb+mc

多项式乘多项式(m+n)(a4-b)=ma+mb+na+nb

多项式除以单项式(am+b)^m=a+b/m

乘法公式平方差公式：(〃+b)(a-b)=a*1-b2

完全平方公式ia±b)2=a2±2ab+b2

方饮技巧

>乘法公式里的字母可以是一个单项式，也可以是一个多项式;

>两个乘法公式可以从左到右应用，也可以从右到左应用；

--.—-----J-i-

典的引颔

/一_♦1」

1.(2022春•南海区校级月考)下列各式中，计算正确的是()

A.2a2«3a3*=5a6B.-3a2(-2。)=-6a3

C.2a3.5次=10/D.(-°)2.(-°)3=°5

【分析】根据单项式乘单项式的乘法法则、同底数幕的乘法法则解决此题.

【解答】解：4根据单项式乘单项式的乘法法则，2/.3°3=605,那么/错误，故/不符合题意.

B.根据单项式乘单项式的乘法法则，-3/.(-2a)=6a\那么3错误，故8不符合题意.

C根据整式的混合运算，2a3.5/=10.5,那么。正确，故。符合题意.

D.根据同底数哥的乘法法则，(-a)2.(-。)3=(一。)5=一。5,那么。正确，故。不符合题意.

故选：C.

2.(2022秋.阳信县期中)下列计算中，能用平方差公式计算的是()

A.(x-2)(2-x)B.(-1-3x)(l+3x)C.(后+bHa2-b)D.(3x+2)(2x-3)

【分析】利用平方差公式的特点，完全平方公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案.

【解答】解：6-2)(27)=-£-2)2,故选项/不符合题意；

(-1-3x)(l+3x)=-(l+3x)2,选项B不符合题意；

(a2+b)(a2-)=(a2)2-A2,选项C符合题意；

(3x+2)(2x-3)可利用多项式乘多项式的乘法计算，选项D不符合题意；

故选：c.

3.(2022秋•铁西区校级月考)若(x+3)(2x-m)=2x2+nx-15,则()

A.m=-5,n=1B.m=-5,n=-1C.m=5,n=1D.m=5,n=-1

【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，从而可求解.

［解答］解：,/(x+3)(2x-m)=2x2+nx-15,

.e.2X2+(6-m)x-3m=Ix1+nx-15,

.*.6-m=n,-3m=-15,

解得：m=5,n=\,

故选：C.

4.(2022秋•思明区校级期中)设〃=(x-l)(x-2),N=(2x-3)(x-2),则/与N的大小关系为

()

A.MNB.M^NC.M=ND.MSN

［分析］根据多项式乘多项式的运算法则化简M-N,然后与0进行大小比较.

【解答】解：M-N=(x-l)(x-2)-(2x-3)(x-2)

=x2-3x+2-(2x2-7x+6)

=x2-3x+2-2X2+7X-6

=-X2+4X-4

=-(x2-4x+4)

=-(x-2)2^0,

:.MSN

故选：D.

5.(2022•雁塔区校级开学)如图，一块矩形土地的面积是7+5盯+6产(%>0,>>0),长为x+3y,则宽是()

C.x-2yD.x+2y

【分析】将f+5刈+6产进行因式分解便可得出结果.

【解答】解：x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y),

又,.,一*块矩形土地的面积是f+5中+6y2(x>0,y>o),长为x+3y,

「•宽为x+2y,

故选：D.

6.(2022秋•东城区校级期中)若(s・/)2=4,(s+f)2=16,则st=3.

【分析】根据(si)2=4,(s+f)2=16,由完全平方公式得s2-2s什/2=4①，s2+2s什於=16②，所以②

-①得4s£=12,所以st=3.

【解答】解：•・・(ST)2=4,(s+f)2=16,

**.52-2st+t2=4①,s1+2st+t^=16②,

.•.②-①得44=12,

-,.st=3.

故答案为：3.

7.(2022秋•阳信县期中)(1)先化简，再求值：x(x-4y)+(2x+y)(2x-y)-(2x-y)2,其中x=-2,

y=-1.

(2)利用乘法公式简算：20212-2020x2022.

【分析】(1)根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则化简，把X、V的值代入计算即可；

(2)把2020x2022化为(2021-1)x(2021+1),再根据平方差公式计算，得到答案.

［解答］解：(1)原式=，-4xy+4x2-/-4x2+4xy-/

=x2-2y2,

当工=-2,y=-1时，原式=4-2=2；

(2)20212-2020x2022

=202了-(2021-1)x(2021+1)

=202F.(20212-1)

=20212-20212+1

=1.

8.(2022秋•西湖区校级期中)如图，有三张正方形纸片B,C,它们的边长分别为a,b,c,将三张纸

片按图1,图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为/1,图2中阴影部分周长

为h.

(1)若a=7,b=5,c=3,则长方形的周长为48；

(2)若6=7,c=4,

①求/i-/2的值;

②记图1中阴影部分面积为Si,图2中阴影部分面积为S2,求S2-S1的值.

AB

C

图1图2

【分析】(1)根据题目中的数据，先求大长方形的长为a+b+c,宽为a+b-c,即可求出周长;

(2)根据图形，表示出S2,Si,Zi,Z2,再计算/1-/2,S2・Si即可求解.

【解答】解：(1)由图1知，大长方形的长为a+6+c,

由图2知，大长方形的宽为a+b-c,

长方形的周长为2(a+b+c+a+b-c)=4a+46,

当a=7,b=5时，

4a+4b=28+20=48,

故答案为：48.

(2)①,//i=2(a+b+c)+2(a+b-c-c)=4a+4b-2c,

,2=2(a+b+c-6)+2(a+b-c)=4a+2b,

.•・当6=7,c=4时，

h-11=(4。+4b-2c)-(4a+2b)=2/?-2c=14-8=6；

②:Si=d(a+b+c)-a2-b2-c2,

Si=d{a+b+c)-a2-b2+bc,

S2-Si=bc+c2=28-16=12.

考向四：因式分解

公因式多项式各项都含有的相同因式

基本

因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式

概念

因式分解

“一提”am+bm+cm=m(a+6+c)

【即：提取公因式】

般“二套”

平方差公式：(〃+6)(4-b)=a2-b2

步【即：套用乘法公式】

完全平方公式(a±b)2=a2±lab+b2

骤

“三分组”基本不考，如果考，多项式项数一般在四个及以上

【即：分组分解因式】

“二次三项想十字”

X2+(2+q)x+p•q=(x+p)(x+q)

【即：十字相乘法】

方依技巧

>由定义可知，因式分解与整式乘法互为逆运算；

>公因式是各项系数的最大公约数与相同字母的最低次嘉的积；单独的公因数也是公因

式；

>将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式；

>乘法公式里的字母，可以是单独的数字，也可以是一个单项式或者多项式；

>分解因式必须分解彻底，即分解到每一个多项式都不能再分解为止；

典例引颔

、_A，-一1____________

1.(2022春•三水区校级期中)若二次三项式-8可分解为(x-4)(x+2),则加的值为()

A.1B.-1C.-2D.2

(分析］根据题意得到x2+mx-8=(x-4)(x+2),再根据多项式乘多项式的乘法法则化简，进而求得m.

［解答］解:由题意得，/+加％-8=(%-4)(x+2).

^-x2+mx-8=x2-2x-8.

m=-2.

故选：C.

2.(2022秋•张店区期中)将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，

可以得到一个等式，例如，由图1可得等式：x2+(p+q)x+pq=(x+pHx+ql将图2所示的卡片若干

张进行拼图，可以将二次三项式『+3仍+2接分解因式为()

C.(a+b)(a+2b)D.(a+b)(a+3b)

【分析】画出图形，根据图形因式分解即可.

[解答]解:a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b),

故选：C

3.(2022秋•南安市期中)已知a=2020x+2020,b=2020x+2021,c=2020x+2022,则a2+b2+c2-ab-ac-

be的值是()

A.0B.1C.2D.3

【分析】由a,b,c的值，求出a-b,a-c,b-c的值，原式利用完全平方公式变形后代人计算即可求

解.

【解答】解：-.-a=2020x+2020,b=2020x+2021,c=2020x+2022,

：・a・b=-1,a-c=-2,b-c=-1,

则原式=/(2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc)

=(a2-2ab+b2)+(a2-2ac+c2)+房-2bc+c-)]

=[(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2],

=yX(1+4+1)=3'

故选：D.

4.(2022春•顺德区校级月考)三角形三边长分别是〃，b,c,且满足/-庐+〃。-庆=0,则这个三角形是

()

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.形状不确定

【分析】先分解因式，再根据三角形的三边关系判断，得出结论.

【解答】解：.•.三角形三边长分别是。，b,c,

a+b+c>0,

a2-b2+ac-be=

(a+b)(a-b)+(〃-6)c

=(〃-b)(a+b+c)

=0,

a-Z)=0,

a-b,

・•.这个三角形是等腰三角形，

故选：A,

22

5.(2022秋•长宁区校级期中)因式分解：lm-m+l=l(m-2).

44

【分析】先提取公因式工，再利用完全平方公式分解因式即可.

4

［解答］解：原式=—(m2-4m+4)

4

=—(m-2)2.

4

故答案为：1(m-2)2.

4

6.(2022秋•肇源县期中)因式分解：

(1)15a3+10a2；

(2)-3ax2-6axy+3ay~.

【分析】(1)直接提公因式5a2即可；

(2)直接提公因式-3a,即可因式分解.

［解答］解：(1)15a3+10a2=5a2(3a+2)；

(2)-3ax2-Gaxy+3ay1

=-3a(x2+2xy-y2).

7.(2022秋•巴南区校级期中)对于一个三位数，若其各个数位上的数字都不为0且互不相等，并满足十位

数字最大，个位数字最小，且以各个数位上的数字为三边可以构成三角形，则称这样的三位数为“三角

数”.将“三角数”加任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数，其中十位数

字大于个位数字的两位数叫“全数”，十位数字小于个位数字的两位数叫“善数”，将所有“全数”的和

记为0(加),所有“善数”的和记为S(m),例如：0(562)=62+52+65=179,5(562)=26+25+56

=107；

(I)判断：342是(填“是”或“不是”)“三角数”，572不是(填“是”或“不是”)"三角

数”，若是，请分别求出其“全数”和“善数”之和.

(2)若一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数.若“三角数”〃满足。(")

-S(")和Q(n)+S(n)都是完全平方数,请求出所有满足条件的

11

【分析】(1)根据定义进行判断即可；

(2)设三角形形数〃的百位上数字是x,十位上数字是y,个位上数字是z,根据定义求出0(“)-S

(n)=18(y-z),。(11)=2(x+j+z),再由题意可得y-z=2或y-z=8,x+y+z=8或x+y+z

=18,分类讨论即可确定x、y、z的值.

【解答】解：(1)•••342中各个数位上的数字为三边能构成三角形，

・・.342是“三角数”，

:.Q(m)=32+42+43=117,S(342)=34+23+24=81,

:以5,7,2为三边不能构成三角形，

・•.572不是“三角数”，

故答案为：是，不是；

(2)设三角形形数〃的百位上数字是x,十位上数字是y,个位上数字是z,

•-Q(H)=10x+z+lQy+z+lQy+x=1lx+2Qy+2z,Q(S)=1Ox+y+1Oz+x+1Oz+y=1lx+20z+2y,

-S(〃)=18y-18z=18(y-z),Q⑹：⑴=?(x+y+z),

：Q(〃)-S(〃)是完全平方数，

■■y-z=2或y-z=8,

Q(n)+S(n).是完全平方数,

11

*e.x+y+z=8或x+y+z=18,

x+2z=6或x+2z=10

当z=l时，x=8,y=9,

n=891；

当z=5时，x=6,y=l,

n=675；

综上所述：〃的值为675或891.

在跟跳训练

1.(2022•攀枝花)下列各式不是单项式的为()

［分析】根据单项式的概念判断即可.

【解答】解：/、3是单项式，故本选项不符合题意;

B、。是单项式，故本选项不符合题意；

C、且不是单项式，故本选项符合题意；

a

D、工2'是单项式，故本选项不符合题意；

2

故选：C.

2.（2022•巴中）下列运算正确的是（）

A.J（-2）2=-2B.（A-）-1=-A

八乙）33

C.（Q2）3=Q6D./：〃4=〃2（〃工0）

【分析】根据算术平方根及负整数指数幕、幕的乘方、同底数塞的除法依次计算判断即可.

【解答】解：/、7（-2）2=2'选项错误，不符合题意；

B、（•1厂1=3,选项错误，不符合题意；

C、（/）3=小，选项正确，符合题意；

D、5°4=a4（“0）,选项错误，不符合题意；

故选：C.

3.（2022•淄博）计算（-2a3b）2-3a6b2的结果是（）

A.-7a6b2B.-Sa^b2C.a6b2D.la6b2

【分析】先根据积的乘方法则计算，再合并同类项.

【解答】解：原式=4°6庐_3a6庐=法62,

C.（a+ba-b"）=a2-b2D.（ab）2=/庐

【分析】左边大正方形的边长为（）,面积为（。+6）2,由边长为。的正方形，2个长为。宽为6的

长方形，边长为6的正方形组成，根据面积相等即可得出答案.

【解答】解：根据题意，大正方形的边长为。+儿面积为（a+b）2,

由边长为a的正方形，2个长为。宽为6的长方形，边长为6的正方形组成，

所以(a+b)2=a2+2ab+b2.

故选：A.

5.(2022•济宁)下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是()

A.x2-x-1=x(x-1)-1B.x2-1=(x-1)2

C.x~-x-6=(x-3)(x+2)D.x(x-l)=x2-x

［分析］根据因式分解的定义判断即可.

【解答】解：N选项不是因式分解，故不符合题意；

8选项计算错误，故不符合题意；

C选项是因式分解，故符合题意；

。选项不是因式分解，故不符合题意；

故选：C.

6.(2022•河池)多项式x2-4x+4因式分解的结果是()

A.x(x-4)+4B.(x+2)(x-2)C.(x+2)2D.(x-2)2

［分析】原式利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：原式=(“2)2.

故选：D.

7.(2022•台湾)多项式39X2+5X-14可因式分解成(3x+a)(bx+c)，其中a、6、c均为整数，求a+2c之值

为何？()

A.-12B.-3C.3D.12

［分析］根据十字相乘法可以将多项式39/+5x-14分解因式，然后再根据多项式39/+5x-14可因式

分解成(3x+a)(bx+c),即可得到a、b、c的值，然后计算出a+2c的值即可.

［解答］解：丫39X2+5X-14=(3x+2)(13x-7),多项式39x2+5x-14可因式分解成(3x+a)(bx+c),

b=13,c=-7,

a+2c

=2+2x(-7)

=2+(-14)

=-12,

故选：A.

8.(2022•广州)分解因式：3〃2-21ab=3a(a-7b).

【分析】直接提取公因式3a,进而分解因式得出答案.

［解答］解：3a2-2\ab=3a(a-7b).

故答案为：3a(a-7b).

9.(2022•宜宾)分解因式：x3-4x=x(x+2)(x-2).

【分析】应先提取公因式》,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.

【解答】解：x3-4x,

=x(x2-4),

=x(x+2)(x-2).

故答案为：x(x+2)(x-2).

10.(2022•巴中)因式分解：-。3+2。2-a=式・1)2.

［分析］先提公因式-明再用完全平方式分解因式即可.

［解答］解：原式=-a(a2-2a+1)

=-a(a-l)2.

故答案为：-6Z(6Z-1)2.

11.(2022•益阳)已知m,n同时满足2加+〃=3与2加-〃=1,贝［J4m2-n2的值是3.

(分析】观察已知和所求可知，4加2・层=(2m+n)(2加-〃)，将代数式的值代人即可得出结论.

［解答］解：2m+n=3,2m-n=1,

4m2-n2=(2m+n)(2加-〃)=3x1=3.

故答案为：3.

12.(2022•大庆)已知代数式/+(2/-1)ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为5或-3..

-2—2―

【分析】根据完全平方公式『±2°6+廿=(。±6)2,可得(2f-l)ab=±(2x2)ab,计算即可得出

答案.

【解答】解：根据题意可得，

(2/-1)。6=±(2x2)ab,

即2/-1=±4,

解得：t=t=

22

故答案为：立或-3.

22

13.(2022•盐城)先化简,再求值：(x+4)(x-4)+(x-3)2,其中x2-3x+l=0.

【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入即可.

［解答］解：原式=X2-16+/-6X+9

=2：-6x-7,

'.'x2-3x+l=0,

■'-x~-3x=-1,

2/-6x=-2,

.•.原式=-2-7=-9.

14.(2022•六盘水)如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a,b的正方形秧田4B,其中不能使用的

面积为M.

(1)用含a,M的代数式表示/中能使用的面积a?-M；

(2)若.+6=10,”6=5,求/比8多出的使用面积.

【分析】(1)根据面积之间的关系，从边长为a的正方形面积中，减去不能使用的面积M即可;

(2)用代数式表示/比8多出的使用面积，再利用平方差公式进行计算即可.

【解答】解：(1)4中能使用的面积=大正方形的面积-不能使用的面积，

即cr-M,

故答案为：a2-M；

(2)/比8多出的使用面积为：(/-“).(b2-M)

=a2-b2

=(a+b)(a-b)

=10x5

=50,

答：A比3多出的使用面积为50.

15.(2022•常州)第十四届国际数学教育大会(/CME-14)会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了

我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是

以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字.八进制数3745换算成十进制数是3x83+7x

82+4x81+5x8°=2021,表示ICME-14的举办年份.

(1)八进制数3746换算成十进制数是2022；

（2）小华设计了一个〃进制数143,换算成十进制数是120,求〃的值.

【分析】（1）根据已知，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以8°,81,82,83,再把所得结果

相加即可得解；

（2）根据〃进制数和十进制数的计算方法得到关于n的方程，解方程即可求解.

［解答］解：（1）3746=3x83+7x82+4x”+6x8°

=1536+448+32+6

=2022.

故八进制数字3746换算成十进制是2022.

故答案为:2022；

1

（2）依题意有：/+4xn+3xn°=120,

解得〃1=9,“2=-13（舍去）.

故n的值是9.

t

0真题过关

1.（2022•徐州）下列计算正确的是（）

A.Q2.Q6=/B.Q*9=〃2

C.2Q2+3〃2=6Q4D.(-3q)2=-9Q2

【分析】利用同底数幕的乘法，同底数塞的除法，合并同类项法则和幕的乘方与积的乘方的法则对每个

选项进行逐一判断即可得出结论.

［解答］解：:a2*a6=a2+6=以8,

•••4选项的结论符合题意；

・'a匕〃4=/4~4,

・••吕选项的结论不符合题意;

*.*2〃2+3。2=5tz2,

・•.C选项的结论不符合题意;

(-3a)2=9a2,

-D选项的结论不符合题意，

故选：A.

2.(2022•黔西南州)计算(-3x)2"x正确的是()

A.6x3B.12x3C.18x3D.-12x3

【分析】先算积的乘方，再算单项式乘单项式即可.

【解答】解：(-3x)2-2X

=9/・2x

=18x3.

故选：C.

3.(2022•荆门)对于任意实数a,b,a3+b3=(a+bUa2-ab+b2)恒成立，则下列关系式正确的是()

A..3_〃=(.-』)(cr+ab+b1)

B.a3-b3=(a+bUa2+ab+b2)

C.cP3=(°_/))(f-ab+b2)

D.a3-b3=(a+b)(cr+ab-b2)

[分析】把所给公式中的6换成-6,进行计算即可解答.

【解答]解："+庐=(a+b)(a2-ab+b2),

：.a3-b3

=a