导数及其应用例题2

例6．若函数存在单调递减区间,求实数的取值范围.例7．已知函数若在区间[－2，2].上的最大值为20.(1)求实数的值;(2)是否存在实数,使得对于,总存在,都有成立?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,说明理由.例8.设函数.(Ⅰ)试问函数能否在x=－1时取得极值？说明理由；（Ⅱ)若a=－1，当x∈［-3,4］时，函数与的图像有两个公共点，求c的取值范围.二、导数用于证明不等式例1.已知x∈（0，），求证：sinx＜x＜tanx。这个三角不等式在相关教材中是用几何方法证明的。这里是构造函数，利用函数的单调性来证明，简单、快捷。例2．将函数的图象按向量平移得到函数的图象,求证:当时,.例2.函数。（1）证明：；（2）若对所有都有，求的范围。例3.设函数，其中。证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值。例4.已知函数，其中是的导函数。（1）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；（2）设，若函数的图象与直线只有一个公共点，求实数的取值范围。例5.已知定义在正实数集上的函数，，其中。设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同。（1）用表示，并求的最大值；（2）求证：（）。例6.已知函数，，且对任意的实数均有，。（1）求函数的解析式；（2）若对任意的，恒有，求的取值范围。例7.设函数。（1）求的最小值；（2）若对恒成立，求实数的取值范围。例8.函数在区间，内各有一个极值点。（1）求的最大值；（2）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式。三、利用导数解决实际问题例1．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测：存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放贷出去，试确定当存款利率定为多少时，银行可获取最大收益？例2、请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？导数应用举例（一）知识说明1.如何利用导数判断函数的单调性y=f(x)在(a,b)上可导，若f′(x)＞0，则f(x)为增函数，若f′(x)＜0，则f(x)为减函数利用导数讨论函数的单调性需注意以下几个问题(1)确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点．(3)注意在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件．2.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，那么一定有f′(x)>0吗？f′(x)>0是否是f(x)在(a，b)上单调递增的充要条件？函数f(x)在(a，b)上是增函数，则f′(x)≥0，f′(x)>0是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．例函数在上单调递增，求实数的取值范围。简析：则单调递增，但在一些孤立点处成立并不妨碍函数的单调性。如：有，但函数在R上单调递增。答案。函数的导数与其单调性之间的关系可以从以下三个方面理解：①在某个区间(a，b)上，若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间上单调递增；若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间上单调递减；若f′(x)＝0恒成立，则f(x)在这个区间上为常数函数；若f′(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数．②若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，其逆命题不成立，因为f′(x)≥0包括f′(x)＞0或f′(x)＝0，当f′(x)＞0时，函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，当f′(x)＝0时，f(x)在这个区间内为常数函数；同理，若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，其逆命题不成立．③使f′(x)＝0的离散的点不影响函数的单调性．f(x)在[a,b]上的最值求法（步骤）：①求出f(x)在(a,b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.(1)设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)<f(x0)，我们说f(x0)是函数f(x)的一个__极大值_，记作___y极大值＝f(x0)____；如果对x0附近的所有点，都有f(x)>f(x0)，就说f(x0)是f(x)的一个____极小值_____，记作__y极小值＝f(x0)__极大值与极小值统称为___极值__(2)判别f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是__极大值___②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是___极小值_________4.有人说极大值一定比极小值大，你认为呢？极值是一个局部性概念，一个函数在其定义域内可以有许多个极大值和极小值，在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，即函数的极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系．5.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右的符号：如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值．6.导数为零的点一定是极值点吗？对于可导函数来说，函数在某点x0的导数为0是函数在该点处取得极值的必要不充分条件，即y＝f(x)在x0处取得极值必有f′(x0)＝0，但反过来不成立，即导数为0的点不一定是极值点．例如f(x)＝x3，则f′(x)＝3x2，∴f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点，事实上f(x)＝x3在R上单调递增。可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0的左侧与右侧的f′(x)的符号不同．不可导的点也可能是极值点．7.你能利用函数f(x)在(a，b)内有极值的条件判断函数f(x)在(a，b)内的单调性吗？，若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调递增或递减的函数没有极值．8.函数的极值与最值有什么区别和联系函数的最值：函数f(x)在[a，b]上必有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．极值与最值的区别和联系：(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部范围对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．(2)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进行比较，或者考查函数在区间内的单调性．(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．(4)可导函数的极值点导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点，如函数y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是极值点．在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点．f(x)在[a,b]上的最值求法（步骤）：①求出f(x)在(a,b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.求闭区间[a,b]上的最值，除了要比较(a,b)内的所有极值外，还要比较f(x)在[a,b]的端点值f(a)，f(b).如果忽视了f(a),f(b)，那么可能得到的答案是错误的.比如下面的这个函数f(x)。最小值为f(c)，它是极小值之一，但f(a)为最大值，它是区间的端点函数值求在闭区间[a，b]上连续，开区间(a，b)内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断使f′(x)＝0成立的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点处的函数值进行比较，就可判定最大(小)值．小结1．当时，是增函数；当时，是减函数．用导数法研究函数的单调性比用定义法更加简便，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，它充分体现了数形结合的基本思想．因此，必须重视对数学思想方法进行归纳提炼，提高应用数学思想方法解决问题的熟练程度，达到优化解题思想、简化解题过程的目的．2．利用导数求函数的单调区间，一般要先确定定义域，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，求出函数的单调区间．同时还要注意的是，在单调区间的划分时，应去掉定义区间内的不连续点和不可导点．3．或仅是在某区间上为增函数或减函数的充分条件．在某区间内可导函数单调递增（减）的充要条件是（）在该区间上恒成立．4．本专题易错点主要有：①函数的单调区间是定义域的子集，因此求解关于函数单调区间问题时，应先求函数的定义域；②求函数的单调区间实际上是不等式（）对应的解集；但如果问题是已知函数在区间上单调递增（或减）时，问题的实质是解决不等式（或）恒成立问题．（二）导数应用导数的应用包括以下几个方面:(1)利用导数研究函数的单调性和单调区间;(2)利用导数研究函数极值与最值;(3)利用导数研究曲线的切线问题;(4)利用导数研究不等式的证明问题;(5)利用导数研究函数的零点;(6)利用导数求参数的取值范围等.一般来说,利用导数解决的问题,其所涉及的函数往往具有明显的特征,例如:三次函数等高次函数,非常规函数(由基本初等函数构成)等,这些函数尤其适合利用导数解决.一、极值、最值例1：函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是.[解析]：由=0，得，当时，>0，当时，<0，当时，>0，故的极小值、极大值分别为，而故函数在[-3，0]上的最大值、最小值分别是3、-17。例2．在曲线y=x3－x上有两个点O(0，0)、A(2，6)，求弧OA上点P的坐标，使△AOP的面积最大.解：解法一:因为kOA=3，所以过弧OA上点P的直线的斜率k′=kOA=3. 所以k′=y′=3x2－1=3.所以3x2=4. 所以x=或x=－(舍去). 所以x=,y=，即P(，). 解法二:设P(a,a3－a),∵O(0,0)、A(2,6),∴直线OA的方程为3x－y=0.点P到它的距离为d==|a3－4a|,∵0＜a＜2,∴4a＞a3.∴d=(4a－a3).∵(d)′=(4－3a2),令4－3a2=0,得a=或a=－.∵0＜a＜2,∴x=a=时取最大值，此时y=()3－=.∴P(，).极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；最值：在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。但在开区间（a，b）内连续函数f（x）不一定有最大值，例如。（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。例3.设函数，已知是奇函数。（Ⅰ）求、的值。（Ⅱ）求的单调区间与极值。解：（Ⅰ）∵，∴。从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。例4.已知f（x）=在x=1，x=时，都取得极值。（1）求a、b的值。（2）若对，都有恒成立，求c的取值范围。解：（1）由题意f/（x）=的两个根分别为1和由韦达定理，得：1=，则，（2）由（1），有f（x）=，f/（x）=当时，，当时，，当时，，当时，有极大值，，∴当，的最大值为对，都有恒成立，∴，解得或例5、已知函数其中当时，求曲线处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m当时，求函数的单调区间与极值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。解：（I）（II）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m以下分两种情况讨论。（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：+0—0+↗极大值↘极小值↗w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：+0—0+↗极大值↘极小值↗w.w.w.k.s.5.u.c.o.m例6．若函数存在单调递减区间,求实数的取值范围.解：.因为函数存在单调递减区间,所以有解.又因为函数的定义域为,则应有的解.(1)当时,为开口向上的抛物线,,总可以找到的解;(2)当时,为开口向下的抛物线,要使总有大于0的解,则且方程至少有一个正根,此时.(3)当时,显然符合题意.综上所述,实数的取值范围是.例7．已知函数若在区间[－2，2].上的最大值为20.(1)求实数的值;(2