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文档简介
2025届上海市虹口中学高三第三次教学质量检查数学试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.,则与位置关系是()A.平行 B.异面C.相交 D.平行或异面或相交2.已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为()A. B. C. D.3.要得到函数的图象,只需将函数的图象上所有点的()A.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度B.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向右平移个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度4.已知集合,集合,若,则()A. B. C. D.5.若(是虚数单位),则的值为()A.3 B.5 C. D.6.若的展开式中的系数之和为,则实数的值为()A. B. C. D.17.五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶,每个单位至少一人,则甲、乙两人不在同一个单位的概率为()A. B. C. D.8.一个四棱锥的三视图如图所示(其中主视图也叫正视图,左视图也叫侧视图),则这个四棱锥中最最长棱的长度是().A. B. C. D.9.若函数的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数的图像可能是()A. B. C. D.10.在声学中,声强级(单位:)由公式给出,其中为声强(单位:).,,那么()A. B. C. D.11.已知F是双曲线(k为常数)的一个焦点,则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为()A.2k B.4k C.4 D.212.关于函数有下述四个结论:()①是偶函数;②在区间上是单调递增函数;③在上的最大值为2;④在区间上有4个零点.其中所有正确结论的编号是()A.①②④ B.①③ C.①④ D.②④二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若的展开式中各项系数之和为32,则展开式中x的系数为_____14.若且时,不等式恒成立,则实数a的取值范围为________.15.若一个正四面体的棱长为1,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为_________.16.若实数x,y满足不等式组x+y-4≤0,2x-3y-8≤0,x≥1,则目标函数三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知直线是曲线的切线.(1)求函数的解析式,(2)若,证明:对于任意,有且仅有一个零点.18.(12分)如图,平面四边形为直角梯形,,,,将绕着翻折到.(1)为上一点,且,当平面时,求实数的值;(2)当平面与平面所成的锐二面角大小为时,求与平面所成角的正弦.19.(12分)如图,三棱台中,侧面与侧面是全等的梯形,若,且.(Ⅰ)若,,证明:∥平面;(Ⅱ)若二面角为,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20.(12分)已知,,动点满足直线与直线的斜率之积为,设点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)若过点的直线与曲线交于,两点,过点且与直线垂直的直线与相交于点,求的最小值及此时直线的方程.21.(12分)如图,在直角中,,,,点在线段上.(1)若,求的长;(2)点是线段上一点,,且,求的值.22.(10分)中,内角的对边分别为,.(1)求的大小;(2)若,且为的重心,且,求的面积.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】结合图(1),(2),(3)所示的情况,可得a与b的关系分别是平行、异面或相交.选D.2.C【解析】
如图所示,当点C位于垂直于面的直径端点时,三棱锥的体积最大,设球的半径为,此时,故,则球的表面积为,故选C.考点:外接球表面积和椎体的体积.3.C【解析】
根据三角函数图像的变换与参数之间的关系,即可容易求得.【详解】为得到,将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),故可得;再将向左平移个单位长度,故可得.故选:C.本题考查三角函数图像的平移,涉及诱导公式的使用,属基础题.4.A【解析】
根据或,验证交集后求得的值.【详解】因为,所以或.当时,,不符合题意,当时,.故选A.本小题主要考查集合的交集概念及运算,属于基础题.5.D【解析】
直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可.【详解】(是虚数单位)可得解得本题正确选项:本题考查复数的模的运算法则的应用,复数的模的求法,考查计算能力.6.B【解析】
由,进而分别求出展开式中的系数及展开式中的系数,令二者之和等于,可求出实数的值.【详解】由,则展开式中的系数为,展开式中的系数为,二者的系数之和为,得.故选:B.本题考查二项式定理的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题.7.D【解析】
三个单位的人数可能为2,2,1或3,1,1,求出甲、乙两人在同一个单位的概率,利用互为对立事件的概率和为1即可解决.【详解】由题意,三个单位的人数可能为2,2,1或3,1,1;基本事件总数有种,若为第一种情况,且甲、乙两人在同一个单位,共有种情况;若为第二种情况,且甲、乙两人在同一个单位,共有种,故甲、乙两人在同一个单位的概率为,故甲、乙两人不在同一个单位的概率为.故选:D.本题考查古典概型的概率公式的计算,涉及到排列与组合的应用,在正面情况较多时,可以先求其对立事件,即甲、乙两人在同一个单位的概率,本题有一定难度.8.A【解析】
作出其直观图,然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可.【详解】根据三视图作出该四棱锥的直观图,如图所示,其中底面是直角梯形,且,,平面,且,∴,,,,∴这个四棱锥中最长棱的长度是.故选.本题考查了四棱锥的三视图的有关计算,正确还原直观图是解题关键,属于基础题.9.B【解析】因为对A不符合定义域当中的每一个元素都有象,即可排除;对B满足函数定义,故符合;对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况,不符合函数的定义,从而可以否定;对D因为值域当中有的元素没有原象,故可否定.故选B.10.D【解析】
由得,分别算出和的值,从而得到的值.【详解】∵,∴,∴,当时,,∴,当时,,∴,∴,故选:D.本小题主要考查对数运算,属于基础题.11.D【解析】
分析可得,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可.【详解】当时,等式不是双曲线的方程;当时,,可化为,可得虚半轴长,所以点F到双曲线C的一条渐近线的距离为2.故选:D本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.12.C【解析】
根据函数的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析,由此得出正确结论的编号.【详解】的定义域为.由于,所以为偶函数,故①正确.由于,,所以在区间上不是单调递增函数,所以②错误.当时,,且存在,使.所以当时,;由于为偶函数,所以时,所以的最大值为,所以③错误.依题意,,当时,,所以令,解得,令,解得.所以在区间,有两个零点.由于为偶函数,所以在区间有两个零点.故在区间上有4个零点.所以④正确.综上所述,正确的结论序号为①④.故选:C本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.2025【解析】
利用赋值法,结合展开式中各项系数之和列方程,由此求得的值.再利用二项式展开式的通项公式,求得展开式中的系数.【详解】依题意,令,解得,所以,则二项式的展开式的通项为:令,得,所以的系数为.故答案为:2025本小题主要考查二项式展开式各项系数之和,考查二项式展开式指定项系数的求法,属于基础题.14.【解析】
将不等式两边同时平方进行变形,然后得到对应不等式组,对的取值进行分类,将问题转化为二次函数在区间上恒正、恒负时求参数范围,列出对应不等式组,即可求解出的取值范围.【详解】因为,所以,所以,所以,所以或,当时,对且不成立,当时,取,显然不满足,所以,所以,解得;当时,取,显然不满足,所以,所以,解得,综上可得的取值范围是:.故答案为:.本题考查根据不等式恒成立求解参数范围,难度较难.根据不等式恒成立求解参数范围的两种常用方法:(1)分类讨论法:分析参数的临界值,对参数分类讨论;(2)参变分离法:将参数单独分离出来,再以函数的最值与参数的大小关系求解出参数范围.15.【解析】
将四面体补成一个正方体,通过正方体的对角线与球的半径的关系,得到球的半径,利用球的表面积公式,即可求解.【详解】如图所示,将正四面体补形成一个正方体,则正四面体的外接球与正方体的外接球表示同一个球,因为正四面体的棱长为1,所以正方体的棱长为,设球的半径为,因为球的直径是正方体的对角线,即,解得,所以球的表面积为.本题主要考查了有关求得组合体的结构特征,以及球的表面积的计算,其中巧妙构造正方体,利用正方体的外接球的直径等于正方体的对角线长,得到球的半径是解答的关键,着重考查了空间想象能力,以及运算与求解能力,属于基础题.16.12【解析】
画出约束条件的可行域,求出最优解,即可求解目标函数的最大值.【详解】根据约束条件画出可行域,如下图,由x+y-4=02x-3y-8=0,解得目标函数y=3x-z,当y=3x-z过点(4,0)时,z有最大值,且最大值为12.故答案为:12.本题考查线性规划的简单应用,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)证明见解析【解析】
(1)对函数求导,并设切点,利用点既在曲线上、又在切线上,列出方程组,解得,即可得答案;(2)当x充分小时,当x充分大时,可得至少有一个零点.再证明零点的唯一性,即对函数求导得,对分和两种情况讨论,即可得答案.【详解】(1)根据题意,,设直线与曲线相切于点.根据题意,可得,解之得,所以.(2)由(1)可知,则当x充分小时,当x充分大时,∴至少有一个零点.∵,①若,则,在上单调递增,∴有唯一零点.②若令,得有两个极值点,∵,∴,∴.∴在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.∴极大值为.,又,∴在(0,16)上单调递增,∴,∴有唯一零点.综上可知,对于任意,有且仅有一个零点.本题考查导数的几何意义的运用、利用导数证明函数的零点个数,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意零点存在定理的运用.18.(1);(2).【解析】
(1)连接交于点,连接,利用线面平行的性质定理可推导出,然后利用平行线分线段成比例定理可求得的值;(2)取中点,连接、,过点作,则,作于,连接,推导出,,可得出为平面与平面所成的锐二面角,由此计算出、,并证明出平面,可得出直线与平面所成的角为,进而可求得与平面所成角的正弦值.【详解】(1)连接交于点,连接,平面,平面,平面平面,,在梯形中,,则,,,,所以,;(2)取中点,连接、,过点作,则,作于,连接.为的中点,且,,且,所以,四边形为平行四边形,由于,,,,,,,为的中点,所以,,,同理,,,,平面,,,,为面与面所成的锐二面角,,,,,则,,,平面,平面,,,,面,为与底面所成的角,,,.在中,.因此,与平面所成角的正弦值为.本题考查利用线面平行的性质求参数,同时也考查了线面角的计算,涉及利用二面角求线段长度,考查推理能力与计算能力,属于中等题.19.(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).【解析】试题分析:(Ⅰ)连接,由比例可得∥,进而得线面平行;(Ⅱ)过点作的垂线,建立空间直角坐标系,不妨设,则求得平面的法向量为,设平面的法向量为,由求二面角余弦即可.试题解析:(Ⅰ)证明:连接,梯形,,易知:;又,则∥;平面,平面,可得:∥平面;(Ⅱ)侧面是梯形,,,,则为二面角的平面角,;均为正三角形,在平面内,过点作的垂线,如图建立空间直角坐标系,不妨设,则,故点,;设平面的法向量为,则有:;设平面的法向量为,则有:;,故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.20.(1)(2)的最小值为1,此时直线:【解析】
(1)用直接法求轨迹方程,即设动点为,把已知用坐标表示并整理即得.注意取值范围;(2)设:,将其与曲线的方程联立,消元并整理得,设,,则可得,,由求出,将直线方程与联立,得,求得,计算,设.显然,构造,由导数的知识求得其最小值,同时可得直线的方程.【详解】(1)设,则,即整理得(2)设:,将其与曲线的方程联立,得即设,,则,将直线:与联立,得∴∴设.显然构造在上恒成立所以在上单调递增所以,当且仅当,即时取“=”即的最小值为1,此时直线:.(注:1.如果按函数的性质求最值可以不扣分;2.若直线方程按斜率是否存在讨论,则可以根据步骤相应给分.)本题考查求轨迹方程,考查直线与椭圆相交中的最值.直线与椭圆相交问题中常采用“设而不求”的思想方法,即设交点坐标为,设直线方程,直线方程与椭圆方程联立并消元,然后用韦达定理得(或),把这个代入其他条件变形计算化简得出结论,本题属于难题,对学生的逻辑推理、运算求解能力有一定的要求.21.(1)3;(2).【解析】
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