第2章　直线与圆的位置关系　　　2.2　切线长定理

第页2.2切线长定理(见A本63页)A练就好基础基础达标1．如图所示，AB，AC是⊙O的两条切线，B，C是切点，若∠A＝70°，则∠BOC的度数为(C)A．130° B．120° C．110° D．100°第1题图第2题图2．如图所示，在△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2eq\r(3)，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为(C)A．1 B．4 C．2 D．33．如图所示，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是(D)A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．PA2＝PC·PO第3题图第4题图4．如图所示，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，∠P的度数为(D)A．35° B．45° C．60° D．70°5．如图所示，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝120°.连结AC，则∠A的度数是__30°__．第5题图第6题图6．如图所示，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，如果AB＝5，AC＝3，则BD的长为__2__．第7题图7．如图所示，已知PA，PB分别切圆O于点A，B，连结PO与圆O相交于点C，连结AC，BC，求证：AC＝BC.证明：连结OA，OB，∵PA，PB分别切圆O于A，B，∴∠PAO＝∠PBO＝90°.∵AO＝BO，PO＝PO，∴△APO≌△BPO(HL)，∴∠APO＝∠BPO，PA＝PB.∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC(SAS)，∴AC＝BC.第8题图8．如图所示，直尺、三角尺都和⊙O相切，点B，C是切点，且AB＝8cm.求⊙O的直径．解：连结AO，BO，∵AB是⊙O的切线，AC是⊙O的切线，∴∠ABO＝90°，∠BAO＝eq\f(1,2)∠BAC＝60°，在Rt△AOB中，OB＝AB·tan∠BAO＝8×tan60°＝8eq\r(3)(cm)，∴⊙O的直径为16eq\r(3)cm.B更上一层楼能力提升9．如图所示，四边形ABCD是正方形，以BC边为直径在正方形内作半圆O，再过顶点A作半圆O的切线(切点为F)交CD边于点E，则sin∠DAE等于(D)A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,5) C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,5)第9题图第10题图10．如图所示，一圆外切四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为__52__．11．如图所示，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为点A，B，直线EF也是⊙O的切线，点Q是切点，交PA，PB于点E，F.若PA＝10，则△PEF的周长为__20__；若∠APB＝50°，则∠EOF的度数为__65°__．第11题图第12题图12．如图所示，已知AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，BE切⊙O于点B，交CD于点E，⊙O的半径为a，BC＝na，则DE∶EC＝__1∶(n＋1)__．当n＝__1__时，∠C＝30°.第13题图13．如图所示，AB，AC的延长线与BC边相切，且∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，则⊙O半径是__2__.第14题图14．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心、OB长为半径的圆与AB交于点E，与AC相切于点D，直线ED交BC的延长线于点F.(1)求证：BC＝FC.(2)若AD∶AE＝2∶1，求tanF的值．解：(1)证明：连结BD.∵BE为⊙O的直径，∴∠BDE＝90°，∴∠EBD＝90°－∠BED.∵∠EBF＝90°，∴∠F＝90°－∠BEF.∴∠F＝∠EBD.∵AC切⊙O于点D，∴∠EBD＝∠ADE＝∠CDF.∴∠F＝∠CDF，∴DC＝FC.∵OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线，∴DC＝BC，∴BC＝FC.(2)在△ADE和△ABD中，∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ABD，∴△ADE∽△ABD，eq\f(DE,BD)＝eq\f(AE,AD)＝eq\f(1,2).又∵∠F＝∠EBD，∴tanF＝tan∠EBD＝eq\f(DE,BD)＝eq\f(1,2).C开拓新思路拓展创新第15题图15．如图所示，在ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝15cm.已知⊙O的半径等于3cm，AB，AD分别与⊙O相切于点E，F.⊙O在ABCD内沿AB方向滚动，与BC边相切时运动停止．试求⊙O滚过的路程．第15题答图解：连结OE，OA.∵AB，AD分别与⊙O相切于点E，F.∴OE⊥AB，OE＝3cm.∵∠DAB＝60°，∴∠OAE＝30°.在Rt△AOE中，AE＝eq\f(OE,tan∠OAE)＝eq\f(3,tan30°)＝3eq\r(3)(cm)．∵AD∥BC，∠DAB＝60°，∴∠ABC＝120°.设当运动停止时，⊙O′与BC，AB分别相切于点M，N，连结O′N，O′B.同理可得BN＝eq\r(3)cm.∴EN＝AB－AE－BN＝15－3eq\r(3)－eq\r(3)＝(15－4eq\r(3))cm.∴⊙O滚过的路程为(15－4eq\r(3))cm.第16题图16．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连结OD，OC，BE.(1)求证：OD∥BE.(2)若四边形ABCD的面积是48，设OD＝x，OC＝y，且x＋y＝14，求CD的长．第16题答图解：(1)证明：如图，连结OE，∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD，在Rt△OAD和Rt△OED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OE，,OD＝OD，))∴Rt△OAD≌Rt△OED(HL)．∴∠AOD＝∠EOD＝eq\f(1,2)∠AOE，在⊙O中，∠ABE＝eq\f(1,2)∠AOE，∴∠AOD＝∠ABE，∴OD∥BE.(2)与(1)同理可证Rt△COE≌Rt△COB，∴∠COE＝∠COB＝eq\f(1,2)∠BOE，∵∠DOE＋∠COE＝90°，∴△COD是直角三角形，∵S△DEO＝S△DAO，S△OCE＝S△COB，∴S梯形ABCD