2024潍坊二模数学试卷与参考答案

试卷类型:A

潍坊市高考模拟考试

数学

2024.4

本试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.

写在本试卷上无效.

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A=王普<0｝,B=｛习右>4｝，则AnB=

A.(0,+oo)B.(2,100)C.(16,100)D.(2,+oo)

2.已知随机变量X〜N(3,，),且P(X>4)=0.3,则P(X>2)=

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

3.将函数f(x)=cosx的图象向右平移f个单位长度,再将所得图象上的所有点,纵坐标不变,

横坐标变为原来的2倍,得到g(x)的图象,则g(x)=

A.sin2xB.sin合C.—sin-^-D.cos2久

Li

4.已知Q=b=Iga,c=,贝!J

A.b<Za<ZcB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a

5.在平面直角坐标系xO了内，将曲线CI：，+、2=IQ>O)绕原点o逆时针方向旋转角

a得到曲线若是一个函数的图象，则a可以为

A.30°B.60°C.90°D.180°

6.如图，圆台的上、下底面半径分别为勺，々，且2r】+Q=12,半径为4

的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为

A.36式B.647r

C.727rD.lOOx

高三数学试题第1页(共4页)

（力心0,

7.已知函数/(久)=则/(工)图象上关于原点对称的点有

—|X2+2X|,iVO,

A.1对B.2对C.3对D.4对

8.已知P为抛物线y2=23上的一动点，过P作圆(久一2)2+/*的切线，切点分别为A,

B,则NAPB的最大值为

A.4B.4C.vD.筌

0oZo

二、多项选择题:本大题共3个小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求,全部选对的得6分,选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

22

9.已知椭圆C：卷+4=1的焦点分别为R,E,P为C上一点,则

y4

A.C的焦距为24B.C的离心率为亨

C.△EPE的周长为3+4D.△FFE面积的最大值为2V5

10.定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，f(z)=/就是一个多项式复变函数.给定多项

式复变函数f(之)之后，对任意一个复数%,通过计算公式z“+i=f(zn),71eN可以得到一列

值Zo,z】，Z2,…，，….如果存在一个正数M,使得|z“|VM对任意nEN都成立,则称z0

为f(z)的收玫点;否则，称与为f(z)的发散点.则下列选项中是f(z)=必的收敛点的是

A.5/2B.-iC.1-iD.-----

11.已知向量a,b,c为平面向量，|a|=1,|“=2,a・b=O,|c-a|=:,则

A.l<|c|<4B.(c—a)・(c—b)的最大值为当⑤

乙4

C.-l<b-c<lD.若c=/a+独，则入+〃的最小值为1一卓

三、填空题:本大题共3个小题，每小题5分，共15分.

12.已知命题p：BxE[―1,1],a，则-ip为.

13.请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式fQ)=(1)/(1-久)=f(l+久);(2)f(x)至少

有两个零点;(3)f(的有最小值.

14.在AABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,其外接圆半径为1,sin2A+sin2B+sin2C=

1,则A4BC的面积为;当A取得最大值时，则a4-8a=.

高三数学试题第2页(共4页)

四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知函数/"(z)=(“—l)e，-a/+b,曲线》=f(x)在点处的切线方程为

y=(e—2)x+3—e

(1)求实数a,b的值；

(2)求f(x)的单调区间和极值.

16.(15分)

某市2017年至2023年城镇居民人均可支配收人如下表，将其绘制成散点图(如下图)，发现城

镇居民人均可支配收人乂单位:万元)与年份代号久具有线性相关关系.

年份2017201820192020202120222023

年份代号X1234567

人均可支配收入、3.653.894.084.304.654.905.12

(1)求y关于久的线性回归方程$=%+G,并根据所求回归方程,预测2024年该市城镇居民

人均可支配收人；

(2)某分析员从2017年至2023年人均可支配收人中，任取3年的数据进行分析,记其中人均可

支配收人超过4.5万的年份个数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.

7

77工久次一岂不

参考数据及公式:汇乂=30.59,=129.36,b=q----------,d=y-bx.

，=1，=1到

t=l

高三数学试题第3页(共4页)

17.(15分)

如图1,在平行四边形ABCD中，AB=2BC=4,ZABC=60°,E为CD的中点，将Z\ADE沿

AE折起，连结BD,CD,且BD=4,如图2.

(1)求证:图2中的平面ADEJL平面ABCE；

⑵在图2中，若点F在BD上，直线AF与平面ABCE所成的角的正弦值为嚅，

求点F到平面DEC的距离.

18.(17分)

22

已知双曲线C•一a=l(a>°，b>0)的实轴长为Z瓜,右焦点F2到一条渐近线的距离为1.

(1)求C的方程；

(2)过C上一点舄(3,2)作C的切线MI与C的两条渐近线分别交于R,S两点，P?为点B

关于坐标原点的对称点，过B作C的切线L，%与C的两条渐近线分别交于M,N两点,求四边

形RSMN的面积

(3)过C上一点Q向C的两条浙近线作垂线，垂足分别为H”Hz,是否存在点Q,满足|QHJ

十|QHz|=2,若存在，求出点Q坐标;若不存在,请说明理由.

19.(17分)

数列｛a,,｝中,从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列｛an+l-a,｝称为｛an｝的一阶差

数列，记为｛/｝,依此类推，恸)｝的一阶差数列称为侬｝的二阶差数列，记为恸)｝,....如果

一个数列｛4｝的p阶差数列｛4)｝是等比数列，则称数列｛%｝为p阶等比数列(peN)

(1)已知数列｛即｝满足为=1,a“+i=2a“+1.

(i)求刑讯婚

(ii)证明:｛%｝是一阶等比数列；

(2)已知数列｛”,｝为二阶等比数列，其前5项分别为1,争，召，号，号，求6“及满足b”为整

数的所有“值.

高三数学试题第4页(共4页)

高三数学参考答案及评分标准

2024.4

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1-4CCBA5-8CDDB

二、多项选择题(每小题6分，共18分)

9.ABD10.BD11.BCD

三、填空题(每小题5分，共15分)

12.Vxe[-1,1],13.二一22(答案不唯一)14.-y；-4

四、解答题(本大题共5小题，共77分)

15.解:⑴尸(JC)=ex+(x—l)er—2ax=xer—2ax,

由题意知，r(l)=e—2a=e—2,所以a=l,

又因为J(l)=-1+b=(e-2)xl+3-e=l,所以b=2.

(2)由⑴知，.(x)=xex-2x=x(ex-2),

当尤e(-oo,0)时，尸(①)>0；当久e(0,ln2)时,fr(x)<0;

当久€(ln2,+8)时，/⑴>0.

当x=0时，f(x)取得极大值f(0)=1;

当久=ln2时，f(久)取得极小值f(ln2)=21n2-(ln2)2.

16.解:⑴由题意得，x=yX(1+2+34-4+54-6+7)=4,

亍==2x30.59=4.37,

1i=l1

7

22(&—五)2=9+4+1+0+1+4+9=28,

»=1

7

Xzy—n^y=129.36—7x4x4.37=7,

i=l

7

^xtyt-nxy

故6=与--------=《=0.25,

i=l

a=y-bx=4.37-0.25x4=3.37,

故回归方程为$=0.25a:+3.37,

又因为2024年的年份编号为8,将久=8代人$=0.25x+3.37,解得$=5.37,

预测2024年该市城镇居民人均可支配收人为5.37万元；

(2)由图表知，人均可支配收人超过4.5万的年份有3年，

高三数学答案第1页（共5页）

故X的可能取值为0,1,2,3,

则P(X=。)=蒋=玄，

P(X=1)=喑1=普

P(X=2)=警—,

附=3)*=表

17.解:⑴连结BE,

因为AB=2BC=4,ZABC=60°,E为CD的中点，

所以△ADE是边长为2的等边三角形，

在Z\ABE中，ZEAB=60°,由余弦定理得

BE=VAE2+AB2-2AE-ABcosAEAB=J22+42-2x2x4x-i-=2V3,

因为AE2+BE2=AB2,所以AE_LBE,

又因为6。=4,所以2七2+1^2=口。2,所以。E1.1^,

又DECAE=E,

所以BE平面ADE,

又因为BEu平面ABCE,所以平面ADE±平面ABCE.

(2)以E为坐标原点，以直，方的方向分别为h轴，y轴的正方向建立如图所示空间直角

坐标系E—①评:，

E(0,0,0),A(2,0,0),B(0,273,0),D(l,0,73),

C(-l,V3,0),AD=(-1,0,V3),DB=(-1,2^3,

-V3),ED=(1,0,0)，氏=(T,/,0)设5?=

入丽(04入〈1),贝|］而=而+而=(-1,0,V3)+A(

—1,2V3,—5/3)=(—1—X,2V3A,,\/3—V3A),

取平面ABCE的一个法向量为m=(0,0,l),

高三数学答案第2页(共5页)

、

贝rm!]”V,cosTArF,m>i=IA.F-m.=।V3—V3X==^V730T，

\AF\\m\V16X2-4X+410

整理得3*+8X-3=0,解得入=-1■或入=一3（舍）.

设平面DEC的法向量为n=（x,y,z）,

-n=x+V3z=0,f-

「令2=则；y=l,2=-1,

Kn=—x+V3y=0,

所以n=（，5,1,-1）.

设点F到平面DEC的距离为d,又加=/瓦=（一/,竽,一字）

—2V3.

则d=k四=工=区⑮

川|n|V515

所以点F到平面DEC的距离为空舞.

18.解：（1）因为实轴长为2代,所以a=通,

be

C的一条渐近线方程为y=白支,则d=—/°2”=b=1,

所以双曲线C的方程为专2一y2=i.

o

⑵由题意可知四边形MNRS为平行四边形，其面积SDMNRS=4S〃）RS，由题意可知直线L

的斜率存在，设直线左》=丘+1"=2一3际且人彳士挈，

y—kx+t,

尤2消去y并整理得（1一3/）/一6"久一3t2—3=0,

{区-…，

因为直线21与双曲线C相切，

所以11—及：?’,2、/2、得3/£2=产+1，即/2_2”k+l=0,

[△=36fe¥+4（l-3必）（3/+3）=0,

所以左=,直线。方程为x—V2y—1=0,

设直线乙与:y=今工的交点为R,与;y=—警口的交点为S,

（x—V2y—l=0,

联立《73得加=3+收，

Ik丁凡

2

则|RS|=y/l+k\xR-xs\-J1+（平了晶—匆=6,

高三数学答案第3页（共5页）

因为原点0到直线。的距离&=7磊=冬，

VJ.十，J

所以S))RS=5X6X=V3,

所以SDMNRS—4SAORS_4V3.

(3)设Q(£(),yo)，则守一就=1,

o

不妨设Q到直线y=多的距离为|QH1|

同理IQHZ|=¥J空Xo+%

所以IQHJ.IQH21Tq•-4=4(1),

4QT：

又因为|QHI|+|QH2]=2(2),

由(1)(2)解得或者

\QH2\=j-.

使得|QHJ+|QH』=2成立.

19.解:⑴(i)由为=1,a“+i=2a,,+1,

易求得的=3,a，3=7,a4—15,

由一阶差数列的定义得：

a[)=0-2—a1=2;

=a3—=4;

a『=a4-a3=8.

(ii)因为%+i=2a,,+1,所以a,1+i-2a„=1