2.4.2空间线面位置关系的判定（第2课时）课件高二下学期数学选择性

空间线面位置关系的判定第2课时向量与平行第2章空间向量与立体几何湘教版

数学

选择性必修第二册课标要求1.了解利用向量方法证明有关直线、平面平行的判定定理.2.掌握利用直线的方向向量与平面的法向量判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点空间中平行关系的向量表示v1,v2分别为直线l1,l2的方向向量,v1=(x1,y1,z1),v2=(x2,y2,z2),n1,n2为平面α1,α2的法向量,n1=(a1,b1,c1),n2=(a2,b2,c2).位置关系向量表示向量运算坐标运算l1∥l2或l1与l2重合

v2=kv1x2=kx1,y2=ky1,z2=kz1(k为非零常数)l1∥α1或l1⊂α1

v1·n1=0x1a1+y1b1+z1c1=0α1∥α2或α1与α2重合n1∥n2n2=kn1a2=ka1,b2=kb1,c2=kc1(k为非零常数)v1∥v2

v1⊥n1过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若两个不重合的平面的法向量共线,则两个平面平行.(

)(2)若一条直线的方向向量与一个平面的法向量的数量积等于0,则直线与平面平行.(

)2.证明直线与平面平行,除利用直线的方向向量与平面的法向量垂直外,你还能想到其他的向量方法吗?√×提示

可以利用共面向量定理,即证明直线的方向向量可以用平面内一组不共线的向量表示,且直线在平面外.重难探究·能力素养全提升探究点一利用向量方法证明线线平行【例1】

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,P,Q,R,S分别是AA1,D1C1,AB,CC1的中点.求证:PQ∥RS.证明(方法一)以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1),规律方法

利用向量证明直线与直线平行的方法有两种:一是证明一条直线的方向向量可以用另外一条直线方向向量的数乘向量表示;二是证明两直线的方向向量的对应坐标成比例.变式训练1如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1和BB1的中点.求证:四边形AEC1F是平行四边形.证明以点D为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,不妨设正方体的棱又∵F∉AE,F∉EC1,∴AE∥FC1,EC1∥AF,∴四边形AEC1F是平行四边形.探究点二利用向量方法证明线面平行【例2】

[人教B版教材例题]已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B与A1C1的中点,求证:MN∥面ADD1A1.规律方法

利用向量证明线面平行的方法

方法过程方向向量与法向量法设直线l的方向向量是a,平面α的法向量是u,则要证明l∥α,只需证明a⊥u,即a·u=0线面平行的判定定理由于平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行,因此要证明一条直线和一个平面平行,只需要在平面内找到一条直线使其方向向量与已知直线的方向向量是共线向量共面向量定理如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量,那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行,因此要证明一条直线和一个平面平行,只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示变式训练2如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.求证:AM∥平面BDE.探究点三利用向量法研究平面与平面平行【例3】

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点.设Q是CC1上的点,则当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?解

如图所示建立空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为2,则O(1,1,0),A(2,0,0),P(0,0,1),B(2,2,0),D1(0,0,2),∴当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.规律方法

向量法在研究平面与平面平行中的应用两个平面平行,则两平面的法向量共线.要证明平面与平面平行,主要是证明两平面的法向量共线或一个平面的不共线的两个向量所在的直线与另一个平面平行.变式训练3[北师大版教材习题]如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,点E,F,G,H,M,N分别是该正方体六个面的中心,求证:平面EFG∥平面HMN.证明

以点D为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为a,又FG∩GE=G,所以平面EFG∥平面HMN.本节要点归纳1.知识清单:(1)向量与线线平行;(2)向量与线面平行;(3)向量与面面平行.2.方法归纳:利用直线的方向向量共线证明线线平行;利用直线的方向向量与平面的法向量垂直或利用线面平行的判定定理以及共面向量定理证明线面平行;利用两个平面的法向量共线证明面面平行.3.特别提示:证明两直线平行不但要证明两直线的方向向量共线,还要说明两直线没有公共点;利用直线的方向向量与平面的法向量垂直证明线面平行时,要说明直线在平面外.成果验收·课堂达标检测A级必备知识基础练12345678910111213141516171.若平面α,β的法向量分别为a=(,-1,3),b=(-1,2,-6),则下列结论中正确的是(

)A.α∥β

B.α,β相交但不垂直C.α⊥β

D.α∥β或α,β重合D解析

根据题意易知a=-b,故平面α,β的法向量共线,因此a∥β或α,β重合.故选D.12345678910111213141516172.已知A(0,y,3),B(-1,-2,z),若直线l的方向向量v=(2,1,3)与直线AB的方向向量平行,则y+z等于(

)A.-3 B.0

C.1

D.3B1234567891011121314151617A.相交

B.平行C.在平面内 D.平行或在平面内D12345678910111213141516174.若直线m的方向向量为a,平面α的法向量为μ,则能使m∥α的是(

)A.a=(1,0,0),μ=(-2,0,0) B.a=(1,-1,3),μ=(0,3,1)C.a=(0,2,1),μ=(-1,0,1) D.a=(1,3,5),μ=(1,0,1)B解析

若m∥α,则a⊥μ,则a·μ=0.A中,a·μ=-2,因此A不满足条件;B中,a·μ=0-3+3=0,因此B满足条件;C中,a·μ=1,因此C不满足条件;D中,a·μ=6,因此D不满足条件.故选B.12345678910111213141516175.(多选题)已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是(

)AC12345678910111213141516176.直线l的方向向量为s=(-1,1,1),平面α的法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l∥平面α,则实数x的值为(

)D解析

因为直线l的方向向量为s=(-1,1,1),平面α的法向量为n=(2,x2+x,-x),直线l∥平面α,所以s·n=-2+x2+x-x=0,即x2=2,解得x=,故选D.12345678910111213141516177.给出下列命题:①若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则n1∥n2⇔α∥β;②若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β⇔n1·n2=0;③若n是平面α的法向量,且向量a与平面α共面,则a·n=0.其中正确命题的个数是(

)A.1 B.2

C.3

D.0A解析

①中,α与β可能重合;②中,α∥β可得到n1∥n2.12345678910111213141516178.已知平面α的一个法向量是a=(2,-1,-1),若平面β满足α∥β,写出平面β的一个法向量

.(说明:写出一个即可,不必考虑所有的情况)

(4,-2,-2)解析

因为α∥β,所以平面β与平面α的法向量平行,记平面β的一个法向量为b,则b=λa=(2λ,-λ,-λ)(λ≠0),不妨取λ=2,得b=(4,-2,-2).12345678910111213141516179.

如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:FC1∥平面ADE.1234567891011121314151617证明

如图,建立空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),所以1234567891011121314151617令z1=2,则y1=-1,所以n1=(0,-1,2).又因为FC1⊄平面ADE,所以FC1∥平面ADE.又因为FC1⊄平面ADE,所以FC1∥平面ADE.123456789101112131415161710.设α,β是不重合的两个平面,α,β的法向量分别为n1,n2,l和m是不重合的两条直线,l,m的方向向量分别为e1,e2,那么α∥β的一个充分条件是(

)A.l⊂α,m⊂β,且e1⊥n1,e2⊥n2B.l⊂α,m⊂β,且e1∥e2C.e1∥n1,e2∥n2,且e1∥e2D.e1⊥n1,e2⊥n2,且e1∥e2B级关键能力提升练C123456789101112131415161711.

如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是(

)A.相交但不平行 B.平行C.相交且垂直

D.不能确定B123456789101112131415161712.已知直线l∥平面ABC,且l的一个方向向量为a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),则实数m的值是

.

-3解析

∵l∥平面ABC,∴(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)=(x,y,-x-y),123456789101112131415161713.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点,点P在棱AA1上,且DP∥平面B1AE,则AP的长为

.

解析

建立以AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系,设|AB|=a,点P坐标为(0,0,b),0≤b≤1,则123456789101112131415161714.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P为线段D1B上的动点,M,N分别为棱BC,AB的中点,若DP∥平面B1MN,则

=

.

123456789101112131415161715.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=AD=1.问:在棱PD上是否存在一点E,使得CE∥平面PAB?若存在,求出E点的位置;若不存在,请说明理由.1234567891011121314151617解

分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,则P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0).∴E是PD的中点,即存在点E为PD中点时,CE∥平面PAB.123456789101112131415161716.[2023全国新高考卷Ⅰ,18]如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.证明:B2C2∥A2D2.1234567891011121314151617证明

(方法一)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,以点C为坐标原点,CD,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如右图所示的空间直角坐标系.由题意可得A2(2,2,1),B2(0,2,2),C2(0,0,3),D2(2,0,2).因为A2,B2,C2,D2四点不共线,故B2C2∥A2D2.1234567891011121314151617(方法二:几何法)设棱DD1上的点N满足DN=AA2=1,取CC1的中点M,连接A2N,MN,B2M.因为DN∥AA2,且DN=AA2,故四边形AA2ND为平行四边形,所以A2N∥AD,且A2N=AD.同理可证,B2M∥BC,且B2M=BC.因为AD∥BC