整式与因式分解（讲义）（解析版）-2024年中考数学一轮复习

专题02整式与因式分解的核心知识点精讲

1.能用塞的性质解决简单问题，会进行简单的整式乘法与加法的混合运算.

2.能用平方差公式、完全平方公式进行简单计算.

3.了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，会用提公因式法和公式法进行因式分解.

4.能选用恰当的方法进行相应的代数式的变形，并通过代数式的适当变形求代数式的值.

5.会列代数式表示简单的数量关系;能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，会求代数式的值，并能

根据代数式的值或特征推断代数式反映的规律.

考蔡

考点1：代数式

定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。

考点2：整式的相关概念

考点3：整式加减运算

L实质：合并同类项

2.合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

3.去括号

(1)a+(b+c)=a+b+c；(2)a-(b+c)=a-b-c

考点4：哥运算

(1)基的乘法运算

口诀：同底数塞相乘，底数不变，指数相加。即amxan=a<m+n>(a#),m,n均为正整数，并且m>n)

(2)塞的乘方运算

口诀：塞的乘方，底数不变，指数相乘。即(a'〃)"=""(m，n都为正整数)

(3)积的乘方运算

口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的嘉相乘。即(abm\=a”B"”(m,n为正整数)

(4)塞的除法运算

口诀：同底数嘉相除，底数不变，指数相减。即am+an=a'm-n>(a¥O,m,n均为正整数，并且m>n)

考点5：整式乘法运算

(1)单项式乘单项式

单项式相乘，把系数、同底数鬲分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连

同它的指数作为积的一个因式.

(2)单项式乘多项式

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.

(3)多项式乘多项式

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.

(4)乘法公式

①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2

②完全平方公式：=/+2"+/(a-bY=a2-2ab+b2

(5)除法运算

①单项式的除法：把系数、同底数累分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同

它的指数作为商的一个因式.

②多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.

考点6：因式分解

1.把一个多项式化成几个整式的积的形式

2.必须分解到每个多项式都不能再分解为止

公式：ma+mb+mc=m(a+b+c)

6系数：取各项系数的最大公因数

提公因式法

公因式的确定一-字母：取各项相同的字母或因式

基本方法1指数：取各项相同字母的最低次数

a2-b2=(a+b)(a-b)

公式法a2+2ab+扶=(a+b)2

a2-lab+b2=(a—b)2

典例引领

【题型1:代数式及其求值】

【典例1]（2023•南通）若$-4〃-12=0,则2a2-8〃-8的值为（）

A.24B.20C.18D.16

【答案】D

【解析】解：a2-4"-12=0,

4Z2-4（7=12,

2a2-8〃-8

=2（/-4〃）-8

=2x12-8

=24-8

=16,

故选：D.

即时格泅

1.（2023•雅安）若W+2机-1=0,则2M2+4机-3的值是（）

A.-1B.-5C.5D.-3

【答案】A

【解析】解：2m2+4m-3=2（m2+2m-1）-1=0-1=-1.

故选：A.

2.（2023•常德）若〃2+34-4=0,贝!!2/+6Q-3=（）

A.5B.1C.-1D.0

【答案】A

【解析】解：a2+3a-4=0,

/./+3〃=4,

2〃2+6。一3

=2（〃2+3“）-3

=2x4-3

=5,

故选：A.

3.（2023•巴中）若x满足/+3%-5=0,则代数式2?+6x-3的值为（）

A.5B.7C.10D.-13

【答案】B

【解析】解：・・"2+3X-5=0,

.•・/+31=5,

.•.2/+6%-3=2（/+3%）-3=2x5-3=7.

故选：B.

典例引领

【题型2：整式的相关概念及加减】

【典例2】（2022•湘潭）下列整式与ad为同类项的是（）

A.a^bB.-2ab2C.abD.ab2c

【答案】B

【解析】解：在/6,-2ab2,ab,a62c四个整式中，与a户为同类项的是：-2a/A

故选：B.

即时接1L

1.（2021•河池）下列各式中，与为同类项的是（

A.-2cPbB.-labC.lab1D.2a2

【答案】A

【解析】解：2/6中含有两个字母：a、b,且a的指数是2,6的指数是1,观察选项，与2次。是同类

项的是-2a2b.

故选：A.

2.（2022•泰州）下列计算正确的是（）

A.3ab+2ab=5abB.5y2-2^—3

C.Ta+a—lcTD.r/n-2m/=-mn2

【答案】A

【解析】解：A、原式=5",符合题意；

B、原式=3/,不符合题意；

C、原式=8a,不符合题意；

D,原式不能合并，不符合题意.

故选：A.

3.（2022•包头）若一个多项式加上3刈+2y2-8,结果得2孙+3/-5,则这个多项式为y?一切+3.

【答案】y2-町+3.

【解析】解：由题意得，这个多项式为：

（2孙+3/-5）-（3孙+2y2-8）

=2孙+3/-5-3xy-2y2+8

=y-孙+3.

故答案为：y2-xy+3.

典例引领

【题型3：塞运算】

【典例3】（2023•株洲）计算：（3a）2=（)

A.5aB.3a2C.6/D.9a2

【答案】D

【解析】解：：（3a）2=32xa2=9a2,

故选：D.

SD时检测

1.（2023•丹东）下列运算正确的是（）

A.(3孙)2=9%2y2B.(J)2=,5

C.X2*X2=2X2D.%6：%2=N3

【答案】A

【解析】解：A.（3盯）2=9XY，故此选项符合题意;

B.（/）2=>6,故此选项不合题意；

C./故此选项不合题意；

D.故此选项不合题意.

故选：A.

2.（2023•陕西）计算：（1x?y)3=()

A]63R]23163354

xyJcyxynF*y

6y8oN

【答案】c

【解析】解：原式=-lx6y\

8-

故选：C.

3.（2023•温州）化简（-〃）3的结果是()

1n

A.aB.-a12C.a1D.-a1

【答案】D

【解析】解：（“）3=_o7.

故选：D.

典例引领

【题型4：整式的乘除及化简求值】

【典例4】(2023•盐城)先化简，再求值：(〃+3b)2+(a+3b)(a-3b),其中〃=2,b=-1.

【解析】解：(。+3卜)之+(〃+36)(〃-3。)

=〃2+6〃/7+9。2+〃2-9/72

=2〃2+6〃/?.

当4=2,b=-1时，

原式=2x22+6x2x(-1)

=8-12

=-4.

即时检测

1.(2023•长沙)先化简，再求值：(2-a)(2+a)-2a(a+3)+3/，其中°=-L.

3

【答案】4-6a,原式=6.

【解析】解：(2-a)(2+a)-2a(a+3)+3/

=4-cT-2a2-6a+3a2

=4-6a,

当a=-工时，原式=4-6x(-A)

33

=4+2

=6.

2.(2023•常州)先化简,再求值：(x+1)2-2(x+1),其中x=7历.

【答案】?-1,1.

【解析】解：原式=/+2%+1-2x-2

=W-1,

当时，原式=2-1=1.

3.(2022•盐城)先化简，再求值：(x+4)(x-4)+(x-3)2,其中--3对1=0.

【解析】解：原式=/-16+x2-6x+9

=2/-6x-7,

VX2-3X+1=0,

Ax2-3x=-1,

•・2/-6x=-2,

•二原式=-2-7=-9.

曲例引领

【题型5：因式分解】

【典例5】(2023•北京)分解因式：口-丫3=y(x+y)(x-y).

【解析】解：马-/

=y(x2-y2)

=y(%+y)(x-y).

故答案为：y(x+y)(x-y).

即时检测

1.(2023•盐城)因式分解：/-xy=x(x-y).

【答案】x(x-y)

【解析】解：/-孙=x(x-y).

故答案为：x(.X-y).

2.(2023•陕西)分解因式：3/-12=3(冗-2)(x+2).

【答案】3(x+2)(x-2).

【解析】解：原式=3(%2-4)

=3(x+2)(x-2).

故答案为：3(x+2)(x-2).

3.(2023•怀化)分解因式：2?-4%+2=2(x-1)2.

【答案】2(x-1)2

【解析】解：-4x+2,

=2(/-2x+l),

=2(X-1)2.

101好题冲关I]

基

1.单项式mxy3与非+2>3的和是5孙:则机-〃=()

A.-4B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】解：・・•单项式如3与"+2y3的和是5孙3,

；・单项式mxy3与/+2y3是同类项，

・"+2=l,m+l=5,

解得n=-1,m=4,

/.m-n=4-(-1)=5,

故选：D.

2.下列计算正确的是()

A.2ab+3ab=5abB.7/-2y2=5

C.4〃+2Q=6〃2D.3mn-2mn=mn

【答案】A

【解析】解：A.2ab+3ab=5ab,故本选项符合题意；

B.7y2-2y2=5y2,故本选项不符合题意；

C.4〃+2〃=6〃，故本选项不符合题意；

D.3机2”与-2mJ不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意.

故选：A.

3.如图是由连续的奇数1,3,5,7,排成的数阵，用如图所示的T字框框住其中的四个数，设竖列中

间的数为x,则这四个数的和为（）

13579

1113151719?

21232527291？

3133353739?

4143454749

A.3x+lB.3x+2C.4x+1D.4x+2

【答案】B

【解析】解：设竖列中间的数为X,

则上面的数为：%-10,

下面的数为：x+10,

其右侧的数为：x+2,

则这四个数的和为：x-10+x+10+x+2=3x+2,

故选：B.

4.某商品标价为加元，商店以标价7折的价格开展促销活动，这时一件商品的售价为（）

A.0.3加元B.1.7m元C.元D.0.7m7C

【答案】D

【解析】解：商店以标价7折的价格开展促销，售价为0.7〃z元;

故选：D.

5.如图是一组有规律的图案，它们由边长相等的等边三角形组成，第1个图案有4个三角形，第2个图案

有7个三角形，第3个图案有10个三角形，…，照此规律，摆成第6个图案需要的三角形个数是（）

第1个第2个第3个第4个

A.19个B.22个C.25个D.26个

【答案】A

【解析】解：第1个图案有4个三角形，即4=3xl+l,

第2个图案有7个三角形，即7=3x2+l,

第3个图案有10个三角形，即10=3x3+1,

按此规律摆下去，

第力个图案有（3〃+1）个三角形.

第6个图案有（3x6+1）=19个三角形.

故选：A.

6.若代数2/+3x的值为5,则代数式4x2+6x-9的值是（）

A.1B.-1C.4D.-4

【答案】A

【解析】解：・・・2/+3%的值为5,

.,.2X2+3X=5,

・,・原式=2（2/+3冗）-9

=2x5-9

=10-9

=1.

故选：A.

7.下列计算正确的是（）

A.（/）2=〃8B.〃2・〃3=〃6

223

C.（2。房）3=8〃3庐D.3a^4a=­a

4

【答案】C

【解析】解：（/）2=06,则A不符合题意;

a2-ai=a5,则2不符合题意；

（2/）3=8岛6,则。符合题意;

3a294/=旦，则。不符合题意；

4

故选：C.

8.多项式3/-2X+5的各项分别是()

A.3X2,-lx,5B./,x,5C.3x2,2x,5D.3,2,5

【答案】A

【解析】解：多项式3/-2x+5的各项分别是3/,-2尤，5,

故选：A.

9.下列各整式中是三次单项式的是()

A.5a3bB.32a2bC.-a2b3D.9a2+b3

【答案】B

【解析】解：5/万的次数是3+1=4,则A不符合题意；

32次匕的次数是2+1=3,则2符合题意；

-crb3的次数是2+3=5,则C不符合题意；

9a2+及不是多项式，则£＞不符合题意；

故选：B.

10.如果二次三项式/+办-2可分解为(%-2)(x+b),那么a+6的值为()

A.-2B.-1C.1D.0

【答案】D

【解析】【详解】解：：(%-2)(尤+6)=/+(6-2)x-2b,

J.^+ax-2=f+(b-2)x-2b,

••cib-2,~2-2b9

'.a=-1,b=l,

/.a+b=0,

故选：D.

11.将长、宽分别为尤、y的四个完全一样的长方形，拼成如图所示的两个正方形，则这个图形可以用来解

释的代数恒等式是()

A.(x+y)2=/+2町+y2B.(尤-y)2=x2-Ixy+y1

C.(x+y)(尤-y)-y2D.(x+y)2-(x-y)2=4xy

【答案】D

【解析】解：根据图形可得：大正方形的面积为（x+y）2,阴影部分小正方形的面积为（x-y）2,一个

小长方形的面积为孙，

则大正方形的面积-小正方形的面积=4个小长方形的面积，

即（x+y）2-（尤-y）2=4肛，

故选：D.

12.（-/）2的运算结果是（）

A.-?B.C.D.x9

【答案】C

【解析】解：（-X3）2=£

故选：C.

2

13.单项式=的系数和次数分别是（）

3

【答案】c

2

【解析】解：单项式-71xyz的系数是-2L,次数是4,

33

故选：C.

14.若M和N都是三次多项式，则M+N一定是（）

A.次数低于三次的整式

B.六次多项式

C.三次多项式

D.次数不高于三次的整式

【答案】D

【解析】解：和N都是三次多项式，

.••M+N一定是次数不高于三次的整式，

故选：D.

15.多项式W+TOC+25是完全平方式，那么根的值是（）

A.10B.20C.±10D.±20

【答案】C

【解析】解：由于（x±5）2=/±10尤+25

.*.m=±10

故选：C.

16.要使多项式2/-2（7+3x-2x2）化简后不含1的二次项，则加的值是（）

A.2B.0C.-2D.-6

【答案】D

【解析】解：2?-2(7+3x-27)+nu?

=2f-14-6x+4x2+mx2

=(6+m)x2-6x-14.

:化简后不含X的二次项.

/.6+m=0.

••~6.

故选：D.

17.先化简，再求值：(〃+2)(〃-2)+a(1-a\其中〃=2023.

【答案】〃-4,2019.

【解析】解：原式=。2-4+〃-〃2

—~d-4,

当a=2023时，

原式=2023-4

=2019.

18.甲、乙两个长方形的边长如图所示(机为正整数)，其面积分别为Si,S2.

(1)填空：Si-S2=2m-1(用含机的代数式表示)；

(2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和.

①设该正方形的边长为x,求尤的值(用含机的代数式表示)；

②设该正方形的面积为S3,试探究：S3与2(51+52)的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不

是常数，请说明理由.

於一4

m-11

冽-2

归4甲丁

【答案】(1)2m-1；

(2)①2%+7；

②S3与2(S1+S2)的差是常数19.

【解析】解：(1)S1-S2

=(m+J)(m+1)-(〃?+4)(m+2)

=(m2+m+7/n+7)-(m2+2m+4777+8)

=m+m+7m+7-m-2m-4m-8

—2m-1,

故答案为：2m-1；

(2)①根据题意得：

4x=2(m+7+m+l)+2(m+4+m+2),

解得：x=2m+7,

答：x的值为2m+7；

②:S1+S2

=(m+7)(m+1)+(m+4)(m+2)

=(m2+m+7m+7)+(m2+2m+4m+8)

=m2+m+7m+7+m2+2m+4m+8

=2根+214m+15,

：.S3-2(S1+S2)

=(2m+7)2-2(2m2+14m+15)

=4m2+28m+49-4m2-28m-30

=19,

答：S3与2(S1+S2)的差是常数19.

能力坦升

1.已知有2个完全相同的边长为4、6的小长方形和1个边长为相、”的大长方形，小明把这2个小长方形

按如图所示放置在大长方形中，小明经过推理得知，要求出图中阴影部分的周长之和，只需知道纵反

相、”中的一个量即可，则要知道的那个量是()

【答案】D

【解析】解：由图和己知可知：AB^a,EF=b,AC=n-b,GE=n-a.

阴影部分的周长为：2(AB+AC)+2(GE+EF)

—2(ia+n-b)+2-a+b)

=2a+2n-26+2〃-2a+2b

—4n.

求图中阴影部分的周长之和，只需知道〃一个量即可.

故选：D.

2.已知8，"=。，16"=b,其中m，"为正整数，则23"+12"=（）

A.ab2B.a+b2C.a伊D.a+b3

【答案】C

【解析】解：；8=23,16=2、

4

...(23)>n=23m=atg«=2«=b,

•23W+12〃=23mx212〃=23mx(24n)3=ab\

故选：C.

3.比较33,433,522的大小正确的是(

A.344<433<522B.522<433<344

C.522<344<433D.433<344<522

【答案】B

【解析】解：344=(34)11=81%

433,=(43)11=64”；

522的=(52)11=25”；

V2511<6411<8111,

A522<433<344.

故选：B.

4.若（a+26）•=/一4庐，则横线内应填的代数式是（）

A.-a-2bB.a+2bC.a-2bD.lb-a

【答案】c

【解析】解：a1-4b2=（a+26）（a-2b）,

.♦.括号内应填的代数式是“-2b.

故选：C.

5.同号两实数a,b满足/+.=4-2",若a-b为整数，则湖的值为（）

A.1或3B.1或2C.2或3D.2或上

4422

【答案】4

【解析】解：'.'cr+b2-4-2ab,

(a+b)2=4,

/.（a-b）2=（4+。）2-4〃b=4-

/.ab<l,

9：ab>0,

.'.0<tzZ?<l.

/.0<4-4〃/?V4.

・・Z-。为整数，

.*.4-4ab为平方数.

.'.4-4（7/?=1或0,

解得出?=3或1；

4

故选：A.

6.我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章

算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（。+8）〃的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”.根

据“杨辉三角”设的展开式中各项系数的和为an,若21010=X,则〃1+〃2+〃3+...+。2020的值为（）

。十%°...........................①

......................①①

以+".........①②①

(a+b)i..................①③③①

他叫4------①④⑥④①

5

(a^b)—①⑤◎。⑤①

••••••

A.22B.2x2-2C.2020x-2D.2020x

【答案】B

【解析】解：观察所给数据可得，。1=2,及=1+2+1=4=22,“3=1+3+3+1=8=23,44=1+4+6+4+1=

16=24,(22020=22020,

..o1010—v

12020=2202°=W,

:41+42=2+4=6=2(22-1),

41+42+43=2+4+8=14=2(23-1),

。1+〃2+〃3+...+〃2020

=2(22020-1)

=2(x2-1)

=27-2.

故选：B.

7.下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是()

142638410HS

29320435554□S

第1个第2个第3个第4个……

A.135B.170C.209D.252

【答案】C

【解析】解：根据表格可得规律：

第w个表格中，

左上数字为"，

左下数字为"+1，

右上数字为2(n+1),

右下数字为2(«+1)(M+1)+n,

A20=2(〃+1),

解得n=9,

：.a=9,b=10,x=10x20+9=209.

故选：C.

8.定义运算“★”：crkb=、a-b(a,b),关于》的方程(i)★(2x-：

2x+=，恰好有两个不相等的实

b2-a(a>b)

数根，则t的取值范围是t>-XL.

4

【答案】t>-XL.

4

【解析】解：由新定义的运算可得关于尤的方程为：

(1)当2x+lS2x-3成立时，即1W-3,矛盾，

所以a<b时不成立；

(2)当2x+l>2x-3成立时，即1>-3时，

所以时成立，

则(2x-3)2-(2x+l)=t,

化简得：4?-14x+8-t=0,

•••一元二次方程有两个不相等的实数根，

AA=142-4x4x(8-r)>0,

解得：/>-卫，

4

故答案为：f>-工L

4

9.计算：已知：a+b—3,ab=L则/十户二7.

【答案】见试题解答内容

【解析】解：'.'a+b=3,ab=l,

：.cr+b2=(a+b)2-2ab=32-2=9-2=7.

故答案为：7

10.如图，边长分别为“6的两个正方形并排放在一起，当a+b=8,油=10时，阴影部分的面积为17

b

【答案】17.

【解析】解：根据题意得：S阴影部分=/+/-工。2-工。(a+b)

22

=a2+b2-At72-JLab-A/?2

222

=A(a2+Z?2-ab)

2

=A[(a+b)2-3ab],

2

把a+b=8,ab=10代入得：S阴影部分=17.

故图中阴影部分的面积为17.

故答案为：17.

11.因式分解：2x2-4X+2=2(X-1)2.

【答案】2(X-1)2.

【解析】解：2a-4尤+2=2(/-2x+l)=2(X-1)2

故答案为2(%-1)2.

12.已知孙=2,x+y—3,则7丫+到2=6.

【答案】见试题解答内容

【解析】解：：移=2,x+y=3,

・.・x2y+.xy2

=xy(x+y)

=2x3

=6,

故答案为：6.

13.如图，点C是线段A8上的一点，以AC,8。为边向两边作正方形，设A8=9,两正方形的面积和S1+S2

=51,则图中阴影部分面积为正.

—2―

2

【解析】解：设AC=m，CF=",

VAB=9,

/.m+n=9f

又,.・SI+S2=51,

/.m2+n2=51,

222

由完全平方公式可得，(m+n)=m+2mn+nf

2

/.9=51+2mnf

•*run~~15,

._1_15

•,S阴影部分——inn—―?

22

即：阴影部分的面积为」立.

2

故答案为：」立.

2

【答案】6.

【解析】解:a2-b2-2b+5

=(q+b)(a-b)-20+5,

a-b=\,

原式=〃+/?-20+5

=a-b+5

=1+5

=6.

故答案为：6.

15.我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了（〃+。）n

（H=1,2,3,4,...）的展开式的系规律（按〃的次数由大到小的顺序）.

11(a+a+b

121(a+以=屏+2ab+核

1331(。+))3=炉+3£6+34冬+枕

14641(a+i)4=a4+4a3b+6a2b2+Aab3+i4

请根据规律，写出（x+1）2022的展开式中含/021项的系数是2022.

【答案】2022.

【解析】解：,・・（。+。）1展开式中的第二项系数为1,

Q+6）2展开式中的第二项系数为2,

（a+6）3展开式中的第二项系数为3,

Q+6）4展开式中的第二项系数为4,

（。+6）”展开式中的第二项系数为小

由图中规律可知：

含/021的项是（x+1）2022的展开式中的第二项，

（X+1）2022的展开式中的第二项系数为2022,

故答案为：2022.

16.观察下列一组数：

a\=—,ai=—,03=—,OA=^~,a5=-i^-,…，

3591733

它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第九个数加=n（n+l）（用含"的式子表示）

—2+25一

【解析】解：观察分母，3,5,9,17,33,…，可知规律为2〃+1,

观察分子的，l=[xlx2,3=AX2X3,6=AX3X4,10=_1X4X5,15=AX5X6,可知规律为P（n+1）,

222222

n（n+l）

-n—2n（n+1）.

故答案为n（n+l）；

2+2k1

17.先化简，再求值：（2〃+1）（2〃-1）-4a（tz-1）,其中〃=-1.

【解析】解:（2〃+1）（2〃-1）-4a（a-1）

=4/-1-4/+4〃

=4a-1,

当a-—1时，原式=-4-1=-5.

18.已知多项式A=2f-孙+仪y-8,B=-n^+xy+y+1,A-23中不含有x2项和y项，求心+加〃的值.

【解析】解：VA=2x2-xy+my-8,B—-nx^+xy+y+l,

/.A-2B=2*-xy+my-8+2nx2-2xy-2y-14=（2+2n）x2-3盯+（m-2）y-22,

由结果不含有7项和y项，得到2+2〃=0,m-2=0,

解得：m=2,n=-1,

则原式=1-2=-1.

19.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.如图，这个三角形的构造法则：

两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（〃+。）〃（〃为正整数）的展开式（按

a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.例如，在三角形中第三行的三个数1,2,1,恰好对应（〃+6）

2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1,3,3,1,恰好对应着（a+Z?）3=a3+3a2/?4-3tzZ?24-fe3

展开式中的系数等等.

1

11.......................................（a^b）1

\/

121.......................................S6）2

1331.......................................(mb)3

(1)根据上面的规律，写出(a+b)5的展开式.

(2)利用上面的规律计算:25-5X24+10X23-10x22+5x2-1.

【解析】解：(1)如图，

贝U(a+6)5=a5+5a4b+1Oa3b2+1OcTb3+Sa^+b5；

(2)25-5X24+10X23-10x22+5x2-1.

=25+5X24X(-1)+10X23X(-1)2+10x22x(-1)3+5x2x(-1)4+(-1)5

=(2-1)5,

=1.

20.我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图1,可

以得到(4+28(a+b)=/+3必+2层.请解答下列问题：

(1)写出图2中所表示的数学等式(o+b+数2=42+廿+。2+2"+2/?(?+2。〃；

(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知〃+b+c=9,ab+bc+ac=26,求/+廿十。？的值;

(3)小明同学用2张边长为〃的正方形、3张边长为人的正方形、5张边长为〃、人的长方形纸片拼出了

一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？

(4)小明同学又用x张边长为〃的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为〃、b的长方形纸片

拼出了一个面积为(25〃+7。)(2〃+58)长方形，求9%+10y+6.

【解析】解：(1)正方形的面积可表示为=(a+Z?+c)今

正方形的面积=4z2+Z?24-c2+2<2Z?+2Z?c+2cd;,

所以(〃+A+c)2=4i2+Z?2+c2+2«Z?+2/?c+2cd;.

故答案为：(a+0+c)2=〃2+/+。2+2〃。+2/?。+2cq.

(2)由(1)可知：a2+b2+c1=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=92-26x2=81-52=29.

(3)长方形的面积=2/+5次?+3廿=(2。+3。)(〃+/?).

所以长方形的边长为2〃+3。和a+b,

所以较长的一边长为2〃+3。.

(4)・・•长方形的面积=142+>廿+2〃。=(25〃+7。)(2〃+5。)=50〃2+144。+125〃。+35.=50〃2+139〃/7+35廿,

；・x=50,y=35,z=139.

/.9x+1Oy+6=450+350+6=806.

b

bb

\\b

bba

图1ab

图

21.阅读理解：

若x满足(9-x)(x-4)=4,求(4-x)2+(x-9)2的值.

确军：设9-x=〃，％-4="，

贝！J(9-x)(x-4)=ab=4,a+b=(9-x)+(x-4)=5,

(9-x)2+(x-4)2=a2+b2=(〃+/?)2-2ab=52-2x4=17.

迁移应用：

(1)若%满足(2020-x)2+(x-2022)2=10,求(2020-x)(x-2022)的值；

(2)如图，点E,G分别是正方形A3CQ的边A。、A8上的点，满足。£=比BG=k+l(k为常数,且

人＞0),长方形AEFG的面积是红，分别以G尺AG作正方形G/7H和正方形AGJK,求阴影部分的面

积.

【答案】(1)-3；(2)1.

2

【解析】解：(1)设a=2020-x,b=x-2022,贝U：

a+b=-2,a2+b2=10.

*.*(〃+/?)2=a2+2ab+b1,

：.10+2(7/7=(-2)2.

•*ab~~~3.

J(2020-x)(x-2022)=-3.

(2)设正方形ABC。的边长为%,贝!]48=%-左，AG=x-k-1,

：.AE-AG=1.

,/长方形AEFG的面积是21,

.,.AE・AG=旦.

16

,/(AE-AG)2=3AE2-2AE-AG+AG2,

r.AE^+AG2^1+@=里

88

,/(AE+AG)2=AE1+2AE-AG+AG2,

：.CAE+AG)2=214^1,

88

，AE+AG=S.

2

:・S阴影部分=5正方形GF/H-S正方形AGJK

=AE2-AG2

=(AE+AG)(AE-AG)

=5x1

2

~2

22.如图①所示是一个长为2〃z,宽为2”的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后

按图②的方式拼成一个正方形.

（1）图②中阴影部分的正方形的边长等于»7-/7;

（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积：

方法一：（加一〃）2;

方法二：（m+n）2-4mn；

（3）根据（2）写出（机-〃）2,（m+n）2,；如这三个代数式之间的等量关系及推理过程.

(2)(m-n)2,(m+n')2-4mn；

(3)(m-n)2=(m+n)2-4mn,推理过程见解答.

【解析】解：（1）图②中的阴影部分的小正方形的边长=根-小

故答案为：m-n-,

（2）方法①（加-"）2；

方法②（》/+"）2-4mn；

故答案为：（m-n）之，（m+n）2-4mn；

（3）这三个代数式之间的等量关系是：（m-〃）2=（m+n）2-4mn,

由（2）得图②中阴影部分的面积为：（）之或（加+九）2-4mm

所以：（m-n）2=（m+n）2-4mn,

因此这三个代数式之间的等量关系是：（m-〃）2=（m+n）2-4mn.

直颗感知

1.(2023•西藏)下列计算正确的是(

A.242b-3a2b=-c^bB.=

C.(-2办)3=-646b3D.(a+b)2=a2+b2

【答案】A

【解析】解：A、2/。-3/。=一次从故此选项符合题意;

B、成・44=〃7,故此选项不符合题意；

。、（-2〃2b）3=_8〃6。3,故此选项不符合题意；

222

D、（〃+。）=a+2ab^-bf故此选项不符合题意；

故选：A.

2.