2024年山东省滨州市阳信县中考一模数学模拟试题(解析版)

2024年山东省滨州市阳信县中考一模数学模拟试题

温馨提示：

1.本试卷分第I卷和第II卷两部分，共7页.满分为120分.考试用时120分钟.考试结

束后，只上交答题卡.

2.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、考场、

座号填写在答题卡规定的位置上，并用26铅笔填涂相应位置.

3.第/卷每小题选出答案后，用26铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上.

4.第〃卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的

位置，不能写在试题卷上；不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无

效.

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.每小题只有一个选项符合题目要求.

1.水滴穿石，水珠不断滴在一块石头上，经过若干年，石头上形成了一个深为°-°°°°°°°68cm的小洞，

则数字0.000000068用科学记数法可表示为（）

A.6.8x10-9B.6.8x10-8C.6.8x10-7D.6.8x10-6

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为axlO"的形式，其中14忖＜1°,〃为

整数，确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同,

当原数绝对值大于等于10时，〃是正数，当原数绝对值小于1时〃是负数；由此进行求解即可得到答案.

【详解】解：0.000000068=6.8x10-8

故选B.

2.剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟.如图所示的剪纸图

形中，是中心对称图形的有（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了中心对称图形的识别.在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后

的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.这个旋转点，就叫做中心对称点.

【详解】解：图形①②③均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以

是中心对称图形，

图形④不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图

形，

故选：A.

3.将含有45。角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若/1=30。，则N2度数（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据条件可得N£EG=Nl=30。，再根据N2=N£EH—即可求解.

【详解】解：如图所示，

ABUCD,NEFH=45。,

.-.Zl=ZEFG,

•.•Zl=30°,

:.ZEFG=Z1=3QP,

.•.N2=/£FH-/G=45°-30°=15。,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键.

4.实数以6在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）.

ab

11.一I1I।■1A

-3-2-10123

A.a<-2B.b<2C.a>bD.-a<b

【答案】D

【解析】

【分析】根据实数在数轴上的位置，判断实数的大小关系，即可得出结论.

［详解］解：由图可知，一2<a<0<2<b<3,卜|=—口<2<6,

A、a<—2,错误；

B、b<2,错误；

C、a>b>错误；

D、~a<b,正确；

故选D.

【点睛】本题考查利用数轴比较实数的大小关系.正确的识图，掌握数轴上的数从左到右依次增大，是解

题的关键.

5.若实数加，〃是一元二次方程x2—2x—3=0的两个根，且,则点（根,〃）所在象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】根据一元二次方程的解法求出加，〃的值，根据各象限点的特征即可求得.

【详解】•；实数加，”是一元二次方程x2—2x—3=0的两个根，且优<〃，

/.m=-1,〃=3,

二（孙〃）为

二（一1,3）在第二象限，

故选：B.

【点睛】此题考查了一元二次方程的解法以及各象限点的特征，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解

法.

6.小颖为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成如图

所示的折线统计图.下列说法正确的是（）

人数

6

0阅读量/（本/周）

A.平均数是2.5,中位数是3B.平均数是2,众数是6

C.众数是2,中位数是2D.众数是2,中位数是3

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了求中位数，众数和平均数，根据中位数，众数和平均数的定义求解判断即可得到

答案.

0xl+lx4+2x6+3x2+4x2

［详解］解：由题意得，平均数为------------------------------=2

■:阅读量为2本的人数最多，

众数是2,

把这15名同学的阅读量从低到高排列，处在第8名的阅读量为2本，

・••中位数是2,

故选：C.

7.如图，在。。中，直径48与弦CD相交于点P,连接AC,AD,BD,若NC=20。,

ZBPC=70°,则（）

【答案】D

【解析】

【分析】先根据圆周角定理得出=NC=20。，再由三角形外角和定理可知

ZBDP=ZBPC-ZB=70°-20°=50°,再根据直径所对的圆周角是直角，即N/£>B=90。，然后利用

NADB=/4DC+/8DP进而可求出N4DC.

【详解】解：=20。，

NB=20°,

•:ZBPC=70°,

/.ZBDP=ZBPC-ZB=70°-20°=50°,

又:/B为直径，即NADB=90°,

ZADC=ZADB-ZBDP=90°-50°=40°,

故选：D.

【点睛】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知

识.

8.如图，矩形/8CD中，4B=3,BC=4,以点8为圆心，适当长为半径画弧，分别交8C,BD于

点E,F,再分别以点E,尸为圆心，大于长为半径画弧交于点尸，作射线3尸，过点C作的垂

线分别交8Q，NQ于点M,N,则CN的长为()

A.晒B.EC.2"D.4

【答案】A

【解析】

【分析】由作图可知AP平分NCHD,设AP与CN交于点o,与C。交于点七作火于点0,

根据角平分线的性质可知及。=灭°,进而证明RQBCR且RSBQ?,推出8。=3。=4,设

4

RQ=RC=x,则£)E=C£)_CR=3_x,解RtADQ?求出0?=CR=可.利用三角形面积法求出

OC,再证AOCRSADCN,根据相似三角形对应边成比例即可求出CN.

【详解】解：如图，设AP与CN交于点o,与CD交于点、R,作于点。，

AND

•矩形ABCD中，AB=3,BC=4,

CD=AB=3,

BD=YBCz+CD2=5.

由作图过程可知，BP平分NCBD,

;四边形48CD是矩形，

CD1BC,

▽...RQ1BD

乂>

RQ=RC,

在RS8CR和RtABQR中，

RQ=RC

BR=BR'

Rt^BCR咨RLBQR（HL）,

...BC=BQ=4,

QD=BD—BQ=5_4=l,

设及0=RC=x,则DR=CZ）—CR=3—x,

在RSOQ?中，由勾股定理得。R2=。。2+7?。2,

即（3-X1=12+X2,

4

解得％=y，

CR=-

3,

.___4

BR=JBC2+CR2=-7T0.

S=]-CRBC=-BROC

△BCR22

•；/COR=/CDN=90：ZOCR=ZDCN,

AOCRSGCN,

解得CN=JTU.

故选A.

【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股

定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出

BP平分4CBD,通过勾股定理解直角三角形求出以.

第II卷（非选择题）

、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分.

3x

9.要使分式-1有意义,x的取值应满足

•Jx-2

【答案】x>2##2<x

【解析】

【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为

0,二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可得到答案.

3x

【详解】解：,分式-/c有意义,

x-2>0

x—2w0'

：.x>2,

故答案为：x>2

10.分解因式2加—462+26=

【答案】2b（b-l>

【解析】

【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式，即可进行因式分解.

2

【详解】解：2b3-4b2+2b=2b\b2-2b+1J=2b\b-l）9

故答案为：2b（b-iy.

【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握完全

平方公式=a^+ab+b'i,

42

11.分式方程——^=一的解是.

x-2x

【答案】x=—2

【解析】

【分析】先去分母，再解出整式方程，然后检验，即可求解.

【详解】解：去分母得：2（x—2）=4x,

解得：x=—2,

检验：当x=-2时，x（x-2）。0,

..•原方程的解为x=-2.

故答案为：x=—2

【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键.解分式方程注意要检

验.

12.点N（2,八）、8（3,八）在反比例函数>=三的图象上，则八八（用“<”、或“="填

空）.

【答案】>

【解析】

【分析】根据反比例函数的比例系数的符号可得在同一象限内函数的增减性，进而可得八与八的大小.

【详解】解：反比例函数〉=2中，k=5>0,

x

二函数图象在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，

•.•2<3,

:.y>y,

12

故答案为>.

【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数大于0,在每个象

限内，y随x的增大而减小.

13.如图，在“8。中，N/=40。，ZC=90°,线段48的垂直平分线交48于点。，交NC于点E,

则/£8。=_______」

【答案】10°##10度

【解析】

【分析】由/。=90。，//=40。，求得N48C=50。，根据线段的垂直平分线、等边对等角和直角三角

形的两锐角互余求得.

【详解】解：:NC=90°,4=40。,

/.ZABC=5Q°,

•.■DE是线段48的垂直平分线，

AE=BE,

：.ZEBA=ZA=40°,

ZEBC=/ABC-ZEBA=10°,

故答案为：10°.

【点睛】此题考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线性质，熟记直角三角形的性质、线段垂直平分线

性质是解题的关键.

14.《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系.第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题:

“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表述

为：“如图，48是。。的直径，弦CDL45于点E,ZE=1寸，。。=10寸，求直径48的长.”可

【答案】26

【解析】

【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键.连接℃,设。4=OC=X寸,

则0£=(x—1)寸，4S=2x寸，先根据垂径定理求出C£=5寸，再在Rt^COE中，利用勾股定理求解

即可得.

设CM=OC=x寸，则O£=Q_1)寸，NB=2x寸，

•••A8是OO的直径，弦CD，4s于点E,CD=10寸，

.•.CE=1CD=5寸，

2

在RtZ\CO£中，OE2+CE2=OC2,即(x—1)+52=a,

解得x=13,

则=26寸，

故答案为：26.

15.综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图，无人机从地面8的中点/处竖直上升

30米到达8处，测得博雅楼顶部E的俯角为45。，尚美楼顶部厂的俯角为30。，已知博雅楼高度CE为

15米，则尚美楼高度DF为米.(结果保留根号)

g

4soy

尚

博

美

雅

楼

楼

CAD

【答案】30-573##-55/3+30

【解析】

【分析】过点石作£”，48于点河，过点尸作W48于点N,首先证明出四边形EC4同是矩形,

得到NM=C£=15,然后根据等腰直角三角形的性质得到/C=£M=BM=15,进而得到

AD=AC=15,然后利用30。角直角三角形的性质和勾股定理求出3N=5，J,即可求解.

【详解】如图所示，过点石作瓦0，48于点过点尸作W4s于点N,

B

由题意可得，四边形EC4”是矩形，

AM=CE=\5,

■.■AB=30,

;.BM=AB-AM=15,

•••博雅楼顶部E的俯角为45。，

NEBM=45°,

/BEM=45°,

AC=EM—BM=15,

•.•点/是CD的中点，

：.AD=AC=\5,

由题意可得四边形乂是矩形，

：.NF=AD=T5,

••・尚美楼顶部厂的俯角为30°,

.-.ZNBF=60°,

.-.ZBFN=30°,

,-.BF=2BN,

•••在RtZ\87VF中，BN2+NF2=BF^,

...5N2+152=（25N）,

解得8N=5JJ,

FD=AN=AB-BN=30-5串.

故答案为：30-573.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学

会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题.

16.已知二次函数y=ax2+6x+c（a<0）的图象与x轴的一个交点坐标为（一1,0）,对称轴为直线x=l,下

列论中：①a—6+c=0；②若点（一3七）,（2匕）,（4%）均在该二次函数图象上，则八<%<八；③若加

为任意实数，则Q加2+人次+C4一4Q;④方程QX2+/ZX+C+1=0的两实数根为X,%,且X,贝！I

1212

X<-1,%2>3.正确结论的序号为.

【答案】①③④

【解析】

【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数

与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想.将（T,0）代入y=ax2+bx+c,可判断①；根据抛物线

的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据>=ax2+bx+c+l的图象与x轴的交

点的位置可判断④.

【详解】解：将（一1,°）代入夕=。12+6X+。（。<0）,可得a—Z?+c=0,

故①正确；

:二次函数图象的对称轴为直线x=l,

.•.点（-3/）,（2,了）,（4j）到对称轴的距离分别为：4,1,3,

123

a<0,

,图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，

■■.y<y<y,

132

故②错误；

b1

丁二次函数图象的对称轴为直线工二一丁=1,

2a

/.b=-2a,

又a—Z7+c—0,

Q+2Q+C=0,

c=-3Q,

.•.当x=l时，y取最大值，最大值为y=Q+b+c=a_2〃_3Q=_4Q,

即二次函数y=g+bx+c（a<0）的图象的顶点坐标为（1,—4a）,

「•若加为任意实数，贝ij加2+丽+。<-4。

故③正确;

・•・二次函数图象的对称轴为直线x=l,与X轴的一个交点坐标为（-1,0）,

.•・与X轴的另一个交点坐标为（3,0）,

夕=ax2+Zxr+c（a<0）的图象向上平移一个单位长度，即为y=4X2+bx+c+l的图象，

y=ax2+bx+c+l的图象与工轴的两个交点一个在（一1，°）的左侧，另一个在（3,0）的右侧，

，若方程g+bx+c+l=0的两实数根为丁2,且-2,则\<一1吗>3,

故④正确；

综上可知，正确的有①③④，

故答案为：①③④

三、解答题：本题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（1）计算：+2sin450-（/2-1）-^27.

2（x+2）〉x+3①

（2）解不等式组：]x，并写出它的所有整数解.

[wF②

【答案】（1）J2；（2）—l<x<3,整数解为0,1,2

【解析】

【分析】此题考查了实数的运算以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

（1）原式利用立方根的意义，特殊角的三角函数值，以及零指数募、负整数指数嘉法则计算即可得到结

果；

（2）分别求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出所有

整数解.

【详解】解：⑴&了+2sin45。-5-1）-^7

=4+2x①—1—3

2

=72；

（2）解不等式①，得x>—1,

解不等式②，得x<3,

在同一条数轴上表示不等式①②的解集，

-1------------1------1------16_>

-3-10123

原不等式组的解集是—l<x<3,

•••整数解为0,1,2.

（2八2m—2

18.先化简，再求值：-y+1卜——7—n，然后从1,2,3,4中选择一个合适的数代入求值.

\rn-3）m2-6m+9

m-3,1

【答案】下一，当加=2时，值为一蒙

【解析】

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的加的值代入进行计算即可.

（2八2m—2

［详解］解：-+1r——z一o

\rn-37）m2-6m+9

2+加一3（掰一31

m-32（m-1）

m-1（加一31

m-32（m-1）

m-3

，

,/m-30,m-10,

3,m1,

2-31

当加=2时，原式=”一=一,

【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键.

19.打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题

的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：

其他类）.张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不

完整的统计图（如图所示）.

（1）条形图中的加=,〃=,文学类书籍对应扇形圆心角等于度;

（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；

（3）甲同学从A,B,C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B,C,D三类书籍中随机选择一种，请用

画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率.

【答案】（1）18,6,72°

2

（2）480人（3）-

【解析】

【分析】（1）根据选择“E：其他类”的人数及比例求出总人数，总人数乘以A占的比例即为加，总人数减

去A,B,C,E的人数即为〃，360度乘以8占的比例即为文学类书籍对应扇形圆心角；

（2）利用样本估计总体思想求解；

（3）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式计算.

【小问1详解】

解：参与调查的总人数为：4+8%=50（人），

加二50x36%=18,

77=50-18-10-12-4=6,

文学类书籍对应扇形圆心角=?360。=72。，

故答案为：18,6,72。；

【小问2详解】

解：2000xl1=480（人），

因此估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数为480人;

【小问3详解】

解：画树状图如下：

开始

由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况有2种，

2

因此甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为：

【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、利用画树状图或者列表法求概率等，解

题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联，掌握画树状图或者列表法求概率的原理.

20.如图1,在中，ZC=90°,且边上有一点D

（图1）（图2）

(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图(不写作法，保留作图痕迹)：

①作NC的角平分线CE,交边AB点、E；

②作RtADEF,其中/DEF=90°,点尸在NC边上；

(2)在(1)的条件下，若BC=3,ZC=6,点。在边上运动，则尸面积的最小值为

【答案】(1)见解析(2)2

【解析】

【分析】本题考查尺规基本作图，角平分线的性质，矩形的判定与性质，三角形的面积.利用面积法求解

是解题的关键.

(1)①利用尺规基本作图-作已知角的平分线，作出图形即可；

②利用尺规基本作图-经过直线上一点作已知直线的垂线，用出图形即可.

(2)根据S=LDE-EF,当QEL8C时，DE值最小，此时，EE值也最小，所以此时

Rt^DEF2

RtZXDEF面积的最小，利用解平分线性质得出跖=。£,设EF=DE=h,根据

S=S+S,即6x3=6//+3/z,求解得值，再代入s即可求解.

RtMBC-ACE-BCE'Rt^DEF2

【小问1详解】

解：①如图所示，CE就是所求；

②如图所示，RtZXDEF就是所求.

二当。£_LBC时，DE值最小，此时，ZACB=ZCDE=ZDEF=90°

二四边形CDE尸为矩形，

=90。，

S.EF1AC,

二跖值最小，

二此时，RtZXDEV面积，如图，

•:CE平分/ACB,

：.EF=DE,

设EF=DE=h,

■■s=s+s

Rt^ABC-ACE^BCE

■LAC.BC=LAC.EF+LBC.DE

222

即6x3=6〃+3/z

解得：h=2,

：.EF=DE=2

，Rt^OEF面积的最小值为：=|x2x2=2.

21.如图，一次函数y=-x+5的图象与函数y=一(〃〉0,x〉0)的图象交于点N(4,a)和点8.

(2)若x>0,根据图象直接写出当一x+5〉一时》的取值范围；

x

(3)点P在线段Z8上，过点尸作X轴的垂线，交函数y=—的图象于点。，若△P。。的面积为1,求

X

点P的坐标.

【答案】(1)4

(2)1<%<4

(3)尸(2,3)或(3,2)

【解析】

【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的

关键.

(1)将点/(4,。)代入一次函数.y=-x+5,求出。的值，得点力的坐标，把点/的坐标代入反比例函数即

可得到答案；

(2)求出点2的坐标，由函数的图像即可得到取值范围；

(3)设P(〃-p+5),根据三角形的面积公式即可得到答案.

【小问1详解】

解：将点44,。)代入一次函数了=一%+5,

a=—4+5=1,

故Z(4,l),

将/(4,1)代入反比例函数了=一，

得〃=4x1=4；

【小问2详解】

4

解：由(1)得天=—,

x

联立一次函数和反比例函数，得

j=-%+5

,4,

y=-

X

解得X]=1,毛=4,

故8(1,4),

Ln

由图像可知，一》+5＞一的取值范围为l＜x＜4；

X

【小问3详解】

解：设尸(PLP+5),且1＜夕＜4,尸。交工轴于点河，如图;

4

•••。3—),

p

4

,PQ=-p+5~—

P'

S=1x(一2+5—3)•夕=1

△p。。2p'

解得q=2,2之=3,

点2的坐标为P(2,3)或(3,2).

22.如图，是。。的直径，点。是。O上的一点(点C不与点A,5重合)，连接ZC、BC,点。是

上的一点，AC=AD,BE交CD的延长线于点E,且BE=BC.

A

(1)求证：BE是。。的切线；

(2)若©0的半径为5,tanE=g,则BE的长为.

【答案】(1)证明见解析

(2)8

【解析】

【分析】(1)利用圆周角定理，等腰三角形的性质定理，对顶角相等，三角形的内角和定理和圆的切线的

判定定理解答即可得出结论；

DB1

(2)利用直角三角形的边角关系定理得到赤=不，设£>8=x,则B£=2x,利用x的代数式表示出线段

4C,BC,再利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出结论.

【小问1详解】

证明：•.•42是OO的直径，

ZACB=90°,

ZACD+ZBCD=90°,

AC=AD,

ZACD=ZADC,

•••ZADC=ZBDE,

ZACD=ZBDE,

BE=BC,

ZBCD=ZE,

:.ZBDE+ZE=90P,

ZDBE=18CP-(ZBDE+N£)=90。，

即OBLBE.

AB为的直径，

.〔BE是。。的切线；

【小问2详解】

解・丁taiiE=_taiiE1=---

肿，2BE

DB_1

设DB=x,则=2x,

:.BC=BE=2x,AD=AB-BD=10-x,

•・・AC=AD,

.\AC=10-x,

■「ZB是。。的直径，

/./ACB=90°,

：.AC2+BC2=AB2,

：.(10-x)2+(2X)2=102,

解得：x=0(不合题意，舍去)或x=4.

BE=2x=8.

故答案为：8.

【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，圆的切

线的判定定理，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

23.加强劳动教育，落实五育并举.孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地.2023年计

划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜.经调查发现：甲种蔬菜种植成本y(单位；元/nu)与

其种植面积x(单位：nu)的函数关系如图所示，其中200VxW700；乙种蔬菜的种植成本为50元

/m2.

■y/(元/m?)

20------;

!：;

~200600700x/(m2)

?

(1)当》=m2时，＞=35元/1112；

(2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为少元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使少最小？

(3)学校计划今后每年在这lOOOnu土地上，均按(2)中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐

年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%,乙种蔬菜种植成本平均每年下降。％,当。为何值时，

2025年的总种植成本为28920元？

【答案】（1）500

（2）当甲种蔬菜的种植面积为400m2,乙种蔬菜的种植面积为600m2时，平最小；

（3）当a为20时，2025年的总种植成本为28920元.

【解析】

【分析】（1）求出当200600时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2）与其种植面积x（单位：

m2）的函数关系式为>=1》+10,当600<xK700时，了=40,求出当歹=35时的》的值即可；

（2）当200<x<600时，用=白6—400>+42000,由二次函数性质得到当x=400时，少有最小

值，最小值为42000,当600<xK700时%=—10x+50000,由一次函数性质得到当x=700时，W

有最小值，最小值为%=-10x700+50000=43000,比较后即可得到方案；

（3）根据2025年的总种植成本为28920元列出一元二次方程，解方程即可得到答案.

【小问1详解】

解：当20。<xW600时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数

关系式为了=履+6,把点（200,20）,（600,40）代入得，

'200左+6=20

’600左+6=40'

左」

解得20,

6=10

.•.当200<x<600时，J=^x+10,

当600<x<700时，y=40,

.•.当y=35时,35=J-x+10,解得x=500,

;

即当x=500m2时，>=35元/]112；

故答案为：500；

【小问2详解】

解：当200<x<600时，

JF=xf2_x+10j+50（1000-x）=2-X2_40x+50000=J.（x-400>+42000,

1

>0,

-20

二抛物线开口向上，

.•.当x=400时,上有最小值,最小值为42000,

当600<x<700时，W=40x+50（1000-x）=-10x4-50000,

V-10<0,

二沙随着X的增大而减小，

二当x=700时,印有最小值，最小值为少=—10x700+50000=43000,

综上可知，当甲种蔬菜的种植面积为400m2,乙种蔬菜的种植面积为600m2时，少最小;

【小问3详解】

由题意可得4Oo［J_x4OO+l（）］x（l—10%1+600x50（1—a%>=28920,

解得a=20,a=180（不合题意，舍去），

12

.•.当。为20时，2025年的总种植成本为28920元.

【点睛】此题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用、一次函数的应用等知识，读懂题意，正确列

出函数解析式和方程是解题的关键.

24.某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究〉=⑪2（。>0）型抛物线图象.发现：如图1所示，该类

型图象上任意一点P到定点磊］

的距离始终等于它到定直线人的距离.（该结

1

论不需要证明）.他们称：定点尸为图象的焦点，定直线/为图象的准线，>=-叫做抛物线的准线方

4a

程.准线/与/轴的交点为X.其中原点。为我的中点，FH=2OF=例如，抛物线灰=2x2,

其焦点坐标为尸准线方程为/：y=~^,其中PF=PN,FH=2OF=1.

koJo4

1

（1）请分别直接写出抛物线y=4X2的焦点坐标和准线/的方程：,；

【技能训练】

（2）如图2,已知抛物线y=；X2上一点>0）到焦点厂的距离是它到x轴距离的3倍，

求点p的坐标；

【能力提升】

11

（3）如图3,已知抛物线y=4X2的焦点为厂，准线方程为/.直线加：了=2*-3交了轴于点C,抛物

线上动点p到x轴的距离为到直线沉的距离为幺，请直接写出4+幺的最小值；

【拓展延伸】

该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线>=。足（。〉0）平移至y=a（x-%>+Ma>0）.抛物线

y=a（x-〃）2+Ma>0）内有一定点尸［比左+将），直线/过点.［比左一诟）且与x轴平行.当动点P在

该抛物线上运动时，点尸到直线/的距离尸尸始终等于点尸到点尸的距离（该结论不需要证明）.例如：抛

1

物线了=2（x—1»+3上的动点p到点尸「,个23

的距离等于点尸到直线/：了=〒的距离.

O

请阅读上面的材料，探究下题:

（4）如图4,点是第二象限内一定点，点P是抛物线V=*T上一动点，当尸。+尸。取最

小值时，请求出AP。。的面积.

【答案】（1）（0/），y=—i；

8穴1

(3)yV5-l

9

(4)-

o

【解析】

【分析】(1)根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；

(2)利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得%2=8"2+2”—1,然后根据八=；七2,求出八,

进而可得X，问题得解；

0

(3)过点P作PEL直线加交于点E,过点p作PGL准线/交于点G,结合题意和(1)中结论可知

PG=PF=d+\,PE=d],根据两点之间线段最短可得当p,E三点共线时，4+4的值最

小；待定系数法求直线尸£的解析式，求得点P的坐标为Q6-4,9—4/),根据点E是直线PE和直

811

,即可求得彳和《的值，即可求得;

线机的交点，求得点E的坐标为5，-T

(4)