2024年山东省滨州市滨城区中考二模数学试题（教师版 ）

二O二四年九年级复习质量检测

数学试题（/）

温馨提示：

1.本试卷分第I卷和第n卷两部分，共7页.满分120分.考试用时120分钟.

2.答卷前，考生务必用0・5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中

规定的位置上.

3.第I卷每小题选出答案后，用23铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上.

4.第n卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位

置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂

改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第I卷（选择题共24分）

一、选择题：本大题共8个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选

项选出来，用23铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.每小题涂对得3分，满分24

分.

1.在东西走向的马路上，若把向东走1km记做+lkm,则向西走2km应记做（）

A.+2kmB.一2kmC.+lkmD.-1km

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查相反意义的量，熟练掌握正负的意义是解题的关键，根据题意得到向东走为正，则可得

到向西走为负，即可得到答案.

【详解】解：由题可得：向东走1km记做+lkm，

则向西走向西走2km,应记作一2km.

故选:B.

2.某几何体如图所示，它的俯视图是（）

A.B.C.

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据从上面看得到的图形是俯视图，即可得答案.

【详解】解：从上面看，是一个上宽下窄的梯形.

故选：D.

3.下列运算正确的是（）

A.a2+ay=a5B.—6a2-i-3a=—2a

C.（-3pq1=-6p2q2D.（b-a^=b2-a2

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了合并同类项，单项式除以单项式，积的乘方和完全平方公式，根据合并同类项，单项

式除以单项式，积的乘方和完全平方公式运算法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键.

【详解】A、/与/不是同类项，原选项计算错误，不符合题意；

B、-6/+3。=一2。，原选项计算正确，符合题意：

C、（-3pq）2=9p2q2,原选项计算错误，不符合题意；

222

D.（b-a）=b-2ab+af原选项计算错误，不符合题意；

故选：B.

4.已知经过闭合电路的电流/（单位：A）与电路的电阻R（单位：C）之间的关系如下表所示，则下列

说法中错误的是（）

10

・・・

Z/A54Tm210.50.25•••

R/Q--・2025304050100200400•・•

A.加的值为2.5B./与R之间的函数表达式为/=一丁

R

C.当20A时，RW5QD./随我的增大而减小

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，熟练掌握电流=电压+电阻是解决此题的关键.根据

等量关系“电流=电压+电阻”，即可求出反比例函数解析式，再利用反比例函数性质分析得出答案.

【详解】解：•••闭合电路的电流/（单位：A）与电路的电阻R（单位：。）是反比例函数关系，

40m=5x20,

二m=2.5,

故A不合题意；

••・闭合电路的电流/（单位：/）与电路的电阻R（单位：。）是反比例函数关系,

贝把（20,5）代入得：

故0=20x5=100,

即/=当伊>0）,

故B不合题意；

V100>0,

・•・/随R的增大而减小，故D不合题意；

・•・当20A时，R>5Q.,故C符合题意.

故选：C.

[3-3x<0

5.不等式组<.「的解集在数轴上表示正确的是（）

x+3>2

A.i1ii»B.，1、11A

-101-i01

C.’！’<’’—>'D.—।----1111A

-101-i01

【答案】D

【解析】

【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可作答.

本题主要考查了求解不等式组的解集并在数轴上表示解集的知识，注意，含端点时用实心点，不含端点

时，用空心点.

3-3x40①

【详解】

x+3>2②

解不等式①得，x>\

解不等式②得，x>-\

.・.数轴表示为：一_1,,二

-101

故选：D.

6.某校足球队20名队员年龄分布情况如下表:

年龄（岁）12131415

人数（人）3872

则该队队员年龄的众数、中位数分别是（）

A.15,13.5B.15,13C.13,13.5D.13,13

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数和众数，把一组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的

一个数（或两个数的平均数）为中位数；众教是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个，据

此求解即可.

【详解】解：把这20名队员的年龄从低到高排列，处在第10名和第11名的年龄分别为13岁，13岁，

・••中位数为粤^=13,

•・•年龄为13岁的人数最多，

•••众数为13,

故选：D.

7.如图，正六边形力BCQER内接于。O,连接BAOC、OD,则（）

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了正多边形与圆，等边对等角，先根据正六边形的性质得到

AB=AF,ZBAF=ZAFE=120°,NCOO=生？=60。，再由等边对等角得到4房二30。，则

6

ZBFE=ZAFE-ZAFB=90°,由此可得ZBFE-ZCOD=90°-60°=30°.

【详解】解：•・•六边形48CDE/是正六边形，

180°x|6-2)公八八3600

:.AB=AF,ZBAF=ZAFE=-------'——^=120%NCOD=^^=60°,

66

\200-ZBAF

ZAFB=/ABF==30°,

2

:.ZBFE=ZAFE-NAFB=90°,

・•・ZBFE-ZCOD=90°-60°=30°,

故选：D.

8.如图所示，在边长为1的正方形力BCD中，点尸是边上不与端点重合的一动点，连接5尸、过点尸

作尸018尸交正方形外角的平分线。尸于点。，则有关△P。。面积的说法正确的为（）.

D.有最小值为。

C.有最大值为q

O8

【答案】C

【分析】本题牛要考杳了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识点，求出aPZ）。

面积的解析式成为解题的关键.

如图：连接50,过户作PG〃B。交力B于G,过0作0K_L4E于K,先证明ABGP义△P。。可得

BP=DQ,再证△/8Pg^KP0（AAS）,进而得到。K=KQ=4P,设PD=x,则

KQ=DK=AP=\-x[O<x<l）,进而得到5如0=-，（工一1]+1，最后根据二次函数的性质求最

7&PDQ2（2）8

值即可解答.

【详解】解：如图：连接B。，过P作PG〃BD交4B于G,过。作。K_L4E于K,

•・•四边形力8c。为正方形；

AAB=AD,AABD=ZADB=45°,ZJ=90°,

-PG//BD,

N4BG=NADB=45°=AAGP=ZABD=45°,

••AG=AP,

BG=PD,

•.•正方形外角的平分线。/，

^/KDQ=/CDQ=45Q,

・•・ZPDQ=\35°,

••ZGP=45。

••.N8GP=135。，即NBGP=NPDQ,

-Z.B=9O°,BP1PQ,

；"ABP+NAPB=90°,4QPD+乙4PB=90°,

：.4ABP=NQPD,

:・ABGPRPDQ,

:.BP=DQ,

・：QKtAE,

.•.4=NPK0=9O。，

•：/ABP=NQPD,N4=NPKQ=90。,BP=DQ,

：."BP&KPQ(A网,

：.AP=KQ,

•••NKDQ=NCDQ=45。,

：.DK=KQ=AP,

设PQ=x,则K0=QK==1—x(O<x<1),

ii\(i\2i

=彳0。.犬0=不工(1一工)=_弓x--+-»

ZLZIZ/

.•.当x=:时，即尸O=：时，△PQQ面积有最大值:.

22o

第n卷（非选择题共96分）

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

9.3的平方根是.

【答案】±百

【解析】

【详解】试题解析：（±JJ）2=3,

A3的平方根是士力.

故答案为土百.

10.如图，OE是“8C的中位线，//C3的角平分线交OE于点尸，若NC=6,BC=13,则。/

的长为.

【解析】

【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等角对等边，根据三角

形中位线的性质，得出。后〃BC,计算。E=；8C,CE=^AC,根据“两直线平行，内错角相等”、

角平分线的定义，推出NE/C=NECF,根据等角对等边，得出E尸的长，最后根据。尸=-E尸计

算得出答案即可，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键.

【详解】解：..・QE是的中位线，8C=13,

：.DE//BC,ZF=」比=二，点E是4c的中点，

22

又・・・//C3的角平分线交。E于点/，AC=6,

:,NBCF=NEFC,/BCF=ZECF,CE=-AC=3,

2

・•・ZEFC=ZECF,

[EF=CE=3,

137

DF=DE-EF=-3=

22

7

故答案为：一.

2

II.关于x的一元二次方程/+2工+1一加=0有两个不相等的实数根，则加的取值范围是.

【答案】加>0

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程a?+bx+c=0(aw0)的根与

△=/一4",有如下关系：①△>(),方程有两个不相等的实数根，②△=(),方程有两个相等的实数

根，③Av。，方程没有实数根.根据关于X的一元二次方程/+2%+1一加二。有两个不相等的实数根，

得到A=4+4(1-阳)>0,进行计算即可得到答案.

【详解】解：•.・关于x的一元二次方程f+2x+i一加=。有两个不相等的实数根，

..A=22-4x1x(1-w)=4-4+4/w>0,

解得：加>0,

故答案为：m>0.

12.如图，将△/BC平移到4)所的位置，点4的对应点为点。,。后、。尸分别交BC于点G、H,若

AB=3DG,则芍也________

34ABe

【答案】|

【解析】

【分析】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积之比等于相似比的平方

是解题的关键.根据平移的性质得出△NBC9GH"FF,于是可证得AQGT/SAQ",根据

相似三角形面积之比等于相似比的平方即可得出答案.

【详解】解：由平移的性质得，AABC%公DEF,GHHEFt

:.ADGHS^DEF»AB=DE，

vAB=3DG,

DE=3DG，

DG1

H即n---=—.

•・•ADGHSADEF，

故答案为：—.

13.若点（%，乂），（*2，%）都在反比例函数）'二W的图象上，且占<0<》2,则必

%.（填或“二”）

[,,,><]<

【解析】

【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据函数解析式可得反比例函数图象经过第一、三象

限，再由玉＜0＜%2可得必＜0＜歹2・

【详解】解：•.•反比例函数解析式为），=陋，2024＞0,

x

・•・反比例函数图象经过第一、三象限，

*/X）＜0＜x2,

・・・必<0<%，

故答案为：＜.

14.某工厂为了提高生产效率，更新了工厂设备，现在每台机器平均每天比原来多生产25件产品，若该工

厂的机器台数不变，现在每天总的生产能力由2000件提高到了3000件，求原来每台机器平均每天生产多

少件产品？设原来每台机器每天生产x件商品，根据题意可列方程为

3000_2000

【答案】

25+xx

【解析】

【分析】本题考查列分式方程，根据题意找出等量关系是解题关键.根据机器台数不变，现在每台机器平

均每天比原来多生产25件产品，现在每天总的生产能力由2000件提高到了3000件列方程即可.

【详解】解：设原来每台机器每天生产x件产品，则现在每台机器平均每天生产*+25）件产品,

•・•机器台数不变，现在每天总的生产能力由2000件提高到了3000件,

.30002000

25+xx

30002000

故答案为:=

25+xx

15.如图，在矩形488中,AD=26,DC=46将线段OC绕点。按逆时针方向旋转，当点。的对

应点£恰好落在边力8上时，图中阴影部分的面积是

【答案】24-673-4^

【解析】

【分析】由旋转的性质可得。E=。。=4后，由锐角三角函数可求N4DE=60°,由勾股定理可求ZE的

长，分别求出扇形皮心和四边形。C8E的面积，即可求解.

【详解】解：•・•将线段。C绕点。按逆时针方向旋转，

：.DE=DC=4y/3,

DE4/2

：.//£>£=60°,

：.Z£DC=30°,

.30x；rx48

'S扇形EDC~TTT=4几,

JoU

,：4E=4DE1-AD2=J48—12=6,

：.BE=AB-力石=4石一6,

・•.S四边形s=(46-6+46卜26=24-66,

2

・•・阴影部分的面积=24-6后一4乃,

故答案为：24-6JJ—47r.

【点睛】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，矩形的性质，扇形的面积公式等知识，灵活运用这些性

质解决问题是解题的关键.

16.如图，菱形N3CZ）中，ZABC=60c,G是对角线4C的中点，ABEF是等腰直角三角形，

NEBF=90°,将绕点5顺时针旋转，连接力E,EG.已知48=6,EF=娓,在旋转过程中，

当△4EG为直角三角形时，EG的长为.

【答案】273

【解析】

【分析】由菱形ZJ5C=60°,可得=是等边三角形，则力。=48=6,

4G=3,由△8EF是等腰直角三角形，可得BE=EF・cos450=囱,E在以8为圆心，百为半径的

圆上运动，如图，连接3G,当△彳EG为直角三角形时，分N4GE=90。，ZGAE=90°,

N4EG=90。三种情况求解；当N4GE=90。时，由题意知，B、E、G三点共线，

8G=46sin60。，根据EG=8G-5E,计算求解；当NG4E=90。时，当N4£G=90。时，由题意

知，此两种情况不成立，然后作答即可.

【详解】解：•・•菱形/BCQ,乙45c=60。，

:・AB=BC,△ZBC是等边三角形，Z5JG=120°

：.AC=AB=6,ZBAG=60°

・・・G是对角线/C的中点，

:.AG—3,

•；ABEF是等腰直角三角形,NEBF=90。,EF=R

・•・NBEE=45。,BE=EFCOS45O=5

・•・£在以3为圆心，6为半径的圆上运动，如图，连接3G,

当AIEG为直角三角形时，分N/GE=90。，ZGAE=90°,N4EG=90。三种情况求解；

当N4GE=90。时，由题意知，B、E、G三点共线，

・•・5G=^sin60°=3V3»

・•・EG=BG-BE=2瓜

当NG4E=90。时，EA1AG,AE//BG,

此时2到/E的距离为3,

,；3>5

・••此情况不成立；

当/力EG=90。时，由题意知，此情况不成立，

综上所述，EG的长为2JJ，

故答案为：2G.

【点睛】本题考杳了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，余弦，圆，旋转的性质等知识.分类讨论是

解题的关键.

三、解答题：（本大题共8个小题，满分72分.解答时请写出必要的演推过程.）

17.（1）计算VJtan45°—（2024—7t）°+,VJ—2|+（；）一历.

（11、2y

（2）-----------+-5-------2，其中x=3,y=2.

（x-yx+y）x+2xy+y

X4-y

【答案】Q)1；(2)--,5

x-y

【解析】

【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式的化简求值、整数指数累的性质、特殊角的三角函数值，解

题时要熟练掌握并能准确计算是关键.

（1）依据题意，根据实数运算法则，零指数基，负整数指数累的性质及特殊角的三角函数值进行计算可以

得解；

（2）依据题意，根据分式的混合运算法则进行化简，然后代入计算可以得解.

【详解】解：⑴JJtan45。一（2024—万）°+2百—4+（；）-727

=73x1-1+2^-2+4-373

地-1+26-2+4-36

=1.

(11、2y

(2)------------：--------------

(x-yx+yJx2+2xy+y2

=一+r__________x-y.2y

(x-y)(x+y)(x-y)"+y)_|(x+y)2

=2j(x+»

(x-y)(x+y)2y

x+y

K

当x=3,y=2时，原式="2=5.

3-2

18.《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准：（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小

学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：4清洁与卫生，8整理与收纳，C家用器具使用与维

护，。烹饪与营养.学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成

以下两幅不完整的统计图.

（1）本次调查中，一共调查了名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有

名，“。烹饪与营养”的男生有名；

（2）补全_L面的条形统“图；

（3）求扇形统计图中“O烹饪与营养”所对应的圆心角的度数；

（4）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿

者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概套.

【答案】（1）20；2；1

（2）见解析（3）36°

3

（4）-

5

【解析】

【分析】（1）利用A组人数除以所占的百分比求出总数，总数乘以。组的百分比，求出C组人数，进而求

出。组女生人数，总数乘以。组的百分比，求出。组的人数，进而求出。组先生人数；

（2）根据（1）中所求数据，补全图形即可；

（3）用360。乘以该项的百分比即可.

（4）利用列表法求出概率即可.

【小问1详解】

解：（1+2）+15%=20（人），

，一共调查了20人;

组人数为：20x25%=5（人），

・・・C组女生有：5-3=2（人）；

由扇形统计图可知：O组的百分比为1一15%-25%-50%=10%,

・・・0组人数为：20xl0%=2（人），

，。组男生有：2-1=1（人）；

故答案为：20,2,1

【小问2详解】

补全图形如下：

男生女生

“O烹饪与营养”所对应的圆心角的度数=360。乂10%=36。.

【小问4详解】

用4B,。表示3名男生，用表示两名女生，列表如下:

ABCDE

A(43)(4C)（4。）(//)

B(BM)(民C)（B,D）（B,E）

C（。，⑷(C,B)(CD)(C㈤

D(")(。⑹(D©(。㈤

Eg)g)(瓦c)(EQ)

共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有12种,

-1-2=一3

205

【点睛】本题考查扇形图与条形图的综合应用，以及利用列表法求概率.从统计图中有效的获取信息，利

用频数除以百分比求出总数，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键.

19.如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数》="（女工0）的图象交于力，B两点,其中力（一1,〃）.

JC

k

（1）求反比例函数歹二一解析式及的面积;

（2）请根据图象直接写出不等式x+4>8的解集.

【答案】（1）^=—,4

（2）-3c<-1或x>0

【解析】

【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键.

（1）先求出反比例函数解析式和点C坐标，再根据计算即可；

（2）根据函数图象，直接写出不等式解复即可；

【小问1详解】

解：将点力（一1,4）代入y=x+4中，得：。=-1+4=3,

将点力（一1,3）代入y二七中，得：k=-3,

x

・••反比例函数的解析式为：y=—,

令y=0,则x+4=0,

解得：x=-4,

..点C(f0),

y=x+4

联立方程得：-3

y=­

x

占=-3x2=-1

解得：＜

、M二1必二3

・••点以-3,1).

=^^ACO~^^BCO=-x4x3-—x4xl=4.

【小问2详解】

解：•；工+4>—,4(—1,3),8(—3,1).

x

・•・根据图象可知，一3<x<一1或M>0.

20.已知矩形48CQ,以为一边求作一个平行四边形力使得该平行四边形的一个内角为30。，且

面积为矩形面积的一半.

DC

A[---------------------哈

（1）利用尺规作图作出符合题意的平行四边形力5£尸（保留作图痕迹）；

（2）写出判定四边形是平行四边形的依据是.

【答案】（1）见解析（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

【解析】

【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决

问题，属于中考常考题型.

（1）先作线段力。的垂直平分线/,以点，为圆心，力。的长为半径画弧，交直线/于点凡再以点尸为圆

心，的长为半径画弧，交直线/于点邑连接。£8石即可；

（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解决问题即可.

【小问1详解】

解：先作线段力。的垂直平分线/,以点4为圆心，40的长为半径画弧，交直线/于点尸，再以点F为圆

心，N8的长为半径画弧，交直线/于点E,连接

DC

AB

可得EF=4B,且EF〃AB,AADF为等边三角形,

则四边形ABEF为平行四边形，ZBAF=90°-60°=30°.

则平行四边形ABEF即为所求.

【小问2详解】

解：由（1）可知，EF=AB,EF^AB,

・•.四边形”为平行四边形.

判定依据为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

21.2023年12月6日，中央广播电视总台2024龙年春晚吉祥物“龙辰辰”正式发布亮相.其从我国历史

出土文物中提取“龙”的要素作为设计特色，精美别致，充满了趣味和古韵.某批发商场在春节前以60

元的进价购进了一批龙辰辰玩偶，计划以每个80元销售.春节来临之际，为了让顾客得到实惠，现决定

降价销售.已知玩偶销售量y（单位：个）与每个玩偶的降价x（单位：元）（0<X<20）之间满足一次

函数关系，其图象如图所示.

（1）求v与*之间的函数关系式；

（2）设商场销售y个玩偶所获利润为卬（单位：元），请直接写出w与％之间的函数关系式：

（3）若商场要想获利2600元，且让顾客获得更大实惠，这种玩偶每个应降价多少元？

【答案】（1）^=20x+60（0<x<20）

⑵w=-20x2+340x4-1200

（3）这种玩偶每个应降价10元

【解析】

【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，列函数关系式:

（1）利用待定系数法求解即可；

（2）根据利润=（售价-进价-降价）x销售量求解即可;

（3）根据（2）所求列出方程求解即可.

【小问1详解】

解；设V与X之间的函数关系式为y=b+6（人/0）,

/、/、⑵+力=100

将（2,100）和（5,160）代入^=去+6中，得5人力=160

伍=20

解得〈

0=60

,V与x之间的函数关系式为^=20x4-60（0<x<20）.

【小问2详解】

解：由题意得，w=（80-60-x）（20x+60）

=-20X2+340X+1200；

【小问3详解】

根据题意，得一20/+340%+1200=2600，

解得》=7,x2=10.

•・•要七顾客获得更大实惠，

x=10.

答：这种玩偶每个应降价10元.

22.如图，力8为。O的直径，点。为。O上一点，过点C作。O的切线CE交Z8的延长线于点R作

CDkAB于前F,交于另一点。，连接ZC、DE.

（1）求证：DE为。。的切线;

2

（2）若。。的直径为26,tanZCAF=-,求CO的长.

【答案】（1）证明见解析

(2)24

【解析】

【分析】(1)连接OC,0D,先由切线的性质得NOCE=90。，再证明△COE四△OOE(SAS),得

"DE=/OCE=90°,从而由切线的判定得出结论；

CF2

(2)根据tan/C//=一=-,设C尸=2x,则力尸=3x.利用勾股定理得出

AF3

132=(3X-13)2+(2X)2,求解即可得出CF=2X=12,然后利用垂径定理即可求解.

【小问1详解】

证明：连接。。，。。，如图.

CE是。。的切线,

ZOC£=90°.

•rCDLAB,

:.BC=BD^

4COE=/DOE.

在ACOE和AZ)OE中，OC=OD,ZCOE=ZDOE,OE=OE,

.•.△COE02\QOE(SAS),

/./ODE=NOCE=90。.

・♦・。。为。。的半径，

二•O七为。。的切线.

【小问2详解】

解：丁。。的直径为26,

OC=OA=13.

CF2

vtanZCJF=—=-,

AF3

.•・设=2x,则4产=3x.

•.04=13,

:.OF=AF-OA=3x-\3.

在RLOC77中，OC1=OF2+CF2

.\132=(3X-13)2+(2X)2,

解得X=0(舍去)，x2=6,

CF=2x=12.

CDLAB,

CD=2CF=24.

【点睛】本题考查切线的判定与性质，垂径定理，三角函数，圆心角与弧的关系，全等三角形的判定与性

质，勾股定理.熟练掌握相关性质与判定是解题的关键.

23.符一把三角尺放在边长为1的正方形48CZ)上，并使它的直角顶点P在对角线4c上滑动，直角的一

边始终经过点&另一边与射线OC相交于点0,设4P=x.

备用图备用图

(1)当点。在边8上时，求证：PQ=PB.

(2)在(1)的情况下，设四边形依C0的面积为y,求y与X之间的函数关系式，并写出x的取值范

围；

(3)当点尸在线段4C上滑动时，当APC。是等腰三角形时，求x的值.

【答案】(1)见解析(2)y——x2->/2x+10<x<

\7

⑶0或1

【解析】

【分析】(1)过点P作分别交力5、CO于点〃、N,根据矩形的性质和直角三角形的性质，可

证明可证明尸0=尸8；

(2)设结合(1)的结论可分别表示出彳M、BM、C。和尸M可表示出△P8C和△尸CQ的面积，

从而表示出四边形尸8C0的面积，从而得到y与x的关系式；

(3)△尸C0可以成为等腰三角形.当点。在。C边上时，利用勾股定理可得到x的方程；当点。在。C

的延长线上时，由尸。=。0,可得到x的方程；当。与点C重合时，不满足条件；从而可求得满足条件的

X的值.

【小问1详解】

证明：过点尸作MN〃8C,分别交48、CO于点M、M如图1,

图1

则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，&和ACNP都是等腰三角形,

:・NP=NC=MB.

'：NBPQ=90。,

：.ZQPN+NBPM=90。,而NBPM+NPBM=90°,

：.，QPN=/PBM.

又VNQNP=NFMB=90。

在AQV尸和△尸A"中，

/QPN=4PBM

<NP=MB,

4QNP=4PMB

，△5P@XPMB(ASA),

：・PQ=PB；

【小问2详解】

由(1)知△0得NQ=MP.

设则AM=MP=NQ=DN=^x,BM=PN=CN=\一手

：.CQ=CD-DQ=l-2x—x=l-y[2x

2

.c_1.1|J五)_10

••SPRC=—BC•BM——x1x1------x----------x,

22224

\/

c_1「八叽」八B4、5130J2

S=CPNxy2xX=X+X

&PCQ~Q'=-^~J)^__T\2__4~2'

**,5PBeQ=s4PBe+SAPC0=5--y(2x+1,

•・•当。点到点C时则P点到达AC的中点,

：-AP的最大值为:4C=—,

2

2

1-V2x+lfo<x<—

3寸

2

【小问3详解】

△PC。可能成为等腰三角形.

①当点0在边。。上，

由尸。=。0得：1-2[+修J=O一缶）2

\ZX/

解得F=O,Xz=JJ（舍去）；

②当点。在边OC的延长线上时，如图2,

由尸C=C。得：y/2-X=y/2x-h解得X=l.

③当点0与C点重合，△PC。不存在.

综上所述，x=0或1时，△PC。为等腰三角形.

【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性

质、等腰三角形的性质和勾股定理等知识.在（1）中构造三角形全等是解题的关键，在（2）中用x