2024年高考数学二轮复习：集合、逻辑与复数（讲义）解析版

专题L1集合、返辑与复数

01专题网络•思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）

02考情分析•解密高考

03高频考点•以考定法（五大命题方向+6道高考预测试题，高考必考・（4-9）分）

考点一集合

>命题点1元素与集合关系的判断

>命题点2集合相等

>高考猜题

考点二充要条件

>命题点充要条件与函数综合

>高考猜题

考点三复数

>命题点1复数的运算

>命题点2共轨复数

>高考猜题

04仓1J新好题•分层训|练（★精选25道最新名校模拟试题+9道易错提升）

专题网络・思维脑图•

集合的概念无序性

集合元素的特征——确定性

汽集合的基本概念卜

集合相等互异性

空集

列举法

描述法

—集合的表示方法—

图不法

厂集合初步一区间

子集

—集合之间的关系—

真子集

交集

一

集合与逻辑集合的运算--并集

补集

命题㈠推出关系的传递性

d充分非必要条件

------------------------------------必要非充分条件

常用逻辑用语一一充分条件与必要条件-----------..

-_______充要条件

­I既非充分也非必要条件

r否定形式

—反证法一____________

反证法

复数的代数形式：-.；­/H.../.CR）.实部经，废部也

复数a-a+bi（a,beR）的模：1?|=，/"b

।实数（b=0>

复数的慨念J豆数z-a+&i（aR）的分类）iita*（a-0,6#：0）

I成数w-------

IIBJtO/aWO.bWO）

复数相等I«I-a+6i(a,66R)*zi=c+di(c,dWR).小―aQa・c/6-d

共舸复数:？Na+bi（a.&£R）的共施复数是三="0^£J2（a.6eR）

复数的坐标！复数集中的兀素和复平面上所有的点组成的集合中的兀素一一对应

表示i赁数集中的元素和复平面上以里在为起始点的向量一一对应

।法则2a+历十（c+di））（6门

加法、一=+।卬+匕h会+小

复数的运算律'..

I1（^1+力）+二-卷4-（Z2+ZS）

加减法

减法法则：a+柝一（c+di）=（=t）（力d»

复平面上两点间的距Uh的-a+6i（a.b£R）,辱・r+i/KcdWR）Jl—Z21=/（♦：）（:，；’）

法则：(a+Ai><r,!d\)(…：；'>।,:."

运算律《（。・力）・力・?|・a•会）

比数、乘法《|W1（匕+二）=必科+小匕

•?.=广+.

复数的乘方的运算规则《广尸二

乘除法।（«1・匕•・一,H

a+6i_ac-FM.

除法'巾i三至二三乙"+小二°）

复数积的模：:••::

且数曲的模：（之2W0）

%一

I平方根：如果（二・小）/'•则a+版是c+di的平力根

复数的平方J।若复数币•会满足匚兰,则二的立方根

根与立方根|立方根1万

1的立方根：1,…”=一

|VCtw

△・之9=>方程有两个不相等的实效根

根的判断

△二g方程有两个相等的实数根

(△=&'-4ac)

实系数一元4g方程有两个不相等的虚数根

二次方程Ixi+xi=—

根与系数的关系J—

©工尸一

a

色〉考情分析•解密高考•

真题多维细目表

考点考向考题

集合元素与集合关系的判断2023秋考第13题

集合相等2023春考第1题

充要条件充要条件与函数综合2024春考第21题

复数复数的运算2024春考第3题，2023秋考第6题

共轨复数2023春考11题

©〉高频考点•以考定涉

考点一集合

►►高考解密<<

命题点1元素与集合关系的判断

典例011.（2023•上海）已知P={1,2},。={2,3},若“={x|尤eP,xiQ},则M=（）

A.{1}B.{2}C.{3}D.{1,2,3）

【分析】根据题意及集合的概念，即可得解.

【解答】解：尸={1,2},。={2,3},M={x\xeP,x^Q],

故选：A.

【点评】本题考查集合的基本概念，属基础题.

命题点2集合相等

典例01（2023•上海）已知集合4={1,2},B={1,a},且A=B,则a=2.

【分析】根据已知条件，结合集合相等的定义，即可求解.

【解答】解：集合A={1,2},B={1,a},且A=3,

贝Ua=2.

故答案为：2.

【点评】本题主要考查集合相等的定义，属于基础题

►高考猜题预计2024年高考仍会从集合之间的关系与基本运算方向进行命制•

考点二充要条件

►►高考解密<<

命题点充要条件与函数综合

典例01(2024•上海)记M(a)={f|f=/(x)-f(a),x..a],L(a)={t\t-f(x)-f(a),x,,a].

(1)若/(x)=f+l,求M(1)和L(1)；

(2)若/(x)=/-3f,求证：对于任意aeR,都有A/(a)c[-4,+co),且存在a,使得YeA/(a).

(3)已知定义在R上/(x)有最小值，求证"/(x)是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数c,均有

Af(-c)=L(c)”.

【分析】(1)根据条件，直接求出/(1)和L(1)即可；

(2)由题意知，M(a)={t\t=x3-3x2-a3+3a2,x..a],记g(x)=x3-3/-。3+3。2,判断g(x)的单调

性，求出极值，再对。分类讨论，进一步证明结论成立即可；

(3)必要性:若/(%)为偶函数，则M(-c)={/1r=/(x)-/(-c),x...-c],L(c)={t\t=f(x)-f(c),

%,c},结合条件，得至ljM(-c)=L(c)即可；充分性：若对于任意正实数c,均有M(-c)=L(c),其中

M(-c)={t\t=f(x)-f(-c),x...-c},L(c)={t\t=f(x)-f(c),x„c],由/'(无)有最小值，不妨设

f(a)=fmin=m,进一步证明/(x)是偶函数即可.

【解答】解：(1)由题意，得M(1)={tlt=x2+1—2,x.1}=[0,+oo)；

L(l)={/|1=^+1-2,^,1}=[-1,-H»).

(2)证明：由题意知，M(a)=(t\t=x3-3x2-a3+3a2,x..a),

t己g(x)=x3-3x2—a3+3。2,则g'(x)=3尤2-6尤=0nx=0或2.

X(-oo,0)0(0,2)2(2,-HM)

g'(x)正0负0正

g(尤)Z极大值极小值/

现对。分类讨论，当〃.2,有*..a为严格增函数，

因为g(a)=07所以此时A/(a)=[0,+co)a[T,+(»)符合条件；

323232

当0,,a<2时，t=x-3x-a+3a,x..a先增后减，fmin=g(2)=-a+3a-4,

因为--+342=/(3-初.0("=0取等号),所以*=g(2)=一十+3/一4.._4st

则此时M(a)=[-a3+3a2-4,+QO)C[-A,+oo)也符合条件;

当avO时，t=j^-3x2-tz3+3a2,x..a在[Q,0)严格增，在[0,2]严格减，在[2,+8)严格增,

=mn{g(a),g(2)}=min^-a3+3a2—4},

22

因为"(a)=-^+3a-4,当avO时，H(a)=-3a+6a>0,贝(J"(a)>/z(0)=-4,

则此时M(a)=[tmin,+co)q[-4,+oo)成立；

综上可知，对于任意awH,都有M(a)=[-4,+8],且存在Q=0,使得YwM(a).

(3)证明：必要性：若了(%)为偶函数，

则A/(—c)="|/=/(%)—/(—c),x..—c],L(c)={t\t=f(x)—f(c),X,。}，

当工...-。，t=/(x)-f(-c)=f(-x)-f(c),因为一兀，。，故A/(-c)=L(c)；

充分性：若对于任意正实数c,均有M(-c)=L(c),

其中A/(-c)=什|♦=/(%)-/(-c),x...-c],L(c)={t\t=f(x)-f(c),x,,c],

因为/(%)有最小值，不妨设/(a)=fmin=m,

由于c任意,令则aw|-c,c],所以M(-c)最小元素为/(a)=m-f(-c).

L(c)中最小元素为加一/(c),又M(-c)=L(c)=>/(c)=/(一c)对任意成立，

所以/(a)=f(一d)=m,

若a=0,则/(c)=/(一c)对任意c..O成立=>/(%)是偶函数；

若"。,此后取一一⑷，⑷)，雷?鬻吧己力=〃一

“-C)最小兀素勒(-问)-J

综上，任意c..O,f(c)=f(-c),即/(%)是偶函数.

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，充分必要条件的证明，函数的奇偶性与集合间的

关系，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题.

►高考猜题预计2024年高考大概率会出现其他知识结合以及充要条件应用问题.

考点三复数

命题点1复数的运算

典例01(2024•上海)已知-?-=»,贝蚱=-1-Z.

1+z一一

【分析】利用复数的运算性质以及共辗复数的定义化简即可求解.

【解答】解：由题意可得z=，（l+i）=-1+，，

所以

故答案为：-1-/-

【点评】本题考查了复数的运算性质，涉及到共辗复数的求解，属于基础题.

典例02（2023•上海）己知复数z=l-i（i为虚数单位），0lj|l+u|=_75

【分析】根据复数的基本运算，即可求解.

【解答】解：；z=l-》，

1+iz|=|1+i（l-0H2+小石.

故答案为：区

【点评】本题考查复数的基本运算，属基础题.

命题点2共辗复数

典例01（2023•上海）已知z「22€（7且4=可。为虚数单位），满足|z「l|=l,贝|匕-22|的取值范

围为.

【分析】引入复数的三角形式，将问题转化为三角函数的值域问题求解.

【解答】解：设Zi-1三cos-+isin],则=l+cos6+isin],

因为Z]="Z2，所以z?=sin8+i（cose+l）,

所以IZi—Z21=A/（COS0-sin+1）2+（sin0-cos0-1）2

=J2[A/2sin（6>一二）一If=010sin（6

V44

显然当sin（e-生）=立时，原式取最小值0,

42

当sin（。-?）=-1时，原式取最大值2+后，

故|z「z"的取值范围为[0,2+0].

故答案为：[0,2+A/2].

【点评】本题考查复数的三角形式以及三角恒等变换，同时考查了复数的模长公式，属于中档题.

A高考猜题预计2024年高考必然会出现复数的运算―

创新好题•分层训练（★精选25道最新名校模拟考试题+9道易错提升）

一、单选题

1.（2023•上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测）设点尸（x,y）满足。尤+勿+c=0,则“6=2a”是

“|x+2y+2|+|x+2y_l|为定值”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据几何意义，将所求式转化为点到直线的距离，进而研究图像求解.

【详解】若,+2y+2„+2匕1|=石［回答回+回答臼］为定值，

IA/5V5）

即点P（x,y）至IJ直线x+2y+2=。，x+2y-l=。两条直线距离之和为定值，

显然，这两条直线平行，如图，

［P

|x+2y+2=0

所以当点p（x,y）在与这两条直线平行的直线上时，此时直线G+勿+C=0满足46Ho且b=2。，

即6=2a,且aw0,6w0,k+2y+2|+|x+2y-l|为定值，

所以“b=2a”是“k+2y+2|+|x+2y-l|为定直，的必要不充分条件

故选：B

2.（2023•上海闵行•上海市七宝中学校考三模）已知集合4={无卜2<1}

是“xe氏'的充分非必要条件，则实数。的取值范围是（）

A.a>\B.a>lC.—1<a<1D.O<«<1

【答案】B

【分析】首先解一元二次不等式求出集合A,依题意可得AB,即可得到。>0,再求出集合B,即可

求出参数的取值范围.

【详解】由/<1,解得所以A={小2<1}={幻_1〈尤<i},

因为f+2>2,所以不等式生色<0,等价于凶-。<0，

尤2+211

因为“xeA”是“xeB”的充分非必要条件，所以AB,

所以则Q>0,所以不等式|乂一々<0,BP\x\<af解得一

\x\-a

所以B十几<。={x|<X(Q,Q)0},

又AB,所以a>l.

故选：B

3.（2023・上海宝山・上海交大附中校考三模）已知〃eN*,集合A=左eN,0WZ:Wj,若集合

A恰有8个子集，则n的可能值有几个（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据子集个数可得集合元素个数，再由正弦函数性质即可确定〃的取值.

Jr9jrHTT

【详解】由题意易知，sinO,sin-,sin—,sin—,均是集合A中的元素，

nnn

又集合A恰有8个子集，故集合A只有三个元素，

riir

有sin0=sin—=sinK,则结合诱导公式易知，

n

〃可取的值是4或5.

故选：B

二、填空题

4.（2023•上海普陀•曹杨二中校考模拟预测）已知i为虚数单位，则复数l-i的虚部是_____.

【答案】-1

【分析】根据复数虚部的定义即可求解.

【详解】根据复数虚部的定义可知，复数l-i的虚部是T.

故答案为：-1

5.(2023•上海黄浦・上海市大同中学校考三模)若复数(l-ig+i)为纯虚数，则实数。=_____.

【答案】-1

【分析】根据给定条件，利用复数的乘法运算结合复数的概念求解作答.

【详解】复数(l-i)(a+i)=(a+l)+(l-协，-R,

ftz+l=0

依题意，［八，解得。=-1,

所以实数a=T.

故答案为：-1

6.(2023・上海•模拟预测)已知当z=l+i,贝中一Lz|=____；

【答案】V5

【分析】直接根据复数的乘法运算以及复数模的定义即可得到答案.

【详解】l-iz=l-i(l+i)=2-i,|l-iz|=|2-i|=6.

故答案为：5

7.(2023.上海金山•统考一模)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,6)，贝”的共轨复数I

【答案】

【分析】根据复数的几何意义可得z=-l+gi,结合共轨复数的概念即可求解.

【详解】由题意知，该复数为z=-l+gi,

贝眩=-1-后

故答案为：-1-耳i.

8.(2023.上海长宁•上海市延安中学校考三模)已知集合A={1,2,3},3={0,3},则A8=________.

【答案】{3}

【分析】直接计算交集得到答案.

【详解】集合A={l,2,3},3={0,3},则Ac3={3}.

故答案为：{3}.

9.（2023・上海虹口•上海市复兴高级中学校考模拟预测）已知集合5=卜|尤?+2尤+a=0,xeR},若

-leS,则实数"=________.

【答案】1

【分析】根据元素与集合的关系，将-1代入方程中，即可求得答案.

【详解】由—leS,可得（―1）~+2x（―1）+。=0,。=1,

故答案为：1

10.（2023・上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测）已知全集U=集合A=则

【答案】（—,一1]U{1}

【分析】根据补集的定义求解即可.

【详解】由全集U=集合A=（-l,l）,

则

故答案为：（噂,-1为{1}

11.（2023•上海闵行•统考一模）已知集合〃={0,若—leM,则实数“=_______.

【答案】-2

【分析】利用元素与集合的关系可得出关于“的等式，解之即可.

【详解】因为集合河={0,1,。+1},若—leM,则a+l=—l,解得a=—2.

故答案为：-2.

12.（2023・上海杨浦・复旦附中校考模拟预测）已知复数z在复平面内对应的点是A,其共辗复数N在复

平面内对应的点是民。是坐标原点，若A在第一象限，且。4LO3,则三=______.

z—Z

【答案】T

【分析】设点A坐标，根据共轨复数的概念得B坐标，再由。4,03得A横纵坐标的关系式，根据复数

的除法运算求值即可.

【详解】设A（m,〃）（机>0,〃>0）,则由共辗复数的概念可得：,

由。4。3=0得：“2=0，

因为机所以机=〃，+mi9z-m-rm,

z+zm+rm+m—mi2m1

z—zm+mi—(m—mi)2mii

故答案为：-i.

13.（2023•上海普陀・上海市宜川中学校考模拟预测）复数3+2i（i为虚数单位）是实系数方程

尤2+or+6=0的一个解，则实数人=________.

【答案】13

【分析】由实系数方程复数根的性质及根与系数的关系即可求得6.

【详解】由题意，方程的另一个根为3-2i,

贝（J8=（3+2i）（3_2i）=9+4=13,

故答案为：13.

14.（2023・上海虹口・华东师范大学第一附属中学校考三模）若复数z满足z+4=0,则忖=______

Z

【答案】V2

【分析】设2=。+历，a,b^R,依题意可得Z2+2=0,根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的充要

条件得到方程，即可求出。、6的值，从而求出其模.

2

【详解】设2=。+历，a,beR,由z+—=0,所以z2+2=0,

即(a+历)+2=0,所以a?—6?+2a6i+2=0,

厂，则以=\ja2+b2—A/2.

b=±y/2

故答案为：V2

15.（2023・上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测）复数z满足z+Z=l,（zTi=2,则忖=______.

【答案】赵

2

【分析】设出Z=“+历（a,》eR）,利用z+W=l,i（z-7）=2得至I］方程组，解方程组求出。，匕的值，从而可

求出|z|.

【详解】设2=々+历（a,b£R）,则』=〃-历，

a+bi+a—bi=2a

所以z+z=l,i(

i(a+bi-a+历)=-2b

所以\2a”=l.，解得,：a=2-,所以z=：]-i,

[3=2J2

故目

故答案为：立

2

16.（2023•上海奉贤•统考一模）已知awR,（l+ai）i=3+i,贝!J〃=_______；

【答案】-3

【分析】利用复数相等即可求出结果.

【详解】因为（l+ai）i=i+ai2=-a+i=3+i,

则由复数相等可得：-々=3,

即〃=—3.

故答案为：-3.

17.（2023・上海闵行•上海市七宝中学校考三模）己知卜|炉-"ZY+〃=0}={1},贝.

【答案】3

【分析】由二次方程的根只有一个，则A=0,且根为1,代入即可求解.

【详解】因为{xlV一如+〃=0}={1},所以二次方程Y-+〃=0有两个相等的实数根，

贝I△二机？一4〃二0①，

且方程的根为1,所以1-m+〃=0②，

联立①②解得：m=2,n=l.

所以加+几=3.

故答案为：3.

18.（2023・上海宝山・上海交大附中校考三模）已知集合&=何国＜1},8={-1,：1,3,5},贝IJ

Ap|5=_______.

【答案】{-1,1}

【分析】化简4根据交集运算得解.

【详解】因为A={刈1}=[T1],3={TL3,5},

所以Ac3={-l,l},

故答案为：{-1,1}.

19.（2023・上海嘉定・上海市嘉定区第一中学校考三模）已知集合&=卜,/},集合3=（9,3],若

AnB={2},则才=_____.

【答案】2

【分析】由交集定义分类讨论可得答案.

【详解】因为集合4=上"},Ac3={2},则2e/,所以x=2或无2=2,

贝卜=2或天=应或x=-0，

当x=2时，集合A={2,4},集合3=（F,3],止匕时ACB={2},符合题意；

当》=应时，集合4={0,2},集合8=（-0）,3],止匕时"8={也,2},不合题意；

当x=时，集合A=卜血,2},集合8=（』,3],此时Ac2=b^,2},不合题意；

所以％=2.

故答案为：2

20.（2023・上海杨浦・复旦附中校考模拟预测）已知集合4={x,Y+1,-1}中的最大元素为2,则实数

x=______.

【答案】1

【分析】依题意可得无2+1=2,解得无，再检验即可.

【详解】因为/+1-x=+|>0,所以Y+l>x,

所以丁+1=2,解得x=l或x=-l,

显然x=-l不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验x=l符合题意.

故答案为：1

21.（2023・上海虹口・华东师范大学第一附属中学校考三模）已知集合4=卜|m2，,3={-1,0,1,2},则

AQB=______.

【答案】{T，2}

【分析】解分式不等式得到集合4={》,4-1垢>1},求交集即可.

【详解】对于集合A==21],解不等式二21,

Ix-1x-1

所以三-12即叶卜0,等价于卜

x—1x—1［x—1w0

解得xW-l或所以A={x|xWT时＞1},

S={-1,0,1,2},则A{-1,2}.

故答案为：{-1,2}.

三、解答题

22.（2023・上海普陀・统考一模）设函数丫=/（力的表达式为/（x）=ae'+eT.

（1）求证：“a=1”是“函数y=/（x）为偶函数”的充要条件；

（2）若。=1,且/（%+2）4〃2加-3）,求实数加的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；

（2）机4；或7〃25.

【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数的定义、结合充要条件的意义推理即得.

（2）利用偶函数性质及在［0,+s）的单调性求解不等式即可.

【详解】（1）函数/（x）=ae，+er的定义域为R,不恒为0,

函数y=〃x）为偶函数=也€乩/（-尤）-/（幻=。

oVx£R,ae~x+ex-（aex+。一"）=0oVx£R,（1-a）（ex-e~x）=0＜^a=l,

所以“a=1”是“函数y=f^x）为偶函数”的充要条件.

（2）当。=1时，/（x）=e'+e-\求导得（（无）=/-b，函数f。）在R上单调递增，

当尤＞0时，r（x）＞r（0）=0,即函数/（x）=e'+eT在［0,+8）单调递增，又『⑺是偶函数,

因此f（m+2）＜f（2m一3）o/（|+21）W/（|2加一31）目m+2区12〃z—31,

即（加一5）（3加一1）»0,解得或〃zN5,

3

所以实数加的取值范围是或加25.

23.（2021.上海・统考一模）已知无穷数列{a/的首项为％,其前〃项和为S“，S.an+1-an=d

"eN*）,其中d为常数且dwO.

（1）设a="=l,求数列以}的通项公式，并求吧（1-工）的值；

(2)设d=2,57=-7,是否存在正整数左使得数列中的项左成立？若存在，求出满足条

件%的所有值；若不存在，请说明理由.

(3)求证：数列｛%｝中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数加且加2-1,使得

%=md.

【答案】(1)%=〃(〃eN*)；)=1;(2)存在；％的值为1,2,3,4,5,6,7,8；(3)证明见解

「8an

析.

【解析】(1)利用已知条件得数列｛七｝是以1为首项、1为公差的等差数列，求出通项公式，取极限即

可；(2)利用等差数列的前”项和公式先得到%,再求出生,利用等差数列的前”项和公式得到

n-S„=n3-^n2,即左£左2=/(左一8)<0,即可求出满足条件%的所有值；(3)①先证必要

性：存在3使得见+4=见，利用等差数列的通项公式得到%=(6-s-f+Dd,故存在机，使得

m=k-s-t+l,使得％=根1,meZ.运用反证法.证明即可；②再证充分性：当％=根1,m>-1,

机wZ,任取等差数列｛a/中不同的两项4和%(SHC),利用等差数列的通项公式得到

%+(s+，+机-2)1=4+"吁1

满足题意.

【详解】(1)由%+i-%=1,

得数列｛%｝是以1为首项、1为公差的等差数列.

故a”="(weN*)；

lim(l---)=lim(l--)=1.

4"-sn

(2)｛4｝是等差数列,S产7aA=-7,

得&=—1,又因为d=2,

所以％=-7.

故S.+(q~^)n=n2-%n,

所以，7-S“="3_8〃2(〃eN*),

322

k-Sk=k-8k=k(k-8)<y/2,

当后=1,2,3,4,5,6,7,8时，

k-Sk<0<>/2,不等式成立；

当人29,左5>0时，不等式都不成立.

所以满足条件的所有的人的值为1,2,3,4,5,6,7,8.

(3)①先证必要性：任取等差数列｛%,｝中不同的两项应和为—

存在上，使得4+4=%,

则2q+(s+1—2)d=6+(k—l)d,

得%=(%—s—%+l)d,故存在加，

使得机=左一5一，+1,

使得meZ.

再证机2-1：运用反证法.

假设当d。0时，加2-1不成立，

则机<-1恒成立.

对于不同的两项〃1、〃2，应存在

使得％+。2=%，

即(2m+I)d=md+(/-l)d,

故/=根+2,又因为那是小于-1的整数，

故/<0.所以假设不成立，

故加之一1.

②再证充分性：当％=加〃，m>-l,meZ,

任取等差数列｛〃〃｝中不同的两项4和%(sw%)，

as+4=2q+(s+/一2)d=q+(s+/+加一2)d,

因为s+方+加一220且s+t+根一2£Z,

所以q+(s+/+机-2)d=,

综上①②可得，

等差数列｛。“｝中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数机且加2-1,使得％=md

得证.

【点睛】关键点睛：熟练掌握等差数列的通向公式以及等差数列的前〃项和公式是解决本题的关键，证明

充要条件时要分别证明充分性和必要性两种情况.

24.(2021.上海金山•统考一模)若数列｛"“｝满足”<&a《2(彳>1,且几为实常数)，/wN*,则称数列

4％

｛凡｝为8(㈤数列.

(1)若数列｛(｝的前三项依次为4=2,a2=x,%=9,且仅“｝为8(3)数列，求实数x的取值范围;

(2)已知｛““｝是公比为4(4工1)的等比数列，且卬>0,记7；=|%-4I+&-41++l4+「aj若存在数

列｛%｝为3(4)数列，使得40成立,求实数♦的取值范围；

(3)记无穷等差数列｛%｝的首项为生,公差为d,证明：“OW-VXT”是“｛见｝为B(X)数歹『'的充要条

件.

【答案】(1)[3,6]；(2)(1,—)；(3)证明见解析.

【分析】(1)由题意可得;聚联3,可得x的不等式组，解得x的范围；

(2)由题意可得!，竽=4<1或分别讨论q的范围，结合等比数列的通项公式和数列极限的公

式，即可得到所求范围；

(3)先证充分性，讨论d是否为0,结合等差数列的通项公式和不等式的性质，以及5(㈤数列的定义，

可得证明；再证必要性，同样讨论d是否为0,结合等差数列的通项公式和首项与公差的符号，即可得

证.

【详解】(1)因为｛4｝为5(3)数列，所以额,3,

JUn

1x

-fl」

3领23

19,解得3期；6,

-」

3X3

即x的取值范围是[3,6]；

(2)由数列｛6｝为8(4)数列，可得;”乎="1或1<分4,

今an

nl

当;,，g<l时，由4>0,an+l-an=aiq-(q-l)<0,所以1%+1-q1=4-4+1.

aa

贝I(=01—。2+12—43+…+"〃—n+\=%—n+l=%Q一夕")，

所以曾<'噂即门；

Ln1

n1

当lv%4时，由4>0,an+l-an=axq(^-1)>0,所以"用一4l=4+i.

aa=

贝I〈=。2—%+。3—〃2+…+n+i~n—6=%@—D,

nq—t...-

所以lim&?£=lim(4-*：1+'=lim-----JqT”0,即人应，所以,>1,

«->ooy«->ooq”—]8]i

7

则，的取值范围是(l,y);

(3)先证充分性.因为骐/4-1,所以｛%｝为等差数列，

所以当4=0时，4=4。0,此时*^=1,

a〃

由％>1,所以J别号=14成立，所以｛%｝为次㈤数列；

Zan

an+l_q+_q+(〃_I)d+Jd1

当dW0时，an4+(〃一l)d4+(〃-l)d〃]+(〃—l)d%+〃_]，

~dn~

因为源⑶2-1,所以?…占，所以阖d(„_i)(A_i)+i,

4az-1-+n-i

a

即有度包M(2-1)+1

an(M-1)(2-1)+1

儿(%-1)+1_-1)(/^-1)+(2-1)+1

因为4>1,所以+(〃-1)(4—1)+1

=1H---------------=1H-------------,,1H=4

(n-l)(2-l)+l〃_]+」_，，

2-12-1

所以;蒯竽？X恒成立，所以｛/｝为8(4)数列，

综上可得，｛%｝为8(㈤数列；

再证必要性.因为｛4｝为8(4)数列，所以:毅勺/恒成立，所以4*0,

Zan

当d=O时，源⑶4T显然成立；

q

当dwo时，因为誓…;>。，所以｛〃"｝的每一项同号，所以％与d也同号，

an4

所以色..0,因为;领以2恒成立，所以“=1时，；轰也义成立，

ciyAan44

因为｛4｝为等差数列，a=a+d,=1+/，

2]亍="；"

所以;如+"，，即为:-领04T,Old4-1,

综上可得，“噫。2T”是“｛4｝为8(㈤数歹।『’的充要条件.

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是第3小问，证明“源区”1”是"｛%｝为5⑷数歹〃的充要条件，先

a\

证明充分性，利用不等式证明;蒯手？力恒成立，所以｛"/为次㈤数列；再证明必要性，证明

Zan

Old

4T成立.

«1

25.（2022•上海徐汇・统考三模）对于数列｛%｝,记丫5）=|出-司+|生-蜀+…+|a“-a"」（">l，〃eN*）.

（1）若数列｛%｝通项公式为：%=匕p（〃eN*）,求丫（5）；

（2）若数列｛4｝满足：q=。，an=b,且求证：丫（“）=。-》的充分必要条件是

4+1<6Z.（Z=1,2,•••,«-1）；

⑶已知V（2022）=2022,若％=,（%+/H---1■%）,1=1,2,…,2022.求+-%|+…+昆022-丁2（）21|的最大

值.

【答案】⑴4

⑵证明见解析

（3）2021.

【分析】（1）直接求出q=0,%=1,%=0,〃4=1，%=。，即可求V（5）；

（2）用定义法，分充分性和必要性分别进行证明；

（3）先计算出

|%+i--。1|+2|。3-。2〔++%|%+1-%|）,利用放缩法和裂项求和法求出5（2022）的最大

值.

【详解】（1）由通项公式Q〃=―得：〃]=0,%=1，〃3二°，〃4二1，〃5二°•

所以V（5）=|出—R+—/|+|。4-4|+|。5一=]+1+1+]=4

（2）充分性:若数列｛氏｝的前〃项单调不增，即an<..<a2<a｛.

n—\

止匕时有：V（"）=Zk+1=（q-。2）+（