2024-2025学年高中数学 第2章 随机变量及其分布 2.3 2.3.2 离散型随机变量的方差（教师用书）教案 新人教A版选修2-3

2024-2025学年高中数学第2章随机变量及其分布2.32.3.2离散型随机变量的方差（教师用书）教案新人教A版选修2-3学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容本节课的教学内容来自2024-2025学年高中数学第2章随机变量及其分布的2.3节，具体是2.3.2节——离散型随机变量的方差。该部分内容是新人教A版选修2-3教材的一部分。本节课的主要内容包括：

1.离散型随机变量的方差的定义和性质；

2.离散型随机变量方差的计算方法；

3.方差在实际问题中的应用。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数据分析等核心素养。通过学习离散型随机变量的方差，学生能够理解方差的定义和性质，掌握计算方法，并能够将方差应用于解决实际问题。具体目标如下：

1.数学抽象：使学生能够从具体实例中抽象出离散型随机变量的方差的定义和性质。

2.逻辑推理：培养学生运用逻辑推理方法，推导离散型随机变量方差的计算公式。

3.数学建模：培养学生运用方差的概念和计算方法，建立数学模型解决实际问题。

4.数据分析：使学生能够通过方差分析数据，了解数据的波动情况和分布特征。学习者分析1.相关知识：学生在学习本节课之前，应该已经掌握了以下相关知识：①随机变量及其分布的基本概念；②离散型随机变量的期望；③数据的波动情况和分布特征的初步了解。

2.学习兴趣、能力和学习风格：高中生在学习数学过程中，对具有实际应用背景的数学知识通常较感兴趣。本节课通过离散型随机变量的方差，使学生能够解决实际问题，因此学生的学习兴趣有望得到提升。在学习能力方面，学生已经具备一定的逻辑推理和数据分析能力，有利于学习本节课的内容。在学习风格上，建议采用互动式教学，鼓励学生积极参与讨论和思考，提高教学效果。

3.可能遇到的困难和挑战：学生在学习本节课的过程中，可能遇到的困难和挑战有以下几点：①理解离散型随机变量的方差的定义和性质；②掌握方差的计算方法，尤其是对于复杂情况的计算；③将方差应用于实际问题，解决实际问题。针对这些困难和挑战，教师应采取合适的教学策略，如举例说明、引导学生思考和讨论等，帮助学生克服困难，提高学习效果。教学方法与手段1.教学方法

（1）讲授法：在讲解离散型随机变量的方差定义和性质时，教师可以通过系统的讲授，让学生掌握方差的基本概念和性质。

（2）案例分析法：通过具体的实例，让学生了解离散型随机变量方差在实际问题中的应用，培养学生解决实际问题的能力。

（3）小组讨论法：在计算方差的方法和步骤的教学中，引导学生分组讨论，培养学生的合作意识和团队精神，提高学生的逻辑推理和分析问题的能力。

2.教学手段

（1）多媒体设备：利用多媒体课件，直观展示离散型随机变量的方差的定义和性质，提高学生的学习兴趣和理解程度。

（2）教学软件：运用数学软件，如MATLAB、GeoGebra等，进行方差的计算和分析，提高教学效果和效率。

（3）网络资源：引导学生利用网络资源，如在线课程、论坛等，进行自主学习和交流，拓宽知识视野，提高自主学习能力。

（4）互动式教学平台：利用互动式教学平台，如学习通、雨课堂等，进行在线测试、讨论和问答，提高学生的参与度和积极性。

（5）实体模型：在学习离散型随机变量的方差时，可以利用实体模型，如骰子、卡片等，让学生直观感受随机变量的分布和方差的概念。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过学习通平台，发布预习资料，包括本节课的PPT、教学视频和预习指南。

-设计预习问题：围绕“离散型随机变量的方差”课题，设计一系列问题，如“离散型随机变量的方差是如何定义的？”、“如何计算一个离散型随机变量的方差？”等。

-监控预习进度：通过学习通的监控功能，查看学生的预习进度，确保每个学生都完成了预习任务。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生在家自主阅读PPT和视频，理解方差的基本概念和计算方法。

-思考预习问题：学生针对问题进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

-提交预习成果：学生将预习成果通过学习通提交，包括疑问和初步的理解。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：学生在家自主学习，培养独立思考能力。

-信息技术手段：利用学习通平台，实现预习资源的共享和监控。

-网络资源：学生可以在家利用网络资源，如在线论坛、数学博客等，进一步探讨方差的应用。

作用与目的：

-帮助学生提前了解方差的概念和计算方法，为课堂学习做好准备。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：教师通过一个实际案例，如掷骰子游戏，引出方差的概念，激发学生的学习兴趣。

-讲解知识点：教师详细讲解方差的定义、计算方法和性质，结合实例帮助学生理解。

-组织课堂活动：教师设计小组讨论，让学生探讨如何计算不同离散型随机变量的方差。

-解答疑问：教师针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：学生认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：学生积极参与小组讨论，探讨方差的计算方法。

-提问与讨论：学生针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：教师通过讲解，帮助学生理解方差的概念和计算方法。

-小组讨论法：学生通过小组讨论，培养团队合作意识和沟通能力。

-多媒体资源：利用PPT和在线资源，展示方差的实例和计算过程。

作用与目的：

-帮助学生深入理解方差的概念和计算方法，掌握相关技能。

-通过小组讨论，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：教师根据本节课的内容，布置相关的课后作业，巩固学习效果。

-提供拓展资源：教师提供与方差相关的拓展资源，如数学杂志文章、在线视频教程等。

-反馈作业情况：教师及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：学生认真完成课后作业，巩固方差的知识。

-拓展学习：学生利用提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

-反思总结：学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

-网络资源：学生利用网络资源，如数学论坛、在线课程等，进行拓展学习。

作用与目的：

-巩固学生在课堂上学到的方差知识点和技能。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。拓展与延伸1.拓展阅读材料

-《离散型随机变量的方差的应用》：介绍方差在实际问题中的应用，如统计学中的假设检验、概率论中的随机变量分析等。

-《离散型随机变量的方差的性质》：深入探讨离散型随机变量方差的性质，如方差的线性变换、方差的相等性等。

-《离散型随机变量的方差的计算方法》：详细介绍离散型随机变量方差的计算方法，包括直接法和母函数法等。

2.课后自主学习和探究

-学生可以进一步学习方差在其他领域的应用，如物理学中的波动现象、生物学中的遗传变异等。

-学生可以探究离散型随机变量方差的性质，如研究方差的单调性、奇偶性等。

-学生可以尝试解决一些与方差相关的实际问题，如分析一组数据的波动情况、判断数据的可靠性等。

-学生可以利用网络资源，如数学论坛、在线课程等，寻找与方差相关的学习资源和讨论话题，与其他同学进行交流和分享。

-学生可以进行一些与方差相关的实验或项目，如设计一个简单的统计调查，收集数据并分析其方差，或者编写一个程序来计算离散型随机变量的方差。内容逻辑关系①方差的定义与性质

-重点知识点：方差是衡量一组数据波动情况的统计量，定义为一个随机变量与其期望值的差的平方的平均值。

-关键词：方差、期望值、波动情况、统计量。

-重点句：方差越大，数据的波动情况越剧烈；方差越小，数据的波动情况越稳定。

②方差的计算方法

-重点知识点：方差的计算方法包括直接法和母函数法。

-关键词：直接法、母函数法、方差计算。

-重点句：直接法是通过计算随机变量与期望值的差的平方的平均值来求解方差；母函数法是通过求解随机变量的母函数的导数来求解方差。

③方差的实际应用

-重点知识点：方差在实际问题中的应用广泛，如统计学中的假设检验、概率论中的随机变量分析等。

-关键词：假设检验、随机变量分析、实际应用。

-重点句：方差可以帮助我们分析数据的波动情况和分布特征，从而对实际问题进行更深入的分析和理解。教学评价与反馈1.课堂表现：通过观察学生在课堂上的积极参与程度、提问频率、回答问题准确性等方面，评价学生的课堂表现。

2.小组讨论成果展示：通过学生的小组讨论成果展示，评价学生的逻辑推理能力、数学建模能力和数据分析能力。

3.随堂测试：通过随堂测试，评价学生对方差的定义、计算方法和实际应用的理解程度。

4.课后作业完成情况：通过批改学生的课后作业，评价学生对方差的掌握程度和应用能力。

5.教师评价与反馈：针对学生在课堂表现、小组讨论成果展示、随堂测试和课后作业完成情况等方面的表现，给予及时的反馈和指导，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议。

6.学生自我评价与反思：鼓励学生进行自我评价和反思，对自己的学习过程和成果进行总结，提出改进建议。

7.学生互评：鼓励学生之间进行互评，通过相互交流和学习，提高学生的评价能力和合作能力。

8.家长反馈：通过与家长的沟通和交流，了解学生在家庭中的学习情况和表现，为学生的学习提供更好的支持和指导。典型例题讲解1.例题1：已知离散型随机变量X的取值为{1,2,3}，概率分布为P(X=1)=0.3，P(X=2)=0.5，P(X=3)=0.2，求X的方差。

答案：根据方差的定义，X的期望E(X)为E(X)=1*0.3+2*0.5+3*0.2=2，X的方差Var(X)为Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=2^2*0.3+2^2*0.5+3^2*0.2-2^2=0.8。

2.例题2：已知离散型随机变量X的取值为{1,2,3}，概率分布为P(X=1)=0.3，P(X=2)=0.5，P(X=3)=0.2，求X的期望和方差。

答案：根据方差的定义，X的期望E(X)为E(X)=1*0.3+2*0.5+3*0.2=2，X的方差Var(X)为Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=2^2*0.3+2^2*0.5+3^2*0.2-2^2=0.8。

3.例题3：已知离散型随机变量X的取值为{1,2,3}，概率分布为P(X=1)=0.3，P(X=2)=0.5，P(X=3)=0.2，求X的期望和方差。

答案：根据方差的定义，X的期望E(X)为E(X)=1*0.3+2*0.5+3*0.2=2，X的方差Var(X)为Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=2^2*0.3+2^2*0.5+3^2*0.2-2^2=0.8。

4.例题4：已知离散型随机变量X的取值为{1,2,3}，概率分布为P(X=1)=0.3，P(X=2)=0.5，P(X=3)=0.2，求X的期望和方差。

答案：根据方差的定义，X的期望E(X)为E(X)=1*0.3+2*0.5+3*0.2=2，X的方差Var(X