导数与函数的极值、最值 （学生版）-2024年高考数学一轮复习

导裁岳占裁的做值，录值

m【考试提醒】

L借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利

用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题.

血【知识点】

1.函数的极值

⑴函数的极小值

函数?/=/(C)在点①=a处的函数值/(a)比它在点①=a附近其他点处的函数值都小，［(a)=0;而且在点x

=a附近的左侧尸(力<。右侧/(,)>。则&叫做函数"=/?(力的极小值点，/(a)叫做函数2/=/(,)的极小

值.

(2)函数的极大值

函数"=/(，)在点。=6处的函数值/(b)比它在点a=b附近其他点处的函数值都大，/(6)=0；而且在点劣=

b附近的左侧尸(2)>0,右侧(2)<0,则b叫做函数夕=/(,)的极大值点，/⑹叫做函数u=/(rr)的极大值.

(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

2.函数的最大(小)值

(1)函数/Q)在区间［a,6］上有最值的条件：

如果在区间［a,b］上函数y=/Q)的图象是一条连续丕断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

(2)求函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大(小)值的步骤：

①求函数沙=/(,)在区间(a,b)内的极值;

②将函数“=**的各极值与端点处的函数值/(a),/(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小

值.

(常用结论】

对于可导函数/Q),"/'(3)=0”是“函数/(,)在，=g处有极值”的必要不充分条件

B【核心题型】

题型一利用导数求解函数的极值问题

根据函数的极值(点)求参数的两个要领

⑴列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解：

(2)验证:求解后验证根的合理性.

命题点1根据函数图象判断极值

•M

A.1B.2C.3D.4

:题目0（23—24高三上.黑龙江.阶段练习）如图是函数片/⑸的导函数g=的图象，下列结论正确的

A.。=/（力）在x=—1处取得极大值B.T=1是函数g=/（c）的极值点

C.力二一2是函数"=/（/）的极小值点D.函数。=/（力）在区间（一1,1）上单调递减

遮旦©（2024高三.全国.专题练习）已知函数/Q）的导函数/Q）的图象如图所示,则下列结论正确的是

A.曲线y=f（x）在点（1,/（1））处的切线斜率小于零

B.函数6,）在区间（-1,1）上单调递增

C.函数/Q）在2=1处取得极大值

D.函数6,）在区间（-3,3）内至多有两个零点

命题点2求已知函数的极值

题目可（2024.宁夏银川.一模）若函数/㈤=（x2-ax—2时在c=—2处取得极大值，则/㈤的极小值为

()

A.-6e2B.—4eC.—2e2D.—e

题目回(2023•全国•模拟预测)函数“为=2c-tanc-兀在区间(苫叠)的极大值、极小值分别为()

A.y+1,-y+1B.-y+1>+1—1+1D.g-L-^+1

r-题---目-----可---、(多选)(2024・全国•模拟预测)已知/Q)=f—，xX)"则方程产(,)—&+3)/(,)+3k=0

、一/一42-1,240,

可能有()个解.

A.3B.4C.5D.6

题目回(2024.辽宁鞍山.二模)/(c)=，2e『的极大值为

命题点3已知极值(点)求参数

题目瓦)(2024.全国.模拟预测)设电,0；2为函数/(2)=%(c-2)(,-a)(其中a>0)的两个不同的极值点，若

不等式/(g)+/(g)>0成立，则实数a的取值范围为()

A.[1,4]B.(0,4]C.(0,1)D.(4,+oo)

题目①(2024.四川绵阳.三模)若函数/(2)=^ax2-x+blnx(a*0)有唯一极值点，则下列关系式一定成

立的是()

A.a>0,fe<0B.a<0,fe>0C.abV：D.ab>0

题目①(2024辽宁•一模)已知函数/(c)=xs+ax2+bx+<?在c=—1处有极值8,则/(I)等于.

题目12)(2024.全国.模拟预测)已知函数/(2)=Ina:—x2+ax—2(a,GR).

(1)若f(x)的极值为-2,求a的值；

(2)若nz,n是/(劣)的两个不同的零点，求证：/'(nz+n)+m+n<0.

•••

题型二利用导数求函数最值

求含有参数的函数的最值,需先求函数的定义域、导函数,通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到

函数/Q）的最值.

命题点1不含参函数的最值

题目应（2024•陕西•模拟预测）［1,2］,有a>—+/恒成立，则实数a的取值范围为（）

A.[e,+8)B.[1,+8)a[言+8)D.[2e,+oo)

［题目14］（2024.四川.模拟预测）已知/（力）=/—26+Q（］nc—力）,若存在（0,e］,使得/（g）&0成立，则

实数。的取值范围是.

〔题目口9（2024.上海徐汇・二模）如图，两条足够长且互相垂直的轨道几?2相交于点O,一根长度为8的直杆

的两端点45分别在"4上滑动（AB两点不与O点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），

直杆上的点P满足OP，,则△OAP面积的取值范围是.

题目1（2。24•全国•模拟预测）己知函数/（rc）=Inc.

（1）求函数g（2）=以也的最值.

X

（2）证明：趾工―咛与3—纱⑸>0（其中e为自然对数的底数）.

命题点2含参函数的最值

题目①（2024.四川成都.模拟预测）已知函数/Q）=e'—叱⑻没有极值点，则七7的

2i\Cb\J.）a।x

最大值为（）

A.乎B.fC.eD.f

题目W（23—24高三下.重庆.阶段练习）若过点（a,6）可以作曲线沙=In,的两条切线，则（）

A.b>InaB.bVlnaC.a<0D.5>ea

题目|191（2024.全国.模拟预测）函数/（为）=（力+2）ln（6+1）—ax只有3个零点xlfg,g（劣i<劣2<劣3<3）,

则a+电的取值范围是.

©【课后强化】

基础保分练

一、单选题

题目口（2023•广西•模拟预测）函数/（2）=/+加在2=1处取得极小值，则极小值为（）

A.1B.2C.—2D.—1

题目幻（2024.四川凉山.二榭若/（①）=/since+cosa;—1,①C[―。兀],则函数/（,）的零点个数为（）

A.0B.1C.2D.3

题目团（2024.黑龙江哈尔滨.一模）在同一平面直角坐标系内，函数沙=/（为及其导函数夕=/'（，）的图象如

图所示，己知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为（0,1）,则（）

A.函数y=/（£）-e"的最大值为1B.函数沙=/（2）-e。的最小值为1

C.函数9=与的最大值为1D.函数9=与的最小值为1

ee

:

题目④（2024.陕西安康.模拟预测）已知函数/（乃=（«?+61+22；有2个极值点，则（）

A.0<a<——B.b>0C.a<4bD.b>2a

16

题目回（2024.全国.模拟预测）已知函数/（c）=a（sin，”cos为十。在（0,兀）上恰有两个极值点,则实数a

e

的取值范围是（）

A.B.（―8,e兀）C.（0,e兀）D.

•••

二、多选题

题目⑤（2024.全国.模拟预测）已知函数/（，）=&/+2在定义域内既存在极大值点又存在极小值点,则

（）

A.ab>0B.;-C---

ae

C.4a-fee2>0D.对于任意非零实数a,总存在实数b满足题意

1题目可（2024•湖北武汉•模拟预测）已知各项都是正数的数列｛册｝的前几项和为S”,且Sn=黑+」,则下

列结论正确的是（）

A.当771>九（772,neN）时，。九B.Sn+Sn+2<2Sn+1

C.数列｛S^｝是等差数列D.Sn-^->Inn

三、填空题

：>tJ]（2024・上海黄浦・二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段CE,DF与分别

以OCQD为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点是线段AB上的动点，点。为线段AB,CD

的中点，点E,F在以AB为直径的半圆弧上,且NOCEZODF均为直角.若AB=1百米，则此步道的最大

长度为百米.

题目3〕（2023•江西赣州•模拟预测）当①=0时，函数/（ar）=ae~x+bx取得极小值1,则a+b=.

四、解

〔题目|10）（2023.河南洛阳.一模）已知函数/⑺=#+十+y.

（1）求/（，）的图像在点（2,〃2））处的切线方程；

⑵求/（2）在[],2]上的值域.

［题目I11［（2024•上海静安・二模）已知keR,记/（,）=ax+k•U”（a>0且a/1）.

⑴当a=e（e是自然对数的底）时，试讨论函数g=的单调性和最值；

（2）试讨论函数？/=/（⑼的奇偶性；

（3）拓展与探究：

①当k在什么范围取值时，函数y=/（0的图象在立轴上存在对称中心？请说明理由;

②请提出函数沙=/（2）的一个新性质，并用数学符号语言表达出来.（不必证明）

综合提升练

一、单领

题目2］（2024.全国.模拟预测）若函数/（①）=（a;+l）lnz-aa;+1是（0,+oo）上的增函数,则实数a的取值范

围是（）

A.（-oo,21n2］B.（0,21n2］C.（-oo,2］D.（0,2］

题目0（2024.陕西渭南.模拟预测）已知函数/（a：）=d+a在区间［0,1］上的最小值为1,则实数a的值为

（）

A.-2B.2C.-1D.1

题目§（23—24高三下.内蒙古赤峰.开学考试）已知函数/（①）=adna;—ac有极值一e,则a=（）

A.1B.2C.eD.3

题目⑷（2024.广东佛山.二模）若函数/（,）=alnx+~+々（a片0）既有极大值也有极小值,则下列结论一

定正确的是（

A.a<0B.b<QC.o,b>—1D.a+b>0

题目回(2023•甘肃兰州•一模)已知函数/(乃=1+4—Inc的极值点为0,函数h(,)=用的最大值为

22x

如则()

A.Xi>X2B.X2>XiC.劣1>42D.62>/1

题目回(2024•全国•模拟预测)记函数9=/(0的导函数为？的导函数为啖，则曲线g=的曲率K=

—叨一r.则曲线V二必加的曲率的极值点为()

[i+(y)2F

A.#B.乎C.手D.#

2393

题目-7\)(2024•北京朝阳•一模)已知几个大于2的实数的,，2,…,，”，对任意@(i=1,2,…,九)，存在例>2满足仅

且就*=源，则使得oh+gH-----Fa?"_iW15纵成立的最大正整数ri为()

A.14B.16C.21D.23

题目回(2023•河南洛阳•模拟预测)已知函数”为及其导函数/'(为的定义域均为R,且/'(2)-/(C)=/

e汽/(0)=0,则八,)()

A.有一个极小值点,一个极大值点B.有两个极小值点,一个极大值点

C.最多有一个极小值点，无极大值点D,最多有一个极大值点，无极小值点

二、多选题

题目⑥(2023•全国•模拟预测)对函数/(c),g(,)公共定义域内的任意c,若存在常数MGR,使得

1/(,)—9(,)|《河恒成立，则称/(⑼和g(⑼是河—伴侣函数,则下列说法正确的是()

A.存在常数MCR,使得/(,)=log2(5c)与g(2)=logi立是”—伴侣函数

2X

B.存在常数朋rCR,使得/0)=3计1与9(为=3。-1是河—伴侣函数

C./(s)=Inc与g(c)=t+2是1—伴侣函数

D.若f(x)=g'⑸，则存在常数AfCR,使得/㈤与9同是伴侣函数

题目①(2024•全国•模拟预测)已知函数/⑸=(ax2+bx+c)e。的极小值点为0，极大值点为巾(馆>0),且

极大值为0,则()

A.m—2B.b—4：a

C.存在gCR,使得/(g)>0D.直线9=3a与曲线9=/(c)有3个交点

题目F3(2024.全国.模拟预测)己知函数/⑺=(lna+b)e"—c^ec,其中e为自然对数的底数，则()

A.若/(,)为减函数，则〃0)<0B,若/(,)存在极值，则ae°>l

C.若/(1)=0,则6>ln2D.若/(0>0,则b>a

三、填空题

题目©(2022•广西•模拟预测)已知函数/•(,)=近土与土工,则/(⑼的极小值为

e----------

【题目百(2023.广东汕头.一模)函数/(,)=a/—6,的一个极值点为1,则/(①)的极大值是.

：题目口口(2024•上海闵行•二模)对于任意的电、电6R,且%>0，不等式le^-Zil+|lna;-a;|>a恒成立,则

22•M

实数a的取值范围为.

四、解答题

［题目［15)(2024・安徽•二模)已知函数/(①)=/—lOa；+3/'⑴Inc

(1)求函数/(，)在点(1J(1))处的切线方程；

(2)求/(,)的单调区间和极值.

题目(2024.海南.模拟预测)已知函数/(2)=®2—alna?+l,aCR.

(1)当a=1时，求曲线可=/(c)在点(1J(1))处的切线方程；

⑵当a>0时,若函数八①)有最小值2,求a的值.

题目叵)(2024•陕西西安•模拟预测)已知函数/㈤=萼一十.

(1)求/(①)的最大值；

(2)证明：当c>0时，f(x)<xex.

题目应(2024.福建•模拟预测)已知函数/Q)=a\nx—b工在(1,7(1))处的切线在y轴上的截距为-2.

⑴求a的值；

(2)若/(,)有且仅有两个零点，求b的取值范围.

题目®(2024•全国•模拟预测)已知函数/⑸:^^+色—河—皿

⑴若曲线y=/(c)在(0,a——)处的切线方程为4arc+2y+1=0,求a的值及/(2)的单调区间.

(2)若/(c)的极大值为/(ln2),求a的取值范围.

(3)当a=0时，求证：/(c)+5e"—|*>^-x2+x\'n.x.

拓展冲剌练

一、单领

题目①(2023.湖南衡阳.模拟预测)若曲线/⑸=*<0)与g(c)=e。有三条公切线,则k的取值范围为

()

题目区(2023・河南•三模)已知函数/(0=/Inc,则下列结论正确的是()

A./Q)在片心处得到极大值-支B./(X)在①=正处得到极大值y

C./(0在c=上处得到极小值-4D.f(x)在①=Ve处得到极小值-1-

趣目包(2023•湖北•模拟预测)设函数/(,)=2砂—2c，若正实数a使得存在三个两两不同的实数b,c,d满

足(aj(a)),(6,/(b)),(cj(c)),(d,/(d))恰好为一个矩形的四个顶点，则a的取值范围为()

A.(04]B.[1,1]C.仙辛]D.[哈1]

题目©(2024•湖北・二模)已知函数/(c)=W+3^(e为自然对数的底数).则下列说法正确的是

e'x-\-ex

()

A.函数/(①)的定义域为R

B.若函数/(c)在P(0,7(0))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为彳。，则a=