2024年中考复习几何模型：半角模型 导学案

2024年中考复习几何模型：半角模型导学案

已知如图：①/2=工//。&②OA=OB.

2

连接用，将△FOB绕点O旋转至的位置，连接PE,FE,

可得尸之△(?£〃'

模型分析

■:AOBFmAOAF',

；./3=N4,OF=OF'.

：.Z2=-ZAOB,

2

.•.Nl+N3=/2

.\Z1+Z4=Z2

又...OE是公共边，

:.AOEF乌AOEF'.

(1)半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；

(2)通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；

(3)常见的半角模型是90°含45°,120°含60°.

模型实例

例1已知，正方形ABCD中，ZMAN=45°,它的两边分别交线段CB、DC于点M、N.

(1)求证：BM+DN=MN.

(2)作AH_LMN于点H,求证：AH=AB.

证明(1)延长ND到E,使DE=BM,

•・•四边形ABCD是正方形，・・・AD=AB.

在4ADE和AABM中，

AD=AB

<ZADE=ZB

DE=BM

A△ADEABM.

・・・AE=AM,ZDAE=ZBAM

VZMAN=45°,AZBAM+ZNAD=45°.

・•・ZMAN=ZEAN=45°.

在△AMN和4AEN中，

MA=EA

<ZMAN=ZEAN

AN=AN

AAAMN^AAEN.

AMN=EN.

・•・BM+DN=DE+DN=EN=MN.

(2)由(1)知，AAMN^AAEN.

SAAMN=SAAEN.

即LAH.MN=LAD・EN.

22

XVMN=EN,

・・・AH=AD.

即AH=AB.

BMC

例2在等边AABC的两边AB、AC上分别有两点M、N,D为AABC外一点，且

ZMDN=60°,ZBDC=120°,BD=DC.探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、

NC、MN之间的数量关系.

(1)如图①，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；

(2)如图②，当DMRDN时，猜想(1)问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明.

图①图②

解答

(1)BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN.

(2)猜想：BM+NC=MN.

证明：如图③，延长AC至E,使CE=BM,连接DE.

VBD=CD,且/BDC=120°,

.,.ZDBC=ZDCB=30°.

又「△ABC是等边三角形，

.-.ZABC=ZACB=60°.

.•.ZMBD=ZNCD=90°.

在aMBD与4ECD中，

VDB=DC,ZDBM=ZDCE=90°,BM=CE,

AAMBD^AECD(SAS).

；.DM=DE,ZBDM=ZCDE.

ZEDN=ZBDC-ZMDN=60°.

在△MDN和4EDN中，

VMD=ED,ZMDN=ZEDN=60°,DN=DN,

AAMDN^AEDN(SAS).

MN=NE=NC+CE=NC+BM.

图③

例3如图，在四边形ABCD中，ZB+ZADC=180°,AB=AD,、F分别是BC、CD延

长线上的点，且NEAF=1/BAD.求证：EF=BE-FD.

2

证明：在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.

VZB+ZADC=180°,ZADF+ZADC=180°,

・・・NB=NADF.

itAABG和4ADF中，

AB=AD

<ZB=ZADF

BG=DF

AAABG^AADF(SAS).

AZBAG=ZDAF,AG=AF.

・・・ZGAF=ZBAD.

JZEAF=-ZBAD=-ZGAF.

22

・•・ZGAE=ZEAF.

在AAEG和4AEF中，

AG二AF

<ZGAE=ZFAE

AE=AE

•・•△AEG^AAEF(SAS).

・・・EG=EF.

VEG=BE-BG,

.\EF=BE-FD.

跟踪练习：

1.已知，正方形ABCD,M在CB延长线上，N在DC延长线上，NMAN=45。.

求证：MN=DN-BM.

【答案】

证明：如图，在DN上截取DE=MB,连接AE,

・・•四边形ABCD是正方形，

・・・AD=AB,ND=NABC=90。.

在aABM和4ADE中，

AD=AB

<ZD=ZABM

BM=DE

A△ABMADE.

・・・AM=AE,ZMAB=ZEAD.

ZMAN=45°=ZMAB+ZBAN,

・•・ZDAE+ZBAN=45°.

・・・ZEAN=90°-45°=45°=ZMAN.

在aAMN和AAEN中，

AM=AE

<ZMAN=ZEAN

AN=AN

.•.△ABM^AADE.

/.MN=EN.

,.,DN-DE=EN.

/.DN-BM=MN.

2.己知，如图①在RtaABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点D、E分别为线段BC上两动

点，若NDAE=45。，探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.

小明的思路是：把AAEC绕点A顺时针旋转90。，得到△ABE，，连接ED使问题得到解

决.请你参考小明的思路探究并解决以下问题：

(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

(2)当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB延长线上时，如图②，其他条件不

变，(1)中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.

【答案】

解答：(1)猜想：DE?=BD2+EC2.

证明：将aAEC绕点A顺时针旋转90。得到△ABE一如图①

.•.△ACE^AABE,.

；.BE，=EC,AE(=AE,ZC=ZABE\ZEAC=ZE,AB.

在RSABC中，

VAB=AC,

.,.ZABC=ZACB=45°.

；./ABC+/ABE，=90。，即/EBD=90。.

.•.E，B2+BD2=ET)2.

又：/DAE=45。，

.\ZBAD+ZEAC=45O.

/E'AB+/BAD=45°,即NE'AD=45°.

.♦.△AE'DdAED.

/.DE=DE,.

.,.DE2=BD2+EC2.

图①

(2)结论：关系式DE2=BD?+EC2仍然成立.

证明：作NFAD=/BAD,且截取AF=AB,连接DF,连接FE,如图②

.,.△AFD^AABD.

；.FD=DB,ZAFD=ZABD.

又：AB=AC,

.\AF=AC.

ZFAE=ZFAD+ZDAE=ZFAD+45°,

ZEAC=ZBAC-ZBAE=90°-(ZDAE-ZDAB)=90°-(45°-ZDAB)=45°+ZDAB,

.\ZFAE=ZCAE.

又：AE=AE,

.,.△AFE^AACE.

；.FE=EC,ZAFE=ZACE=45°.

ZAFD=ZABD=180°-ZABC=135°.

ZDFE=ZAFD-ZAFE=135°-45°=90°.

在RtADFE中，DF2+FE2=DE2.

即DE2=BD2+EC2.

3.已知，在等边aABC中，点。是边AC、BC的垂直平分线的交点，M、N分别在直线

AC、BC上，且/MON=60。.

(1)如图①，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三

者之间的数量关系；

(2)如图②，当CM¥CN时，M、N分别在边AC、BC上时，(1)中的结论是否仍然

成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；

(3)如图③，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、

MN三者之间的数量关系.

图①图②图③

【答案】

结论：（1）AM=CN+MN；如图①

图①

(2)成立；

证明：如图②，在AC上截取AE=CN,连接OE、OA、0C.

是边AC、BC垂直平分线的交点，且aABC为等边三角形,

.\OA=OC,ZOAE=ZOCN=30°,ZAOC=120°.

又；AE=CN,

.'.△OAE^AOCN.

.\OE=ON,ZAOE=ZCON.

.•.ZEON=ZAOC=120°.

VZMON=60°,

ZMOE=ZMON=60°.

.,.△MOE之△MON.

.\ME=MN.

AM=AE+ME=CN+MN.

图②

(3)如图③，AM=MN-CN.

图③

4.如图，在四边形ABCD中，ZB+ZD=180°,AB=AD,E、F分别是线段BC、CD上的

点，且BE+FD=EF.求证：ZEAF=-ZBAD.

2

【答案】

证明：如图，把4ADF绕点A顺时针旋转NDAB的度数得到aARG,AD旋转到AB,AF

旋转到AG,

・・・AG=AF,BG=DF,ZABG=ZD,ZBAG=ZDAF.

VZABC+ZD=180°,

.\ZABC+ZABG=180°.

工点G、B、C共线.

VBE+FD=EF,

・・・BE+BG=GE=EF.

在4AEG和4AEF中，

AG=AF

<AE=AE

EG=EF

AAAEG^AAEF.

，NEAG=NEAF.

・・・ZEAB+ZBAG=ZEAF.

又,.・NBAG=NDAF,

・・・ZEAB+ZDAF=ZEAF.

AZEAF=-ZBAD.

2

5.如图①，已知四边形/BCD,/£/9的两边分别与。。的延长线交于点凡与CB的延长

线交于点瓦连接E?

(1)若四边形/8C〃为正方形，当/=45°时，跖与DR3E之间有怎样的数量关系？

(只需直接写出结论)

(2)如图②，如果四边形/BCD中，A8=4D,/48C与N/DC互补，当NEAF=LNBAD

2

时，EF与DF、BE之间有